Теорема Пифагора

редактировать
Эта статья о классической геометрии. Чтобы узнать о бейсбольном термине, см. Пифагорейское ожидание.

Теорема Пифагора Сумма площадей двух квадратов на катетах ( a и b) равна площади квадрата на гипотенузе ( c).

В математике теорема Пифагора, или теорема Пифагора, является фундаментальным соотношением в евклидовой геометрии между тремя сторонами прямоугольного треугольника. Он гласит, что площадь квадрата, стороной которого является гипотенуза (сторона, противоположная прямому углу ), равна сумме площадей квадратов двух других сторон. Эта теорема может быть записана как уравнение, связывающее длины сторон a, b и c, часто называемое уравнением Пифагора:

а 2 + б 2 знак равно с 2 , {\ Displaystyle а ^ {2} + Ь ^ {2} = с ^ {2},}

где c представляет длину гипотенузы, а a и b длины двух других сторон треугольника. Теорема, история которой является предметом многочисленных споров, названа в честь греческого философа Пифагора, родившегося около 570 г. до н.э.

Теорема была доказана множество раз множеством различных методов — возможно, больше всего для любой математической теоремы. Доказательства разнообразны, включая как геометрические, так и алгебраические доказательства, некоторые из которых датируются тысячами лет.

Теорему можно обобщить различными способами: на многомерные пространства, на пространства, которые не являются евклидовыми, на объекты, которые не являются прямоугольными треугольниками, и на объекты, которые вовсе не треугольники, а n - мерные тела. Теорема Пифагора вызвала интерес за пределами математики как символ математической заумности, загадочности или интеллектуальной силы; популярные упоминания в литературе, пьесах, мюзиклах, песнях, марках и мультфильмах имеются в большом количестве.

Содержание
  • 1 Доказательство перестановки
  • 2 Другие формы теоремы
  • 3 Другие доказательства теоремы
    • 3.1 Доказательство с использованием подобных треугольников
    • 3.2 Доказательство Евклида
    • 3.3 Доказательства вскрытия и перестановки
    • 3.4 Доказательство Эйнштейна путем рассечения без перестановки
    • 3.5 Алгебраические доказательства
    • 3.6 Доказательство с использованием дифференциалов
  • 4 Конверс
  • 5 Следствия и использование теоремы
    • 5.1 Пифагоровы тройки
    • 5.2 Обратная теорема Пифагора
    • 5.3 Несоизмеримые длины
    • 5.4 Комплексные числа
    • 5.5 Евклидово расстояние
    • 5.6 Евклидово расстояние в других системах координат
    • 5.7 Пифагорейское тригонометрическое тождество
    • 5.8 Связь с перекрестным произведением
  • 6 обобщений
    • 6.1 Подобные фигуры с трех сторон
    • 6.2 Закон косинусов
    • 6.3 Произвольный треугольник
    • 6.4 Общие треугольники с использованием параллелограммов
    • 6.5 Твердотельная геометрия
    • 6.6 Внутреннее пространство продукта
    • 6.7 Множества m - мерных объектов в n - мерном пространстве
    • 6.8 Неевклидова геометрия
      • 6.8.1 Сферическая геометрия
      • 6.8.2 Гиперболическая геометрия
      • 6.8.3 Очень маленькие треугольники
    • 6.9 Дифференциальная геометрия
  • 7 История
  • 8 См. также
  • 9 Примечания и ссылки
    • 9.1 Примечания
    • 9.2 Ссылки
    • 9.3 Процитированные работы
  • 10 внешних ссылок
Доказательство перестановки
Доказательство перестановки (нажмите, чтобы посмотреть анимацию)

Два больших квадрата, показанные на рисунке, содержат по четыре одинаковых треугольника, и единственная разница между двумя большими квадратами заключается в том, что треугольники расположены по-разному. Следовательно, пустое пространство внутри каждого из двух больших квадратов должно иметь одинаковую площадь. Приравнивание площади белого пространства дает теорему Пифагора, КЭД

Английский математик сэр Томас Хит дает это доказательство в своем комментарии к предложению I.47 в « Элементах» Евклида и упоминает предложения Германа. математиками Карлом Антоном Бретшнайдером и Германом Ганкелем, Пифагор мог знать это доказательство. Сам Хит поддерживает другое предложение пифагорейского доказательства, но признает с самого начала своего обсуждения, «что греческая литература, которой мы располагаем и относящаяся к первым пяти столетиям после Пифагора, не содержит утверждений, определяющих это или какое-либо другое конкретное великое геометрическое открытие, сделанное им. " Недавние исследования ставят под сомнение какую-либо роль Пифагора как создателя математики, хотя споры об этом продолжаются.

Другие формы теоремы

Если c обозначает длину гипотенузы, а a и b обозначают длины двух других сторон, теорему Пифагора можно выразить в виде уравнения Пифагора:

а 2 + б 2 знак равно с 2 . {\ Displaystyle а ^ {2} + Ь ^ {2} = с ^ {2}.}

Если известны длины как a, так и b, то c можно рассчитать как

с знак равно а 2 + б 2 . {\ displaystyle c = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}.}

Если известна длина гипотенузы c и одной стороны ( a или b), то длину другой стороны можно вычислить как

а знак равно с 2 б 2 {\ displaystyle a = {\ sqrt {c ^ {2} -b ^ {2}}}}

или

б знак равно с 2 а 2 . {\ displaystyle b = {\ sqrt {c ^ {2} -a ^ {2}}}.}

Уравнение Пифагора связывает стороны прямоугольного треугольника простым способом, так что, если известны длины любых двух сторон, можно найти длину третьей стороны. Другое следствие теоремы состоит в том, что в любом прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любой из других сторон, но меньше их суммы.

Обобщением этой теоремы является закон косинусов, который позволяет вычислить длину любой стороны любого треугольника, зная длины двух других сторон и угол между ними. Если угол между другими сторонами прямой угол, закон косинусов сводится к уравнению Пифагора.

Другие доказательства теоремы

У этой теоремы может быть больше известных доказательств, чем у любой другой ( закон квадратичной взаимности является еще одним претендентом на это различие); книга «Предложение Пифагора » содержит 370 доказательств.

Доказательство с использованием подобных треугольников

Доказательство с использованием подобных треугольников

Это доказательство основано на пропорциональности сторон двух подобных треугольников, то есть на том факте, что отношение любых двух соответствующих сторон подобных треугольников одинаково независимо от размера треугольников.

Пусть ABC представляет собой прямоугольный треугольник с прямым углом, расположенным в точке C, как показано на рисунке. Проведите высоту из точки C и назовите H ее пересечением со стороной AB. Точка H делит длину гипотенузы c на части d и e. Новый треугольник ACH подобен треугольнику ABC, потому что они оба имеют прямой угол (по определению высоты) и имеют общий угол A, а это означает, что третий угол будет одинаковым в обоих треугольниках . отмечен как θ на рисунке. Аналогичным образом треугольник CBH подобен треугольнику ABC. Доказательство подобия треугольников требует постулата треугольника : сумма углов в треугольнике равна двум прямым углам и эквивалентна постулату параллельности. Подобие треугольников приводит к равенству отношений соответствующих сторон:

Б С А Б знак равно Б ЧАС Б С  а также  А С А Б знак равно А ЧАС А С . {\ displaystyle {\ frac {BC} {AB}} = {\ frac {BH} {BC}} {\ text {and}}} {\ frac {AC} {AB}} = {\ frac {AH} {AC} }}.}

Первый результат приравнивает косинусы углов θ, тогда как второй результат приравнивает их синусы.

Эти отношения можно записать как

Б С 2 знак равно А Б × Б ЧАС  а также  А С 2 знак равно А Б × А ЧАС . {\ displaystyle BC ^ {2} = AB \ times BH {\ text {and}} AC ^ {2} = AB \ times AH.}

Суммируя эти два равенства, получаем

Б С 2 + А С 2 знак равно А Б × Б ЧАС + А Б × А ЧАС знак равно А Б × ( А ЧАС + Б ЧАС ) знак равно А Б 2 , {\ displaystyle BC ^ {2} + AC ^ {2} = AB \ times BH + AB \ times AH = AB \ times (AH + BH) = AB ^ {2},}

что после упрощения выражает теорему Пифагора:

Б С 2 + А С 2 знак равно А Б 2   . {\ displaystyle BC ^ {2} + AC ^ {2} = AB ^ {2} \.}

Роль этого доказательства в истории является предметом многочисленных спекуляций. Основной вопрос заключается в том, почему Евклид не использовал это доказательство, а изобрел другое. Одна из гипотез состоит в том, что доказательство с помощью подобных треугольников включало теорию пропорций, тему, которая не обсуждалась до более поздних « Элементов », и что в то время теория пропорций нуждалась в дальнейшем развитии.

