Тригонометрические функции

редактировать
Функции угла Основа тригонометрии: если два прямоугольных треугольника равны острой углы, аналогны, поэтому их длины сторон пропорциональны. На изображении записаны константы пропорциональности : sin θ, cos θ, tan θ, где θ - стандартная мера пяти острых углов.

В математике, тригонометрические функции (также называемые круговые функции, угловыми функциями или гониометрическими функциями ) являются действительными функциями, которые связывают угол прямоугольный треугольник в использовании двух сторон. Они широко используются во всех науках, связанных с геометрией, таких как навигация, механика твердого тела, небесная механика, геодезия и многие другие. Они также используются для изучения периодических явлений посредством анализа периода Фурье.

. Наиболее широко используемыми тригонометрическими используемыми функциями являются синус, косинус и тангенс . Их обратные величины представляют собой соответственно косеканс, секанс и котангенс, которые менее используются в современной математике. Из этих тригонометрических функций имеет соответствующую обратную функцию (называемую обратную тригонометрическую функцию ), эквивалентную в гиперболических функциях.

Самые старые определения тригонометрические функции, относящиеся к прямоугольным треугольникам, определяют их только для острых углов. Чтобы распространить определение этих функций, область, которая представляет собой проективно расширенную вещественную линию, геометрические определения с использованием стандартной единичной окружности (т. Е. Окружности с радиус 1 ед.). Современные определения тригонометрических функций как бесконечный ряд или как решения дифференциальных уравнений. Это позволяет определить некоторые синусоидальные и косинусные функции на всей комплексной плоскости , а также в области других тригонометрических функций на комплексной плоскости (из которых удалены изолированные точки).

Содержание

  • 1 Определения прямоугольного треугольника
  • 2 Радианы в зависимости от градусов
  • 3 Определения единичного круга
  • 4 Алгебраические значения
    • 4.1 Простые алгебраические значения
  • 5 В исчислении
    • 5.1 Определение с помощью дифференциальных уравнений
    • 5.2 Расширение степенной ряд
    • 5.3 Разложение на частичную дробь
    • 5.4 Разложение на бесконечное произведение
    • 5.5 Связь с экспоненциальной функцией (формула Эйлера)
    • 5.6 Определения с использованием функциональных уравнений
    • 5.7 В комплексной плоскости
  • 6 Основные тождества
    • 6.1 Четкость
    • 6.2 Периоды
    • 6.3 Пифагорова идентичность
    • 6.4 Формулы суммы и разности
    • 6.5 Производные и первообразные
  • 7 Обратные функции
  • 8 Применение
    • 8.1 Углы и стороны треугольника
      • 8.1.1 Закон синусов
      • 8.1.2 Закон косинусов
      • 8.1.3 Закон касательных
      • 8.1.4 Закон котангенсов
    • 8.2 Периодические функции
  • 9 История
  • 10 Этимология
  • 11 См. Также
  • 12 Примечания
  • 13 Ссылки
  • 14 Внешние ссылки

Определения прямоугольного треугольника

прямоугольный треугольник всегда включает угол 90 ° (π / 2 радиана), обозначенный здесь C. Углы A и B могут различаться. Тригонометрические функции определяют отношения между длинами сторон и внутренними углами прямоугольного треугольника. График тригонометрических функций, единичный круг и прямая для угла θ = 0,7 радиана. Точки, обозначенные 1, Sec (θ), Csc (θ), длина большого отрезка от начала координат до этой точки. Sin (θ), Tan (θ) и 1 - это высоты линии, начинающейся от оси x, а Cos (θ), 1 и Cot (θ) - длины вдоль оси x, начиная с начала координат.

В этом разделе одна и та же заглавная буква обозначает вершину треугольника и меру соответствующего угла; та же строчная буква обозначает край треугольника и его длину.

Учитывая острый угол A = θ прямоугольного треугольника, гипотенуза h - это, соединяющая два острых угла. Сторона b, связная с θ, - это сторона треугольника, соединяющего θ с прямым углом. Говорят, что третья сторона противоположна θ.

Если задан угол θ, то все стороны прямоугольного треугольника четко с точным до коэффициента масштабирования. Это означает, что соотношение любых двух длин сторон зависит только от θ. Таким образом, эти шесть шести определяют шесть функций от θ, которые являются тригонометрическими функциями. Точнее, шесть тригонометрических функций:

синус
грех ⁡ θ = ah = противогипотенуза {\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {a} {h}} = {\ frac {\ mathrm {напротив}} { \ mathrm {гипотенуза}}{\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {a} {h}} = {\ frac {\ mathrm {противоположный}} {\ mathrm {hypotenuse}}}}
косинус
cos ⁡ θ = bh = bh = гипотенуза {\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {b} {h}} = {\ frac {\ mathrm {смежная}} {\ mathrm {гипотенуза}}}{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {b} {h} } = {\ frac {\ mathrm {смежный}} {\ mathrm {hypotenuse}}}
касательная
загар ⁡ θ = ab = противоположный аналогичный {\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {a} {b}} = {\ frac {\ mathrm {напротив }} {\ mathrm {другой}}}}{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {a} {b}} = {\ frac {\ mathrm {напротив}} { \ mathrm {смежный}}}}
косеканс
csc ⁡ θ = ha = гипотенуза напротив {\ displaystyle \ csc \ theta = {\ frac {h} {a}} = {\ гидроразрыв {\ mathrm {гипотенуза}} {\ mathrm {напротив}}}}{\ displaystyle \ csc \ theta = {\ frac {h} {a}} = {\ frac {\ mathrm {hypotenuse}} { \ mathrm {напротив}}}}
секанс
сек ⁡ θ = hb = гипотенуза, вспомогательная {\ displaystyle \ sec \ theta = {\ frac {h} {b}} = { \ frac {\ mathrm {hypotenuse}} {\ mathrm {материальный}}}{\ displaystyle \ sec \ theta = {\ frac {h} { b}} = {\ frac {\ mathrm {гипотенуза}} {\ mathrm {смежный}}}}
котангенс
кроватка ⁡ θ = ba = противоположная противоположная {\ displaystyle \ cot \ theta = {\ frac {b} {a} знак р авно frac {\ mathrm {djacent}} {\ mathrm {Against}}}{\ displaystyle \ cot \ theta = {\ frac {b} {a}} = {\ frac {\ mathrm {смежный}} {\ mathrm {противоположный}}}}

В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов является прямым углом, то есть 90 ° или π 2 {\ textstyle {\ frac {\ pi } {2}}}{\ textstyle {\ frac {\ pi} {2}}} радианы.

Сводка взаимосвязей между тригонометрическими функциями
ФункцияАббревиатураОписаниеСвязь
с использованием радианы с использованием градусов
синусаsinпротивоположного направления / гипотенузыsin ⁡ θ = cos ⁡ (π 2 - θ) = 1 csc ⁡ θ { \ displaystyle \ sin \ theta = \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) = {\ frac {1} {\ csc \ theta}}}\ sin \ theta = \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {2}}- \ theta \ right) = {\ frac {1} {\ csc \ theta }} грех ⁡ Икс знак равно соз ⁡ (90 ∘ - Икс) знак равно 1 csc ⁡ Икс {\ Displaystyle \ х грех = \ соз \ влево (90 ^ {\ circ} -x \ вправо) = {\ гидроразрыва {1} {\ csc х }}}{\ displaystyle \ sin x = \ cos \ left (90 ^ {\ circ} -x \ right) = {\ frac {1} {\ csc x}}}
косинусcosконструктивный / гипотенузаcos ⁡ θ = грех ⁡ (π 2 - θ) = 1 секунда ⁡ θ {\ displaystyle \ cos \ theta = \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) = {\ frac {1} {\ sec \ th eta}} \,}\ cos \ theta = \ sin \ lef t ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) = {\ frac {1} {\ sec \ theta}} \, cos ⁡ x = sin ⁡ (90 ∘ - х) знак равно 1 сек ⁡ Икс {\ Displaystyle \ соз х = \ \ \ влево (90 ^ {грех} -x \ вправо) = {\ гидроразрыва {1} {\ sec x}} \,}{\ di splaystyle \ соз x = \ sin \ left (90 ^ {\ circ} -x \ right) = {\ frac {1} {\ sec x}} \,}
касательнаязагар (или tg)напротив / рядомзагар ⁡ θ = грех ⁡ θ ⁡ θ = детская кроватка ⁡ (π 2 - θ) = 1 детская кроватка ⁡ θ {\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ sin \ theta } {\ cos \ theta}} = \ cot \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) = {\ frac {1} {\ cot \ theta}}}\ tan \ theta = {\ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta}} = \ cot \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) = {\ frac {1} {\ cot \ theta}} загар ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x = кроватка ⁡ (90 ∘ - x) = 1 детская кроватка ⁡ x {\ displaystyle \ tan x = {\ frac {\ sin x} {\ cos x}} = \ cot \ left (90 ^ {\ circ} -x \ right) = {\ frac {1} {\ cot x}}{\ displaystyle \ tan x = {\ frac {\ sin x} {\ cos x}} = \ cot \ left (90 ^ {\ circ} -x \ right) = {\ frac {1} {\ cot x}}}
котангенсдетская кроватка (или котан, или cotg, или ctg, или ctn)родственная / противоположнаядетская кроватка ⁡ θ знак равно соз ⁡ θ грех ⁡ θ = загар ⁡ (π 2 - θ) = 1 загар ⁡ θ {\ Displaystyle \ cot \ theta = {\ frac { \ cos \ theta} { \ sin \ theta}} = \ tan \ слева ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) = {\ frac {1} {\ tan \ theta}}}\ cot \ theta = {\ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta}} = \ tan \ left ({\ frac { \ pi} {2}} - \ theta \ right) = {\ frac {1} {\ tan \ theta}} детская кроватка ⁡ x = cos ⁡ Икс грех ⁡ Икс = загар ⁡ (90 ∘ - x) = 1 загар ⁡ Икс {\ Displaystyle \ кроватка x = {\ frac {\ cos x} {\ sin x}} = \ tan \ left (90 ^ {\ circ} -x \ right) = {\ frac {1} {\ tan x}}}{\ displaystyle \ cot x = {\ frac {\ cos x} {\ sin x}} = \ tan \ left (90 ^ {\ circ} -x \ right) = {\ frac {1} {\ tan x}}}
секущаясекгипотенуза / вспомогательнаясек ⁡ θ знак равно csc ⁡ (π 2 - θ) знак равно 1 соз ⁡ θ {\ displa ystyle \ sec \ theta = \ csc \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) = {\ frac {1} {\ cos \ theta}}}\ sec \ theta = \ csc \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) = {\ frac {1} {\ cos \ theta}} сек ⁡ x = csc ⁡ (90 ∘ - x) = 1 соз ⁡ x {\ displaystyle \ sec x = \ csc \ left (90 ^ {\ circ} - x \ right) = {\ frac {1} {\ cos x}}}{\ displaystyle \ sec x = \ csc \ left (90 ^ {\ circ} -x \ right) = {\ frac {1} {\ cos x}}}
косекансcsc (или cosec)гипотенуза / противоположностьcsc ⁡ θ = sec ⁡ (π 2 - θ) знак равно 1 грех ⁡ θ {\ displaystyle \ csc \ theta = \ sec \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) = {\ frac {1} {\ sin \ theta}}}\ csc \ theta = \ sec \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) = {\ frac {1} {\ sin \ theta}} csc ⁡ x = sec ⁡ (90 ∘ - Икс) = 1 грех ⁡ Икс {\ Displ aystyle \ csc x = \ сек \ left (90 ^ {\ circ} -x \ right) = {\ frac {1} {\ sin x}}}{\ displaystyle \ csc x = \ sec \ left (90 ^ {\ circ} -x \ right) = { \ frac {1} {\ sin x}}}
Вверху: Тригон ометрическая функция sin θ для выбранных угловые θ, π - θ, π + θ и 2π - θ в четырех квадрантах.. Внизу: График зависимости синусоидальной функции от угла. Идентифицируются углы от верхней панели.

