В математике, обобщенное среднее (или среднее значение, или Гельдера среднее ) - это семейство функций для агрегирования наборов чисел, которые включают в качестве особых случаев пифагоровы средние (арифметические, геометрический и гармонический означает ).
Содержание
- 1 Определение
- 2 Особые случаи
- 3 Свойства
- 3.1 Обобщенное среднее неравенство
- 4 Доказательство силы означает неравенство
- 4.1 Эквивалентность неравенств между средними значениями противоположных знаков
- 4.2 Среднее геометрическое
- 4.3 Неравенство между любыми двумя средними величинами
- 5 Обобщенное среднее f
- 6 Приложения
- 7 См. Также
- 8 Примечания
- 9 Ссылки и дополнительное чтение
- 10 Внешние ссылки
Определение
Если p ненулевое действительное число, и - положительные действительные числа, тогда обобщенное среднее или среднее значение с показателем p этих положительных вещественных чисел:
(см. p-norm ). Для p = 0 мы устанавливаем его равным среднему геометрическому (что является пределом средних значений с показателями, приближающимися к нулю, как показано ниже):
Кроме того, для последовательности положительных весов w i с суммой мы определяем средневзвешенное значение мощности как:
Невзвешенные средние соответствуют установке всех w i = 1 / п.
Особые случаи
Визуальное изображение некоторых из указанных случаев для n = 2 с a = x 1 = M ∞ и b = x 2 = M −∞: среднее гармоническое, H = M -1 (a, b), среднее геометрическое, G = M 0 (a, b) среднее арифметическое, A = M 1 (a, b) среднее квадратичное, Q = M 2 (a, b)
Несколько конкретных значений of дают частные случаи с собственными именами:
| минимум |
| среднее гармоническое |
| среднее геометрическое |
| среднее арифметическое |
| среднеквадратичное значение. или среднее квадратичное |
| среднее кубическое |
| максимум |
Доказательство (среднее геометрическое) |
---|
Мы можем переписать определение M p с использованием экспоненциальной функции
В пределе p → 0 мы можем применить правило Л'Опиталя к аргументу экспоненциальной функции. Дифференцируя числитель и знаменатель по p, получаем
Из-за непрерывности экспоненциальной функции мы можем подставить обратно в указанное выше соотношение, чтобы получить
по желанию. |
Доказательство и |
---|
Предположим (возможно, после переименования и объединения терминов), что . Тогда
Формула для следует из |
Свойства
Пусть быть последовательностью положительных действительных чисел и оператором перестановки, тогда выполняются следующие свойства:
- .
- Каждое обобщенное среднее всегда находится между наименьшим и наибольшим из значений x.
- .
- Каждое обобщенное среднее является симметричной функцией своих аргументов; перестановка аргументов обобщенного среднего не меняет его значения.
- .
- Как и большинство означает, обобщенное среднее однородная функция своих аргументов x 1,..., x n. То есть, если b - положительное действительное число, то обобщенное среднее с показателем p чисел равно b, умноженному на обобщенное среднее чисел x 1,…, x n.
- .
- Как и квазиарифметическое средство, вычисление среднего может быть разделено на вычисления равных подблоков. Это позволяет использовать алгоритм разделяй и властвуй для вычисления средних значений, когда это желательно.
Обобщенное неравенство среднего
Геометрическое
доказательство без слов, что max (a, b)>
среднее квадратичное или
среднеквадратичное (QM)>
среднее арифметическое (AM)>
среднее геометрическое (GM)>
среднее гармоническое (HM)>min (a, b) двух положительных чисел a и b
В общем,
- если p
M p (x 1,…, xn) ≤ M q (x 1,…, xn) {\ displaystyle M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \ leq M_ {q} (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}
и два средства равны тогда и только тогда, когда x 1 = x 2 =... = x n.
Неравенство верно для реальных значений p и q, а также для положительных и значения отрицательной бесконечности.
Это следует из того факта, что для всех действительных p
что может быть доказано с помощью неравенства Йенсена.
В частности, для p в {−1, 0, 1} обобщенное среднее неравенство подразумевает неравенство средних пифагоровых, а также неравенство средних арифметических и геометрических.