доказательство Евклида

Доказательство в элементах Евклида

В общих чертах, вот как проходит доказательство в « Началах » Евклида. Большой квадрат разделен на левый и правый прямоугольники. Построен треугольник, площадь которого равна половине площади левого прямоугольника. Затем строится еще один треугольник, крайняя левая сторона которого имеет половину площади квадрата. Показано, что эти два треугольника равны, что доказывает, что этот квадрат имеет ту же площадь, что и левый прямоугольник. За этим аргументом следует аналогичная версия для правого прямоугольника и оставшегося квадрата. Если сложить два прямоугольника вместе, чтобы преобразовать квадрат на гипотенузе, его площадь будет равна сумме площадей двух других квадратов. Подробности следуют.

Пусть А, В, С — вершины прямоугольного треугольника с прямым углом А. Опустить перпендикуляр из точки А на сторону, противоположную гипотенузе, в квадрате на гипотенузе. Эта линия делит квадрат на гипотенузе на два прямоугольника, каждый из которых имеет ту же площадь, что и один из двух квадратов на катетах.

Для формального доказательства нам потребуются четыре элементарные леммы :

  1. Если у двух треугольников две стороны одного равны двум сторонам другого, каждая каждой из них, и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники конгруэнтны ( сторона-угол-сторона ).
  2. Площадь треугольника равна половине площади любого параллелограмма, имеющего то же основание и ту же высоту.
  3. Площадь прямоугольника равна произведению двух смежных сторон.
  4. Площадь квадрата равна произведению двух его сторон (следует из 3).

Затем каждый верхний квадрат связан с треугольником, равным другому треугольнику, связанному, в свою очередь, с одним из двух прямоугольников, составляющих нижний квадрат.

Иллюстрация с новыми линиями Показаны два конгруэнтных треугольника с половиной площади прямоугольника BDLK и квадрата BAGF.

Доказательство следующее:

  1. Пусть ACB — прямоугольный треугольник с прямым углом CAB.
  2. На каждой из сторон BC, AB и CA нарисованы квадраты CBDE, BAGF и ACIH в указанном порядке. Построение квадратов требует непосредственно предшествующих теорем Евклида и зависит от постулата параллельности.
  3. Из А провести линию, параллельную BD и СЕ. Он будет перпендикулярно пересекать BC и DE в точках K и L соответственно.
  4. Соедините CF и AD, чтобы сформировать треугольники BCF и BDA.
  5. Углы CAB и BAG прямые; поэтому C, A и G коллинеарны.
  6. Углы CBD и FBA прямые; Следовательно, угол ABD равен углу FBC, так как оба являются суммой прямого угла и угла ABC.
  7. Поскольку AB равен FB, BD равен BC, а угол ABD равен углу FBC, треугольник ABD должен быть равен треугольнику FBC.
  8. Так как AKL — прямая, параллельная BD, то площадь прямоугольника BDLK вдвое больше площади треугольника ABD, так как они имеют общее основание BD и имеют одинаковую высоту BK, т. е. прямую, перпендикулярную их общему основанию, соединяющую параллельные прямые BD и АЛ. (лемма 2)
  9. Так как C коллинеарна A и G, а эта прямая параллельна FB, то площадь квадрата BAGF должна быть в два раза больше треугольника FBC.
  10. Следовательно, прямоугольник BDLK должен иметь ту же площадь, что и квадрат BAGF = AB 2.
  11. Применив шаги с 3 по 10 к другой стороне рисунка, можно аналогичным образом показать, что прямоугольник CKLE должен иметь ту же площадь, что и квадрат ACIH = AC 2.
  12. Складывая эти два результата, AB 2 + AC 2 = BD × BK + KL × KC
  13. Так как BD = KL, то BD × BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC
  14. Следовательно, AB 2 + AC 2 = BC 2, так как CBDE — квадрат.

Это доказательство, которое появляется в «Элементах» Евклида как доказательство предложения 47 в Книге 1, демонстрирует, что площадь квадрата на гипотенузе есть сумма площадей двух других квадратов. Это совершенно отличается от доказательства подобия треугольников, которое, как предполагается, является доказательством, которое использовал Пифагор.

Доказательства вскрытия и перестановки

Мы уже обсуждали доказательство Пифагора, которое представляло собой доказательство перестановкой. Ту же идею передает самая левая анимация ниже, которая состоит из большого квадрата со стороной a + b, содержащего четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Треугольники показаны в двух местах, первое из которых оставляет открытыми два квадрата a 2 и b 2, второе из которых оставляет незакрытым квадрат c 2. Площадь, охватываемая внешним квадратом, никогда не меняется, а площадь четырех треугольников одинакова в начале и в конце, поэтому площади черных квадратов должны быть равны, следовательно, a 2 + b 2 = c 2.

Второе доказательство перестановкой дается средней анимацией. Большой квадрат с площадью c 2 образован четырьмя одинаковыми прямоугольными треугольниками со сторонами a, b и c, расположенными вокруг небольшого центрального квадрата. Затем путем перемещения треугольников образуются два прямоугольника со сторонами a и b. Комбинация меньшего квадрата с этими прямоугольниками дает два квадрата с площадями a 2 и b 2, которые должны иметь ту же площадь, что и исходный большой квадрат.

Третье, самое правое изображение также дает доказательство. Два верхних квадрата разделены, как показано синей и зеленой штриховкой, на части, которые при перестановке можно сделать так, чтобы они соответствовали нижнему квадрату на гипотенузе, или, наоборот, большой квадрат можно разделить, как показано, на части, которые заполняют два других.. Такой способ разрезания одной фигуры на части и перестановки их для получения другой фигуры называется рассечением. Это показывает, что площадь большого квадрата равна площади двух меньших.

Анимация, показывающая доказательство перестановкой четырех одинаковых прямоугольных треугольников. Анимация, показывающая другое доказательство перестановкой Доказательство с использованием сложной перестановки

Доказательство Эйнштейна рассечением без перестановки

Прямоугольный треугольник на гипотенузе, разделенный на два подобных прямоугольных треугольника на катетах, согласно доказательству Эйнштейна.

Альберт Эйнштейн представил доказательство методом вскрытия, в котором части не нужно перемещать. Вместо квадрата на гипотенузе и двух квадратов на катетах можно использовать любую другую форму, включающую гипотенузу, и две подобные фигуры, каждая из которых включает один из двух катетов вместо гипотенузы (см. Подобные фигуры на трех сторонах).. В доказательстве Эйнштейна фигура, включающая гипотенузу, и есть прямоугольный треугольник. Разрез состоит в опускании перпендикуляра из вершины прямого угла треугольника на гипотенузу, таким образом, весь треугольник расщепляется на две части. Эти две части имеют ту же форму, что и исходный прямоугольный треугольник, и имеют катеты исходного треугольника в качестве гипотенуз, а сумма их площадей равна площади исходного треугольника. Поскольку отношение площади прямоугольного треугольника к квадрату его гипотенузы одинаково для подобных треугольников, соотношение между площадями трех треугольников верно и для квадратов сторон большого треугольника.

