Доказательство без слов

редактировать

Доказательство без слов теоремы Никомаха (Gulley (2010) ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFGulley2010 (help ))

В математике доказательство без слов является доказательством тождества или математического утверждения, которое может быть продемонстрировано как самоочевидное с помощью диаграммы без какого-либо сопровождающего пояснительного текста. Такие доказательства могут считаться более элегантными, чем формальные или математически строгие из-за их самоочевидный характер. Когда диаграмма демонстрирует частный случай общего утверждения, чтобы быть доказательством, оно должно быть обобщаемым.

Содержание

1 Примеры
- 1.1 Сумма нечетных чисел
- 1.2 Пифагорова теорема
- 1.3 Неравенство Дженсена
2 Использование
3 См. также
4 Примечания
5 Ссылки

Примеры

Сумма нечетных чисел

Доказательство без w теорема о сумме нечетных чисел.

Утверждение, что сумма всех положительных нечетных чисел до 2n - 1 является полным квадратом - более конкретно, полный квадрат n - может быть продемонстрирован без слов, как показано справа. Первый квадрат состоит из 1 блока; 1 - это первый квадрат. Следующая полоса, состоящая из белых квадратов, показывает, как добавление еще трех блоков дает еще один квадрат: четыре. Следующая полоса, состоящая из черных квадратов, показывает, как добавление еще 5 блоков образует следующий квадрат. Этот процесс можно продолжать бесконечно.

Теорема Пифагора

Доказательство без слов для теоремы Пифагора, полученной в Zhoubi Suanjing.

Теорема Пифагора может быть доказана без слов, как показано на второй диаграмме на оставил. Два разных метода определения площади большого квадрата дают соотношение

a 2 + b 2 = c 2 {\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}

a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}

между сторонами. Это доказательство более тонкое, чем приведенное выше, но его все же можно считать доказательством без слов.

Неравенство Дженсена

Графическое доказательство неравенства Дженсена.

Неравенство Дженсена также можно доказать графически, как показано на третьей диаграмме. Пунктирная кривая по оси X - это гипотетическое распределение X, а пунктирная кривая по оси Y - соответствующее распределение значений Y. Обратите внимание, что выпуклое отображение Y (X) все больше «растягивает» распределение для увеличения значений X.

Использование

Визуальное доказательство теоремы Де Брейна о том, что 6 × 6 × 6 коробка не может быть полностью заполнена кубоидами 1 × 2 × 4: каждый кубоид занимает ровно 4 белых и 4 черных куба, но белых кубиков больше, чем черных

Mathematics Magazine и College Mathematics Journal запустите обычную функцию под названием «Доказательство без слов», содержащую, как следует из названия, доказательства без слов. На веб-сайтах The Art of Problems и USAMTS используются Java-апплеты, иллюстрирующие доказательства без слов.

См. Также

На Викискладе есть материалы, связанные с Доказательство без слов.