Обобщенное среднее

редактировать

В математике, обобщенное среднее (или среднее значение, или Гельдера среднее ) - это семейство функций для агрегирования наборов чисел, которые включают в качестве особых случаев пифагоровы средние (арифметические, геометрический и гармонический означает ).

Содержание

1 Определение
2 Особые случаи
3 Свойства
- 3.1 Обобщенное среднее неравенство
4 Доказательство силы означает неравенство
- 4.1 Эквивалентность неравенств между средними значениями противоположных знаков
- 4.2 Среднее геометрическое
- 4.3 Неравенство между любыми двумя средними величинами
5 Обобщенное среднее f
6 Приложения
- 6.1 Обработка сигналов
7 См. Также
8 Примечания
9 Ссылки и дополнительное чтение
10 Внешние ссылки

Определение

Если p ненулевое действительное число, и $x 1,…, xn {\ displaystyle x_ {1 }, \ dots, x_ {n}}$ $x_ {1}, \ dots, x_ {n}$ - положительные действительные числа, тогда обобщенное среднее или среднее значение с показателем p этих положительных вещественных чисел:

M p (x 1,…, xn) = (1 n ∑ i = 1 nxip) 1 п. {\ displaystyle M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i } ^ {p} \ right) ^ {\ frac {1} {p}}.}

M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ left ( {\ frac {1} {n}} \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} x_ {i} ^ {p} \ right) ^ {{{\ frac {1} {p}}}}.

(см. p-norm ). Для p = 0 мы устанавливаем его равным среднему геометрическому (что является пределом средних значений с показателями, приближающимися к нулю, как показано ниже):

M 0 (x 1,…, xn) = ∏ i = 1 nxin {\ стиль отображения M_ {0} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = {\ sqrt [{n}] {\ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}}}

M_0 (x_1, \ dots, x_n) = \ sqrt [n] {\ prod_ {i = 1} ^ n x_i}

Кроме того, для последовательности положительных весов w i с суммой $∑ iwi = 1 {\ displaystyle \ textstyle {\ sum _ {i} w_ {i} = 1 }}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ sum _ {i} w_ {i} = 1}}$ мы определяем средневзвешенное значение мощности как:

M p (x 1,…, xn) = (∑ i = 1 nwixip) 1 p M 0 (x 1,…, Xn) = ∏ я знак равно 1 nxiwi {\ displaystyle {\ begin {выровнено} M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ left (\ sum _ {i = 1 } ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ right) ^ {\ frac {1} {p}} \\ M_ {0} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} \ end {align}}}

\ begin {align} M_p (x_1, \ dots, x_n) = \ left (\ sum_ {i = 1} ^ n w_i x_i ^ p \ right) ^ {\ frac {1} {p}} \\ M_0 (x_1, \ dots, x_n) = \ prod_ {i = 1} ^ n x_i ^ {w_i} \ end {align}

Невзвешенные средние соответствуют установке всех w i = 1 / п.

Особые случаи

Визуальное изображение некоторых из указанных случаев для n = 2 с a = x 1 = M ∞ и b = x 2 = M −∞: среднее гармоническое, H = M -1 (a, b), среднее геометрическое, G = M 0 (a, b) среднее арифметическое, A = M 1 (a, b) среднее квадратичное, Q = M 2 (a, b)

Несколько конкретных значений of $p {\ displaystyle p}$ $p$ дают частные случаи с собственными именами:

