Альфапедия

Контактная цепь

редактировать
Плоская кривая, образованная подвешенным кабелем A цепью, свисающей с точек, образует цепную линию. Свободно висящая воздушные линии электропередач также образуют цепную цепь (наиболее заметно на линиях высокого напряжения и с некоторыми дефектами вблизи изоляторов ). Шелк на паутине, образующей несколько упругие цепные цепи.

В физике и геометрии, цепная цепь (US :, UK : ) - это кривая, которую идеализированная подвесная цепь или кабель принимает на себя под собственным весом, когда поддерживается только на концах.

Линия цепи имеет U-образную форму, внешне похожа на параболическую арку, но не является параболой.

Кривая появляется в дизайне определенные типы дуг и в качестве поперечного сечения катеноида - форма, принимаемая мыльной пленкой, ограниченной двумя параллельными круговыми кольцами.

Цепная цепь также называется алисоид, цепетка или, особенно в материаловедении, фуникулер . Веревочная статика описывает цепные линии в классической задаче статики, связанной с подвешенным канатом.

Математически цепная кривая представляет собой график функции гиперболического косинуса. поверхность вращения цепной кривой, катеноид, является минимальной поверхностью, в частности, минимальной поверхностью вращения. Подвешенная цепь примет форму с наименьшей потенциальной энергией, которая является контактной цепью. Математические свойства контактной кривой были впервые изучены Робертом Гук в 1670-х годах, а ее уравнение было выведено Лейбницем, Гюйгенсом и Иоганном Бернулли. в 1691 году.

Контактные линии и связанные кривые используются в архитектуре и проектировании (например, при проектировании мостов и арок, чтобы силы не приводили к изгибающим моментам). В морской нефтегазовой отрасли термин «контактная сеть» относится к стальному стояку цепной цепи, трубопроводу, подвешенному между производственной платформой и морским дном, который принимает приблизительную форму цепной цепи. В железнодорожной отрасли это относится к воздушной проводке, которая передает мощность поездам. (Это часто поддерживает более легкий контактный провод, и в этом случае он не следует истинной контактной кривой.)

В оптике и электромагнетизме функции гиперболического косинуса и синуса являются основными решениями уравнений Максвелла. Симметричные моды, состоящие из двух затухающих волн, будут формировать цепную форму.

Содержание
  • 1 История
  • 2 Перевернутая цепная арка
  • 3 Мосты цепной передачи
  • 4 Якорная привязка морских объектов
  • 5 Математическое описание
    • 5.1 Уравнение
    • 5.2 Связь с другими кривыми
    • 5.3 Геометрические свойства
    • 5.4 Наука
  • 6 Анализ
    • 6.1 Модель цепей и дуг
    • 6.2 Вывод уравнения для кривой
    • 6.3 Альтернативный вывод
    • 6.4 Определение параметров
  • 7 Обобщения с вертикальной силой
    • 7.1 Неоднородные цепи
    • 7.2 Кривая подвесного моста
    • 7.3 Связная цепь равной прочности
    • 7.4 Упругая цепная связь
  • 8 Другие обобщения
    • 8.1 Цепь под действием общей силы
  • 9 См. также
  • 10 Примечания
  • 11 Библиография
  • 12 Дополнительная литература
  • 13 Внешние ссылки
История
Модель цепочки Антонио Гауди в Casa Milà

Слово «цепочка» происходит от латинского слова catēna, что означает «цепь ». Английское слово «catenary» обычно приписывается Томасу Джефферсону, который писал в письме Томасу Пейну о строительстве арки для моста:

Я недавно получил из Италии - трактат аббата Маскерони о равновесии арок. Похоже, это очень научная работа. Я еще не успел этим заняться; но я считаю, что выводы его демонстраций таковы, что каждая часть цепи находится в идеальном равновесии.

Часто говорят, что Галилей думал, что кривая висячей цепи параболическая. В своей работе Две новые науки (1638) Галилей говорит, что висячий шнур является приблизительной параболой, и он правильно отмечает, что это приближение улучшается, когда кривизна становится меньше, и почти точна, когда высота меньше 45 градусов. °. То, что кривая, за которой следует цепь, не является параболой, было доказано Иоахимом Юнгиусом (1587–1657); этот результат был опубликован посмертно в 1669 году.

Применение цепной цепи для строительства арок приписывается Роберту Гуку, чья «истинная математическая и механическая форма» в контексте перестройки of Собор Святого Павла намекал на цепочку. Некоторые гораздо более старые арки представляют собой приблизительные цепочки, примером которых является Арка Таки Кисра в Ктесифоне.

В 1671 году Гук объявил Королевскому обществу, что он решил проблему оптимальной формы арки и в 1675 г. опубликовал зашифрованное решение в виде латинской анаграммы в приложении к своему описанию гелиоскопов, где написал, что нашел «истинную математическую и механическая форма всевозможных арок для строительства ». Он не публиковал решение этой анаграммы при своей жизни, но в 1705 году его исполнитель представил его как ut pendet continum flexile, sic stabit contiguum strictum inversum, что означает: «Как висит гибкий кабель, так и в перевернутом виде стойте соприкасающиеся части арки. "

В 1691 году Готфрид Лейбниц, Христиан Гюйгенс и Иоганн Бернулли вывели уравнение в ответ на вызов автор Якоб Бернулли ; их решения были опубликованы в Acta Eruditorum за июнь 1691 года. Дэвид Грегори написал трактат о цепной линии в 1697 году, в котором он представил неправильный вывод правильного дифференциального уравнения

. Эйлер доказал в 1744 году, что цепная линия - это кривая, которая при повороте вокруг оси x дает поверхность с минимальной площадью поверхности (катеноид ) для данной границы. кругов. Николас Фасс дал уравнения, описывающие равновесие цепи при любой силе в 1796 году.