Радианы в сравнении с градусами

В геометрических приложениях аргумент тригонометрической функции обычно является мерой угла. Для этой цели удобна любая угловая единица, а углы обычно измеряются в градусах (особенно в элементарной математике ).

При использовании тригонометрической функции в исчислении их аргументом обычно является не угол, а действительное число . В этом случае более целесообразно выразить аргумент тригонометрии как дуги дуги единичной окружности , ограниченный угол с окружности в качестве вершины.. Следовательно, в качестве угловой единицы используется радиан : радиан - это угол, ограничивающий дугу длины 1 на единичной окружности. Таким образом, полный поворот на равным образом 2π радиан.

Большим преимуществом является упрощенная формула многих формул, как правило, всех производных и интегралов.

Из-за этого часто понимают что, когда угловая единица не указана явно, аргументы тригонометрических функций всегда выражаются в радианах.

Определения единичной окружности

На шесть тригонометрических функций произвольного угла θ как представлены декартовы координаты точек, относящихся к единичной окружности. Ординаты A, B и D равны sin θ, tan θ и csc θ, соответственно, а абсциссы A, C и E - cos θ, cot θ и sec θ соответственно. Знаки тригонометрических функций в каждом квадрант. Мнемоника «все science t eachers (are) c razy» перечисляет положительные функции от квадрантов I до IV. Это вариант мнемоники «Все учащиеся проводят исчисление ".

Шесть тригонометрических функций могут быть как значения координат точек на евклидовой плоскости, которые связаны с единичной окружностью, которая является окружностью радиуса один с центром в начале этой системы. В то время как определения прямоугольного треугольника допускают определение тригонометрических функций для углов между 0 и π 2 {\ textstyle {\ frac {\ pi} {2}}}{\ textstyle \ frac {\ pi} {2} } радиан ( 90 °). Определения единичной окружности допускают область тригонометрических функций на все положительные и отрицательные действительные обязанности.

Вращение луча от направления положительной половины оси x на угол θ (против часовой стрелки для θ>0, {\ displaystyle \ theta>0,}{\displaystyle \theta>0,} и clockwis e для θ < 0 {\displaystyle \theta <0}{\ displaystyle \ theta <0}) дает точки пересечения этого луча (см. рисунок) с единичной окружностью: A = (x A, y A) {\ displaystyle \ mathrm {A} = (x _ {\ mathrm { A}}, y _ {\ mathrm {A}})}{\ Displaystyle \ mathrm {A} = (x _ {\ mathrm {A}}, y _ {\ mathrm {A}})} , и, расширив луч до линии, если необходимо, с линией «x = 1»: B = (x B, y B), {\ displaystyle {\ text {«}} x = 1 {\ text {»}}: \; \ mathrm {B} = (x _ {\ mathrm {B}}, y _ {\ mathrm {B }}),}{\ displaystyle {\ text {«}} x = 1 {\ text {»}}: \; \ mathrm {B} = (x _ {\ mathrm {B} }, y _ {\ mathrm {B}}),} и строкой «y = 1»: C = (x C, y C). {\ Displaystyle {\ text {«}} y = 1 {\ text {» }}: \; \ mathrm {C} = (x _ {\ mathrm {C}}, y _ {\ mathrm {C}}).}{\ displaystyle {\ text {«}} y = 1 {\ text {»}}: \; \ mathrm {C} = (x _ {\ mathrm {C}}, y _ {\ mathrm {C}}).} Касательная линия к единичной окружности в точке A, которая ортогональна этому лучу, пересек а ет оси y и x в точках D = (0, y D) {\ displaystyle \ mathrm {D} = (0, y _ {\ mathrm {D}})}{\ displaystyle \ mathrm {D} = (0, y _ {\ mathrm {D}})} и E = (x E, 0) {\ displaystyle \ mathrm {E} = (x _ {\ mathrm {E}}, 0)}{\ displaystyle \ mathrm {E} = (x _ {\ math rm {E} }, 0)} . Значения координат этих точек дают все усилительные значения тригонометрических функций для произвольных значений θ следующим образом.

Тригонометрические функции cos и sin соответственно как координаты x и y точки A. То есть

cos ⁡ θ = x A {\ displaystyle \ cos \ theta = x _ {\ mathrm {A}} \ quad }{\ displaystyle \ cos \ theta = x _ {\ mathrm {A}} \ quad} и грех ⁡ θ = Y A. {\ displaystyle \ quad \ sin \ theta = y _ {\ mathrm {A}}.}{\ displaystyle \ quad \ sin \ theta = y _ {\ mathrm {A}}.}

В диапазоне 0 ≤ θ ≤ π / 2 {\ displaystyle 0 \ leq \ theta \ leq \ pi / 2}0 \ le \ theta \ le \ pi / 2 , это определение совпадает с определением прямоугольного треугольника, в котором прямоугольный треугольник принимает единичный радиус OA как гипотенузу. И поскольку уравнение x 2 + y 2 = 1 {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}x ^ {2} + y ^ {2} = 1 выполнено для всех точек P = (x, y) {\ displaystyle \ mathrm {P} = (x, y)}{\ displaystyle \ mathrm {P} = (x, y)} на единичной окружности, это определение косинуса и синуса также удовлетворяет тождеству Пифагора

cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1. {\ displaystyle \ cos ^ {2} \ theta + \ sin ^ {2} \ theta = 1.}{\ displaystyle \ cos ^ {2} \ theta + \ sin ^ {2} \ theta = 1.}

Другие тригонометрические функции можно найти вдоль единичной окружности как

tan ⁡ θ знак равно YB {\ displaystyle \ tan \ theta = y _ {\ mathrm {B}} \ quad}{\ displaystyle \ tan \ theta = y _ {\ mathrm {B}} \ quad} и детская кроватка ⁡ θ = x C, {\ displaystyle \ quad \ cot \ theta = x _ {\ mathrm {C}},}{\ displaystyle \ quad \ cot \ theta = x _ {\ mathrm {C}},}
csc ⁡ θ = y D {\ displaystyle \ csc \ theta \ = y _ {\ mathrm {D}} \ quad}{\ displaystyle \ csc \ theta \ = y _ {\ mathrm {D}} \ quad} и сек. ⁡ θ = х E. {\ displaystyle \ quad \ sec \ theta = x _ {\ mathrm {E}}.}{\ displaystyle \ quad \ sec \ theta = x _ {\ mathrm {E}}.}

Применяя методы пифагорова тождества и геометрического доказательства, можно легко показать, что эти определения совпадают с определениями касательной, котангенса, секанса и косеканс в терминах синуса и косинуса, то есть

tan ⁡ θ = sin ⁡ θ cos ⁡ θ, cot ⁡ θ = cos ⁡ θ sin ⁡ θ, sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ, csc ⁡ θ = 1 грех ⁡ θ. {\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta}}, \ quad \ cot \ theta = {\ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta}}, \ quad \ sec \ theta = {\ frac {1} {\ cos \ theta}}, \ quad \ csc \ theta = {\ frac {1} {\ sin \ theta}}.}{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta}}, \ quad \ cot \ theta = {\ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta}}, \ quad \ sec \ theta = {\ гидроразрыва {1} {\ cos \ theta}}, \ quad \ csc \ theta = {\ frac {1} {\ sin \ theta}}.}
Тригонометрические функции: синус, Косинус, тангенс, косеканс (пунктир), секанс (пунктир), котангенс (пунктир) - анимация

Так как поворот на угол ± 2 π {\ displaystyle \ pm 2 \ pi}{\ displaystyle \ pm 2 \ pi} не изменяет положение или размер фигуры, точки A, B, C, D и E одинаковы для двух углов, разность которых кратна 2 π {\ displaystyle 2 \ pi}2 \ pi . Таким образом, тригонометрические функции - это периодические функции с периодом 2 π {\ displaystyle 2 \ pi}2 \ pi . То есть, равенство

грех ⁡ θ = грех ⁡ (θ + 2 к π) {\ displaystyle \ sin \ theta = \ sin \ left (\ theta + 2k \ pi \ right) \ quad}{\ displaystyle \ sin \ theta = \ sin \ left (\ theta + 2k \ pi \ right) \ quad} и соз ⁡ θ = соз ⁡ (θ + 2 к π) {\ displaystyle \ quad \ cos \ theta = \ cos \ left (\ theta + 2k \ pi \ right)}{\ displaystyle \ quad \ cos \ theta = \ cos \ left (\ theta + 2k \ pi \ right)}

для любого угла θ и любое целое число k. То же самое и с четырьмя другими тригонометрическими функциями. Наблюдая за знаком и монотонностью функций синуса, косинуса, косеканса и секанса в четырех квадрантах, можно показать, что 2π - наименьшее значение, для которого они периодичны (т. Е. 2π - это основной период этих функций). После поворота на угол π {\ displaystyle \ pi}\ pi точки B и C уже возвращаются в свое исходное положение, однако эта функция тангенса и функция котангенса имеют основной период из π. То есть, равенство

загар ⁡ θ = загар ⁡ (θ + к π) {\ displaystyle \ tan \ theta = \ tan (\ theta + k \ pi) \ quad}{\ displaystyle \ tan \ theta = \ tan (\ theta + k \ pi) \ quad} и детская кроватка ⁡ θ = детская кроватка ⁡ (θ + k π) {\ displaystyle \ quad \ cot \ theta = \ cot (\ theta + k \ pi)}{\ displaystyle \ quad \ cot \ theta = \ cot (\ theta + k \ pi)}

удерживается для любого угла θ и любого целого числа k.

Алгебраические значения

единичный круг, с некоторыми точками, помеченными их косинусом и синусом (в этом порядке), и углами в радианах и градусах.

608>алгебраические выражения для наиболее важных углов:

грех ⁡ 0 = грех ⁡ 0 ∘ = 0 2 = 0 {\ displaystyle \ sin 0 = \ sin 0 ^ {\ circ} \ quad = { \ frac {\ sqrt {0}} {2}} = 0}{\ displaystyle \ sin 0 = \ sin 0 ^ {\ circ} \ quad = {\ frac {\ sqrt {0}} {2}} = 0} (прямой угол )
грех ⁡ π 6 = грех ⁡ 30 ∘ = 1 2 = 1 2 {\ displaystyle \ sin {\ frac {\ pi } {6}} = \ sin 30 ^ {\ circ} = {\ frac {\ sqrt {1}} {2}} = {\ frac {1} {2}}}{\ displaystyle \ sin {\ frac {\ pi} {6}} = \ sin 30 ^ {\ circ} = {\ frac {\ sqrt { 1}} {2}} = {\ frac {1} {2}}}
sin ⁡ π 4 = грех ⁡ 45 ∘ знак равно 2 2 {\ displaystyle \ sin {\ frac {\ pi} {4}} = \ sin 45 ^ {\ circ} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}{\ displaystyle \ sin {\ frac {\ pi} {4}} = \ sin 45 ^ {\ circ} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}
⁡ π 3 = грех ⁡ 60 ∘ = 3 2 {\ displaystyle \ sin {\ frac {\ pi} {3}} = \ sin 60 ^ {\ circ} = {\ frac {\ sqrt {3}} {2 }}}{\ displaystyle \ sin {\ frac {\ pi} {3}} = \ sin 60 ^ {\ circ} = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}
грех ⁡ π 2 = грех ⁡ 90 ∘ = 4 2 = 1 {\ displaystyle \ sin {\ frac {\ pi} {2}} = \ sin 90 ^ {\ circ} = {\ frac { \ sqrt {4}} {2}} = 1}{\ displaystyle \ sin {\ frac {\ pi} {2}} = \ sin 90 ^ {\ circ} = { \ frac {\ sqrt {4}} {2}} = 1} (прямой угол )

Запись числителей в виде последовательных неотрицательных целых со знаменателем 2 простой способ запомнить значения.

Такие простые выражения обычно не существуют для других углов, которые используют рациональные прямые прямые границы. Для угла, который измеряется в градусах и кратен трем, синус и косинус могут быть выражены в виде квадратных корней, см. Тригонометрические константы, выраженные в действительных радикалах. Таким образом, эти значения синуса и косинуса могут быть построены с помощью линейки и компаса.

. Для угла в целое число градусов синус и косинус могут быть выражены в виде квадратных корней и кубический корень из не действительного комплексного числа. Теория Галуа позволяет доказать, что, если угол не кратен 3 °, нереальные кубические корни неизбежны.

Для угла, который измеряется в градусах, является рациональным числом, синус и косинус являются алгебраическими числами, которые могут быть выражены в терминах корни n-й степени. Это является следствием того факта, что группы Галуа из циклотомических многочленов являются циклическими.

. Для угла, который измеряется в градусах, не является рациональным числом, либо угол или оба синуса, и косинуса являются трансцендентными числами. Это следствие теоремы Бейкера, доказанной в 1966 году.

Простые алгебраические значения

В приведенной таблице представлены простейшие алгебраические значения тригонометрических функций. Символ ∞ представляет собой бесконечно удаленную точку на проективно удлиненной вещественной прямой ; он не подписан, потому что, когда он указывает в таблице, соответствующая тригонометая функция стремится к + ∞ с одной стороны и к –∞ с другой стороны, когда он указывает в таблице значению.

Радианная степень 0 0 ∘ π 12 15 ∘ π 8 22,5 ∘ π 6 30 ∘ π 4 45 ∘ π 3 60 ∘ 3 π 8 67,5 ∘ 5 π 12 75 ∘ π 2 90 ∘ sin 0 6 - 2 4 2 - 2 2 1 2 2 2 3 2 2 + 2 2 6 + 2 4 1 cos 1 6 + 2 4 2 + 2 2 3 2 2 2 1 2 2 - 2 2 6-2 4 0 tan 0 2 - 3 2 - 1 3 3 1 3 2 + 1 2 + 3 ∞ детская кроватка ∞ 2 + 3 2 + 1 3 1 3 3 2 - 1 2 - 3 0 сек 1 6 - 2 2 2 - 2 2 3 3 2 2 2 2 + 2 6 + 2 ∞ csc ∞ 6 + 2 2 2 + 2 2 2 2 3 3 2 2 - 2 6 - 2 1 {\ displaystyle {\ begin {array} {| c | ccccccccc |} \ hline {\ begin {matrix} {\ text {Radian}} \\ {\ text {Degree}} \ end {matrix}} {\ begin {matrix} 0 \\ 0 ^ {\ circ} \ end {matrix}} {\ begin {matrix} {\ frac {\ pi} {12}} \\ 15 ^ {\ circ} \ end {matrix}} {\ begin {matrix} {\ frac {\ pi } {8}} \\ 22.5 ^ {\ circ} \ end {matrix}} {\ begin {matrix} {\ frac {\ pi} {6}} \\ 30 ^ {\ circ} \ end {matrix} } {\ begin {matrix} {\ frac {\ pi} {4}} \\ 45 ^ {\ circ} \ end {matrix}} {\ begin {matrix} {\ frac {\ pi} {3} } \\ 60 ^ {\ circ} \ end {матрица}} {\ begin {matrix} {\ frac {3 \ pi} {8}} \\ 67.5 ^ {\ circ} \ end {matrix}} { \ begin {matrix} {\ frac {5 \ pi} {12}} \\ 75 ^ {\ circ} \ end {matrix}} {\ begin {matrix} {\ frac {\ pi} {2}} \ \ 90 ^ {\ cir c} \ end {matrix}} \\\ hline \ sin 0 {\ frac {{\ sqrt {6}} - {\ sqrt {2}}} {4}} и {\ frac {\ sqrt {2- {\ sqrt {2}}}} {2}} и {\ frac {1} {2}} и {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} и {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} и {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} {2}} и {\ frac {{\ sqrt {6}} + {\ sqrt {2}}} {4}} 1 \\\ cos 1 {\ frac {{\ sqrt {6}} + {\ sqrt {2}}} {4}} и {\ frac { \ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} {2}} и {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} и {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} и { \ frac {1} {2}} и {\ frac {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2}}}} {2}} и {\ frac {{\ sqrt {6}} - {\ sqrt {2 }}} {4}} 0 \\\ tan 0 2- {\ sqrt {3}} {\ sqrt {2}} - 1 {\ frac {\ sqrt {3}} {3}} 1 {\ sqrt {3}} {\ sqrt {2}} + 1 и 2 + {\ sqrt {3}} \ infty \\\ cot \ infty 2 + {\ sqrt {3}} {\ sqrt {2}} + 1 {\ sqrt {3}} 1 {\ frac {\ sqrt {3}} {3}} {\ sqrt {2}} - 1 и 2 - {\ sqrt {3}} 0 \\\ sec 1 {\ sqrt {6}} - {\ sqrt {2}} и {\ sqrt {2}} {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2}} }} и {\ frac {2 {\ sqrt {3}}} {3}} и {\ sqrt {2}} и 2 и {\ sqrt {2}} {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2} }}} и {\ sqrt {6}} + {\ sqrt {2}} \ infty \\\ csc \ infty {\ sqrt {6}} + {\ sqrt {2}} и {\ sqrt { 2}} {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} и 2 и {\ sqrt {2}} и {\ frac {2 {\ sqrt {3}}} {3}} и {\ sqrt {2}} {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2}}}} и {\ sqrt { 6}} - {\ sqrt {2}} 1 \\\ hline \ end {array}}}{\ displaystyle {\ begin {array} {| c | ccccccccc |} \ hline {\ begin {matrix} {\ text {Radian}} \\ {\ текст {Степень}} \ end {matrix}} {\ begin {matrix} 0 \\ 0 ^ {\ circ} \ end {matrix}} {\ begin {matrix} {\ frac {\ pi} {12} } \\ 15 ^ {\ circ} \ end {matrix}} {\ begin {matrix} {\ frac {\ pi} {8}} \\ 22.5 ^ {\ circ} \ end {matrix}} {\ begin {matrix} {\ frac {\ pi} {6}} \\ 30 ^ {\ circ} \ end {matrix}} {\ begin {matrix} {\ frac {\ pi} {4}} \\ 45 ^ {\ circ} \ end {matrix}} {\ begin {matrix} {\ frac {\ pi} {3}} \\ 60 ^ {\ circ} \ end {matrix}} {\ begin {matrix} {\ frac {3 \ pi} {8}} \\ 67.5 ^ {\ circ} \ end {matrix}} {\ begin {matrix} {\ frac {5 \ pi} {12}} \\ 75 ^ { \ circ} \ end {matrix}} {\ begin {матрица } {\ frac {\ pi} {2}} \\ 90 ^ {\ circ} \ end {matrix}} \\\ hline \ sin 0 {\ frac {{\ sqrt {6}} - {\ sqrt {2 }}} {4}} {\ frac {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2}}}} {2}} и {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ sqrt {2 }} {2}} {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} {2}} и {\ frac {{ \ sqrt {6}} + {\ sqrt {2}}} {4}} 1 \\\ cos 1 {\ frac {{\ sqrt {6}} + {\ sqrt {2}}} {4}} {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} {2}} и {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} и {\ frac {\ sqrt {2}} {2 }} {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2}}}} {2}} {\ frac {{\ sqrt {6}} - { \ sqrt {2}}} {4}} 0 \\\ tan 0 2 - {\ sqrt {3}} {\ sqrt {2}} - 1 {\ frac {\ sqrt {3}} {3}} 1 {\ sqrt {3}} {\ sqrt {2}} + 1 2 + {\ sqrt {3}} \ infty \\\ cot \ infty 2 + {\ sqrt {3}} {\ sqrt {2}} +1 {\ sqrt {3}} 1 {\ frac {\ sqrt {3}} {3}} {\ sqrt {2}} - 1 и 2 - {\ sqrt {3}} 0 \\\ sec 1 {\ sqrt {6}} - {\ sqrt {2}} и {\ sqrt {2}} {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2}}}} и {\ frac {2 {\ sqrt {3}}} {3}} {\ sqrt {2}} 2 {\ sqrt {2}} {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} и {\ sqrt {6}} + {\ sqrt {2} } \ infty \\\ csc \ infty {\ sqrt {6}} + {\ sqrt {2}} {\ sqrt {2}} {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} 2 {\ sqrt {2}} {\ frac {2 {\ sqrt {3}}} {3}} {\ sqrt {2}} {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2}}}} {\ sqrt { 6}} - {\ sqrt {2}} 1 \\\ hline \ end {array}}}

В исчислении

синусоидальная функция (синяя) близко аппроксимируется ее Тейлором многочлен степени 7 (розовый) для полного цикла с начала координат. Анимация для аппроксимации косинуса с помощью полиномов Тейлора. cos ⁡ (x) {\ displaystyle \ cos (x)}\ cos (x) вместе с первыми полиномами Тейлора pn (x) = ∑ k = 0 n (- 1) kx 2 k (2 л)! {\ displaystyle p_ {n} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ frac {x ^ {2k}} {(2k)!}}}{\ displaystyle p_ {n} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ frac {x ^ {2k}} {(2k)!}}}

Тригонометрические функции дифференцируемы. Это не сразу видно из приведенных выше геометрических определений. Более того, современная математическая тенденция состоит в том, чтобы строить геометрию на основе исчисления, а не наоборот. Поэтому, за исключением очень элементарного уровня, тригонометрические функции с использованием методов исчисления.

Для определения тригонометрических функций внутри исчисления есть две эквивалентные возможности: либо с использованием степенного ряда, либо дифференциальных уравнений. Эти определения эквивалентны, поскольку, начиная с одного из них, легко получить другое как свойство. Использование уравнения в чем-то более естественное, поскольку, например, коэффициенты степенного ряда может показаться совершенно произвольным, а тождество Пифагора проще вывести из дифференциальных уравнений.

Определение с помощью различных вариантов

Синус и косинус уникальными дифференцируемыми функциями такими, что

ddx sin ⁡ x = cos ⁡ x, ddx cos ⁡ x = - ⁡ Икс, грех ⁡ 0 знак равно 0, соз ⁡ 0 знак равно 1. {\ Displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {dx}} \ sin x = \ cos x, \\ {\ frac {d} {dx}} \ cos x = - \ sin x, \\\ sin 0 = 0, \\\ cos 0 = 1. \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d } {dx}} \ sin x = \ cos x, \\ {\ frac {d} {dx}} \ cos x = - \ sin x, \\\ sin 0 = 0, \\\ cos 0 = 1. \ конец {выровненный}}}

Дифференцируя эти уравнения, получаем, что и синус, и косинус решения являются дифференциальными уравнениями

y ″ + y = 0. {\ displaystyle y '' + y = 0.}{\displaystyle y''+y=0.}

Применение правила частного к определению касательная как отношение синуса к косинусу, получается, что функция касательной проверяет

ddx tan ⁡ x = 1 + tan 2 ⁡ x. {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ tan x = 1 + \ tan ^ {2} x.}{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ tan x = 1 + \ tan ^ {2} x.}

Разложение в степенной ряду

Применение дифференциальных уравнений к степенному ряду с неопределенными коэффициентами, можно вывести рекуррентные соотношения для коэффициентов ряда Тейлора функций синуса и косинуса. Эти рекуррентные соотношения легко решить и дать разложения в ряд

sin ⁡ x = x - x 3 3! + х 5 5! - х 7 7! + ⋯ знак равно ∑ N знак равно 0 ∞ (- 1) N Икс 2 N + 1 (2 N + 1)! соз ⁡ х знак равно 1 - х 2 2! + х 4 4! - х 6 6! + ⋯ знак равно ∑ N знак равно 0 ∞ (- 1) N Икс 2 N (2 N)!. {\ displaystyle {\ begin {align} \ sin x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} - {\ frac {x ^ {7}} {7!}} + \ cdots \\ [8pt] = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}} \\ [8pt] \ cos x = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ Frac {x ^ { 4}} {4!}} - {\ frac {x ^ {6}} {6!}} + \ Cdots \\ [8pt] = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} x ^ {2n}} {(2n)!}}. \ End {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ sin x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ Frac {x ^ {5}} {5!}} - {\ frac {x ^ {7}} {7!}} + \ Cdots \\ [8pt] = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}} \\ [8pt] \ cos x = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2! }} + { \ frac {x ^ {4}} {4!}} - {\ frac {x ^ {6}} {6!}} + \ cdots \\ [8pt] = \ sum _ {n = 0} ^ { \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} x ^ {2n}} {(2n)!}}. \ end {align}}}

радиус сходимости этих рядов бесконечен. Следовательно, синус и косинус могут быть расширены до целых функций (также называемых «синусом» и «косинусом»), которые (по определению) являются комплексными функциями, которые и голоморфные на всей комплексной плоскости.

Будучи определенными как совокупные функции, другие тригонометрические функции могут быть расширены до мероморфных функций, то есть функции, которые являются голоморфными во всей комплексной плоскости, за исключением некоторых полученных точек, называемых полюсами. Здесь полюсы - это число в форме (2 k + 1) π 2 {\ textstyle (2k + 1) {\ frac {\ pi} {2}}}{\ textstyle (2k + 1) {\ frac {\ pi} {2 }}} для касательной и секанс, или k π {\ displaystyle k \ pi}{\ displaystyle k \ pi} для котангенса и косеканса, где k - произвольное целое число.

Отношения повторений также могут быть вычислены для коэффициентов ряда Тейлора других тригонометрических функций. Эти серии имеют конечный радиус сходимости. Их коэффициенты имеют комбинаторную интерпретацию: они перечисляют чередующиеся перестановки конечных множеств.

Точнее, определяя

Un, н-е число вверх / вниз,
Bn, н-е число Бернулли, и
En, это н-е число Эйлера,

, которое имеет следующие разложения в ряд:

tan ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ U 2 N + 1 Икс 2 N + 1 (2 N + 1)! Знак равно ∑ N знак равно 1 ∞ (- 1) N - 1 2 2 N (2 2 N - 1) B 2 N Икс 2 N - 1 (2 N)! = x + 1 3 x 3 + 2 15 x 5 + 17 315 ​​x 7 + ⋯, для | х | < π 2. {\displaystyle {\begin{aligned}\tan x{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}\left(2^{2n}-1\right)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\{}=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ tan x {} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {U_ {2n + 1} x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}} \\ { } = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1} 2 ^ {2n} \ left (2 ^ {2n} -1 \ right) B_ {2n } x ^ {2n-1}} {(2n)!}} \\ {} = x + {\ frac {1} {3}} x ^ {3} + {\ frac {2} {15}} x ^ {5} + {\ frac {17} {315}} x ^ {7} + \ cdots, \ qquad {\ text {for}} | х | <{\ frac {\ pi} {2}}. \ конец {выровнен}}}
csc ⁡ x знак равно ∑ n знак равно 0 ∞ (- 1) n + 1 2 (2 2 n - 1 - 1) B 2 n x 2 n - 1 (2 n)! = x - 1 + 1 6 x + 7 360 x 3 + 31 15120 x 5 +, для 0 < | x | < π. {\displaystyle {\begin{aligned}\csc x{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2\left(2^{2n-1}-1\right)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\{}=x^{-1}+{\frac {1}{6}}x+{\frac {7}{360}}x^{3}+{\frac {31}{15120}}x^{5}+\cdots,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi.\end{aligned}}}{\ displaystyle {\ begin {выровнено} \ csc x {} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1} 2 \ left (2 ^ {2n-1} -1 \ справа) B_ {2n} x ^ {2n-1}} {(2n)!}} \\ {} = x ^ {- 1} + {\ frac {1} {6}} x + {\ frac {7} {360}} x ^ {3} + {\ frac {31} {15120}} x ^ {5} + \ cdots, \ qquad { \ text {for}} 0 <| х | <\ пи. \ Конец {выровнено}}
секунд ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ U 2 n x 2 n (2 n)! Знак равно ∑ N знак равно 0 ∞ (- 1) N… 2 N Икс 2 N (2 N)! = 1 + 1 2 x 2 + 5 24 x 4 + 61 720 x 6 + ⋯, для | х | < π 2. {\displaystyle {\begin{aligned}\sec x{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}\\{}=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}+\cdots,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}{\ begin {align} \ sec x {} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {U_ {2n} x ^ {2n}} {(2n)!}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} E_ {2n} x ^ {2n}} {(2n)!}} \\ {} = 1 + {\ frac {1} {2}} x ^ {2} + {\ frac {5} {24}} x ^ {4} + {\ frac {61} {720}} x ^ {6} + \ cdots, \ qquad {\ text {for}} | х | <{\ frac {\ pi} {2}}. \ конец {выровнено}}
детская кроватка ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ (- 1) n 2 2 n B 2 n x 2 n - 1 (2 n)! = x - 1 - 1 3 x - 1 45 x 3 - 2 945 x 5 - ⋯, для 0 < | x | < π. {\displaystyle {\begin{aligned}\cot x{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\{}=x^{-1}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-\cdots,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi.\end{aligned}}}{\ begin {align} \ cot x {} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} 2 ^ {2n} B_ {2n} x ^ {2n-1}} {(2n)!}} \\ {} = x ^ {- 1} - {\ frac {1} {3}} x - {\ frac {1} {45}} x ^ {3} - {\ frac {2} {945}} x ^ {5} - \ cdots, \ qquad {\ text {for}} 0 <| х | <\ pi. \ End {align}}

Расширение частичной дроби

Существует представление ряда расширение частичной дроби где только что переведенные обратные функции суммируются, так что полюса функции котангенса и обратных соглашений совпадают:

π cot ⁡ π x = lim N → ∞ ∑ n = - NN 1 х + п. {\ displaystyle \ pi \ cot \ pi x = \ lim _ {N \ to \ infty} \ sum _ {n = -N} ^ {N} {\ frac {1} {x + n}}.}{\ displaystyle \ pi \ cot \ pi x = \ lim _ {N \ to \ infty} \ sum _ {n = -N} ^ {N} {\ frac {1} { x + n}}.}

Эту идентичность можно доказать с помощью трюка Herglotz. Объединение (–n) -го с n-м слагаемыми приводит к абсолютно сходящемуся ряду :

π cot ⁡ π x = 1 x + 2 x ∑ n = 1 ∞ 1 x 2 - n 2. {\ displaystyle \ pi \ cot \ pi x = {\ frac {1} {x}} + 2x \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x ^ {2} -n ^ {2}}}.}{\ displaystyle \ pi \ cot \ pi x = {\ frac {1} {x}} + 2x \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x ^ {2} -n ^ {2}}}.}

Аналогичным образом можно найти частичное дробное разложение для функций секущей, косеканса и касательной:

π sin ⁡ π x = 1 x + 2 x ∑ n = 1 ∞ (- 1) nx 2 - n 2, {\ displaystyle {\ frac {\ pi} {\ sin \ pi x}} = {\ frac {1} {x}} + 2x \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} { \ frac {(-1) ^ {n}} {x ^ {2} -n ^ {2}}},}{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {\ sin \ pi x}} = {\ frac {1} {x}} + 2x \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {п}} {х ^ {2} -n ^ {2}}},}
π cos ⁡ π x = ∑ n = 0 ∞ (- 1) n (2 n + 1) (N + 1 2) 2 - Икс 2, {\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {\ cos \ pi x}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ {n} {\ frac {(2n + 1)} {(n + {\ tfrac {1} {2}}) ^ {2} -x ^ {2}}},}{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {\ cos \ pi x}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {(2n + 1)} {(n + {\ tfr ac {1} {2}}) ^ {2} -x ^ {2}}},}
π загар ⁡ π Икс знак равно 2 Икс ∑ N знак равно 0 ∞ 1 (N + 1 2) 2 - Икс 2. {\ displaystyle \ pi \ tan \ pi x = 2x \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(n + {\ tfrac {1} {2}}) ^ {2} - x ^ {2}}}.}{\ displaystyle \ pi \ tan \ pi x = 2x \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(n + {\ tfrac {1} {2}}) ^ {2} -x ^ {2}}}.}

Ра зложение бесконечного произведения

Следующее бесконечное произведение для синуса имеет большое значение в комплексном анализе:

sin ⁡ z = z ∏ n = 1 ∞ (1 - z 2 n 2 π 2), z ∈ C. { \ displaystyle \ sin z = z \ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z ^ {2}} {n ^ {2} \ pi ^ {2}) }} \ right), \ quad z \ in \ mathbb {C}.}{\ displaystyle \ sin z = z \ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ гидроразрыва {z ^ {2}} {n ^ {2} \ pi ^ {2}}} \ right), \ quad z \ in \ mathbb {C }.}

Для доказательства этого разложения см. Синус. Отсюда можно вывести, что

cos ⁡ z = ∏ n = 1 ∞ (1 - z 2 (n - 1 2) 2 π 2), z ∈ C. {\ displaystyle \ cos z = \ displaystyle \ prod _ { n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z ^ {2}} {\ left (n - {\ frac {1} {2}} \ right) ^ {2} \ pi ^ {2}}} \ right), \ quad z \ in \ mathbb {C}.}{\ displaystyle \ cos z = \ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z ^ {2}} {\ left (n - {\ frac {1} {2}} \ right) ^ {2} \ pi ^ {2}}} \ right), \ quad z \ in \ mathbb {C}.}

Связь с экспоненциальной функцией (формула Эйлера)

cos ⁡ (θ) {\ displaystyle \ cos (\ theta)}\ cos (\ theta) и грех ⁡ (θ) {\ displaystyle \ sin (\ theta)}\ sin (\ theta) - действительная и мнимая часть ei θ {\ displaystyle e ^ {i \ theta}}e ^ {i \ theta} соответственно.

Формула Эйлера связывает синус и косинус с экспоненциальной функцией :

eix = cos ⁡ х + я грех ⁡ х. {\ displaystyle e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x.}e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x.

Эта формула обычно используется для реальных значений x, но остается верной для всех комплексных значений.

Доказательство: Пусть f 1 (x) = cos ⁡ x + i sin ⁡ x, {\ displaystyle f_ {1} (x) = \ cos x + i \ sin x,}{\ displaystyle f_ {1} (x) = \ cos x + i \ sin x,} и f 2 (x) = eix. {\ displaystyle f_ {2} (x) = e ^ {ix}.}{\ displaystyle f_ {2} (x) = e ^ {ix}.} Один имеет ddxfj (x) = ifj (x) {\ textstyle {\ frac {d} {dx} } f_ {j} (x) = if_ {j} (x)}{\ textstyle {\ frac {d } {dx}} f_ {j} (x) = if_ {j} (x)} для j = 1, 2. Правило частным означает, таким образом, что ddx (f 1 (х) е 2 (х)) = 0 {\ textstyle {\ frac {d} {dx}} \ left ({\ frac {f_ {1} (x)} {f_ {2} (x)}} \ right) = 0}{\ textstyle {\ frac {d} {dx}} \ left ({\ frac {f_ {1} (x)} {f_ {2} (x)}} \ right) = 0} . Следовательно, f 1 (x) f 2 (x) {\ textstyle {\ frac {f_ {1} (x)} {f_ {2} (x)}}}{ \ textstyle {\ frac {f_ {1} (x)} {f_ {2} (x)}}} является константой функцией, равная 1, так как f 1 (0) = f 2 (0) = 1. {\ displaystyle f_ {1} (0) = f_ {2} (0) = 1.}{\ displaystyle f_ {1} (0) = f_ {2} (0) = 1.} Это доказывает формулу.

Имеется

e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x e - i x = cos ⁡ x - i sin ⁡ x. {\ displaystyle {\ begin {align} e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x \\ [5pt] e ^ {- ix} = \ cos xi \ sin x. \ end {выравнивается}}}{\ displaystyle {\ begin {align} e ^ {ix} = \ соз х + я \ грех х \\ [5pt] е ^ {- ix} = \ соз хи \ грех х. \ конец {выровнено}}}

Решая эту линейную систему в синусе и косинусе, можно выразить их через экспоненциальную функцию:

sin ⁡ x = eix - e - ix 2 i cos ⁡ x = eix + д - ix 2. {\ displaystyle {\ begin {align} \ sin x = {\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i}} \\ [5pt] \ cos x = {\ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2}}. \ end {align}}}{ \ Displaystyle {\ begin {align} \ sin x = {\ fr ac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i}} \\ [5pt] \ cos x = {\ frac {e ^ {ix } + e ^ {- ix}} {2}}. \ end {align}}}

Когда x является вещественным, это можно переписать как

cos ⁡ x = Re ⁡ (eix), sin ⁡ х = Im ⁡ (eix). {\ displaystyle \ cos x = \ operatorname {Re} \ left (e ^ {ix} \ right), \ qquad \ sin x = \ operatorname {Im} \ left (e ^ {ix} \ right).}{\ displaystyle \ cos x = \ operatorname {Re} \ left (e ^ {ix} \ right), \ qquad \ sin x = \ operatorname {Im} \ left (e ^ {ix} \ right).}

Большинство тригонометрических тождеств можно продемонстрировать, выразить тригонометрические функции в терминах комплексной экспоненциальной функции, используя приведенные выше формулы, а используя тождество ea + b = eaeb {\ displaystyle e ^ {a + b} = e ^ {a} e ^ {b}}{\ displaystyle e ^ {a + b} = e ^ {a} e ^ {b}} для упрощения результата.

Определить использование различных функций

Можно также определить тригонометрические функции с помощью различных функциональных функций.

Например, синус и косинус образуют уникальную пару непрерывных функций, удовлетворяющие формуле разности

cos ⁡ (x - y) = cos ⁡ x cos ⁡ y + sin ⁡ x sin ⁡ y {\ displaystyle \ cos (xy) = \ cos x \ cos y + \ sin x \ sin y \,}\ cos (xy) = \ cos x \ cos y + \ sin x \ sin y \,

и добавленное условие

0 < x cos ⁡ x < sin ⁡ x < x for 0 < x < 1. {\displaystyle 0{\ displaystyle 0 <x \ cos x <\ sin x <x \ quad {\ text {for}} \ quad 0 <x <1.}

В комплексной плоскости

Синус и косинус комплексного числа z = x + iy {\ displaystyle z = x + iy}z = x + iy можно выразить с помощью вещественных синусов, косинусов и гиперболических функций следующим образом:

sin ⁡ z = sin ⁡ x cosh ⁡ y + я соз ⁡ Икс зп ⁡ Y соз ⁡ Z знак равно соз ⁡ Икс сш ⁡ Y - я грех ⁡ Икс зп ⁡ Y {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ грех г = \ грех х \ сш у + я \ соз х \ sinh y \\ [5pt] \ cos z = \ cos x \ cosh yi \ sin x \ sinh y \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ sin z = \ sin x \ cosh y + i \ cos x \ sinh y \ \ [5pt] \ cos z = \ cos x \ cosh yi \ sin x \ sinh y \ end {align}}}

Воспользовавшись преимуществом раскраски домена, можно построить график тригонометрических функций как комплексных значений функций. На графике можно увидеть различные особенности, уникальные для сложных функций; например, функции синуса и косинуса можно рассматривать как неограниченные, поскольку мнимая часть z {\ displaystyle z}z становится больше (поскольку белый цвет представляет бесконечность), и тот факт, что функции содержат простые нули или полюсы. очевидно из того факта, что оттенок циклически повторяется вокруг каждого нуля или полюса ровно один раз. Сравнение этих графиков с графиками соответствующих гиперболических функций подчеркивает взаимосвязь между ними.

Тригонометрические функции в комплексной плоскости
Комплексный sin.jpg Комплексный cos.jpg Комплексный tan.jpg Complex Cot.jpg Complex Sec.jpg Сложный Csc.jpg
sin ⁡ z {\ displaystyle \ sin z \,}\ sin z \, cos ⁡ z {\ displaystyle \ cos z \,}\ cos z \, tan ⁡ z {\ displaystyle \ tan z \,}\ tan z \, детская кроватка ⁡ z {\ displaystyle \ cot z \,}\ cot z \, sec ⁡ z {\ displaystyle \ sec z \,}\ sec z \, csc ⁡ z {\ displaystyle \ csc z \,}\ csc z \,

Основные тождества

Многие тождества связывают тригонометрические функции. В этом разделе собраны самые основные; для получения дополнительных сведений см. Список тригонометрических идентификаторов. Эти тождества могут быть доказаны геометрически из определений единичного круга или определений прямоугольного треугольника (хотя для последних определений необходимо учитывать углы, которые не находятся в интервале [0, π / 2], см. Доказательства тригонометрических тождеств ). Для негеометрических доказательств, использующих только инструменты исчисления, можно напрямую использовать дифференциальные уравнения таким же образом, как и в вышеупомянутом доказательстве тождества Эйлера. Можно также использовать тождество Эйлера для выражения всех тригонометрических функций в терминах комплексных экспонент и с использованием свойств экспоненциальной функции.

Четность

Косинус и секанс являются четными функциями ; другие тригонометрические функции - это нечетные функции. То есть:

sin ⁡ (- x) = - sin ⁡ x cos ⁡ (- x) = cos ⁡ x tan ⁡ (- x) = - tan ⁡ x cot ⁡ (- x) = - cot ⁡ x csc ⁡ (- x) = - csc ⁡ x sec ⁡ (- x) = sec ⁡ x. {\ Displaystyle {\ begin {align} \ sin (-x) = - \ sin x \\\ cos (-x) = \ cos x \\\ tan (-x) = - \ tan x \\ \ cot (-x) = - \ cot x \\\ csc (-x) = - \ csc x \\\ sec (-x) = \ sec x. \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ sin (-x) = - \ sin x \\\ cos (-x) = \ cos x \\\ tan (-x) = - \ tan x \\\ cot (-x) = - \ cot x \\\ csc (-x) = - \ csc x \\\ sec (-x) = \ сек. Икс. \ end {align}}}

Периоды

Все тригонометрические функции являются периодическими функциями периода 2π. Это наименьший период, за исключением тангенса и котангенса, у которых π является наименьшим периодом. Это означает, что для каждого целого числа k выполняется

sin ⁡ (x + 2 k π) = sin ⁡ x cos ⁡ (x + 2 k π) = cos ⁡ x tan ⁡ (x + k π) = tan ⁡ x детская кроватка ⁡ (x + k π) = детская кроватка ⁡ x csc ⁡ (x + 2 k π) = csc ⁡ x sec ⁡ (x + 2 k π) = sec ⁡ x. {\ Displaystyle {\ begin {align} \ sin (x + 2k \ pi) = \ sin x \\\ cos (x + 2k \ pi) = \ cos x \\\ tan (x + k \ pi) = \ tan x \\\ кроватка (x + k \ pi) = \ cot x \\\ csc (x + 2k \ pi) = \ csc x \\\ sec (x + 2k \ pi) = \ sec x. \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ sin (x + 2k \ pi) = \ sin x \\\ cos (x + 2k \ pi) = \ cos x \\\ tan (x + k \ pi) = \ tan x \\\ cot (x + k \ pi) = \ cot x \\\ csc (x + 2k \ pi) = \ csc x \\\ sec (x + 2k \ pi) = \ sec x. \ end {align}}}

Пифагорейская идентичность

Пифагорейская идентичность - это выражение теоремы Пифагора в терминах тригонометрических функций. Это

sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1. {\ displaystyle \ sin ^ {2} x + \ cos ^ {2} x = 1.}{\ displaystyle \ sin ^ {2} x + \ cos ^ {2} x = 1.}

Формулы суммы и разности

Формулы суммы и разности позволяют разложить синус, косинус и тангенс суммы или разности двух углов на синусы, косинусы и тангенсы самих углов. Их можно получить геометрически, используя аргументы, относящиеся к Птолемею. Их также можно получить алгебраически, используя формулу Эйлера.

Sum
sin ⁡ (x + y) = sin ⁡ x cos ⁡ y + cos ⁡ x sin ⁡ y, cos ⁡ (x + y) = cos ⁡ x cos ⁡ y - грех ⁡ x sin ⁡ y, tan ⁡ (x + y) = tan ⁡ x + tan ⁡ y 1 - tan ⁡ x tan ⁡ y. {\ Displaystyle {\ begin {align} \ sin \ left (x + y \ right) = \ sin x \ cos y + \ cos x \ sin y, \\\ cos \ left (x + y \ right) = \ cos x \ cos y- \ sin x \ sin y, \\\ tan (x + y) = {\ frac {\ tan x + \ tan y} {1- \ tan x \ tan y}}. \ end {выровнено}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ sin \ left (x + y \ right) = \ sin x \ cos y + \ cos x \ sin y, \\\ cos \ left (x + y \ right) = \ cos x \ cos y- \ sin x \ sin y, \\\ tan (x + y) = {\ frac {\ tan x + \ tan y} { 1- \ tan x \ tan y}}. \ end {align}}}
Разница
sin ⁡ (x - y) = sin ⁡ x cos ⁡ y - cos ⁡ x sin ⁡ y, cos ⁡ (x - y) = cos ⁡ x cos ⁡ y + sin ⁡ x sin ⁡ y, tan ⁡ (x - y) = tan ⁡ x - tan ⁡ y 1 + tan ⁡ x tan ⁡ y. {\ Displaystyle {\ begin {align} \ sin \ left (xy \ right) = \ sin x \ cos y- \ cos x \ sin y, \\\ cos \ left (xy \ right) = \ cos x \ cos y + \ sin x \ sin y, \\\ tan (xy) = {\ frac {\ tan x- \ tan y} {1+ \ tan x \ tan y}}. \ end {выравнивается}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ sin \ left (xy \ right) = \ sin x \ cos y- \ cos x \ sin y, \\\ cos \ left (xy \ right) = \ cos x \ cos y + \ sin x \ sin y, \\\ tan (xy) = {\ frac {\ tan x- \ tan y} {1+ \ загар х \ загар у}}. \ Конец {выровнено}}}

Когда два угла равны, формулы суммы сводятся к более простым уравнениям, известным как формулы двойного угла .

sin ⁡ 2 x = 2 sin ⁡ x cos ⁡ x = 2 tan ⁡ x 1 + tan 2 ⁡ x, cos ⁡ 2 x = cos 2 ⁡ x - sin 2 ⁡ x = 2 cos 2 ⁡ x - 1 = 1-2 sin 2 ⁡ x = 1 - tan 2 ⁡ x 1 + tan 2 ⁡ x, tan ⁡ 2 х знак равно 2 загар ⁡ х 1 - загар 2 ⁡ х. {\ displaystyle {\ begin {align} \ sin 2x = 2 \ sin x \ cos x = {\ frac {2 \ tan x} {1+ \ tan ^ {2} x}}, \\\ cos 2x = \ cos ^ {2} x- \ sin ^ {2} x = 2 \ cos ^ {2} x-1 = 1-2 \ sin ^ {2} x = {\ frac {1- \ tan ^ {2} x } {1+ \ tan ^ {2} x}}, \\\ tan 2x = {\ frac {2 \ tan x} {1- \ tan ^ {2} x}}. \ End {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ sin 2x = 2 \ sin x \ cos x = {\ frac {2 \ tan x} {1+ \ tan ^ {2} x}}, \\\ cos 2x = \ cos ^ {2} x- \ sin ^ {2} x = 2 \ cos ^ {2} x-1 = 1-2 \ sin ^ {2} x = {\ frac {1- \ tan ^ {2} x} {1+ \ tan ^ {2} x}}, \ \\ tan 2x = {\ frac {2 \ tan x} {1- \ tan ^ {2} x}}. \ end {align ed}}}

Эти обозначения обозначения вакансии идентичности продукта к сумме.

По установке θ = 2 x {\ displaystyle \ theta = 2x}{\ displaystyle \ theta = 2x} и t = tan ⁡ x, {\ displaystyle t = \ tan x,}{\ displaystyle t = \ tan x,} это позволяет выражая все тригонометрические функции θ {\ displaystyle \ theta}\ theta как рациональную дробь от t = tan ⁡ θ 2 {\ textstyle t = \ tan {\ frac {\ theta} {2}}}{\ textstyle t = \ tan {\ frac {\ theta} {2}}} :

грех ⁡ θ = 2 t 1 + t 2, cos ⁡ θ знак равно 1 - T 2 1 + T 2, загар ⁡ θ = 2 t 1 - t 2. {\ displaystyle {\ begin {align} \ sin \ theta = {\ frac {2t} {1 + t ^ { 2}}}, \\\ cos \ theta = {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}}, \\\ tan \ theta = {\ frac {2t} {1-t ^ {2}}}. \ End {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ sin \ theta = {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}}, \\ \ cos \ theta = {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}}, \\\ tan \ theta = {\ frac {2t} {1-t ^ {2 }}}. \ end {align}}}

Вместе с

d θ = 2 1 + t 2 dt, {\ displaystyle d \ theta = {\ frac {2} {1 + t ^ {2}}} \, dt,}{\ displaystyle d \ theta = {\ frac {2} {1 + t ^ {2}}} \, dt,}

это подстановка касательных полууглов, которое позволяет сократить вычисление интегралов и первообразных тригонометрических функций до вычислений дробей.

Производные и первообразные

производные тригонометрические функции получаются из производных синуса и косинуса с применением правила частных. Значения, приведенные для первообразных в следующей таблице, можно проверить путем их дифференциации. Число C является константой интегрирования.

f (x) f ′ (x) ∫ f (x) dx sin ⁡ x cos ⁡ x - cos ⁡ x + C cos ⁡ x - sin ⁡ x sin ⁡ x + C tan ⁡ x sec 2 ⁡ x = 1 + tan 2 ⁡ x - ln ⁡ (| cos ⁡ x |) + C детская кроватка ⁡ x - csc 2 ⁡ x = - (1 + кроватка 2 ⁡ x) ln ⁡ (| sin ⁡ x |) + C sec ⁡ x sec ⁡ x tan ⁡ x ln ⁡ (| sec ⁡ x + tan ⁡ x |) + C csc ⁡ x - csc ⁡ x детская кроватка ⁡ x - ln ⁡ (| csc ⁡ x + детская кроватка ⁡ Икс |) + С {\ Displaystyle {\ begin {array} {| c | c | c |} \ hline f (x) f '(x) \ int f (x) \, dx \\\ hline \ sin x \ cos x - \ cos x + C \\\ cos x - \ sin x \ sin x + C \\\ tan x \ sec ^ {2} x = 1 + \ tan ^ {2} x - \ ln \ left (| \ cos x | \ right) + C \ \\ cot x - \ csc ^ {2} x = - (1+ \ cot ^ {2} x) \ ln \ left (| \ sin x | \ right) + C \\\ sec x \ sec x \ tan x \ ln \ left (| \ sec x + \ tan x | \ right) + C \\\ csc x - \ csc x \ cot x - \ ln \ left (| \ csc x + \ cot x | \ right) + C \\\ hline \ end {array}}}{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline f(x)f'(x)\int f(x)\,dx\\\hline \sin x\cos x-\cos x+C\\\cos x-\sin x\sin x+C\\\tan x\sec ^{2}x=1+\tan ^{2}x-\ln \left(|\cos x|\right)+C\\\cot x-\csc ^{2}x=-(1+\cot ^{2}x)\ln \left(|\sin x|\right)+C\\\sec x\sec x\tan x\ln \left(|\sec x+\tan x|\right)+C\\\csc x-\csc x\cot x-\ln \left(|\csc x+\cot x|\right)+C\\\hline \end{array}}}

Обратные функции

Тригонометрические функции являются периодическими и, следовательно, не инъективными, поэтому, строго говоря, у них нет обратной функции . Однако на каждом интервале, на котором тригонометрическая функция монотонна, можно определить обратную функцию, и это определить обратные тригонометрические функции как многозначные функции. Чтобы определить истинную обратную функцию, необходимо ограничить область действия интервалом, в которой функция является монотонной, и, в которой эта функция является монотонной, биективно от этого интервала до своего изображения функцию. Общий выбор для этого интервала, называемый набором основных значений, приведен в следующей таблице. Как правило, обратные тригонометрические функции обозначаются префиксом «дуга» перед названием или его сокращением.

Область определения функций Набор главных значений y = arcsin ⁡ x sin ⁡ y = x - 1 ≤ x ≤ 1 - π 2 ≤ y ≤ π 2 y = arccos ⁡ x cos ⁡ y = x - 1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ π y = arctan ⁡ x tan ⁡ y = x - ∞ ≤ x ≤ ∞ - π 2 < y < π 2 y = arccot ⁡ x cot ⁡ y = x − ∞ ≤ x ≤ ∞ 0 < y < π y = arcsec ⁡ x sec ⁡ y = x x < − 1 or x>1 0 ≤ y ≤ π, y ≠ π 2 y = arccsc ⁡ x csc ⁡ y = xx < − 1 or x>1 - π 2 ≤ y ≤ π 2, y ≠ 0 {\ displaystyle {\ begin {array} {| c | c | c | c |} \ hline {\ text {Function}} {\ text {Definition}} {\ text {Домен}} {\ text {Набор основных значений}} \\\ hline y = \ arcsin x \ sin y = x -1 \ leq x \ leq 1 - {\ frac {\ pi} {2}} \ leq y \ leq {\ frac {\ pi} {2}} \\ y = \ arccos x \ cos y = x -1 \ leq x \ leq 1 0 \ leq y \ leq \ pi \\ y = \ arctan x \ tan y = x - \ infty \ leq x \ leq \ infty - {\ frac {\ pi} {2}} 1 0 \ leq y \ leq \ pi, \; y \ neq {\ frac {\ pi} {2}} \\ y = \ operatorname {arccsc} x \ csc y ​​= x x <-1{\text{ or }}x>1 - {\ frac {\ pi} {2} } \ leq y \ leq {\ frac {\ pi} {2}}, \; y \ neq 0 \\\ hline \ end {array}}}{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline {\text{Function}}{\text{Definition}}{\text{Domain}}{\text{Set of principal values}}\\\hline y=\arcsin x\sin y=x-1\leq x\leq 1-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}\\y=\arccos x\cos y=x-1\leq x\leq 10\leq y\leq \pi \\y=\arctan x\tan y=x-\infty \leq x\leq \infty -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}\\y=\operatorname {arccot} x\cot y=x-\infty \leq x\leq \infty 0<y<\pi \\y=\operatorname {arcsec} x\sec y=xx<-1{\text{ or }}x>1 0 \ leq y \ leq \ pi, \; y \ neq {\ frac {\ pi} {2}} \\ y = \ operatorname {arccsc} x \ csc y ​​= x x <-1{\text{ or }}x>1 - {\ frac {\ pi} {2} } \ leq y \ leq {\ frac {\ pi} {2}}, \; y \ neq 0 \\\ hline \ end {array}}}

Обозначение sin cos и т. д. часто используются для arcsin и arccos и т. д. При использовании этого обозначения обратные функции можно спутать с мультипликативными обратными функциями. путаницы, хотя "arcsec" для arcsecant можно спутать с "arcsecond ".

Так же, как синус и косинус, обратные тригонометрические функции также могут быть выражены в виде бесконечных рядов. выразить с помощью комплексных логарифмов. Подробнее см. Обратные тригонометрические функции.

Приложения

Углы и стороны треугольника

В этих Соответствующие противоположные краевы, обозначенные различными формулами A, B, C, обозначают три (внутренние) треугольника, а a, b, c. анными по тригонометрическим функциям, которые они включают.

Закон синусов

Закон синусов гласит, что для произвольного треугольника со сторонами a, b и c и углами, противоположными сторонами A, B и C:

грех ⁡ A a = ⁡ B b = грех ⁡ C c = 2 Δ abc, {\ displaystyle {\ frac {\ sin A} {a}} = {\ frac {\ sin B} { b}} = {\ frac {\ sin C} {c}} = {\ frac {2 \ Delta} {abc}},}{\ frac {\ sin A} { a}} = {\ frac {\ sin B} {b}} = {\ frac {\ sin C} {c}} = {\ frac {2 \ Delta} {abc}},

где Δ - площадь треугольника, или, что то же самое,

⁡ A = б грех B = c ⁡ C = 2 R, {\ displaystyle {\ frac {a} {\ sin A}} = {\ frac {b} {\ sin B}} = {\ frac { c} {\ sin C}} = 2R,}{\ frac {a} {\ sin A}} = {\ frac {b} {\ sin B}} = {\ frac {c} {\ sin C}} = 2R,

где R - описанный радиус.

треугольника. Это можно доказать, разделив треугольник на два прямоугольных и используя приведенное выше определение синуса.. Закон синусов полезен для вычислений длин неизвестных сторон треугольника, если известны два угла и одна сторона. Это обычная ситуация, развивающая в триангуляции, методы определения неизвестных расстояний путем измерения двух углов и доступного замкнутого расстояния.

Закон косинусов

Закон косинусов (также известный как формула косинусов или правило косинусов) является расширением Теорема Пифагора :

c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab cos ⁡ C, {\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos C, \,}c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos C, \,

или, что эквивалентно,

cos ⁡ C = a 2 + b 2 - c 2 2 ab. {\ displaystyle \ cos C = {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}} {2ab}}.}\ cos C = {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}} {2ab}}.

В этой формуле угла при C противоположен стороне c. Эту теорему можно доказать, разделив треугольник на два прямоугольных и используя теорему Пифагора.

Закон косинусов можно использовать для определения стороны треугольника, если известны две стороны и угол между ними. Его можно использовать для нахождения косинусов угла (и, соответственно, всех углов), если известны длины сторон.

Закон касательных

Все нижеприведенные примеры образуют закон касательных

tan ⁡ A - B 2 tan ⁡ A + B 2 = a - b a + b; tan ⁡ A - C 2 tan ⁡ A + C 2 = a - c a + c; tan ⁡ B - C 2 tan ⁡ B + C 2 = b - c b + c. {\ displaystyle {\ frac {\ tan {\ frac {AB} {2}}} {\ tan {\ frac {A + B} {2}}}} = {\ frac {ab} {a + b}} \,; \ qquad {\ frac {\ tan {\ frac {AC} {2}}} {\ tan {\ frac {A + C} {2}}}} = {\ frac {ac} {a + c}} \,; \ qquad {\ frac {\ tan {\ frac {BC} {2}}} {\ tan {\ frac {B + C} {2}}}} = {\ frac {bc} {b + c}}. }{\ displaystyle {\ frac {\ tan {\ frac {AB} {2}}} {\ tan {\ frac {A + B} {2} }}} = {\ frac {ab} {a + b}} \,; \ qquad {\ frac {\ tan {\ frac {AC} {2}}} {\ tan {\ frac {A + C} { 2}}}} = {\ frac {ac} {a + c}} \,; \ qquad {\ frac {\ tan {\ frac {BC} {2}}} {\ tan {\ frac {B + C } {2}}}} = {\ frac {bc} {b + c}}.}

Объяснение формул на словах было бы громоздким, но схемы сумм и разностей для длин и противоположных углов очевидны в теореме.

Закон котангенсов

Если

ζ = 1 s (s - a) (s - b) (s - c) {\ displaystyle \ zeta = {\ sqrt {{\ frac {1} {s}} (sa) (sb) (sc)}} ~}{\ displaystyle \ zeta = {\ sqrt {{\ frac {1} { s}} (sa) (sb) (sc)}} ~} (радиус вписанной окружности для треугольника)

и

s = a + b + c 2 {\ displaystyle s = {\ frac {a + b + c} {2}} ~}{\ displaystyle s = {\ гидроразрыв {a + b + c} {2}} ~} (полупериметр треугольника),

тогда все следующие образуют закон котангенсов

кроватка ⁡ A 2 = s - а ζ; кроватка ⁡ B 2 = s - b ζ; кроватка ⁡ C 2 = s - c ζ. {\ displaystyle \ cot {\ frac {A} {2}} = {\ frac {sa} {\ zeta}} ~; \ qquad \ cot {\ frac {B} {2}} = {\ frac {sb} {\ zeta}} ~; \ qquad \ cot {\ frac {C} {2}} = {\ frac {sc} {\ zeta}} ~.}{\ displaystyle \ cot {\ frac {A} {2}} = {\ frac {sa} { \ zeta}} ~; \ qquad \ cot {\ frac {B} {2}} = {\ frac {sb} {\ zeta}} ~; \ qquad \ cot {\ frac {C} {2}} = { \ frac {sc} {\ zeta}} ~.}

Отсюда следует, что

кроватка ⁡ A 2 s - a = детская кроватка ⁡ B 2 s - b = детская кроватка ⁡ C 2 s - c = 1 ζ. {\ displaystyle {\ frac {\ cot {\ dfrac {A} {2}}} {sa}} = {\ frac {\ cot {\ dfrac {B} {2}}} {sb}} = {\ frac {\ cot {\ dfrac {C} {2}}} {sc}} = {\ frac {1} {\ zeta}} ~.}{\ displaystyle {\ frac {\ cot { \ dfrac {A} {2}}} {sa}} = {\ frac {\ cot {\ dfrac {B} {2}}} {sb}} = {\ frac {\ cot {\ dfrac {C} { 2}}} {sc}} = {\ frac {1} {\ zeta}} ~.}

На словах теорема такова: котангенс полуугла равенство полупериметра минус сторона, противоположная указанному углу, к внутреннему радиусу треугольника.

A Кривая Лиссажу, фигура, сформированная с помощью функций на основе тригонометрии.

Периодические функции

Анимация аддитивного синтеза прямоугольной волны с увеличивающимся количеством гармоник Базисные синусоидальные функции (внизу) при добавлении могут образовывать пилообразную волну (вверху). Все базовые функции имеют узлы в узлах пилообразной формы, а все, кроме основной (k = 1), дополнительные узлы. Колебания, наблюдаемые вокруг пилы при большом k, называются явлением Гиббса

. Тригонометрические функции также важны в физике. Функции синуса и косинуса, например, используются для описания простое гармоническое движение, которое моделирует многие природные явления, такие как движение массы, прикрепленной к пружине, и для малых углов, маятниковое движение. массы, висящей на веревке. Функции синуса и косинуса являются одномерными проекциями равномерного кругового движения.

Тригонометрические функции также оказываются полезными при изучении общих периодических функций. Характерные волновые структуры периодических функций полезны для повторяющихся явлений, таких как звуковые или световые волны.

В общих условиях периодическая функция f (x) может быть выражена как сумма синусоидальных или косинусоидальных волн в ряд Фурье. Обозначая синус или косинус базисных функций через φ k, разложение периодической функции f (t) принимает вид:

f (t) = ∑ k = 1 ∞ ck φ k (t). {\ displaystyle f (t) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} c_ {k} \ varphi _ {k} (t).}f (t) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty } c_ {k} \ varphi _ {k} (t).

Например, прямоугольная волна может быть записан как ряд Фурье

f квадрат (t) = 4 π ∑ k = 1 ∞ sin ⁡ ((2 k - 1) t) 2 k - 1. {\ displaystyle f _ {\ text {square }} (t) = {\ frac {4} {\ pi}} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ sin {\ big (} (2k - 1) t {\ big)} \ over 2k-1}.}{\ displaystyle f _ {\ text {square}} (t) = {\ frac {4} {\ pi}} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ sin {\ big (} (2k-1) t {\ big)} \ over 2k-1}.}

На анимации прямоугольной волны в верхнем углу видно, что всего несколько элементов уже дают довольно хорошее приближение. Суперпозиция нескольких членов в разложении пилообразной волны на ниже.

История

В то время как раннее изучение тригонометрии можно проследить до глубокой древности, тригонометрические функции в том виде, в котором они используются сегодня, были разработаны в средневековый период. Функция хорды была обнаружена Гиппархом в Никее (180–125 до н.э.) и Птолемеем в Римском Египте (90–165 гг. Н. Э.). Функции синуса и версина (1 - косинус) можно проследить до функций джья и коти-джья, использовал в период Гупта индийская астрономия ( Арьябхатия, Сурья Сиддханта ), посредством перевода с санскрита на арабский, а с арабского на латинский. (См. таблицу синусов Арьябхаты.)

Все шесть тригонометрических функций, используемых в настоящее время, были известны в исламской математике к 9 веку, как и закон синусы, используемое в решение треугольников. За исключением синуса (был заимствован из индийской математики), персидскими математиками были открыты другие пять современных тригонометрических функций, включая косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Аль-Хваризми (c 780–850) составили таблицы синусов, косинусов и тангенсов. Около 830 г., Хабаш аль-Хасиб аль-Марвази открыл котангенс и составил таблицы касательных и котангенсов. Мухаммад ибн Джабир аль-Харрани аль-Баттани (853–929) открыл взаимные функции секанса и косеканса, и была произведена первая таблица косекансов для каждой степени от 1 ° до 90 °. Позднее тригонометрические функции изучались математиками, в том числе Омаром Хайямом, Бхаскарой II, Насиром ад-Дином ат-Туси, Джамшидом аль-Каши (14 век), Улугбек (14 век), Региомонтан (1464), Ретикус и ученик Ретикуса Валентин Отон.

Мадхава из Сангамаграмы (ок. 1400) сделал первые шаги в анализ тригонометрических функций в терминах бесконечных рядов. (См. серию Мадхавы и таблицу синусов Мадхавы.)

Термины тангенс и секанс впервые были введены датским математиком Томасом. Финке в своей книге Geometria rotundi (1583 г.).

16 век Французский математик Альбер Жирар впервые опубликовал свое сокращение sin, cos, и tan в книге Trigonométrie.

В статье опубликованной в 1682 году, Лейбниц доказал, что sin x не является алгебраической функцией от x. Хотя они представлены как отношения прямоугольного треугольника и таким образом, выглядят как рациональные функции, результат Лейбница установил, что они на самом деле являются трансцендентными функциями своего аргумента. Задача ассимиляции круговых функций в алгебраических выражениях была решена Эйлером в его Введение в анализ бесконечного (1748). Его метод заключен в том, чтобы показать, что функции синуса и косинуса являются чередующимися рядами, образованными из четных и нечетных членов соответственно экспоненциального ряда. Он представил «формулу Эйлера », а также почти современные сокращения (sin., Cos., Tang., Cot., Sec. И cosec.).

Несколько функций были обычным явлением исторически, но сейчас используются редко, например, аккорд, версин (который появился в самых ранних таблицах), покрывающий синус, гаверсинус, экзосеканс и экзосеканс. Список тригонометрических отождествлений показывает взаимосвязей между используемыми функциями.

  • crd (θ) = 2 sin (θ / 2)
  • versin (θ) = 1 - cos (θ) = 2 sin (θ / 2)
  • охватывает (θ) = 1 - sin (θ) = versin (π / 2 - θ))
  • haversin (θ) = 1 / 2versin (θ) = sin (θ / 2)
  • exsec (θ) = sec (θ) - 1
  • excsc (θ) = exsec (π / 2 - θ) = csc (θ) - 1

Этимология

Слово синус происходит от латинское sinus, что означает «изгиб; залив », а точнее« свисающая складка верхней части тоги »,« пазухи одежды », который был выбран в качестве перевода того, что интерпретировалось как арабское слово jaib, означающее« карман »или« складка »в переводе XII века произведений аль-Баттани и аль-Хваризми на средневековую латынь. Выбор был основан на неправильном прочтении арабской письменной формы jyb (جيب ), которая сама возникла как транслитерация санскритского дживы, который вместе со своим синонимом jyā (стандартный санскритский термин для синуса) переводится как « тетива », что в свою очередь заимствовано из древнегреческого χορδή « струна ».

Слово тангенс происходит от латинского tangens, означающего «касаться», поскольку касается окружности единичного радиуса, тогда как секанс происходит от латинского secans - «разрезание» - линия пересекает окружность.

Префикс " co- "(в« косинус »,« котангенс »,« косеканс ») можно найти в каноне triangulorum Эдмунда Гюнтера (1620), в котором косинус определяется как сокращение синусового комплемента (синуса дополнительный угол ) и аналогичным образом переходит к определению котангенов.

См. Также

Примечания

Ссылки

Внешние ссылки

Викиучебники содержат книгу по темам: Тригонометрия
Последняя правка сделана 2021-06-11 11:29:48
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте