Tractrix

Кривая, начерченная точка, протянутая через сегмент фиксированной длины точкой, движущейся по линии

A трактрисы (от латинского глагола trahere «тянуть, перетаскивать»; множественное число: трактрисы ) - кривая , по которой объект движется под действием трения, когда его тянут на горизонтальной плоскости отрезком линии , прикрепленным к трактору (тянущее) точка, которая перемещается под прямым углом к ​​исходной линии между объектом и съемником с бесконечно малой скоростью. Следовательно, это кривая преследования. Впервые он был представлен Клодом Перро в 1670 году, а позже изучен Исааком Ньютоном (1676) и Христианом Гюйгенсом (1692).

Трактрикс с объектом изначально в (4,0)

• 1 Математическое происхождение
• 2 Основа трактрисы
• 3 Свойства
• 4 Практическое применение
• 5 Волочильные машины
• 6 См. также
• 7 Примечания
• 8 Ссылки
• 9 Внешние ссылки

Предположим, что объект помещен в (a, 0) (или (4,0) в примере, показанном справа), а съемник в исходной точке , поэтому a - длина вытяжной резьбы (4 в примере справа). Затем съемник начинает движение по оси y в положительном направлении. В любой момент резьба будет касаться кривой y = y (x), описываемой объектом, так что она полностью определяется движением съемника. Математически, если координаты объекта равны (x, y), координата y съемника будет y + sign (y) √a - x по теореме Пифагора. Запись, что наклон резьбы равен наклону касательной к кривой, приводит к дифференциальному уравнению

$dydx\; =\; \pm \; a\; 2\; -\; x\; 2\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\; ^\; \{2\}\; -x\; ^\; \{2\}\}\}\; \{x\}\}\}$

с начальным условием y (a) = 0. Его решение:

$y\; =\; \int \; xaa\; 2\; -\; T\; 2\; tdt\; =\; \pm \; (a\; ln\; \; a\; +\; a\; 2\; -\; x\; 2\; x\; -\; a\; 2\; -\; x\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{x\}\; ^\; \{a\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\; ^\; \{2\}\; -t\; ^\; \{2\}\}\}\; \{t\}\}\; \backslash ,\; dt\; =\; \backslash \; pm\; \backslash \; left\; (a\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; frac\; \{a\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\; ^\; \{2\}\; -x\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \{x\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\; ^\; \{2\}\; -x\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right),\}$

где знак ± зависит от направления (положительного или отрицательного) движения съемника.

Первый член этого решения можно также записать

$a\; arsech\; \; xa,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; operatorname\; \{arsech\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{a\}\},\}$

где arsech - функция обратного гиперболического секанса.

Знак перед решением зависит от того, движется съемник вверх или вниз. Обе ветви принадлежат трактрису и встречаются в точке куспида (a, 0).

Существенным свойством трактрисы является постоянство расстояния между точкой P на кривой и пересечением касательной в точке P с асимптота кривой.

Трактрису можно рассматривать по-разному:

1. Это геометрическое место центра гиперболической спирали, катящейся (без заноса) по прямой.
2. Это эвольвента функции цепной линии, которая описывает полностью гибкую, неупругую однородную струну, прикрепленную к двум точкам, которая подвергается воздействию гравитационного поле. Контактная цепь имеет уравнение y (x) = a cosh x / a.
3. Траектория, определяемая серединой задней оси автомобиля, тянущего по тросу с постоянной скоростью и с постоянным направлением (первоначально перпендикулярно к транспортному средству).
4. Это (нелинейная) кривая, в которой круг, катящийся по прямой линии, всегда пересекает перпендикулярно.

Трактрикс, созданный концом шеста (лежащего на плоской поверхности). земля). Другой ее конец сначала толкается, а затем перетаскивается пальцем, когда он вращается в одну сторону.

Функция допускает горизонтальную асимптоту. Кривая симметрична относительно оси y. Радиус кривизны r = люлька x / y.

Важным следствием трактрисы было изучение ее поверхности вращения вокруг ее асимптоты: псевдосферы. Изученная Эудженио Бельтрами в 1868 году, псевдосфера как поверхность постоянной отрицательной гауссовой кривизны является локальной моделью гиперболической геометрии. Эта идея была продолжена Каснером и Ньюманом в их книге «Математика и воображение», где они показывают игрушечный поезд, тащащий карманные часы для создания трактрисы.

Связь как эволюция трактрисы

• Кривая может быть параметризована уравнением $x\; =\; t\; -\; tanh\; \; (t),\; y\; =\; 1\; /\; cosh\; \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; t-\; \backslash \; tanh\; (t),\; y\; =\; 1\; /\; \{\backslash \; cosh\; (t)\}\}$.
• Из-за геометрического определения, трактрикс обладает тем свойством, что сегмент его касательной между асимптотой и точкой касания имеет постоянную длину a.
• Длина дуги одной ветви между x = x 1 и x = x 2 является ln x 1/x2.
• Площадь между трактрисой и ее асимптотой равна πa / 2, которую можно найти с помощью интегрирования или теорема Мамикона.
• огибающая нормалей трактрисы (то есть эволюция трактрисы) - это цепная связь (или цепная кривая), задаваемая y = a cosh x / a.
• Поверхность вращения, созданная путем вращения трактрисы вокруг своей асимптоты, является псевдосферой.

В 1927 году компания PGAH Voigt запатентовала рупорный громкоговоритель . конструкция пика основана на предположении, что волновой фронт, проходящий через рупор, имеет сферическую форму постоянного радиуса. Идея состоит в том, чтобы минимизировать искажения, вызванные внутренним отражением звука внутри рупора. Полученная форма представляет собой поверхность вращения трактрисы.. Важное применение - технология формовки листового металла. В частности, профиль tractrix используется для угла штампа, на котором листовой металл изгибается во время глубокой вытяжки.

A зубчатый ремень конструкция шкива обеспечивает повышенную эффективность для механической передачи энергии с использованием формы цепной цепи tractix для его зубьев.. Такая форма сводит к минимуму трение зубцов ремня, зацепляющих шкив, поскольку подвижные зубья входят в зацепление и расцепляются с минимальным скользящим контактом. В оригинальных конструкциях ремня ГРМ использовались более простые трапециевидные или круглые зубья, которые вызывали значительное скольжение и трение.

• В октябре-ноябре 1692 года Христиан Гюйгенс описал три трактрисовых машины.
• В 1693 году Готфрид Вильгельм Лейбниц разработал «универсальную тяговую машину». которая теоретически может интегрировать любое дифференциальное уравнение. Концепция представляла собой аналоговый вычислительный механизм, реализующий принцип тяги. Устройство было непрактично построить с использованием технологий времен Лейбница, и оно никогда не было реализовано.
• В 1706 году построили тяговую машину, чтобы реализовать гиперболический квадрат.
• В 1729 году было построено тяговое устройство, позволяющее рисовать логарифмические функции.

Историю всех этих машин можно увидеть в статье Х. JM Bos

• поверхность Дини
• Гиперболические функции для tanh, sech, csch, arcosh
• Натуральный логарифм для ln
• Знаковая функция для sgn
• Тригонометрическая функция для sin, cos, tan, arccot, csc

• Kasner, Edward; Ньюман, Джеймс (1940). Математика и воображение. Саймон и Шустер. п. 141–143.
• Лоуренс, Дж. Деннис (1972). Каталог специальных плоских кривых. Dover Publications. С. 5, 199. ISBN 0-486-60288-5.

Викискладе есть медиафайлы, связанные с Tractrix.

• О'Коннор, Джон Дж. ; Робертсон, Эдмунд Ф., "Tractrix", Архив истории математики MacTutor, Университет Сент-Эндрюс.
• "Tractrix". PlanetMath.
• «Знаменитые кривые на плоскости». PlanetMath.
• Tractrix на MathWorld
• Модуль: карманные часы Лейбница ODE на PHASER