Перевернутая цепная дуга

Цепная арка часто используется при строительстве печей. Чтобы создать желаемую кривую, форма подвесной цепи желаемых размеров преобразуется в форму, которая затем используется в качестве ориентира для укладки кирпича или другого строительного материала.

Арка шлюза в С. Луис, штат Миссури, Соединенные Штаты иногда называют (перевернутой) цепной линией, но это неверно. Она близка к более общей кривой, называемой плоской цепной линией, с уравнением y = A ch (Bx), которая является цепной линией, если AB = 1. В то время как цепная линия является идеальной формой для отдельно стоящей арки постоянной толщины, арка шлюза ближе к верху уже. Согласно номинации US National Historic Landmark для арки, вместо этого это «взвешенная цепная цепь ». Его форма соответствует форме утяжеленной цепи с более легкими звеньями посередине.

Цепные мосты
Простые подвесные мосты представляют собой по существу утолщенные тросы, идущие по кривой цепной линии. Напряженные ленточные мосты, такие как мост Леонеля Виера в Мальдонадо, Уругвай, также следует по изгибу цепной линии, с кабелями, встроенными в жесткую платформу.

В свободно висящих цепях прилагаемая сила одинакова по отношению к длине цепи, поэтому цепь следует цепной линии кривая. То же самое верно и для простого подвесного моста или «цепного моста», где проезжая часть следует за кабелем.

A напряженный ленточный мост представляет собой более сложную конструкцию с той же цепной формой.

Однако в подвесном мосту с подвесной проезжей частью цепи или тросы выдерживают вес моста и поэтому не свисают свободно. В большинстве случаев проезжая часть плоская, поэтому, когда вес кабеля незначителен по сравнению с поддерживаемым весом, прилагаемая сила является равномерной по отношению к горизонтальному расстоянию, и в результате получается парабола , как обсуждалось ниже (хотя термин «цепная связь» все еще используется в неформальном смысле). Если кабель тяжелый, то результирующая кривая находится между цепной цепью и параболой.

Сравнение цепной дуги (черная пунктирная кривая) и параболической дуги (красная сплошная кривая) с таким же размахом и провисанием. Контактная цепь представляет собой профиль простого подвесного моста или трос подвесного моста с подвесным настилом, на котором его настил и подвески имеют незначительную массу по сравнению с тросом. Парабола представляет собой профиль троса подвесного моста на подвесной платформе, на котором его трос и подвески имеют незначительную массу по сравнению с его настилом. Профиль троса настоящего подвесного моста с таким же пролетом и провисанием лежит между двумя кривыми. Уравнения цепной связи и параболы соответственно: y = cosh (x) и y = x
Якорь для морских объектов
Тяжелая якорная цепь образует контактную сеть с небольшим углом натяжения на якорь.

Цепная цепь, создаваемая силой тяжести, дает преимущество тяжелым анкерным стержням. Якорный стержень (или якорный трос) обычно состоит из цепи, троса или того и другого. Якорные стержни используются судами, нефтяными вышками, доками, плавучими ветряными турбинами и другим морским оборудованием, которое должно быть закреплено на морском дне.

Когда канат провисает, изгиб цепной передачи представляет меньший угол натяжения якоря или швартовного устройства, чем было бы в случае, если бы он был почти прямым. Это улучшает характеристики якоря и повышает уровень силы, которой он будет сопротивляться перед перетаскиванием. Чтобы поддерживать форму цепной линии при наличии ветра, необходима тяжелая цепь, так что только более крупные корабли на более глубокой воде могут полагаться на этот эффект. Лодки меньшего размера также полагаются на контактную сеть для поддержания максимальной удерживающей способности.

Математическое описание

Уравнение

Цепные цепи для различных значений a

Уравнение контактной сети в декартовых координатах имеет форму

y = a cosh ⁡ (xa) = a 2 (exa + e - xa) {\ displaystyle y = a \ cosh \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) = {\ frac {a} {2}} \ left (e ^ {\ frac {x} {a}} + e ^ {- {\ frac {x} {a}}} \ right)}{\displaystyle y=a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)={\frac {a}{2}}\left(e^{\frac {x}{a}}+e^{-{\frac {x}{a}}}\right)}

где ch - функция гиперболического косинуса , а x отсчитывается от самой низкой точки. Все контактные кривые подобны друг другу; изменение параметра a эквивалентно равномерному масштабированию кривой.

Уравнение Уивелла для цепной связи:

tan ⁡ φ = sa. {\ displaystyle \ tan \ varphi = {\ frac {s} {a}} \,.}{\displaystyle \tan \varphi ={\frac {s}{a}}\,.}

Дифференциация дает

d φ ds = cos 2 ⁡ φ a {\ displaystyle {\ frac {d \ varphi} {ds}} = {\ frac {\ cos ^ {2} \ varphi} {a}}}{\displaystyle {\frac {d\varphi }{ds}}={\frac {\cos ^{2}\varphi }{a}}}

и удаление φ дает уравнение Чезаро

κ = как 2 + a 2. {\ displaystyle \ kappa = {\ frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}} \,.}{\displaystyle \kappa ={\frac {a}{s^{2}+a^{2}}}\,.}

Тогда радиус кривизны равен

ρ = a sec 2 ⁡ φ {\ displaystyle \ rho = a \ sec ^ {2} \ varphi}{\displaystyle \rho =a\sec ^{2}\varphi }

, который представляет собой длину линии , перпендикулярной кривой между ней и осью x.