$M - ∞ (x 1,…, xn) = lim p → - ∞ M p (x 1, …, Xn) = min {x 1,…, xn} {\ displaystyle M _ {- \ infty} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ lim _ {p \ to - \ infty} M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ min \ {x_ {1}, \ dots, x_ {n} \}}$ $M _ {- \ infty} (x_1, \ dots, x_n) = \ lim_ {p \ to- \ infty} M_p (x_1, \ dots, x_n) = \ min \ {x_1, \ dots, x_n \}$	минимум
$M - 1 (x 1,…, Xn) знак равно N 1 x 1 + ⋯ + 1 xn {\ displaystyle M _ {- 1} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = {\ frac {n} {{\ frac {1 } {x_ {1}}} + \ dots + {\ frac {1} {x_ {n}}}}}}$ $M _ {- 1} (x_1, \ dots, x_n) = \ frac {n} {\ frac {1} {x_1} + \ dots + \ frac {1} {x_n}}$	среднее гармоническое
$M 0 (x 1,…, xn) = lim p → 0 M п (Икс 1,…, xn) знак равно Икс 1 ⋅ ⋯ ⋅ xnn {\ displaystyle M_ {0} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ lim _ {p \ to 0} M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = {\ sqrt [{n}] {x_ {1} \ cd ot \ dots \ cdot x_ {n}}}}$ $M_0 (x_1, \ dots, x_n) = \ lim_ {p \ to0} M_p (x_1, \ dots, x_n) = \ sqrt [n] {x_1 \ cdot \ dots \ cdot x_n}$	среднее геометрическое
$M 1 (x 1,…, xn) = x 1 + ⋯ + xnn {\ displaystyle M_ {1} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = {\ frac {x_ {1} + \ dots + x_ {n}} {n}}}$ $M_ 1 (x_1, \ dots, x_n) = \ frac {x_1 + \ dots + x_n} {n}$	среднее арифметическое
$M 2 (x 1,…, xn) = Икс 1 2 + ⋯ + Xn 2 N {\ Displaystyle M_ {2} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = {\ sqrt {\ frac {x_ {1} ^ {2} + \ dots + x_ {n} ^ {2}} {n}}}}$ $M_2 (x_1, \ dots, x_n) = \ sqrt {\ frac {x_1 ^ 2 + \ dots + x_n ^ 2} {n}}$	среднеквадратичное значение. или среднее квадратичное
$M 3 (x 1,…, xn) = x 1 3 + ⋯ + xn 3 n 3 {\ displaystyle M_ {3} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = {\ sqrt [{3}] {\ frac {x_ {1} ^ {3} + \ dots + x_ {n} ^ {3}} {n}}}}$ $M_ {3} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = {\ sqrt [{3}] {{\ frac {x_ {1}) ^ {3} + \ dots + x_ {n} ^ {3}} {n}}}}$	среднее кубическое
$M + ∞ (x 1,…, xn) = lim p → ∞ M p (x 1,…, xn) = max {x 1,…, xn} {\ displaystyle M _ {+ \ infty} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ lim _ {p \ to \ infty} M_ {p} (x_ { 1}, \ dots, x_ {n}) = \ max \ {x_ {1}, \ dots, x_ {n} \}}$ $M _ {+ \ infty} (x_1, \ dots, x_n) = \ lim_ {p \ to \ infty} M_p (x_1, \ dots, x_n) = \ max \ {x_1, \ dots, x_n \}$	максимум

Доказательство $lim p → 0 M p = M 0 {\ displaystyle \ textstyle \ lim _ {p \ to 0} M_ {p} = M_ {0}}$ $\ textstyle \ lim_ {p \ to 0} M_p = M_0$ (среднее геометрическое)
Мы можем переписать определение M p с использованием экспоненциальной функции $M p (x 1,…, xn) = exp ⁡ (ln ⁡ [(∑ я = 1 nwixip) 1 / p]) = ехр ⁡ (пер ⁡ (∑ я = 1 nwixip) p) {\ displaystyle M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ exp { \ left (\ ln {\ left [\ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ right) ^ {1 / p} \ right]} \ right)} = \ exp {\ left ({\ frac {\ ln {\ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ right)}} { p}} \ right)}}$ $M_p (x_1, \ dots, x_n) = \ exp {\ left (\ ln {\ left [\ left (\ sum_ {i = 1} ^ n w_ix_ {i} ^ p \ right) ^ {1 / p} \ right]} \ right)} = \ exp {\ left (\ frac {\ ln {\ left (\ sum_ {i = 1} ^ n w_ix_ {i} ^ p \ right)} } {p} \ right)}$ В пределе p → 0 мы можем применить правило Л'Опиталя к аргументу экспоненциальной функции. Дифференцируя числитель и знаменатель по p, получаем $lim p → 0 ln ⁡ (∑ i = 1 nwixip) p = lim p → 0 ∑ i = 1 nwixip ln ⁡ xi ∑ j = 1 nwjxjp 1 = lim p → 0 ∑ i = 1 nwixip ln ⁡ xi ∑ j = 1 nwjxjp = ∑ i = 1 nwi ln ⁡ xi lim p → 0 ∑ j = 1 nwj (xjxi) p = ∑ i = 1 nwi ln ⁡ xi = ln ⁡ (∏ я знак равно 1 nxiwi) {\ Displaystyle \ lim _ {p \ to 0} {\ frac {\ ln {\ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ right)}} {p}} = \ lim _ {p \ to 0} {\ frac {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ ln {x_ {i}}} {\ sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {j} x_ {j} ^ {p}}} {1}} = \ lim _ {p \ в 0} {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ ln {x_ {i}}} {\ sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {j} x_ {j} ^ {p}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {w_ {i} \ ln {x_ {i}}} {\ lim _ {p \ to 0} \ sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {j} \ left ({\ frac {x_ {j}} {x_ {i}}} \ right) ^ {p}} } = \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} \ ln {x_ {i}} = \ ln {\ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} \ right)}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {p \ to 0} {\ frac {\ ln {\ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ right)}} {p}} = \ lim _ {p \ to 0} {\ frac {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ ln {x_ {i}}} {\ sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {j} x_ {j} ^ {p}}} {1}} = \ lim _ {p \ to 0} {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ ln {x_ {i}}} {\ sum _ {j = 1} ^ {n} w_ { j} x_ {j} ^ {p}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {w_ {i} \ ln {x_ {i}}} {\ lim _ {p \ to 0} \ sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {j} \ left ({\ frac {x_ {j}} {x_ {i}}} \ right) ^ {p}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} \ ln {x_ {i}} = \ ln {\ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}) } \ right)}}$ Из-за непрерывности экспоненциальной функции мы можем подставить обратно в указанное выше соотношение, чтобы получить $lim p → 0 M p (x 1,…, xn) = ехр ⁡ (пер ⁡ (∏ я = 1 nxiwi)) = ∏ я = 1 nxiwi = M 0 (x 1,…, xn) {\ displaystyle \ lim _ {p \ to 0} M_ {p} (x_ {1 }, \ dots, x_ {n}) = \ exp {\ left (\ ln {\ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} \ right)} \ right)} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} = M_ {0} (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$ $\ lim_ {p \ to 0} M_p (x_1, \ dots, x_n) = \ exp {\ left (\ ln {\ left (\ prod_ {i = 1 } ^ n x_i ^ {w_i} \ right)} \ right)} = \ prod_ {i = 1} ^ n x_i ^ {w_i} = M_0 (x_1, \ dots, x_n)$ по желанию.

Доказательство

lim p → 0 M p = M 0 {\ displaystyle \ textstyle \ lim _ {p \ to 0} M_ {p} = M_ {0}}

\ textstyle \ lim_ {p \ to 0} M_p = M_0

(среднее геометрическое)

Мы можем переписать определение M p с использованием экспоненциальной функции

M p (x 1,…, xn) = exp ⁡ (ln ⁡ [(∑ я = 1 nwixip) 1 / p]) = ехр ⁡ (пер ⁡ (∑ я = 1 nwixip) p) {\ displaystyle M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ exp { \ left (\ ln {\ left [\ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ right) ^ {1 / p} \ right]} \ right)} = \ exp {\ left ({\ frac {\ ln {\ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ right)}} { p}} \ right)}}

M_p (x_1, \ dots, x_n) = \ exp {\ left (\ ln {\ left [\ left (\ sum_ {i = 1} ^ n w_ix_ {i} ^ p \ right) ^ {1 / p} \ right]} \ right)} = \ exp {\ left (\ frac {\ ln {\ left (\ sum_ {i = 1} ^ n w_ix_ {i} ^ p \ right)} } {p} \ right)}

В пределе p → 0 мы можем применить правило Л'Опиталя к аргументу экспоненциальной функции. Дифференцируя числитель и знаменатель по p, получаем

lim p → 0 ln ⁡ (∑ i = 1 nwixip) p = lim p → 0 ∑ i = 1 nwixip ln ⁡ xi ∑ j = 1 nwjxjp 1 = lim p → 0 ∑ i = 1 nwixip ln ⁡ xi ∑ j = 1 nwjxjp = ∑ i = 1 nwi ln ⁡ xi lim p → 0 ∑ j = 1 nwj (xjxi) p = ∑ i = 1 nwi ln ⁡ xi = ln ⁡ (∏ я знак равно 1 nxiwi) {\ Displaystyle \ lim _ {p \ to 0} {\ frac {\ ln {\ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ right)}} {p}} = \ lim _ {p \ to 0} {\ frac {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ ln {x_ {i}}} {\ sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {j} x_ {j} ^ {p}}} {1}} = \ lim _ {p \ в 0} {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ ln {x_ {i}}} {\ sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {j} x_ {j} ^ {p}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {w_ {i} \ ln {x_ {i}}} {\ lim _ {p \ to 0} \ sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {j} \ left ({\ frac {x_ {j}} {x_ {i}}} \ right) ^ {p}} } = \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} \ ln {x_ {i}} = \ ln {\ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} \ right)}}

{\ displaystyle \ lim _ {p \ to 0} {\ frac {\ ln {\ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ right)}} {p}} = \ lim _ {p \ to 0} {\ frac {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ ln {x_ {i}}} {\ sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {j} x_ {j} ^ {p}}} {1}} = \ lim _ {p \ to 0} {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ ln {x_ {i}}} {\ sum _ {j = 1} ^ {n} w_ { j} x_ {j} ^ {p}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {w_ {i} \ ln {x_ {i}}} {\ lim _ {p \ to 0} \ sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {j} \ left ({\ frac {x_ {j}} {x_ {i}}} \ right) ^ {p}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} \ ln {x_ {i}} = \ ln {\ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}) } \ right)}}

Из-за непрерывности экспоненциальной функции мы можем подставить обратно в указанное выше соотношение, чтобы получить

lim p → 0 M p (x 1,…, xn) = ехр ⁡ (пер ⁡ (∏ я = 1 nxiwi)) = ∏ я = 1 nxiwi = M 0 (x 1,…, xn) {\ displaystyle \ lim _ {p \ to 0} M_ {p} (x_ {1 }, \ dots, x_ {n}) = \ exp {\ left (\ ln {\ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} \ right)} \ right)} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} = M_ {0} (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}

\ lim_ {p \ to 0} M_p (x_1, \ dots, x_n) = \ exp {\ left (\ ln {\ left (\ prod_ {i = 1 } ^ n x_i ^ {w_i} \ right)} \ right)} = \ prod_ {i = 1} ^ n x_i ^ {w_i} = M_0 (x_1, \ dots, x_n)

по желанию.

Доказательство $lim p → ∞ M p = M ∞ {\ displaystyle \ textstyle \ lim _ {p \ to \ infty} M_ {p} = M _ {\ infty}}$ $\ textstyle \ lim_ {p \ to \ infty} M_p = M_ \ infty$ и $lim p → - ∞ M p = M - ∞ {\ displaystyle \ textstyle \ lim _ {p \ to - \ infty} M_ {p} = M _ {- \ infty}}$ $\ textstyle \ lim_ {p \ to - \ infty} M_p = M _ {- \ infty}$
Предположим (возможно, после переименования и объединения терминов), что $x 1 ≥ ⋯ ≥ xn {\ displaystyle x_ {1} \ geq \ dots \ geq x_ {n}}$ $x_1 \ geq \ dots \ geq x_n$ . Тогда $lim p → ∞ M p (x 1,…, xn) = lim p → ∞ (∑ i = 1 nwixip) 1 / p = x 1 lim p → ∞ (∑ i = 1 nwi (xix 1) p) 1 / p = x 1 = M ∞ (x 1,…, xn). {\ displaystyle \ lim _ {p \ to \ infty} M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ lim _ {p \ to \ infty} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ right) ^ {1 / p} = x_ {1} \ lim _ {p \ to \ infty} \ left (\ sum _ { i = 1} ^ {n} w_ {i} \ left ({\ frac {x_ {i}} {x_ {1}}} \ right) ^ {p} \ right) ^ {1 / p} = x_ { 1} = M _ {\ infty} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}).}$ $\ lim_ {p \ to \ infty} M_p (x_1, \ dots, x_n) = \ lim_ {p \ to \ infty} \ left (\ sum_ {i = 1} ^ n w_i x_i ^ p \ right) ^ {1 / p} = x_1 \ lim_ {p \ to \ infty} \ left (\ sum_ {i = 1} ^ n w_i \ left (\ frac {x_i} {x_1} \ right) ^ p \ right) ^ {1 / p} = x_1 = M_ \ infty (x_1, \ dots, x_n).$ Формула для $M - ∞ {\ displaystyle M _ {- \ infty}}$ $M _ {- \ infty}$ следует из $M - ∞ (x 1,…, xn) = 1 M ∞ (1 / x 1,…, 1 / xn). {\ displaystyle M _ {- \ infty} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = {\ frac {1} {M _ {\ infty} (1 / x_ {1}, \ dots, 1 / x_ {n})}}.}$ $M _ {- \ infty} (x_1, \ dots, x_n) = \ frac {1} {M_ \ infty (1 / x_1, \ dots, 1 / x_n)}.$

Доказательство

lim p → ∞ M p = M ∞ {\ displaystyle \ textstyle \ lim _ {p \ to \ infty} M_ {p} = M _ {\ infty}}

\ textstyle \ lim_ {p \ to \ infty} M_p = M_ \ infty

lim p → - ∞ M p = M - ∞ {\ displaystyle \ textstyle \ lim _ {p \ to - \ infty} M_ {p} = M _ {- \ infty}}

\ textstyle \ lim_ {p \ to - \ infty} M_p = M _ {- \ infty}

Предположим (возможно, после переименования и объединения терминов), что $x 1 ≥ ⋯ ≥ xn {\ displaystyle x_ {1} \ geq \ dots \ geq x_ {n}}$ $x_1 \ geq \ dots \ geq x_n$ . Тогда

lim p → ∞ M p (x 1,…, xn) = lim p → ∞ (∑ i = 1 nwixip) 1 / p = x 1 lim p → ∞ (∑ i = 1 nwi (xix 1) p) 1 / p = x 1 = M ∞ (x 1,…, xn). {\ displaystyle \ lim _ {p \ to \ infty} M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ lim _ {p \ to \ infty} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ right) ^ {1 / p} = x_ {1} \ lim _ {p \ to \ infty} \ left (\ sum _ { i = 1} ^ {n} w_ {i} \ left ({\ frac {x_ {i}} {x_ {1}}} \ right) ^ {p} \ right) ^ {1 / p} = x_ { 1} = M _ {\ infty} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}).}

\ lim_ {p \ to \ infty} M_p (x_1, \ dots, x_n) = \ lim_ {p \ to \ infty} \ left (\ sum_ {i = 1} ^ n w_i x_i ^ p \ right) ^ {1 / p} = x_1 \ lim_ {p \ to \ infty} \ left (\ sum_ {i = 1} ^ n w_i \ left (\ frac {x_i} {x_1} \ right) ^ p \ right) ^ {1 / p} = x_1 = M_ \ infty (x_1, \ dots, x_n).

Формула для $M - ∞ {\ displaystyle M _ {- \ infty}}$ $M _ {- \ infty}$ следует из $M - ∞ (x 1,…, xn) = 1 M ∞ (1 / x 1,…, 1 / xn). {\ displaystyle M _ {- \ infty} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = {\ frac {1} {M _ {\ infty} (1 / x_ {1}, \ dots, 1 / x_ {n})}}.}$ $M _ {- \ infty} (x_1, \ dots, x_n) = \ frac {1} {M_ \ infty (1 / x_1, \ dots, 1 / x_n)}.$

Свойства

Пусть $x 1,…, xn {\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {n}}$ $x_ {1}, \ dots, x_ {n}$ быть последовательностью положительных действительных чисел и $P {\ displaystyle P}$ $P$ оператором перестановки, тогда выполняются следующие свойства:

$min (x 1,…, xn) ≤ M p (x 1,…, xn) ≤ max (x 1,…, xn) {\ displaystyle \ min (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \ leq M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \ leq \ max (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle \ min (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \ leq M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n }) \ leq \ max (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$ .
Каждое обобщенное среднее всегда находится между наименьшим и наибольшим из значений x.
$M p (x 1,…, Xn) = M p (P (x 1,…, xn)) {\ displaystyle M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = M_ {p} (P (x_ { 1}, \ dots, x_ {n}))}$ ${\ displaystyle M_ {p} (x_ {1}, \ точки, x_ {n}) = M_ {p} (P (x_ {1}, \ dots, x_ {n}))}$ .
Каждое обобщенное среднее является симметричной функцией своих аргументов; перестановка аргументов обобщенного среднего не меняет его значения.
$M p (bx 1,…, bxn) = b ⋅ M p (x 1,…, xn) {\ displaystyle M_ {p} (bx_ {1 }, \ dots, bx_ {n}) = b \ cdot M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle M_ {p} (bx_ {1}, \ dots, bx_ {n}) = b \ cdot M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$ .
Как и большинство означает, обобщенное среднее однородная функция своих аргументов x 1,..., x n. То есть, если b - положительное действительное число, то обобщенное среднее с показателем p чисел $b ⋅ x 1,…, b ⋅ xn {\ displaystyle b \ cdot x_ {1}, \ dots, b \ cdot x_ {n}}$ $b \ cdot x_1, \ dots, b \ cdot x_n$ равно b, умноженному на обобщенное среднее чисел x 1,…, x n.
$M p (x 1,…, xn ⋅ k) = M p [M p (x 1,…, xk), M p (xk + 1,…, x 2 ⋅ k),…, M p (x (n - 1) ⋅ k + 1,…, xn ⋅ k)] {\ displaystyle M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n \ cdot k}) = M_ {p} \ left [M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ { k}), M_ {p} (x_ {k + 1}, \ dots, x_ {2 \ cdot k}), \ dots, M_ {p} (x _ {(n-1) \ cdot k + 1}, \ dots, x_ {n \ cdot k}) \ right]}$ ${\ displaystyle M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n \ cdot k})) = M_ {p} \ left [M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {k}), M_ {p} (x_ {k + 1}, \ dots, x_ {2 \ cdot k}), \ точки, M_ {p} (x _ {(n-1) \ cdot k + 1}, \ dots, x_ {n \ cdot k}) \ right]}$ .
Как и квазиарифметическое средство, вычисление среднего может быть разделено на вычисления равных подблоков. Это позволяет использовать алгоритм разделяй и властвуй для вычисления средних значений, когда это желательно.

Обобщенное неравенство среднего

Геометрическое доказательство без слов, что max (a, b)>среднее квадратичное или среднеквадратичное (QM)>среднее арифметическое (AM)>среднее геометрическое (GM)>среднее гармоническое (HM)>min (a, b) двух положительных чисел a и b

В общем,

если p M p (x 1,…, xn) ≤ M q (x 1,…, xn) {\ displaystyle M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \ leq M_ {q} (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}

{\ displaystyle M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \ leq M_ {q} (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}

и два средства равны тогда и только тогда, когда x 1 = x 2 =... = x n.

Неравенство верно для реальных значений p и q, а также для положительных и значения отрицательной бесконечности.

Это следует из того факта, что для всех действительных p

∂ ∂ p M p (x 1,…, xn) ≥ 0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial p }} M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \ geq 0}

\ frac {\ partial} {\ partial p} M_p (x_1, \ dots, x_n) \ geq 0

что может быть доказано с помощью неравенства Йенсена.

В частности, для p в {−1, 0, 1} обобщенное среднее неравенство подразумевает неравенство средних пифагоровых, а также неравенство средних арифметических и геометрических.

Доказательство силы означает неравенство

Мы докажем взвешенная мощность означает неравенство, для целей доказательства без ограничения общности предположим следующее:

wi ∈ [0, 1] ∑ i = 1 nwi = 1 {\ displaystyle {\ begin {align} w_ {i } \ in [0,1] \\\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} = 1 \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} w_ {i} \ in [0,1] \\\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} = 1 \ конец {выровнено}}}

Доказательство невзвешенных средних значений мощности легко получить, подставив w я = 1 / п.

Эквивалентность неравенств между средними значениями противоположных знаков

Предположим, что среднее значение между средними степенями с показателями p и q выполняется:

∑ i = 1 nwixipp ≥ ∑ i = 1 nwixiqq {\ displaystyle {\ sqrt [{p}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p}}} \ geq {\ sqrt [{q}] {\ sum _ { i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {q}}}}

\ sqrt [p] {\ sum_ {i = 1} ^ nw_ix_i ^ p} \ geq \ sqrt [q] {\ sum_ {i = 1} ^ nw_ix_i ^ q}

применяя это, тогда:

∑ i = 1 nwixipp ≥ ∑ i = 1 nwixiqq {\ displaystyle {\ sqrt [{p}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {w_ {i}} {x_ {i} ^ {p}}}}} \ geq {\ sqrt [{q} ] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {w_ {i}} {x_ {i} ^ {q}}}}}}

\ sqrt [p] {\ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {w_i} {x_i ^ p}} \ geq \ sqrt [q] {\ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {w_i} {x_i ^ q}}

Возводим обе части в степень −1 (строго убывающая функция в положительных числах):

∑ i = 1 nwixi - p - p = 1 ∑ i = 1 nwi 1 xipp ≤ 1 ∑ i = 1 nwi 1 xiqq = ∑ i = 1 nwixi - q - q { \ displaystyle {\ sqrt [{- p}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {- p}}} = {\ sqrt [{p}] {\ frac {1} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} {\ frac {1} {x_ {i} ^ {p}}}}}} \ leq {\ sqrt [{q} ] {\ frac {1} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} {\ frac {1} {x_ {i} ^ {q}}}}}} = {\ sqrt [{ -q}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {- q}}}}

\ sqrt [-p ] {\ sum_ {i = 1} ^ nw_ix_i ^ {- p}} = \ sqrt [p] {\ frac {1} {\ sum_ {i = 1} ^ nw_i \ frac {1} {x_i ^ p}} } \ leq \ sqrt [q] {\ frac {1} {\ sum_ {i = 1} ^ nw_i \ frac {1} {x_i ^ q}}} = \ sqrt [-q] {\ sum_ {i = 1 } ^ nw_ix_i ^ {- q}}

Получаем неравенство fo r означает с показателями −p и −q, и мы можем использовать те же рассуждения в обратном порядке, тем самым доказывая, что неравенства эквивалентны, что будет использоваться в некоторых из последующих доказательств.

Среднее геометрическое

Для любого q>0 и неотрицательных весов, суммируемых с 1, выполняется следующее неравенство:

∑ i = 1 nwixi - q - q ≤ ∏ i = 1 nxiwi ≤ ∑ i = 1 nwixiqq. {\ displaystyle {\ sqrt [{- q}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {- q}}} \ leq \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} \ leq {\ sqrt [{q}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {q} }}.}

{\ displaystyle {\ sqrt [{- q}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {- q}}} \ leq \ prod _ {i = 1} ^ {n } x_ {i} ^ {w_ {i}} \ leq {\ sqrt [{q}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {q}}}. }

Доказательство следует из неравенства Дженсена с использованием того факта, что логарифм вогнутый:

log ⁡ ∏ i = 1 nxiwi = ∑ i = 1 nwi журнал ⁡ xi ≤ журнал ⁡ ∑ i = 1 nwixi. {\ displaystyle \ log \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} \ log x_ {i } \ leq \ log \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i}.}

{\ displaystyle \ log \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} = \ sum _ {i = 1} ^ { n} w_ {i} \ log x_ {i} \ leq \ log \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i}.}

Применяя экспоненциальную функцию к обеим сторонам и наблюдая, что это строго возрастающая функция сохраняет знак неравенства, получаем

∏ i = 1 nxiwi ≤ ∑ i = 1 nwixi. {\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i}.}

{\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i}.}

Взяв q-ю степень x i, мы закончили для неравенства с положительным q; корпус для негативов идентичен.

Неравенство между любыми двумя степенными средствами

Мы должны доказать, что для любого p < q the following inequality holds:

∑ i = 1 nwixipp ≤ ∑ i = 1 nwixiqq {\ displaystyle {\ sqrt [{p} ] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p}}} \ leq {\ sqrt [{q}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n } w_ {i} x_ {i} ^ {q}}}}

\ sqrt [p] {\ sum_ {i = 1} ^ nw_ix_i ^ p} \ leq \ sqrt [q] {\ sum_ {i = 1} ^ nw_ix_i ^ q}

если p отрицательно, а q положительно, неравенство эквивалентно доказанному выше:

∑ i = 1 nwixipp ≤ ∏ i Знак равно 1 nxiwi ≤ ∑ я = 1 nwixiqq {\ displaystyle {\ sqrt [{p}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p}}} \ leq \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} \ leq {\ sqrt [{q}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {q}}}}

\ sqrt [p] { \ sum_ {i = 1} ^ nw_ix_i ^ p} \ leq \ prod_ {i = 1} ^ nx_i ^ {w_i} \ leq \ sqrt [q] {\ sum_ {i = 1} ^ nw_ix_i ^ q}

Доказательство положительных значений p и q выглядит следующим образом: Определите следующую функцию: f: R+→ R+ $f (x) = xqp {\ displaystyle f (x) = x ^ {\ frac {q} {p}}}$ $f (x) = x ^ {\ frac {q} {p}}$ . f - степенная функция, поэтому у нее есть вторая производная:

f ″ (x) = (qp) (qp - 1) xqp - 2 {\ displaystyle f '' (x) = \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) \ left ({\ frac {q} {p}} - 1 \ right) x ^ {{\ frac {q} {p}} - 2}}

f''(x) = \left(\frac{q}{p} \right) \left( \frac{q}{p}-1 \right)x^{\frac{q}{p}-2}

что является строго положительно в области определения f, поскольку q>p, поэтому мы знаем, что f выпукло.

Используя это и неравенство Дженсена, мы получаем:

f (∑ i = 1 nwixip) ≤ ∑ i = 1 nwif (xip) ∑ i = 1 nwixippq ≤ ∑ i = 1 nwixiq {\ displaystyle {\ begin {align} f \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ right) \ leq \ sum _ {i = 1} ^ { n} w_ {i} f (x_ {i} ^ {p}) \\ [3pt] {\ sqrt [{\ frac {p} {q}}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p}}} \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {q} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} f \ left (\ sum _ {i = 1} ^ { n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ right) \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} f (x_ {i} ^ {p}) \\ [ 3pt] {\ sqrt [{\ frac {p} {q}}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p}}} \ leq \ su m _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {q} \ end {align}}}

возведя обе стороны в степень 1 / q (возрастающая функция, поскольку 1 / q положительна), мы получаем неравенство, которое требовалось доказать:

∑ i = 1 nwixipp ≤ ∑ i = 1 nwixiqq {\ displaystyle {\ sqrt [{p}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p}}} \ leq {\ sqrt [{q}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {q}}}}

\ sqrt [p] {\ sum_ {i = 1} ^ nw_ix_i ^ p} \ leq \ sqrt [q] {\ sum_ {i = 1} ^ nw_ix_i ^ q}

Используя ранее показанную эквивалентность, мы можем доказать неравенство для отрицательных p и q, заменив их на −q и - p соответственно.

Обобщенное f-среднее

Среднее значение мощности может быть далее обобщено до обобщенного f-среднего :

M f (x 1,…, xn) = f - 1 ( 1 N ⋅ ∑ я знак равно 1 nf (xi)) {\ displaystyle M_ {f} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = f ^ {- 1} \ left ({{\ frac {1} {n}} \ cdot \ sum _ {i = 1} ^ {n} {f (x_ {i})}} \ right)}

M_f (x_1, \ dots, x_n) = f ^ {- 1} \ left ({\ frac {1} {n} \ cdot \ sum_ {i = 1} ^ n {f (x_i)}} \ справа)

Это покрывает среднее геометрическое без использования предела с f (x) = журнал (х). Среднее значение мощности получается для f (x) = x.

Приложения

Обработка сигналов

Среднее значение мощности используется для нелинейного скользящего среднего, которое смещено в сторону малых значений сигнала для малых значений p и подчеркивает большие значения сигнала для большого p. При наличии эффективной реализации скользящего среднего арифметического , называемого smooth, можно реализовать скользящее среднее значение мощности в соответствии со следующим кодом Haskell.

powerSmooth :: Floating a =>([a] ->[a]) ->a ->[a] ->[a] powerSmooth smooth p = map (** получатель p). гладкий; плавный. map (** p)

Для большого p он может служить детектором конверта на исправленном сигнале.
Для малого p он может служить на масс-спектре.

См. также

Среднее арифметико-геометрическое
Среднее
Среднее по Герону
Неравенство средних арифметических и геометрических
Среднее по Лемеру - также относится к среднему значению в степени
Среднеквадратичное значение
расстояние Минковского

Примечания

^ Сикора, Станислав (2009). Математические средства и средние: основные свойства. 3 . Библиотека Стэна: Кастано Примо, Италия. doi : 10.3247 / SL3Math09.001.
^ П. С. Буллен: Справочник средств и их неравенства. Дордрехт, Нидерланды: Kluwer, 2003, стр. 175-177
^Weisstein, Eric W. «Power Mean». MathWorld.(получено 17 августа 2019 г.)
^Томпсон, Сильванус П. (1965). Исчисление стало проще. Международное высшее образование Macmillan. п. 185. ISBN 9781349004874. Проверено 5 июля 2020 г.
^Джонс, Алан Р. (2018). Вероятность, статистика и другие пугающие вещи. Рутледж. п. 48. ISBN 9781351661386. Проверено 5 июля 2020 г.
^Если AC = a и BC = b. OC = AM a и b, и радиус r = QO = OG.. Используя теорему Пифагора, QC² = QO² + OC² ∴ QC = √QO² + OC² = QM.. Используя теорему Пифагора, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √OC² - OG² = GM.. Используя похожие треугольники, HC / GC = GC / OC ∴ HC = GC² / OC = HM.

Ссылки и дополнительная литература

P. С. Буллен: Справочник средств и их неравенств. Дордрехт, Нидерланды: Kluwer, 2003, глава III (Силовые средства), стр. 175-265

Внешние ссылки