Доказательство силы означает неравенство
Мы докажем взвешенная мощность означает неравенство, для целей доказательства без ограничения общности предположим следующее:
Доказательство невзвешенных средних значений мощности легко получить, подставив w я = 1 / п.
Эквивалентность неравенств между средними значениями противоположных знаков
Предположим, что среднее значение между средними степенями с показателями p и q выполняется:
применяя это, тогда:
Возводим обе части в степень −1 (строго убывающая функция в положительных числах):
Получаем неравенство fo r означает с показателями −p и −q, и мы можем использовать те же рассуждения в обратном порядке, тем самым доказывая, что неравенства эквивалентны, что будет использоваться в некоторых из последующих доказательств.
Среднее геометрическое
Для любого q>0 и неотрицательных весов, суммируемых с 1, выполняется следующее неравенство:
Доказательство следует из неравенства Дженсена с использованием того факта, что логарифм вогнутый:
Применяя экспоненциальную функцию к обеим сторонам и наблюдая, что это строго возрастающая функция сохраняет знак неравенства, получаем
Взяв q-ю степень x i, мы закончили для неравенства с положительным q; корпус для негативов идентичен.
Неравенство между любыми двумя степенными средствами
Мы должны доказать, что для любого p < q the following inequality holds:
если p отрицательно, а q положительно, неравенство эквивалентно доказанному выше:
Доказательство положительных значений p и q выглядит следующим образом: Определите следующую функцию: f: R+→ R+. f - степенная функция, поэтому у нее есть вторая производная:
что является строго положительно в области определения f, поскольку q>p, поэтому мы знаем, что f выпукло.
Используя это и неравенство Дженсена, мы получаем:
возведя обе стороны в степень 1 / q (возрастающая функция, поскольку 1 / q положительна), мы получаем неравенство, которое требовалось доказать:
Используя ранее показанную эквивалентность, мы можем доказать неравенство для отрицательных p и q, заменив их на −q и - p соответственно.
Обобщенное f-среднее
Среднее значение мощности может быть далее обобщено до обобщенного f-среднего :
Это покрывает среднее геометрическое без использования предела с f (x) = журнал (х). Среднее значение мощности получается для f (x) = x.
Приложения
Обработка сигналов
Среднее значение мощности используется для нелинейного скользящего среднего, которое смещено в сторону малых значений сигнала для малых значений p и подчеркивает большие значения сигнала для большого p. При наличии эффективной реализации скользящего среднего арифметического , называемого smooth
, можно реализовать скользящее среднее значение мощности в соответствии со следующим кодом Haskell.
powerSmooth :: Floating a =>([a] ->[a]) ->a ->[a] ->[a] powerSmooth smooth p = map (** получатель p). гладкий; плавный. map (** p)
- Для большого p он может служить детектором конверта на исправленном сигнале.
- Для малого p он может служить на масс-спектре.
См. также
Примечания
- ^ Сикора, Станислав (2009). Математические средства и средние: основные свойства. 3 . Библиотека Стэна: Кастано Примо, Италия. doi : 10.3247 / SL3Math09.001.
- ^ П. С. Буллен: Справочник средств и их неравенства. Дордрехт, Нидерланды: Kluwer, 2003, стр. 175-177
- ^Weisstein, Eric W. «Power Mean». MathWorld.(получено 17 августа 2019 г.)
- ^Томпсон, Сильванус П. (1965). Исчисление стало проще. Международное высшее образование Macmillan. п. 185. ISBN 9781349004874. Проверено 5 июля 2020 г.
- ^Джонс, Алан Р. (2018). Вероятность, статистика и другие пугающие вещи. Рутледж. п. 48. ISBN 9781351661386. Проверено 5 июля 2020 г.
- ^Если AC = a и BC = b. OC = AM a и b, и радиус r = QO = OG.. Используя теорему Пифагора, QC² = QO² + OC² ∴ QC = √QO² + OC² = QM.. Используя теорему Пифагора, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √OC² - OG² = GM.. Используя похожие треугольники, HC / GC = GC / OC ∴ HC = GC² / OC = HM.
Ссылки и дополнительная литература
- P. С. Буллен: Справочник средств и их неравенств. Дордрехт, Нидерланды: Kluwer, 2003, глава III (Силовые средства), стр. 175-265
Внешние ссылки