Связь с другими кривыми

Когда парабола катится по прямой линии, кривая рулетки отображается по ее фокусу это цепочка. Огибающая директрисы параболы также является цепной линией. эвольвента от вершины, то есть рулетка, образованная точкой, начинающейся в вершине, когда линия катится по цепной цепи, является трактрисой.

Другая рулетка, образованная катанием линия на контактной сети, это еще одна линия. Это означает, что квадратные колеса могут идеально плавно катиться по дороге, состоящей из серии неровностей в форме перевернутой цепной кривой. Колеса могут быть любым правильным многоугольником, кроме треугольника, но цепь должна иметь параметры, соответствующие форме и размерам колес.

Геометрические свойства

По любой горизонтали Интервал, отношение площади под контактной цепью к ее длине равно a, независимо от выбранного интервала. Контактная линия - это единственная плоская кривая, кроме горизонтальной линии с этим свойством. Кроме того, геометрический центр тяжести области под натяжением цепной линии является средней точкой перпендикулярного сегмента, соединяющего центр тяжести самой кривой и ось x.

Наука

Движущееся заряд в однородном электрическом поле движется по цепной цепи (которая стремится к параболе, если скорость заряда намного меньше скорости света c).

Поверхность вращения с фиксированными радиусами на обоих концах, имеющая минимальную площадь поверхности, представляет собой цепную цепь, вращающуюся вокруг оси x.

Анализ

Модель цепей и дуг

В математической модели цепь (или шнур, трос, веревка, веревка и т. Д.) Идеализируется, предполагая, что она настолько тонкая, что можно рассматривать как кривую, и что она настолько гибкая, что любая сила натяжения, прилагаемая цепью, параллельна цепи. Анализ кривой для оптимальной дуги аналогичен, за исключением того, что силы растяжения становятся силами сжатия, и все инвертируется. Основополагающий принцип заключается в том, что цепь может считаться твердым телом после достижения ею равновесия. Уравнения, определяющие форму кривой и натяжение цепи в каждой точке, могут быть получены путем тщательной проверки различных сил, действующих на сегмент, с учетом того факта, что эти силы должны быть уравновешены, если цепь находится в статическое равновесие.

Пусть путь, по которому следует цепочка, задан параметрически посредством r = (x, y) = (x (s), y (s)), где s представляет длина дуги и r - это вектор положения . Это естественная параметризация, имеющая свойство

drds = u {\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {r}} {ds}} = \ mathbf {u}}{\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{ds}}=\mathbf {u} }

где u - единичный касательный вектор ..

Диаграмма сил, действующих на сегмент цепной линии от c до r . Силами являются натяжение T0при c, натяжение T при r и вес цепи (0, -λgs). Поскольку цепь находится в состоянии покоя, сумма этих сил должна быть равна нулю.

A дифференциальное уравнение для кривой может быть получено следующим образом. Пусть c будет самой низкой точкой цепи, называемой вершиной цепи. Наклон dy / dx кривой равен нулю в точке C, поскольку это точка минимума. Предположим, что r находится справа от c, поскольку другой случай подразумевается симметрией. Силы, действующие на участок цепи от c до r, представляют собой натяжение цепи при c, натяжение цепи при r, и вес цепи. Натяжение в точке c касается кривой в точке c и, следовательно, горизонтально без какой-либо вертикальной составляющей, и оно смещает секцию влево, так что можно записать (-T 0, 0) где T 0 - величина силы. Натяжение в r параллельно кривой в r и смещает секцию вправо. Напряжение в r может быть разделено на две составляющие, поэтому можно записать T u = (T cos φ, T sin φ), где T - величина силы, а φ - угол между кривой в точке r и осью x (см. тангенциальный угол ). Наконец, вес цепи представлен как (0, −λgs), где λ - масса на единицу длины, g - ускорение свободного падения, а s - длина отрезка цепи между c и r.

Цепь находится в равновесии, поэтому сумма трех сил равна 0, поэтому

T cos ⁡ φ = T 0 {\ displaystyle T \ cos \ varphi = T_ {0}}{\displaystyle T\cos \varphi =T_{0}}

и

T sin ⁡ φ = λ gs, {\ displaystyle T \ sin \ varphi = \ lambda gs \,,}{\displaystyle T\sin \varphi =\lambda gs\,,}

и их деление дает

dydx = tan ⁡ φ = λ gs T 0. {\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = \ tan \ varphi = {\ frac {\ lambda gs} {T_ {0}}} \,.}{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {\lambda gs}{T_{0}}}\,.}

Удобно писать

a = T 0 λ g {\ displaystyle a = {\ frac {T_ {0}} {\ lambda g}}}{\displaystyle a={\frac {T_{0}}{\lambda g}}}

- длина цепи, вес которой на Земле по величине равен натяжению в c . Тогда

d y d x = s a {\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {s} {a}}}{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {s}{a}}}

- уравнение, определяющее кривую.

Горизонтальная составляющая растяжения T cos φ = T 0 постоянна, а вертикальная составляющая растяжения T sin φ = λgs пропорциональна длине цепи между r и вершина.

Вывод уравнений для кривой

Дифференциальное уравнение, приведенное выше, может быть решено для получения уравнений для кривой.

Из

dydx = sa, {\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {s} {a}} \,,}{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {s}{a}}\,,}

формула для длины дуги дает

dsdx = 1 + (dydx) 2 = a 2 + s 2 a. {\ displaystyle {\ frac {ds} {dx}} = {\ sqrt {1+ \ left ({\ dfrac {dy} {dx}} \ right) ^ {2}}} = {\ frac {\ sqrt { a ^ {2} + s ^ {2}}} {a}} \,.}{\displaystyle {\frac {ds}{dx}}={\sqrt {1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}}={\frac {\sqrt {a^{2}+s^{2}}}{a}}\,.}

Тогда

dxds = 1 dsdx = aa 2 + s 2 {\ displaystyle {\ frac {dx} {ds} } = {\ frac {1} {\ frac {ds} {dx}}} = {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ {2} + s ^ {2}}}}}{\displaystyle {\frac {dx}{ds}}={\frac {1}{\frac {ds}{dx}}}={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+s^{2}}}}}

и

dyds = dydxdsdx = sa 2 + s 2. {\ displaystyle {\ frac {dy} {ds}} = {\ frac {\ frac {dy} {dx}} {\ frac {ds} {dx}}} = {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + s ^ {2}}}} \,.}{\displaystyle {\frac {dy}{ds}}={\frac {\frac {dy}{dx}}{\frac {ds}{dx}}}={\frac {s}{\sqrt {a^{2}+s^{2}}}}\,.}

Второе из этих уравнений можно проинтегрировать, чтобы получить

y = a 2 + s 2 + β {\ displaystyle y = {\ sqrt {a ^ {2} + s ^ {2}}} + \ beta}{\displaystyle y={\sqrt {a^{2}+s^{2}}}+\beta }

и, сдвинув положение оси x, β можно принять равным 0. Тогда

y = a 2 + s 2, у 2 = а 2 + s 2. {\ displaystyle y = {\ sqrt {a ^ {2} + s ^ {2}}} \,, \ quad y ^ {2} = a ^ {2} + s ^ {2} \,.}{\displaystyle y={\sqrt {a^{2}+s^{2}}}\,,\quad y^{2}=a^{2}+s^{2}\,.}

Выбранная таким образом ось x называется направляющей контактной сети.

Отсюда следует, что величина напряжения в точке (x, y) равна T = λgy, что пропорционально расстоянию между точкой и направляющей.

Интеграл от выражение для dx / ds может быть найдено с помощью стандартных методов, давая

x = a arsinh ⁡ (sa) + α. {\ displaystyle x = a \ operatorname {arsinh} \ left ({\ frac {s} {a}} \ right) + \ alpha \,.}{\displaystyle x=a\operatorname {arsinh} \left({\frac {s}{a}}\right)+\alpha \,.}

и, опять же, сдвигая положение оси y, α можно принять равным 0. Тогда

x = a arsinh ⁡ (sa), s = a sinh ⁡ (xa). {\ displaystyle x = a \ operatorname {arsinh} \ left ({\ frac {s} {a}} \ right) \,, \ quad s = a \ sinh \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) \,.}{\displaystyle x=a\operatorname {arsinh} \left({\frac {s}{a}}\right)\,,\quad s=a\sinh \left({\frac {x}{a}}\right)\,.}

Выбранная таким образом ось Y проходит через вершину и называется осью цепной связи.

Эти результаты могут использоваться для исключения s, что дает

y = a ch ⁡ (x a). {\ displaystyle y = a \ cosh \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) \,.}{\displaystyle y=a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)\,.}

Альтернативный вывод

Дифференциальное уравнение может быть решено с использованием другого подхода. Из

s = a tan ⁡ φ {\ displaystyle s = a \ tan \ varphi}{\displaystyle s=a\tan \varphi }

следует, что

dxd φ = dxdsdsd φ = cos ⁡ φ ⋅ a sec 2 ⁡ φ = a sec ⁡ φ {\ displaystyle {\ frac {dx} {d \ varphi}} = {\ frac {dx} {ds}} {\ frac {ds} {d \ varphi}} = \ cos \ varphi \ cdot a \ sec ^ { 2} \ varphi = a \ sec \ varphi}{\displaystyle {\frac {dx}{d\varphi }}={\frac {dx}{ds}}{\frac {ds}{d\varphi }}=\cos \varphi \cdot a\sec ^{2}\varphi =a\sec \varphi }

и

dyd φ = dydsdsd φ = sin ⁡ φ ⋅ a sec 2 ⁡ φ = a tan ⁡ φ sec ⁡ φ. {\ displaystyle {\ frac {dy} {d \ varphi}} = {\ frac {dy} {ds}} {\ frac {ds} {d \ varphi}} = \ sin \ varphi \ cdot a \ sec ^ { 2} \ varphi = a \ tan \ varphi \ sec \ varphi \,.}{\displaystyle {\frac {dy}{d\varphi }}={\frac {dy}{ds}}{\frac {ds}{d\varphi }}=\sin \varphi \cdot a\sec ^{2}\varphi =a\tan \varphi \sec \varphi \,.}

Интегрирование дает,

x = a ln ⁡ (sec ⁡ φ + tan ⁡ φ) + α {\ displaystyle x = a \ ln (\ sec \ varphi + \ tan \ varphi) + \ alpha}{\displaystyle x=a\ln(\sec \varphi +\tan \varphi)+\alpha }

и

y = a sec ⁡ φ + β. {\ displaystyle y = a \ sec \ varphi + \ beta \,.}{\displaystyle y=a\sec \varphi +\beta \,.}

Как и раньше, оси x и y можно сдвинуть, так что α и β можно принять равными 0. Тогда

sec ⁡ φ + tan ⁡ φ = exa, {\ displaystyle \ sec \ varphi + \ tan \ varphi = e ^ {\ frac {x} {a}} \,,}{\displaystyle \sec \varphi +\tan \varphi =e^{\frac {x}{a}}\,,}

и принимая обратное значение обеих сторон

sec ⁡ φ - tan ⁡ φ = e - xa. {\ displaystyle \ sec \ varphi - \ tan \ varphi = e ^ {- {\ frac {x} {a}}} \,.}{\displaystyle \sec \varphi -\tan \varphi =e^{-{\frac {x}{a}}}\,.}

Сложение и вычитание последних двух уравнений дает решение

y знак равно a сек ⁡ φ знак равно a сш ⁡ (ха), {\ displaystyle y = a \ sec \ varphi = a \ cosh \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) \,,}{\displaystyle y=a\sec \varphi =a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)\,,}

и

s = a tan ⁡ φ = a sinh ⁡ (xa). {\ displaystyle s = a \ tan \ varphi = a \ sinh \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) \,.}{\displaystyle s=a\tan \varphi =a\sinh \left({\frac {x}{a}}\right)\,.}

Определение параметров

Три цепочки через одни и те же две точки, в зависимости от горизонтальной силы T H.

Обычно параметр a - это положение оси. Уравнение может быть определено в этом случае следующим образом: При необходимости измените метку так, чтобы P 1 находился слева от P 2, и пусть H будет горизонтальным, а v будет вертикальным расстоянием от P 1 в P 2. Переместите оси так, чтобы вершина контактной сети лежала на оси y, а ее высота была настроена так, чтобы контактная линия удовлетворяла стандартному уравнению кривой

y = a cosh ⁡ (xa) {\ displaystyle y = a \ cosh \ left ({\ frac {x} {a}} \ right)}{\displaystyle y=a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)}

и пусть координаты P 1 и P 2 быть (x 1, y 1) и (x 2, y 2) соответственно. Кривая проходит через эти точки, поэтому разница в высоте составляет

v = a ch ⁡ (x 2 a) - a ch (x 1 a). {\ displaystyle v = a \ cosh \ left ({\ frac {x_ {2}} {a}} \ right) -a \ cosh \ left ({\ frac {x_ {1}} {a}} \ right) \,.}{\displaystyle v=a\cosh \left({\frac {x_{2}}{a}}\right)-a\cosh \left({\frac {x_{1}}{a}}\right)\,.}

, а длина кривой от P 1 до P 2 равна

s = a sinh ⁡ (x 2 a) - a sinh ⁡ ( х 1 а). {\ displaystyle s = a \ sinh \ left ({\ frac {x_ {2}} {a}} \ right) -a \ sinh \ left ({\ frac {x_ {1}} {a}} \ right) \,.}{\displaystyle s=a\sinh \left({\frac {x_{2}}{a}}\right)-a\sinh \left({\frac {x_{1}}{a}}\right)\,.}

Когда s - v раскрывается с использованием этих выражений, результат

s 2 - v 2 = 2 a 2 (cosh ⁡ (x 2 - x 1 a) - 1) = 4 a 2 sinh 2 ⁡ (ЧАС 2 а), {\ displaystyle s ^ {2} -v ^ {2} = 2a ^ {2} \ left (\ cosh \ left ({\ frac {x_ {2} -x_ {1}}) {a}} \ right) -1 \ right) = 4a ^ {2} \ sinh ^ {2} \ left ({\ frac {H} {2a}} \ right) \,,}{\displaystyle s^{2}-v^{2}=2a^{2}\left(\cosh \left({\frac {x_{2}-x_{1}}{a}}\right)-1\right)=4a^{2}\sinh ^{2}\left({\frac {H}{2a}}\right)\,,}

так что

s 2 - v 2 = 2 a sh (H 2 a). {\ displaystyle {\ sqrt {s ^ {2} -v ^ {2}}} = 2a \ sinh \ left ({\ frac {H} {2a}} \ right) \,.}{\displaystyle {\sqrt {s^{2}-v^{2}}}=2a\sinh \left({\frac {H}{2a}}\right)\,.}

Это трансцендентное уравнение в a и должно быть решено численно. С помощью математических методов можно показать, что существует не более одного решения с a>0, а значит, существует не более одного положения равновесия.

Однако, если оба конца кривой (P 1 и P 2) находятся на одном уровне (y 1 = y 2), можно показать, что: a = 0,25 L 2 - h 2 2 h {\ displaystyle a = {\ frac {0,25L ^ {2} -h ^ {2}} { 2h}} \,}{\displaystyle a={\frac {0.25L^{2}-h^{2}}{2h}}\,}где L - общая длина кривой между P 1 и P 2, а h - прогиб (расстояние по вертикали между P 1, P 2 и вершина кривой).

Также можно показать, что: L = 2 a sinh ⁡ H 2 a {\ displaystyle L = 2a \ sinh {\ frac {H} {2a}} \,}{\displaystyle L=2a\sinh {\frac {H}{2a}}\,}и: H = 2 a arccosh ⁡ h + aa {\ displaystyle H = 2a \ operatorname {arccosh} {\ frac {h + a} {a}} \,}{\displaystyle H=2a\operatorname {arccosh} {\frac {h+a}{a}}\,}, где H - горизонтальное расстояние между P 1 и P 2, которые расположены на одном уровне (H = x 2 - x 1).

Горизонтальная сила тяги в P 1 и P 2 равна: T H = aw, где w - масса на единицу длины цепь или трос.

Обобщения с вертикальной силой

Неоднородные цепи

Если плотность цепи переменная, то приведенный выше анализ можно адаптировать для получения уравнений для кривой с учетом плотности или учитывая кривую, чтобы найти плотность.

Пусть w обозначает вес на единицу длины цепи, тогда вес цепи имеет величину

∫ crwds, {\ displaystyle \ int _ {\ mathbf { c}} ^ {\ mathbf {r}} w \, ds \,,}{\displaystyle \int _{\mathbf {c} }^{\mathbf {r} }w\,ds\,,}

, где пределы интеграции равны c и r . Уравновешивающие силы, как в однородной цепочке, создают

T cos ⁡ φ = T 0 {\ displaystyle T \ cos \ varphi = T_ {0}}{\displaystyle T\cos \varphi =T_{0}}

и

T sin ⁡ φ = ∫ crwds, {\ displaystyle T \ sin \ varphi = \ int _ {\ mathbf {c}} ^ {\ mathbf {r}} w \, ds \,,}{\displaystyle T\sin \varphi =\int _{\mathbf {c} }^{\mathbf {r} }w\,ds\,,}

и, следовательно,

dydx = tan ⁡ φ = 1 T 0 ∫ crwds. {\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = \ tan \ varphi = {\ frac {1} {T_ {0}}} \ int _ {\ mathbf {c}} ^ {\ mathbf {r}} w \, ds \,.}{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {1}{T_{0}}}\int _{\mathbf {c} }^{\mathbf {r} }w\,ds\,.}

Тогда дифференцирование дает

w = T 0 ddsdydx = T 0 d 2 ydx 2 1 + (dydx) 2. {\ displaystyle w = T_ {0} {\ frac {d} {ds}} {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {T_ {0} {\ dfrac {d ^ {2} y} { dx ^ {2}}}} {\ sqrt {1+ \ left ({\ dfrac {dy} {dx}} \ right) ^ {2}}}} \,.}{\displaystyle w=T_{0}{\frac {d}{ds}}{\frac {dy}{dx}}={\frac {T_{0}{\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}}{\sqrt {1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}}}\,.}

В терминах φ и радиус кривизны ρ становится

w = T 0 ρ cos 2 ⁡ φ. {\ displaystyle w = {\ frac {T_ {0}} {\ rho \ cos ^ {2} \ varphi}} \,.}{\displaystyle w={\frac {T_{0}}{\rho \cos ^{2}\varphi }}\,.}

Кривая подвесного моста

Мост Золотые Ворота. Большинство кабелей подвесного моста следуют параболической, а не цепной кривой, поскольку масса проезжей части намного больше веса кабеля.

Аналогичный анализ может быть проведен, чтобы найти кривую, за которой следует трос, поддерживающий подвесной мост с горизонтальной проезжей частью. Если вес проезжей части на единицу длины равен w, а вес кабеля и троса, поддерживающего мост, по сравнению с ним пренебрежимо мал, то вес троса (см. Рисунок в Catenary # Модель цепей и арок ) от c до r - это wx, где x - горизонтальное расстояние между c и r . Действия, описанные выше, дают дифференциальное уравнение

d y d x = tan ⁡ φ = w T 0 x. {\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = \ tan \ varphi = {\ frac {w} {T_ {0}}} x \,.}{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {w}{T_{0}}}x\,.}

Это решается простым интегрированием, чтобы получить

y = w 2 T 0 x 2 + β {\ displaystyle y = {\ frac {w} {2T_ {0}}} x ^ {2} + \ beta}{\displaystyle y={\frac {w}{2T_{0}}}x^{2}+\beta }

, и поэтому кабель следует параболе. Если весом кабеля и опорных проводов нельзя пренебречь, то анализ будет более сложным.

Контактная цепь одинаковой прочности

В контактной сети равной прочности кабель усиливается в соответствии с величиной напряжения в каждой точке, поэтому сопротивление разрыву остается постоянным по всей длине. Предполагая, что прочность кабеля пропорциональна его плотности на единицу длины, вес w на единицу длины цепи можно записать как T / c, где c является постоянным, и можно применить анализ для неоднородных цепей.

В этом случае уравнения для натяжения:

T cos ⁡ φ = T 0, {\ displaystyle T \ cos \ varphi = T_ {0} \,,}{\displaystyle T\cos \varphi =T_{0}\,,}
T sin ⁡ φ = 1 c ∫ T ds. {\ displaystyle T \ sin \ varphi = {\ frac {1} {c}} \ int T \, ds \,.}{\displaystyle T\sin \varphi ={\frac {1}{c}}\int T\,ds\,.}

Объединение дает

c tan ⁡ φ = ∫ sec ⁡ φ ds {\ displaystyle c \ tan \ varphi = \ int \ sec \ varphi \, ds}{\displaystyle c\tan \varphi =\int \sec \varphi \,ds}

и дифференцированием

c = ρ cos ⁡ φ {\ displaystyle c = \ rho \ cos \ varphi}{\displaystyle c=\rho \cos \varphi }

где ρ - радиус кривизны.

Решение этого:

y = c ln ⁡ (sec ⁡ (x c)). {\ displaystyle y = c \ ln \ left (\ sec \ left ({\ frac {x} {c}} \ right) \ right) \,.}{\displaystyle y=c\ln \left(\sec \left({\frac {x}{c}}\right)\right)\,.}

В этом случае кривая имеет вертикальные асимптоты, и это ограничивает диапазон до πc. Другие соотношения:

x = c φ, s = ln ⁡ (tan ⁡ (π + 2 φ 4)). {\ displaystyle x = c \ varphi \,, \ quad s = \ ln \ left (\ tan \ left ({\ frac {\ pi +2 \ varphi} {4}} \ right) \ right) \,.}{\displaystyle x=c\varphi \,,\quad s=\ln \left(\tan \left({\frac {\pi +2\varphi }{4}}\right)\right)\,.}

Кривая была изучена в 1826 году Дэвисом Гилбертом и, очевидно, независимо, Гаспаром-Густавом Кориолисом в 1836 году.

Недавно было показано, что этот тип цепной цепи могла действовать как строительный блок электромагнитной метаповерхности и была известна как «цепная цепь равного фазового градиента».

Эластичная цепная цепь

В упругой цепная цепь заменена пружиной , которая может растягиваться в ответ на натяжение. Предполагается, что пружина растягивается в соответствии с законом Гука. В частности, если p - естественная длина секции пружины, то длина пружины с приложенным натяжением T имеет длину

s = (1 + TE) p, {\ displaystyle s = \ left (1 + {\ frac {T} {E}} \ right) p \,,}{\displaystyle s=\left(1+{\frac {T}{E}}\right)p\,,}

где E - постоянная величина, равная kp, где k - жесткость пружины. В цепочке значение T является переменным, но соотношение остается действительным на локальном уровне, поэтому

d s d p = 1 + T E. {\ displaystyle {\ frac {ds} {dp}} = 1 + {\ frac {T} {E}} \,.}{\displaystyle {\frac {ds}{dp}}=1+{\frac {T}{E}}\,.}

Кривая, за которой следует упругая пружина, теперь может быть получена таким же способом, как и для неупругая пружина.

Уравнения для натяжения пружины:

T cos ⁡ φ = T 0, {\ displaystyle T \ cos \ varphi = T_ {0} \,,}{\displaystyle T\cos \varphi =T_{0}\,,}

и

T sin ⁡ φ = λ 0 gp, {\ displaystyle T \ sin \ varphi = \ lambda _ {0} gp \,,}{\displaystyle T\sin \varphi =\lambda _{0}gp\,,}

откуда

dydx = tan ⁡ φ = λ 0 gp T 0, T знак равно T 0 2 + λ 0 2 g 2 p 2, {\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = \ tan \ varphi = {\ frac {\ lambda _ {0} gp} {T_ { 0}}} \,, \ quad T = {\ sqrt {T_ {0} ^ {2} + \ lambda _ {0} ^ {2} g ^ {2} p ^ {2}}} \,,}{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {\lambda _{0}gp}{T_{0}}}\,,\quad T={\sqrt {T_{0}^{2}+\lambda _{0}^{2}g^{2}p^{2}}}\,,}

, где p - естественная длина сегмента от c до r, а λ 0 - масса на единицу длины пружины без напряжения и g - ускорение свободного падения. Запишите

a = T 0 λ 0 g {\ displaystyle a = {\ frac {T_ {0}} {\ lambda _ {0} g}}}{\displaystyle a={\frac {T_{0}}{\lambda _{0}g}}}

так, что

dydx = tan ⁡ φ = pa, Т = Т 0 аа 2 + р 2. {\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = \ tan \ varphi = {\ frac {p} {a}} \,, \ quad T = {\ frac {T_ {0}} {a}} { \ sqrt {a ^ {2} + p ^ {2}}} \,.}{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {p}{a}}\,,\quad T={\frac {T_{0}}{a}}{\sqrt {a^{2}+p^{2}}}\,.}

Тогда

dxds = cos ⁡ φ = T 0 T {\ displaystyle {\ frac {dx} {ds}} = \ cos \ varphi = {\ frac {T_ {0}} {T}}}{\frac {dx}{ds}}=\cos \varphi ={\frac {T_{0}}{T}}

и

dyds = sin ⁡ φ = λ 0 gp T, {\ displaystyle {\ frac {dy} {ds}} = \ sin \ varphi = {\ frac {\ lambda _ {0} gp} {T}} \,,}{\displaystyle {\frac {dy}{ds}}=\sin \varphi ={\frac {\lambda _{0}gp}{T}}\,,}

откуда

dxdp = T 0 T dsdp = T 0 (1 T + 1 E) = aa 2 + p 2 + T 0 E {\ displaystyle {\ frac {dx} {dp}} = {\ frac {T_ {0}} {T}} {\ frac {ds} {dp}} = T_ { 0} \ left ({\ frac {1} {T}} + {\ frac {1} {E}} \ right) = {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ {2} + p ^ {2 }}}} + {\ frac {T_ {0}} {E}}}{\displaystyle {\frac {dx}{dp}}={\frac {T_{0}}{T}}{\frac {ds}{dp}}=T_{0}\left({\frac {1}{T}}+{\frac {1}{E}}\right)={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+p^{2}}}}+{\frac {T_{0}}{E}}}

и

dydp = λ 0 gp T dsdp = T 0 pa (1 T + 1 E) = pa 2 + p 2 + Т 0 п Е а. {\ displaystyle {\ frac {dy} {dp}} = {\ frac {\ lambda _ {0} gp} {T}} {\ frac {ds} {dp}} = {\ frac {T_ {0} p } {a}} \ left ({\ frac {1} {T}} + {\ frac {1} {E}} \ right) = {\ frac {p} {\ sqrt {a ^ {2} + p ^ {2}}}} + {\ frac {T_ {0} p} {Ea}} \,.}{\displaystyle {\frac {dy}{dp}}={\frac {\lambda _{0}gp}{T}}{\frac {ds}{dp}}={\frac {T_{0}p}{a}}\left({\frac {1}{T}}+{\frac {1}{E}}\right)={\frac {p}{\sqrt {a^{2}+p^{2}}}}+{\frac {T_{0}p}{Ea}}\,.}

Интегрирование дает параметрические уравнения

x = a arcsinh ⁡ (pa) + T 0 E p + α, {\ displaystyle x = a \ operatorname {arcsinh} \ left ({\ frac {p} {a}} \ right) + {\ frac {T_ {0}} {E}} p + \ alpha \,, }{\displaystyle x=a\operatorname {arcsinh} \left({\frac {p}{a}}\right)+{\frac {T_{0}}{E}}p+\alpha \,,}
y = a 2 + p 2 + T 0 2 E ap 2 + β. {\ displaystyle y = {\ sqrt {a ^ {2} + p ^ {2}}} + {\ frac {T_ {0}} {2Ea}} p ^ {2} + \ beta \,.}{\displaystyle y={\sqrt {a^{2}+p^{2}}}+{\frac {T_{0}}{2Ea}}p^{2}+\beta \,.}

Опять же, оси x и y можно сдвинуть, так что α и β можно принять равными 0. Итак,

x = a arcsinh ⁡ (pa) + T 0 E p, {\ displaystyle x = a \ operatorname { arcsinh} \ left ({\ frac {p} {a}} \ right) + {\ frac {T_ {0}} {E}} p \,,}{\displaystyle x=a\operatorname {arcsinh} \left({\frac {p}{a}}\right)+{\frac {T_{0}}{E}}p\,,}
y = a 2 + p 2 + T 0 2 E ap 2 {\ displaystyle y = {\ sqrt {a ^ {2} + p ^ {2}}} + {\ frac {T_ {0}} {2Ea}} p ^ {2}}{\displaystyle y={\sqrt {a^{2}+p^{2}}}+{\frac {T_{0}}{2Ea}}p^{2}}

являются параметрические уравнения для кривой. На жестком пределе, где E велико, форма кривой уменьшается до неэластичной цепи.

Другие обобщения

Цепь под действием общей силы

Без каких-либо предположений относительно силы G, действующей на цепь, следующий анализ может быть сделано.

Во-первых, пусть T= T(s) - сила натяжения как функция от s. Цепь гибкая, поэтому она может прилагать только параллельную себе силу. Поскольку натяжение определяется как сила, которую цепь оказывает на себя, T должен быть параллелен цепи. Другими словами,

T = T u, {\ displaystyle \ mathbf {T} = T \ mathbf {u} \,,}{\displaystyle \mathbf {T} =T\mathbf {u} \,,}

, где T - величина T и u - единичный касательный вектор.

Во-вторых, пусть G= G(s) - внешняя сила на единицу длины, действующая на небольшой сегмент цепи, как функция от s. Силы, действующие на сегмент цепи между s и s + Δs, представляют собой силу натяжения T (s + Δs) на одном конце сегмента, почти противоположную силу - T (s) на другом конце, а внешняя сила, действующая на сегмент, составляет приблизительно G Δs. Эти силы должны уравновешиваться, так что

T (s + Δ s) - T (s) + G Δ s ≈ 0. {\ displaystyle \ mathbf {T} (s + \ Delta s) - \ mathbf {T} (s) + \ mathbf {G} \ Delta s \ приблизительно \ mathbf {0} \,.}{\displaystyle \mathbf {T} (s+\Delta s)-\mathbf {T} (s)+\mathbf {G} \Delta s\approx \mathbf {0} \,.}

Разделите на Δs и возьмем предел при Δs → 0, чтобы получить

d T ds + G = 0. {\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {T}} {ds}} + \ mathbf {G} = \ mathbf {0} \,.}{\displaystyle {\frac {d\mathbf {T} }{ds}}+\mathbf {G} =\mathbf {0} \,.}

Эти уравнения можно использовать в качестве отправной точки при анализе гибкая цепь, действующая под действием любой внешней силы. В случае стандартной цепной линии G = (0, −λg), где цепь имеет массу λ на единицу длины, а g - ускорение свободного падения.

См. Также
Примечания
Библиография
Дополнительная литература
Внешние ссылки
Викискладе есть медиафайлы, связанные с Catenary.
Викицитатник содержит цитаты, связанные с: Catenary
Wikisource содержит текст Британской энциклопедии 1911 года статьи Catenary.
Последняя правка сделана 2021-05-14 12:08:44
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте