Войти
Теорема Мамикона - площади касательных кластеров равны. Здесь исходная кривая с проведенными на ней касательными представляет собой полукруг. Визуальное исчисление, изобретенное Мамиконом Мнацаканяном (известное как Мамикон), представляет собой подход к решению множества интегральное исчисление задачи. Многие проблемы, которые в противном случае казались бы довольно сложными, поддаются методу без каких-либо расчетов, часто напоминающих то, что Мартин Гарднер называет «ага! Решениями» или Роджер Нельсен доказательством без слов.
Иллюстрация метода Мамикона, показывающая, что площади двух колец с одинаковой длиной хорды одинаковы независимо от внутреннего и внешнего радиусов. Мамикон разработал свой метод в 1959 году, будучи студентом, сначала применив его к известной геометрической задаче: найти площадь кольца ( кольцевое пространство ) с учетом длины хорды, касательной к внутренней окружности. (Возможно, что удивительно, дополнительная информация не требуется; решение не зависит от внутренних и внешних размеров кольца.)
Традиционный подход включает алгебру и применение теоремы Пифагора. Однако метод Мамикона предусматривает альтернативную конструкцию кольца: сначала рисуется только внутренний круг, затем проводится касательная постоянной длины, проходящая по его окружности, «сметая» кольцо по мере его движения.
Теперь, если все касательные (постоянной длины), используемые при построении кольца, сдвинуты так, чтобы их точки касания совпадали, в результате получится круговой диск известного радиуса (и легко вычисляемой площади). В самом деле, поскольку радиус внутреннего круга не имеет значения, можно было бы с таким же успехом начать с круга с нулевым радиусом (точка) - и выметание кольца по кругу с нулевым радиусом неотличимо от простого поворота отрезка прямой вокруг одного из его конечные точки и заметив диск.
Проницательность Мамикона заключалась в признании эквивалентности двух конструкций; и поскольку они эквивалентны, они дают равные площади. Более того, пока дана постоянная касательная длина, две начальные кривые не обязательно должны быть круговыми - открытие, которое нелегко доказать более традиционными геометрическими методами. Это дает теорему Мамикона :
Том Апостол создал очень удобочитаемое введение в предмет. В нем он показывает, что задачи по нахождению площади циклоиды и трактрисы могут быть решены очень маленькими студентами. «Более того, новый метод также решает некоторые проблемы, неразрешимые с помощью исчисления, и допускает множество невероятных обобщений, еще неизвестных в математике». Он также упоминает, что сочетание метода Мамикона с геометрическим решением дает новое доказательство теоремы Пифагора. Решения многих других проблем можно найти на сайте Mamikon Visual Calculus.
Определение площади циклоиды с использованием теоремы Мамикона. Площадь циклоиды можно вычислить, учитывая площадь между ним и охватывающим прямоугольником. Эти касательные можно объединить в круг. Если круг, образующий циклоиду, имеет радиус r, то этот круг также имеет радиус r и площадь πr. Площадь прямоугольника 2r × 2πr = 4πr. Следовательно, площадь циклоиды равна 3πr: она в 3 раза больше площади образующего круга.
Касательный кластер можно рассматривать как окружность, потому что циклоида создается окружностью, а касательная к циклоиде будет проходить под прямым углом к линии, соединяющей точку образования и точку качения. Таким образом, касательная и прямая к точке контакта образуют прямоугольный треугольник в образующей окружности. Это означает, что сгруппированные вместе касательные будут описывать форму образующей окружности.