Алгебраические доказательства

Схема двух алгебраических доказательств

Теорему можно доказать алгебраически, используя четыре копии прямоугольного треугольника со сторонами a, b и c, расположенные внутри квадрата со стороной c, как в верхней половине диаграммы. Треугольники подобны по площади, а маленький квадрат имеет сторону b − a и площадь ( b − a) 2. Следовательно, площадь большого квадрата 1 2 а б {\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} аб}

( б а ) 2 + 4 а б 2 знак равно ( б а ) 2 + 2 а б знак равно б 2 2 а б + а 2 + 2 а б знак равно а 2 + б 2 . {\ displaystyle (ba) ^ {2} + 4 {\ frac {ab} {2}} = (ba) ^ {2} + 2ab = b ^ {2} -2ab + a ^ {2} + 2ab = a ^{2}+б^{2}.}

Но это квадрат со стороной c и площадью c 2, поэтому

с 2 знак равно а 2 + б 2 . {\ Displaystyle с ^ {2} = а ^ {2} + Ь ^ {2}.}

Аналогичное доказательство использует четыре копии того же треугольника, расположенные симметрично вокруг квадрата со стороной c, как показано в нижней части диаграммы. Это приводит к большему квадрату со стороной a + b и площадью ( a + b) 2. Четыре треугольника и сторона квадрата c должны иметь ту же площадь, что и больший квадрат,

( б + а ) 2 знак равно с 2 + 4 а б 2 знак равно с 2 + 2 а б , {\ displaystyle (b + a) ^ {2} = c ^ {2} + 4 {\ frac {ab} {2}} = c ^ {2} + 2ab,}

давать

с 2 знак равно ( б + а ) 2 2 а б знак равно б 2 + 2 а б + а 2 2 а б знак равно а 2 + б 2 . {\ displaystyle c ^ {2} = (b + a) ^ {2} -2ab = b ^ {2} + 2ab + a ^ {2} -2ab = a ^ {2} + b ^ {2}.}
Схема доказательства Гарфилда

Соответствующее доказательство было опубликовано будущим президентом США Джеймсом А. Гарфилдом (в то время представителем США ) (см. Диаграмму). Вместо квадрата используется трапеция, которую можно построить из квадрата во втором доказательстве, разделив пополам диагональ внутреннего квадрата, чтобы получить трапецию, как показано на диаграмме. Площадь трапеции можно вычислить как половину площади квадрата, т.

1 2 ( б + а ) 2 . {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (b + a) ^ {2}.}

Внутренний квадрат также делится пополам, а треугольников всего два, поэтому доказательство продолжается, как указано выше, за исключением множителя, который удаляется путем умножения на два, чтобы получить результат. 1 2 {\ Displaystyle {\ гидроразрыва {1} {2}}}

Доказательство с использованием дифференциалов

К теореме Пифагора можно прийти, изучая, как изменения стороны вызывают изменение гипотенузы, и применяя исчисление.

Треугольник ABC прямоугольный, как показано в верхней части диаграммы, с гипотенузой BC. В то же время длины треугольника измеряются, как показано, с гипотенузой длины y, стороной AC длины x и стороной AB длины a, как показано в нижней части диаграммы.

Диаграмма для дифференциального доказательства

Если x увеличить на небольшую величину dx за счет небольшого удлинения стороны AC до D, то y также увеличится на dy. Они образуют две стороны треугольника CDE, который (с E, выбранным таким образом, что CE перпендикулярен гипотенузе) является прямоугольным треугольником, приблизительно подобным ABC. Следовательно, отношения их сторон должны быть одинаковыми, то есть:

д у д Икс знак равно Икс у . {\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {x} {y}}.}

Это можно переписать как дифференциальное уравнение, которое можно решить прямым интегрированием: у д у знак равно Икс д Икс {\ Displaystyle у \, dy = х \, дх}

у д у знак равно Икс д Икс , {\ Displaystyle \ int y \, dy = \ int x \, dx \,,}

давать

у 2 знак равно Икс 2 + С . {\ Displaystyle у ^ {2} = х ^ {2} + С.}

Константу можно вывести из x = 0, y = a, чтобы получить уравнение

у 2 знак равно Икс 2 + а 2 . {\ Displaystyle у ^ {2} = х ^ {2} + а ^ {2}.}

Это скорее интуитивное доказательство, чем формальное: его можно сделать более строгим, если вместо dx и dy использовать соответствующие пределы.

Конверс

Обратное утверждение теоремы также верно:

Для любых трех положительных чисел a, b и c таких, что a 2 + b 2 = c 2, существует треугольник со сторонами a, b и c, и каждый такой треугольник имеет прямой угол между сторонами длин a и b.

Альтернативное утверждение:

Для любого треугольника со сторонами a, b, c, если a2 + b2 = c2, то угол между a и b равен 90 °.

Это обращение также появляется в «Элементах» Евклида (книга I, предложение 48):

«Если в треугольнике квадрат одной из сторон равен сумме квадратов двух оставшихся сторон треугольника, то угол, заключенный между оставшимися двумя сторонами треугольника, прямой».

Это можно доказать с помощью закона косинусов или следующим образом:

Пусть ABC треугольник с длинами сторон a, b и c, причем a 2 + b 2 = c 2. Постройте второй треугольник со сторонами длины a и b, содержащими прямой угол. По теореме Пифагора следует, что гипотенуза этого треугольника имеет длину c = √ a 2 + b 2, такую ​​же, как и гипотенуза первого треугольника. Поскольку стороны обоих треугольников имеют одинаковую длину a, b и c, треугольники конгруэнтны и должны иметь одинаковые углы. Следовательно, угол между сторонами длин a и b в исходном треугольнике является прямым углом.

Приведенное выше доказательство обратного использует саму теорему Пифагора. Обратное также можно доказать, не прибегая к теореме Пифагора.

Следствием обратной теоремы Пифагора является простой способ определить, является ли треугольник прямоугольным, тупоугольным или остроугольным, следующим образом. Пусть c выбрано как самая длинная из трех сторон, а a + b gt; c (иначе не существует треугольника в соответствии с неравенством треугольника ). Применяются следующие утверждения:

Эдсгер В. Дейкстра сформулировал это предложение об острых, прямоугольных и тупых треугольниках на этом языке:

sgn( α + β - γ) = sgn( a 2 + b 2 - c 2),

где α — угол, противолежащий стороне a, β — угол, противолежащий стороне b, γ — угол, противолежащий стороне c, а sign — знаковая функция.

Следствия и использование теоремы

Пифагоровы тройки

Основная статья: пифагорейская тройка

Пифагорейская тройка имеет три положительных целых числа a, b и c, такие что a 2 + b 2 = c 2. Другими словами, пифагорова тройка представляет длины сторон прямоугольного треугольника, где все три стороны имеют целые длины. Такая тройка обычно пишется ( a, b, c). Некоторые хорошо известные примеры: (3, 4, 5) и (5, 12, 13).

Примитивная пифагорейская тройка — это тройка, в которой a, b и c взаимно просты ( наибольший общий делитель a, b и c равен 1).

Ниже приведен список примитивных пифагорейских троек со значениями меньше 100:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77), 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

Взаимная теорема Пифагора

Дан прямоугольный треугольник со сторонами и высотой (линия, проведенная из прямого угла и перпендикулярная гипотенузе ). Теорема Пифагора имеет, а , б , с {\ Displaystyle а, б, с} д {\ Displaystyle д} с {\ Displaystyle с}

а 2 + б 2 знак равно с 2 {\ Displaystyle а ^ {2} + Ь ^ {2} = с ^ {2}}

в то время как обратная теорема Пифагора или перевернутая теорема Пифагора связывает две ноги с высотой, а , б {\ Displaystyle а, б} д {\ Displaystyle д}

1 а 2 + 1 б 2 знак равно 1 д 2 {\ displaystyle {\ frac {1} {a ^ {2}}} + {\ frac {1} {b ^ {2}}} = {\ frac {1} {d ^ {2}}}}

Уравнение можно преобразовать к,

1 ( Икс г ) 2 + 1 ( у г ) 2 знак равно 1 ( Икс у ) 2 {\ displaystyle {\ frac {1} {(xz) ^ {2}}} + {\ frac {1} {(yz) ^ {2}}} = {\ frac {1} {(xy) ^ {2 }}}}

где для любого ненулевого действительного. Если должны быть целыми числами, наименьшее решение тогда Икс 2 + у 2 знак равно г 2 {\ Displaystyle х ^ {2} + у ^ {2} = г ^ {2}} Икс , у , г {\ Displaystyle х, у, г} а , б , д {\ Displaystyle а, б, г} а gt; б gt; д {\ Displaystyle аgt; бgt; г}

1 20 2 + 1 15 2 знак равно 1 12 2 {\ displaystyle {\ frac {1} {20 ^ {2}}} + {\ frac {1} {15 ^ {2}}} = {\ frac {1} {12 ^ {2}}}}

используя наименьшую пифагорову тройку. Обратная теорема Пифагора является частным случаем оптического уравнения 3 , 4 , 5 {\ Displaystyle 3,4,5}

1 п + 1 д знак равно 1 р {\ displaystyle {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} = {\ frac {1} {r}}}

где знаменатели - квадраты, а также для семиугольного треугольника, стороны которого - квадратные числа. п , д , р {\ Displaystyle р, д, г}

Несоизмеримые длины

Спираль Теодора : конструкция для отрезков с длинами, отношения которых являются квадратным корнем из положительного целого числа.

Одним из следствий теоремы Пифагора является то, что отрезки, длины которых несоизмеримы (поэтому отношение которых не является рациональным числом ), можно построить с помощью линейки и циркуля. Теорема Пифагора позволяет строить несоизмеримые длины, потому что гипотенуза треугольника связана со сторонами посредством операции извлечения квадратного корня.

На рисунке справа показано, как построить отрезки, длина которых находится в отношении квадратного корня из любого положительного целого числа. У каждого треугольника есть сторона (обозначенная цифрой 1), которая является выбранной единицей измерения. В каждом прямоугольном треугольнике теорема Пифагора устанавливает длину гипотенузы в терминах этой единицы. Если гипотенуза связана с единицей квадратным корнем из положительного целого числа, которое не является полным квадратом, это реализация длины, несоизмеримой с единицей, такой как √ 2, √ 3, √ 5  . Для получения дополнительной информации см. Квадратичный иррациональный.

Несоизмеримая длина противоречила представлению пифагорейской школы о числах как о целых числах. Пифагорейская школа рассматривала пропорции путем сравнения целых кратных общей субъединицы. Согласно одной легенде, Гиппас из Метапонта ( ок. 470 г. до н. э.) утонул в море за то, что дал понять о существовании иррационального или несоизмеримого.

Сложные числа

Абсолютное значение комплексного числа z - это расстояние r от z до начала координат.

Для любого комплексного числа

г знак равно Икс + я у , {\ Displaystyle г = х + гу,}

абсолютное значение или модуль определяется выражением

р знак равно | г | знак равно Икс 2 + у 2 . {\ displaystyle r = | z | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}

Итак, три величины r, x и y связаны уравнением Пифагора:

р 2 знак равно Икс 2 + у 2 . {\ Displaystyle г ^ {2} = х ^ {2} + у ^ {2}.}

Обратите внимание, что r определяется как положительное число или нуль, но x и y могут быть как положительными, так и отрицательными. Геометрически r — это расстояние z от нуля или начала координат O в комплексной плоскости.

Это можно обобщить, чтобы найти расстояние между двумя точками, скажем, z 1 и z 2. Требуемое расстояние определяется выражением

| г 1 г 2 | знак равно ( Икс 1 Икс 2 ) 2 + ( у 1 у 2 ) 2 , {\ displaystyle | z_ {1} -z_ {2} | = {\ sqrt {(x_ {1} -x_ {2}) ^ {2} + (y_ {1} -y_ {2}) ^ {2} }},}

так что снова они связаны версией уравнения Пифагора,

| г 1 г 2 | 2 знак равно ( Икс 1 Икс 2 ) 2 + ( у 1 у 2 ) 2 . {\ displaystyle | z_ {1} -z_ {2} | ^ {2} = (x_ {1} -x_ {2}) ^ {2} + (y_ {1} -y_ {2}) ^ {2}.}

Евклидово расстояние

Дополнительная информация: Евклидово расстояние.

Формула расстояния в декартовых координатах выводится из теоремы Пифагора. Если ( x 1, y 1) и ( x 2, y 2) являются точками на плоскости, то расстояние между ними, также называемое евклидовым расстоянием, определяется выражением

( Икс 1 Икс 2 ) 2 + ( у 1 у 2 ) 2 . {\ displaystyle {\ sqrt {(x_ {1} -x_ {2}) ^ {2} + (y_ {1} -y_ {2}) ^ {2}}}.}

В более общем смысле, в евклидовом n -пространстве евклидово расстояние между двумя точками и определяется обобщением теоремы Пифагора как: А знак равно ( а 1 , а 2 , , а н ) {\ Displaystyle А \, = \, (а_ {1}, а_ {2}, \ точки, а_ {п})} Б знак равно ( б 1 , б 2 , , б н ) {\ Displaystyle B \, = \, (b_ {1}, b_ {2}, \ точки, b_ {n})}

( а 1 б 1 ) 2 + ( а 2 б 2 ) 2 + + ( а н б н ) 2 знак равно я знак равно 1 н ( а я б я ) 2 . {\ displaystyle {\ sqrt {(a_ {1} -b_ {1}) ^ {2} + (a_ {2} -b_ {2}) ^ {2} + \ cdots + (a_ {n} -b_ { n}) ^ {2}}} = {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (a_ {i} -b_ {i}) ^ {2}}}.}

Если вместо евклидова расстояния используется квадрат этого значения ( квадрат евклидова расстояния или SED), в полученном уравнении не будет квадратных корней, и оно будет просто суммой SED координат:

( а 1 б 1 ) 2 + ( а 2 б 2 ) 2 + + ( а н б н ) 2 знак равно я знак равно 1 н ( а я б я ) 2 . {\ displaystyle (a_ {1} -b_ {1}) ^ {2} + (a_ {2} -b_ {2}) ^ {2} + \ cdots + (a_ {n} -b_ {n}) ^ {2}=\сумма _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}.}

Квадратная форма представляет собой гладкую выпуклую функцию обеих точек и широко используется в теории оптимизации и статистике, образуя основу метода наименьших квадратов.

Евклидово расстояние в других системах координат

Если декартовы координаты не используются, например, если используются полярные координаты в двух измерениях или, в более общем плане, если используются криволинейные координаты, формулы, выражающие евклидово расстояние, более сложны, чем теорема Пифагора, но могут быть получены из Это. Типичный пример, когда прямолинейное расстояние между двумя точками преобразуется в криволинейные координаты, можно найти в приложениях полиномов Лежандра в физике. Формулы могут быть обнаружены с помощью теоремы Пифагора с уравнениями, связывающими криволинейные координаты с декартовыми координатами. Например, полярные координаты ( r, θ) могут быть представлены как:

Икс знак равно р потому что θ ,   у знак равно р грех θ . {\ Displaystyle х = г \ соз \ тета, \ у = г \ грех \ тета.}

Тогда две точки с положениями ( r 1, θ 1) и ( r 2, θ 2) разделены расстоянием s:

с 2 знак равно ( Икс 1 Икс 2 ) 2 + ( у 1 у 2 ) 2 знак равно ( р 1 потому что θ 1 р 2 потому что θ 2 ) 2 + ( р 1 грех θ 1 р 2 грех θ 2 ) 2 . {\ displaystyle s ^ {2} = (x_ {1} -x_ {2}) ^ {2} + (y_ {1} -y_ {2}) ^ {2} = (r_ {1} \ cos \ theta _{1}-r_{2}\cos\theta_{2})^{2}+(r_{1}\sin\theta_{1}-r_{2}\sin\theta_{2}) ^{2}.}

Выполняя квадраты и комбинируя термины, формула Пифагора для расстояния в декартовых координатах дает разделение в полярных координатах как:

с 2 знак равно р 1 2 + р 2 2 2 р 1 р 2 ( потому что θ 1 потому что θ 2 + грех θ 1 грех θ 2 ) знак равно р 1 2 + р 2 2 2 р 1 р 2 потому что ( θ 1 θ 2 ) знак равно р 1 2 + р 2 2 2 р 1 р 2 потому что Δ θ , {\ displaystyle {\ begin {align} s ^ {2} amp; = r_ {1} ^ {2} + r_ {2} ^ {2} -2r_ {1} r_ {2} \ left (\ cos \ theta _ {1}\cos\theta_{2}+\sin\theta_{1}\sin\theta_{2}\right)\\amp;=r_{1}^{2}+r_{2}^{ 2}-2r_{1}r_{2}\cos\left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\\amp;=r_{1}^{2}+r_{2}^ {2}-2r_{1}r_{2}\cos\Delta\theta,\end{выровнено}}}

используя тригонометрические формулы произведения на сумму. Эта формула представляет собой закон косинусов, иногда называемый обобщенной теоремой Пифагора. Из этого результата для случая, когда радиусы двух точек находятся под прямым углом, замкнутый угол Δ θ = π / 2, и форма, соответствующая теореме Пифагора, восстанавливается: теорема Пифагора, действительная для прямоугольных треугольников, поэтому является частным случаем более общего закона косинусов, справедливого для произвольных треугольников. с 2 знак равно р 1 2 + р 2 2 . {\ displaystyle s ^ {2} = r_ {1} ^ {2} + r_ {2} ^ {2}.}

Пифагорейское тригонометрическое тождество

Основная статья: пифагорейское тригонометрическое тождество Подобные прямоугольные треугольники, показывающие синус и косинус угла θ

В прямоугольном треугольнике со сторонами a, b и гипотенузой c тригонометрия определяет синус и косинус угла θ между стороной a и гипотенузой как:

грех θ знак равно б с , потому что θ знак равно а с . {\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {b} {c}}, \ quad \ cos \ theta = {\ frac {a} {c}}.}

Отсюда следует:

потому что 2 θ + грех 2 θ знак равно а 2 + б 2 с 2 знак равно 1 , {\ displaystyle {\ cos} ^ {2} \ theta + {\ sin} ^ {2} \ theta = {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2}} {c ^ {2}}} = 1,}

где последний шаг применяет теорему Пифагора. Это соотношение между синусом и косинусом иногда называют фундаментальным тригонометрическим тождеством Пифагора. В подобных треугольниках отношения сторон одинаковы независимо от размера треугольников и зависят от углов. Следовательно, на рисунке треугольник с гипотенузой единичного размера имеет противолежащую сторону размера sin  θ и прилежащую сторону размера cos  θ в единицах гипотенузы.

Отношение к перекрестному произведению

Площадь параллелограмма как векторное произведение; векторы a и b определяют плоскость, а a × b нормальна к этой плоскости.

Теорема Пифагора связывает перекрестное произведение и скалярное произведение аналогичным образом:

а × б 2 + ( а б ) 2 знак равно а 2 б 2 . {\ Displaystyle \|\ mathbf {а} \ раз \ mathbf {b} \|^ {2} + (\ mathbf {а} \ cdot \ mathbf {b}) ^ {2} = \|\ mathbf {а} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}.}

Это видно из определений перекрестного произведения и скалярного произведения, как

а × б знак равно а б н грех θ а б знак равно а б потому что θ , {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} amp; = ab \ mathbf {n} \ sin {\ theta} \\\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} amp; = ab \ cos {\ theta}, \ end {выровнено}}}

где n единичный вектор, нормальный как к a, так и к b. Связь следует из этих определений и пифагорейского тригонометрического тождества.

Это также можно использовать для определения перекрестного произведения. Путем перестановки следующего уравнения получается

а × б 2 знак равно а 2 б 2 ( а б ) 2 . {\ displaystyle \|\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} \|^ {2} = \|\ mathbf {a} \|^ {2} \|\ mathbf {b} \|^ {2} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b})^{2}.}

Это можно рассматривать как условие для перекрестного произведения и, таким образом, часть его определения, например, в семи измерениях.

Обобщения

Одинаковые фигуры с трех сторон

Обобщение теоремы Пифагора, распространяющееся за пределы площади квадратов с трех сторон на аналогичные фигуры, было известно Гиппократу Хиосскому в 5 веке до нашей эры и было включено Евклидом в его « Элементы »:

Если построить подобные фигуры (см. Евклидову геометрию ) с соответствующими сторонами на сторонах прямоугольного треугольника, то сумма площадей фигур на двух меньших сторонах равна площади фигур на большей стороне.

Это расширение предполагает, что стороны исходного треугольника являются соответствующими сторонами трех конгруэнтных фигур (таким образом, обычные отношения сторон между подобными фигурами равны a:b:c). Хотя доказательство Евклида применялось только к выпуклым многоугольникам, теорема также применима к вогнутым многоугольникам и даже к подобным фигурам с изогнутыми границами (но все же с частью границы фигуры, являющейся стороной исходного треугольника).

Основная идея этого обобщения состоит в том, что площадь плоской фигуры пропорциональна квадрату любого линейного размера и, в частности, пропорциональна квадрату длины любой стороны. Таким образом, если подобные фигуры с площадями А, В и С воздвигнуть на сторонах с соответствующими длинами а, b и с, то:

А а 2 знак равно Б б 2 знак равно С с 2 , {\ displaystyle {\ frac {A} {a ^ {2}}} = {\ frac {B} {b ^ {2}}} = {\ frac {C} {c ^ {2}}} \,, }
А + Б знак равно а 2 с 2 С + б 2 с 2 С . {\ displaystyle \ Rightarrow A + B = {\ frac {a ^ {2}} {c ^ {2}}} C + {\ frac {b ^ {2}} {c ^ {2}}} C \,. }

Но по теореме Пифагора a 2 + b 2 = c 2, поэтому A + B = C.

И наоборот, если мы можем доказать, что A + B = C для трех одинаковых фигур, не используя теорему Пифагора, то мы можем работать в обратном направлении, чтобы построить доказательство теоремы. Например, треугольник с начальным центром можно воспроизвести и использовать как треугольник C на его гипотенузе, а два подобных прямоугольных треугольника ( A и B) построить на двух других сторонах, образованных делением центрального треугольника на его высоту. Таким образом, сумма площадей двух меньших треугольников равна площади третьего, таким образом, A + B = C, и обращение приведенной выше логики приводит к теореме Пифагора a 2 + b 2 = c 2. ( См. Также доказательство Эйнштейна путем рассечения без перестановки)

Обобщение для подобных треугольников, зеленая область A + B = синяя область C Теорема Пифагора об использовании подобных прямоугольных треугольников Обобщение для правильных пятиугольников

Закон косинусов

Разделение s двух точек (r 1, θ 1) и (r 2, θ 2) в полярных координатах определяется законом косинусов. Внутренний угол Δθ = θ 1 −θ 2. Основная статья: Закон косинусов

Теорема Пифагора является частным случаем более общей теоремы о длинах сторон любого треугольника, закона косинусов:

а 2 + б 2 2 а б потому что θ знак равно с 2 , {\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos {\ theta} = c ^ {2},}

где угол между сторонами и. θ {\ Displaystyle \ тета} а {\ Displaystyle а} б {\ Displaystyle б}

Когда радианы или 90°, то и формула сводится к обычной теореме Пифагора. θ {\ Displaystyle \ тета} π 2 {\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}} потому что θ знак равно 0 {\ Displaystyle \ соз {\ тета} = 0}

Произвольный треугольник

Обобщение теоремы Пифагора Табитом ибн Корра. Нижняя панель: отражение треугольника CAD (вверху) с образованием треугольника DAC, аналогичного треугольнику ABC (вверху).

В любой выбранный угол общего треугольника со сторонами a, b, c вписать равнобедренный треугольник так, чтобы равные углы при его основании θ были такими же, как выбранный угол. Предположим, что выбранный угол θ противоположен стороне, отмеченной буквой c. Вписанный в равнобедренный треугольник образует треугольник CAD с углом θ против стороны b и со стороной r вдоль c. Второй треугольник образован с углом θ напротив стороны а и стороной с длиной s вдоль с, как показано на рисунке. Табит ибн Курра заявил, что стороны трех треугольников связаны следующим образом:

а 2 + б 2 знак равно с ( р + с )   . {\ Displaystyle а ^ {2} + Ь ^ {2} = с (г + с) \.}

По мере того как угол θ приближается к π /2, основание равнобедренного треугольника сужается, а длины r и s перекрываются все меньше и меньше. Когда θ = π / 2, ADB становится прямоугольным треугольником, r + s = c, и восстанавливается исходная теорема Пифагора.

Одно доказательство показывает, что треугольник ABC имеет те же углы, что и треугольник CAD, но в противоположном порядке. (Два треугольника имеют общий угол при вершине A, оба содержат угол θ и, следовательно, имеют один и тот же третий угол в соответствии с постулатом треугольника. ) Следовательно, ABC подобен отражению CAD, треугольника DAC на нижней панели. Взяв отношение сторон, противоположных и примыкающих к θ,

с б знак равно б р   . {\ displaystyle {\ frac {c} {b}} = {\ frac {b} {r}} \.}

Аналогично, для отражения другого треугольника

с а знак равно а с   . {\ displaystyle {\ frac {c} {a}} = {\ frac {a} {s}} \.}

Очистка дробей и добавление этих двух отношений:

с с + с р знак равно а 2 + б 2   , {\ Displaystyle cs + cr = а ^ {2} + Ь ^ {2} \,}

требуемый результат.

Теорема остается в силе, если угол тупой, поэтому длины r и s не перекрываются. θ {\ Displaystyle \ тета}

Общие треугольники с использованием параллелограммов

Обобщение для произвольных треугольников, зеленая область = синяя область Конструкция для доказательства обобщения параллелограмма

Теорема Паппа о площади является дальнейшим обобщением, применимым к треугольникам, которые не являются прямоугольными, с использованием параллелограммов с трех сторон вместо квадратов (конечно, квадраты - это особый случай). На верхнем рисунке показано, что для разностороннего треугольника площадь параллелограмма на большей стороне равна сумме площадей параллелограмма на двух других сторонах при условии, что параллелограмм на длинной стороне построен, как указано (размеры, отмеченные знаком стрелки совпадают и определяют стороны нижнего параллелограмма). Эта замена квадратов параллелограммами имеет явное сходство с исходной теоремой Пифагора и считалась обобщением Паппа Александрийского в 4 г. н.э.

На нижнем рисунке показаны элементы доказательства. Сосредоточьтесь на левой стороне фигуры. Левый зеленый параллелограмм имеет ту же площадь, что и левая синяя часть нижнего параллелограмма, потому что оба имеют одинаковое основание b и высоту h. Однако левый зеленый параллелограмм также имеет ту же площадь, что и левый зеленый параллелограмм на верхнем рисунке, потому что у них одинаковое основание (верхняя левая сторона треугольника) и одинаковая высота по нормали к этой стороне треугольника. Повторяя аргумент для правой стороны рисунка, нижний параллелограмм имеет ту же площадь, что и сумма двух зеленых параллелограммов.

Твердотельная геометрия

Основная статья: Твердотельная геометрия Теорема Пифагора в трех измерениях связывает диагональ AD с тремя сторонами. Тетраэдр с прямым углом, обращенным наружу

С точки зрения стереометрии теорема Пифагора может быть применена к трем измерениям следующим образом. Рассмотрим прямоугольное тело, как показано на рисунке. Длина диагонали BD находится по теореме Пифагора как:

Б Д ¯ 2 знак равно Б С ¯ 2 + С Д ¯ 2   , {\ displaystyle {\ overline {BD}} ^ {\, 2} = {\ overline {BC}} ^ {\, 2} + {\ overline {CD}} ^ {\, 2} \,}

где эти три стороны образуют прямоугольный треугольник. Используя горизонтальную диагональ BD и вертикальное ребро AB, длина диагонали AD затем определяется вторым применением теоремы Пифагора как:

А Д ¯ 2 знак равно А Б ¯ 2 + Б Д ¯ 2   , {\ displaystyle {\ overline {AD}} ^ {\, 2} = {\ overline {AB}} ^ {\, 2} + {\ overline {BD}} ^ {\, 2} \,}

или, делая все это за один шаг:

А Д ¯ 2 знак равно А Б ¯ 2 + Б С ¯ 2 + С Д ¯ 2   . {\ displaystyle {\ overline {AD}} ^ {\, 2} = {\ overline {AB}} ^ {\, 2} + {\ overline {BC}} ^ {\, 2} + {\ overline {CD }}^{\,2}\.}

Этот результат представляет собой трехмерное выражение величины вектора v (диагонали AD) через его ортогональные компоненты { v k } (три взаимно перпендикулярные стороны):

в 2 знак равно к знак равно 1 3 в к 2 . {\ displaystyle \|\ mathbf {v} \|^ {2} = \ sum _ {k = 1} ^ {3} \|\ mathbf {v} _ {k} \|^ {2}.}

Эту одношаговую формулировку можно рассматривать как обобщение теоремы Пифагора на более высокие измерения. Однако на самом деле этот результат представляет собой просто повторное применение исходной теоремы Пифагора к последовательности прямоугольных треугольников в последовательности ортогональных плоскостей.

Существенным обобщением теоремы Пифагора на три измерения является теорема де Гуа, названная в честь Жана-Поля де Гуа де Мальвеса : если тетраэдр имеет прямой угол (как угол куба ), то квадрат площади грани напротив прямого угла находится сумма квадратов площадей трех других граней. Этот результат можно обобщить, как в « n - мерной теореме Пифагора»:

Позвольте быть ортогональными векторами в ℝ n. Рассмотрим n - мерный симплекс S с вершинами. (Думайте о ( n  - 1)-мерном симплексе с вершинами, не включающими начало координат, как о «гипотенузе» S, а остальные ( n  - 1)-мерные грани S как о его «ногах».) Тогда квадрат объем гипотенузы S равен сумме квадратов объемов n катетов. Икс 1 , Икс 2 , , Икс н {\ Displaystyle х_ {1}, х_ {2}, \ ldots, х_ {п}} 0 , Икс 1 , , Икс н {\ Displaystyle 0, х_ {1}, \ ldots, х_ {п}} Икс 1 , , Икс н {\ Displaystyle х_ {1}, \ ldots, х_ {п}}

Это утверждение иллюстрируется в трех измерениях тетраэдром на рисунке. «Гипотенуза» — это основание тетраэдра в задней части фигуры, а «ножки» — это три стороны, исходящие из вершины на переднем плане. По мере увеличения глубины основания от вершины площадь «ножек» увеличивается, а площадь основания остается неизменной. Теорема предполагает, что когда эта глубина равна значению, создающему правую вершину, применяется обобщение теоремы Пифагора. В другой редакции:

Для n -прямоугольного n -мерного симплекса квадрат ( n  - 1)-содержимого грани, противоположной правой вершине, будет равен сумме квадратов ( n  - 1)-содержимого остальных граней.

Внутренние пространства продукта

Смотрите также: гильбертово пространство Векторы, участвующие в законе параллелограмма

Теорему Пифагора можно обобщить на пространства со скалярным произведением, которые являются обобщениями знакомых 2-мерных и 3-мерных евклидовых пространств. Например, функцию можно рассматривать как вектор с бесконечным числом компонентов в пространстве внутреннего произведения, как в функциональном анализе.

В пространстве внутреннего произведения понятие перпендикулярности заменяется понятием ортогональности : два вектора v и w ортогональны, если их внутренний продукт равен нулю. Внутренний продукт является обобщением скалярного произведения векторов. Скалярный продукт называется стандартным внутренним продуктом или евклидовым внутренним продуктом. Однако возможны и другие внутренние продукты. в , ж {\ Displaystyle \ Лангле \ mathbf {v}, \ mathbf {ш} \ rangle}

Понятие длины заменяется понятием нормы || в || вектора v, определенного как:

в в , в . {\ displaystyle \ lVert \ mathbf {v} \ rVert \equiv {\ sqrt {\ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {v} \ rangle}} \,.}

В пространстве внутреннего произведения теорема Пифагора утверждает, что для любых двух ортогональных векторов v и w мы имеем

в + ж 2 знак равно в 2 + ж 2 . {\ Displaystyle \ влево \|\ mathbf {v} +\ mathbf {w} \ вправо \|^ {2} = \ влево \|\ mathbf {v} \ вправо \|^ {2} + \ влево \|\ mathbf {w} \right\|^{2}.}

Здесь векторы v и w подобны сторонам прямоугольного треугольника с гипотенузой, заданной векторной суммой v  +  w. Эта форма теоремы Пифагора является следствием свойств скалярного произведения :

в + ж 2 знак равно в + ж ,   в + ж знак равно в ,   в + ж ,   ж + в ,   ж + ж ,   в   знак равно в 2 + ж 2 , {\ displaystyle \ left \|\ mathbf {v} + \ mathbf {w} \ right \|^ {2} = \ langle \ mathbf {v + w}, \ \ mathbf {v + w} \ rangle = \ langle \mathbf {v},\ \mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {w},\ \mathbf {w} \rangle +\langle \mathbf {v,\ w} \rangle +\langle \mathbf { w,\ v} \rangle \ =\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}+\left\|\mathbf {w} \right\|^{2},}

где внутренние произведения перекрестных членов равны нулю из-за ортогональности.

Дальнейшим обобщением теоремы Пифагора в пространстве внутреннего произведения на неортогональные векторы является закон параллелограмма  :

2 в 2 + 2 ж 2 знак равно в + ж 2 + в ж 2   , {\ displaystyle 2 \|\ mathbf {v} \|^ {2} +2 \|\ mathbf {w} \|^ {2} = \|\ mathbf {v + w} \|^ {2}+\ |\mathbf {vw} \|^{2}\,}

что говорит о том, что удвоенная сумма квадратов длин сторон параллелограмма есть сумма квадратов длин диагоналей. Любая норма, удовлетворяющая этому равенству, ipso facto является нормой, соответствующей скалярному продукту.

Тождество Пифагора можно распространить на суммы более чем двух ортогональных векторов. Если v 1, v 2,..., v n являются попарно ортогональными векторами в пространстве со скалярным произведением, то применение теоремы Пифагора к последовательным парам этих векторов (как описано для трехмерного пространства в разделе о твердотельной геометрии) приводит к уравнению

к знак равно 1 н в к 2 знак равно к знак равно 1 н в к 2 {\ Displaystyle \ влево \ | \ сумма _ {к = 1} ^ {п} \ mathbf {v} _ {к} \ вправо \ | ^ {2} = \ сумма _ {к = 1} ^ {п} \ |\mathbf {v} _{k}\|^{2}}

Множества m -мерных объектов в n -мерном пространстве

Другое обобщение теоремы Пифагора применимо к измеримым по Лебегу наборам объектов в любом количестве измерений. В частности, квадрат меры m - мерного множества объектов в одной или нескольких параллельных m - мерных плоскостях в n - мерном евклидовом пространстве равен сумме квадратов мер ортогональных проекций объекта(ов).) на все m -мерные координатные подпространства.

С математической точки зрения:

мю м с 2 знак равно я знак равно 1 Икс мю 2 м п я {\ displaystyle \ mu _ {ms} ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {x} \ mathbf {\ mu ^ {2}} _ {mp_ {i}}}

куда:

  • мю м {\ Displaystyle \ му _ {м}}является мерой в m -измерениях (длина в одном измерении, площадь в двух измерениях, объем в трех измерениях и т. д.).
  • с {\ Displaystyle с}представляет собой набор из одного или нескольких непересекающихся m - мерных объектов в одной или нескольких параллельных m - мерных плоскостях в n - мерном евклидовом пространстве.
  • мю м с {\ Displaystyle \ му _ {мс}}есть общая мера (сумма) множества m -мерных объектов.
  • п {\ Displaystyle р}представляет m -мерную проекцию исходного множества на ортогональное координатное подпространство.
  • мю м п я {\ Displaystyle \ му _ {mp_ {я}}}есть мера проекции m -мерного множества на m - мерное координатное подпространство. Поскольку проекции объекта могут перекрываться в координатном подпространстве, мера каждой проекции объекта в наборе должна вычисляться индивидуально, а затем меры всех проекций складываются вместе, чтобы получить общую меру для набора проекций в данном координатном подпространстве. я {\ Displaystyle я}
  • Икс {\ Displaystyle х}— количество ортогональных m - мерных координатных подпространств в n - мерном пространстве ( Rn), на которые проецируются m - мерные объекты ( m ≤ n):
Икс знак равно ( н м ) знак равно н ! м ! ( н м ) ! {\ displaystyle x = {\ binom {n} {m}} = {\ frac {n!} {m! (nm)!}}}

Неевклидова геометрия

Основная статья: Неевклидова геометрия Смотрите также: аксиомы Гильберта

Теорема Пифагора выводится из аксиом евклидовой геометрии, и на самом деле, если бы теорема Пифагора неверна для некоторого прямоугольного треугольника, то плоскость, в которой содержится этот треугольник, не может быть евклидовой. Точнее, теорема Пифагора подразумевает и подразумевается Евклидовым (Пятым) Постулатом Параллели. Таким образом, прямоугольные треугольники в неевклидовой геометрии не удовлетворяют теореме Пифагора. Например, в сферической геометрии все три стороны прямоугольного треугольника (скажем, a, b и c), ограничивающие октант единичной сферы, имеют длину, равную π /2, и все его углы прямые, что нарушает пифагорейское правило. теорема, потому что. а 2 + б 2 знак равно 2 с 2 gt; с 2 {\ Displaystyle а ^ {2} + Ь ^ {2} = 2с ^ {2}gt; с ^ {2}}

Здесь рассматриваются два случая неевклидовой геометрии — сферическая геометрия и гиперболическая плоская геометрия ; в каждом случае, как и в евклидовом случае для непрямоугольных треугольников, результат, заменяющий теорему Пифагора, следует из соответствующего закона косинусов.

Однако теорема Пифагора остается верной в гиперболической и эллиптической геометрии, если условие прямоугольности треугольника заменить условием, что сумма двух углов равна третьему, скажем, A + B = C. Тогда стороны связаны следующим образом: сумма площадей кругов с диаметрами a и b равна площади круга с диаметром c.

Сферическая геометрия

Основная статья: Сферическая геометрия Сферический треугольник

Для любого прямоугольного треугольника на сфере радиуса R (например, если угол γ на рисунке прямой) со сторонами a, b, c отношение между сторонами принимает вид:

потому что ( с р ) знак равно потому что ( а р ) потому что ( б р ) . {\ displaystyle \ cos \ left ({\ frac {c} {R}} \ right) = \ cos \ left ({\ frac {a} {R}} \ right) \ cos \ left ({\ frac {b {R}}\справа).}

Это уравнение можно вывести как частный случай сферического закона косинусов, применимого ко всем сферическим треугольникам:

потому что ( с р ) знак равно потому что ( а р ) потому что ( б р ) + грех ( а р ) грех ( б р ) потому что γ   . {\ displaystyle \ cos \ left ({\ frac {c} {R}} \ right) = \ cos \ left ({\ frac {a} {R}} \ right) \ cos \ left ({\ frac {b }{R}}\right)+\sin\left({\frac {a}{R}}\right)\sin\left({\frac {b}{R}}\right)\cos\gamma\.}

Выражая ряд Маклорена для функции косинуса как асимптотическое расширение с остатком члена в большой нотации O,

потому что Икс знак равно 1 Икс 2 2 + О ( Икс 4 )  так как  Икс 0   , {\ displaystyle \ cos x = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + O (x ^ {4}) {\ text {as}} x \ to 0 \,}

можно показать, что по мере того, как радиус R стремится к бесконечности, а аргументы a/R, b/R и c/R стремятся к нулю, сферическое отношение между сторонами прямоугольного треугольника приближается к евклидовой форме теоремы Пифагора. Подстановка асимптотического разложения для каждого из косинусов в сферическое соотношение для прямоугольного треугольника дает

1 1 2 ( с р ) 2 + О ( 1 р 4 ) знак равно [ 1 1 2 ( а р ) 2 + О ( 1 р 4 ) ] [ 1 1 2 ( б р ) 2 + О ( 1 р 4 ) ]  так как  р   . {\ displaystyle 1 - {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {c} {R}} \ right) ^ {2} + O \ left ({\ frac {1} {R ^ { 4}}}\right)=\left[1-{\frac {1}{2}}\left({\frac {a}{R}}\right)^{2}+O\left({\ frac {1} {R ^ {4}}} \ right) \ right] \ left [1 - {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {b} {R}} \ right) ^ {2} + O \ влево ({\ гидроразрыва {1} {R ^ {4}}} \ вправо) \ вправо] {\ текст {как}} R \ к \ infty \.}

Константы a 4, b 4 и c 4 были поглощены большими остаточными членами O, поскольку они не зависят от радиуса R. Это асимптотическое соотношение можно еще больше упростить, умножив величины в квадратных скобках, сократив единицы, умножив на -2 и собрав все члены ошибки вместе:

( с р ) 2 знак равно ( а р ) 2 + ( б р ) 2 + О ( 1 р 4 )  так как  р   . {\ Displaystyle \ влево ({\ гидроразрыва {c} {R}} \ вправо) ^ {2} = \ влево ({\ гидроразрыва {а} {R}} \ вправо) ^ {2} + \ влево ({\ frac {b} {R}} \ right) ^ {2} + O \ left ({\ frac {1} {R ^ {4}}} \ right) {\ text {as}} R \ to \ infty \.}

После умножения на R 2 евклидово пифагорейское соотношение c 2 = a 2 + b 2 восстанавливается в пределе при стремлении радиуса R к бесконечности (поскольку остаточный член стремится к нулю):

с 2 знак равно а 2 + б 2 + О ( 1 р 2 )  так как  р   . {\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} + O \ left ({\ frac {1} {R ^ {2}}} \ right) {\ text {as}} R \к \infty\.}

Для маленьких прямоугольных треугольников ( a, b lt;lt; R) косинусы можно исключить, чтобы избежать потери значимости, что дает

грех 2 с 2 р знак равно грех 2 а 2 р + грех 2 б 2 р 2 грех 2 а 2 р грех 2 б 2 р . {\ displaystyle \ sin ^ {2} {\ frac {c} {2R}} = \ sin ^ {2} {\ frac {a} {2R}} + \ sin ^ {2} {\ frac {b} { 2R}}-2\sin ^{2}{\frac {a}{2R}}\sin ^{2}{\frac {b}{2R}}\,.}

Гиперболическая геометрия

Основная статья: Гиперболическая геометрия См. Также: Гиперболический треугольник и кривизна Гаусса. Гиперболический треугольник

В гиперболическом пространстве с равномерной кривизной −1/ R 2 для прямоугольного треугольника с катетами a, b и гипотенузой c отношение между сторонами принимает вид:

чушь с р знак равно чушь а р чушь б р {\ Displaystyle \ сп {\ гидроразрыва {с} {R}} = \ сп {\ гидроразрыва {а} {R}} \, \ сп {\ гидроразрыва {b} {R}}}

где ch — гиперболический косинус. Эта формула представляет собой особую форму гиперболического закона косинусов, применимого ко всем гиперболическим треугольникам:

чушь с р знак равно чушь а р   чушь б р грех а р   грех б р   потому что γ   , {\ Displaystyle \ сп {\ гидроразрыва {с} {R}} = \ сп {\ гидроразрыва {а} {R}} \ \ сп {\ гидроразрыва {b} {R}} - \ sinh {\ гидроразрыва {а} {R}} \ \ sinh {\ гидроразрыва {b} {R}} \ \ соз \ гамма \,}

где γ угол при вершине, противоположной стороне c.

Используя ряд Маклорена для гиперболического косинуса, ch x ≈ 1 + x 2 /2, можно показать, что по мере того, как гиперболический треугольник становится очень маленьким (то есть когда a, b и c все стремятся к нулю), гиперболический треугольник соотношение для прямоугольного треугольника приближается к форме теоремы Пифагора.

Для маленьких прямоугольных треугольников ( a, b lt;lt; R) гиперболические косинусы можно исключить, чтобы избежать потери значимости, что дает

грех 2 с 2 р знак равно грех 2 а 2 р + грех 2 б 2 р + 2 грех 2 а 2 р грех 2 б 2 р . {\ Displaystyle \ зп ^ {2} {\ гидроразрыва {с} {2R}} = \ зп ^ {2} {\ гидроразрыва {а} {2R}} + \ зп ^ {2} {\ гидроразрыва {Ь} { 2R}}+2\sin ^{2}{\frac {a}{2R}}\sin ^{2}{\frac {b}{2R}}\,.}

Очень маленькие треугольники

Для любой равномерной кривизны K (положительной, нулевой или отрицательной) в очень малых прямоугольных треугольниках (| K | a 2, | K | b 2 lt;lt; 1) с гипотенузой c можно показать, что

с 2 знак равно а 2 + б 2 К 3 а 2 б 2 К 2 45 а 2 б 2 ( а 2 + б 2 ) 2 К 3 945 а 2 б 2 ( а 2 б 2 ) 2 + О ( К 4 с 10 ) . {\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} - {\ frac {K} {3}} a ^ {2} b ^ {2} - {\ frac {K ^ {2} }} {45}} а ^ {2} б ^ {2} (а ^ {2} + б ^ {2}) - {\ гидроразрыва {2K ^ {3}} {945}} а ^ {2} б ^{2}(a^{2}-b^{2})^{2}+O(K^{4}c^{10})\,.}

Дифференциальная геометрия

Основная статья: Дифференциальная геометрия Расстояние между бесконечно малыми точками в декартовых координатах (вверху) и полярных координатах (внизу), как указано в теореме Пифагора.

На бесконечно малом уровне в трехмерном пространстве теорема Пифагора описывает расстояние между двумя бесконечно малыми точками как:

д с 2 знак равно д Икс 2 + д у 2 + д г 2 , {\ displaystyle ds ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2},}

где ds элемент расстояния и ( dx, dy, dz) компоненты вектора, разделяющего две точки. Такое пространство называется евклидовым пространством. Однако в римановой геометрии обобщение этого выражения, полезное для общих координат (не только декартовых) и общих пространств (не только евклидовых), принимает форму:

д с 2 знак равно я , Дж н грамм я Дж д Икс я д Икс Дж {\ displaystyle ds ^ {2} = \ sum _ {i, j} ^ {n} g_ {ij} \, dx_ {i} \, dx_ {j}}

который называется метрическим тензором. (Иногда из-за злоупотребления языком тот же термин применяется к набору коэффициентов g ij.) Это может быть функция положения и часто описывает искривленное пространство. Простым примером является евклидово (плоское) пространство, выраженное в криволинейных координатах. Например, в полярных координатах :

д с 2 знак равно д р 2 + р 2 д θ 2   . {\ displaystyle ds ^ {2} = dr ^ {2} + r ^ {2} d \ theta ^ {2} \.}
История
Табличка Plimpton 322 записывает пифагорейские тройки вавилонских времен.

Ведутся споры о том, была ли теорема Пифагора открыта один раз или много раз во многих местах, и дата первого открытия неизвестна, как и дата первого доказательства. Историки месопотамской математики пришли к выводу, что правило Пифагора широко использовалось в древневавилонский период (20-16 века до н.э.), более чем за тысячу лет до рождения Пифагора. Историю теоремы можно разделить на четыре части: знание пифагорейских троек, знание отношений между сторонами прямоугольного треугольника, знание отношений между соседними углами и доказательства теоремы в рамках некоторой дедуктивной системы.

Написанный между 2000 и 1786 годами до нашей эры, Берлинский папирус 6619 Среднего царства Египта включает задачу, решением которой является пифагорейская тройка 6:8:10, но в задаче не упоминается треугольник. Месопотамская табличка Plimpton 322, написанная между 1790 и 1750 годами до нашей эры во время правления царя Хаммурапи Великого, содержит много записей, тесно связанных с пифагорейскими тройками.

В Индии Баудхаяна Шульба Сутра, даты которой даются по-разному между 8-м и 5-м веками до нашей эры, содержит список пифагорейских троек и утверждение теоремы Пифагора, как в частном случае равнобедренного прямоугольного треугольника, так и в общий случай, как и Апастамба Шулба Сутра (ок. 600 г. до н.э.).

Византийский философ- неоплатоник и математик Прокл, писавший в пятом веке нашей эры, устанавливает два арифметических правила, «одно из которых приписывается Платону, другое — Пифагору», для создания особых пифагорейских троек. Правило, приписываемое Пифагору ( ок. 570  — ок.  495 до н. э.), начинается с нечетного числа и дает тройку с катетом и гипотенузой, отличающимися на одну единицу; правило, приписываемое Платону (428/427 или 424/423 – 348/347 до н.э.), начинается с четного числа и дает тройку с катетом и гипотенузой, отличающимися на две единицы. По словам Томаса Л. Хита (1861–1940), в сохранившейся греческой литературе за пять веков после жизни Пифагора не существует конкретного приписывания этой теоремы Пифагору. Однако, когда такие авторы, как Плутарх и Цицерон, приписывали теорему Пифагору, они делали это так, что предполагалось, что это приписывание было широко известно и не вызывало сомнений. Классик Курт фон Фриц писал: «Правильно ли эта формула приписывается лично Пифагору, но можно смело предположить, что она относится к самому древнему периоду пифагорейской математики ». Около 300 г. до н.э. в « Элементах» Евклида представлено старейшее из сохранившихся аксиоматических доказательств теоремы.

Геометрическое доказательство теоремы Пифагора из Zhoubi Suanjing.

С содержанием, известным гораздо раньше, но в сохранившихся текстах, датируемых примерно I веком до нашей эры, китайский текст Zhoubi Suanjing (周髀 算 经) ( «Арифметическая классика гномона и круговых путей неба») дает обоснование для пифагорейцев. теорема для треугольника (3, 4, 5) — в Китае она называется « теоремой Гоугу » (勾股定理). Во времена династии Хань (202 г. до н.э. — 220 г. н.э.) пифагорейские тройки появляются в «Девяти главах математического искусства » вместе с упоминанием прямоугольных треугольников. Некоторые считают, что теорема впервые возникла в Китае, где она также известна как « теорема Шан Гао » (商高定理), названная в честь астронома и математика герцога Чжоу, чьи рассуждения составили большую часть того, что было в Zhoubi Suanjing.

Смотрите также
Примечания и ссылки

Примечания

использованная литература

Процитированные работы

внешние ссылки

Последняя правка сделана 2023-08-11 02:44:39
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте