Эволюция кривой (синяя парабола) - это геометрическое место всех ее центров кривизны (красный).
Эволюция кривой (в данном случае эллипса) - это огибающая ее нормалей.
В дифференциальной геометрии кривых, эволюция кривой - это геометрическое место всех ее центров кривизны. То есть, когда центр кривизны каждой точки кривой нарисован, результирующая форма будет эволюцией этой кривой. Следовательно, эволюция круга - это единственная точка в его центре. Эквивалентно, эволюция - это огибающая из нормалей кривой.
Эволюция кривой, поверхности или, в более общем смысле, подмногообразия, является каустикой карты нормалей. Пусть M - гладкое регулярное подмногообразие в. Для каждой точки p в M и каждого вектора v, основанного на p и перпендикулярном M, мы связываем точку p + v . Это определяет лагранжеву карту, называемую картой нормалей. Каустика карты нормалей - это эволюция M.
Эволюты тесно связаны с эвольвентами : кривая - это эволюция любой из ее эвольвент.
Содержание
- 1 История
- 2 Эволюция параметрической кривой
- 3 Свойства эволюции
- 4 Примеры
- 4.1 Эволюция параболы
- 4.2 Эволюция эллипса
- 4.3 Эволюты циклоиды
- 5 Эволюты некоторых кривых
- 6 Радиальная кривая
- 7 Ссылки
История
Аполлоний (c.200 г. до н.э.) обсуждал эволюции в Книге V своих Коников. Однако Гюйгенс иногда считается первым, кто их изучил (1673). Гюйгенс сформулировал свою теорию эволюций примерно в 1659 году, чтобы помочь решить проблему поиска кривой таутохрон, которая, в свою очередь, помогла ему построить изохронный маятник. Это произошло потому, что кривая таутохрона - это циклоида, а циклоида обладает уникальным свойством, заключающимся в том, что ее эволюция также является циклоидой. На самом деле теория эволюции позволила Гюйгенсу достичь многих результатов, которые позже будут получены с помощью исчисления.
Эволюция параметрической кривой
Если - параметрическое представление правильной кривой на плоскости с нулевой кривизной и его радиус кривизны и единичная нормаль, указывающая на центр кривизны, затем
описывает эволюцию данной кривой.
Для и получается
- и
- .
Свойства эволюции
Нормаль в точке P является касательной в центре кривизны C.
Для получения свойств правильной кривой полезно использовать длину дуги данной кривой в качестве параметра, поскольку и (см. формулы Френе – Серре ). Следовательно, касательный вектор эволюции - это:
Из этого уравнения можно получить следующие свойства эволюции:
- В точках с эволюция не регулярна. Это означает: в точках с максимальной или минимальной кривизной (вершин данной кривой) у эволюты есть куспиды (парабола, эллипс, нефроид).
- Для любой дуги эволюции, которая не включает выступ, длина дуги равна разнице между радиусами кривизны на ее концах. Этот факт приводит к простому доказательству теоремы Тейта – Кнезера о вложении соприкасающихся окружностей.
- Нормали данной кривой в точках ненулевой кривизны касаются эволюты, а нормали кривой в точках нулевой кривизны являются асимптотами эвольвенты. Следовательно: эволюция - это огибающая нормалей данной кривой.
- На участках кривой с или кривая - это эвольвента своей эволюции. (На схеме: синяя парабола - это эвольвента красной полукубической параболы, которая на самом деле является эволюцией синей параболы.)
Доказательство последнего свойства:. Пусть будет в разделе рассмотрения. эвольвенту эволюты можно описать следующим образом:
где - фиксированное расширение строки ( см. Инвольта параметризованной кривой ).. С и получается
Это означает: Для расширения строки воспроизводится заданная кривая.
- Параллельные кривые имеют одинаковую эволюцию.
Доказательство: параллельная кривая на расстоянии от заданной кривой имеет параметрическое представление и радиус кривизны (см. параллельная кривая ). Следовательно, эволюция параллельной кривой равна
Примеры
Эволюция параболы
Для параболы с параметрическим представлением можно получить из формул выше уравнений:
, который описывает полукубическую параболу
Evolute (красный) эллипса
Эволюция эллипса
Для эллипса с параметрическим представлением получается:
Это уравнения несимметричной астроид. Исключение параметра приводит к неявному представлению
Циклоида (синий), ее соприкасающийся круг (красный) и эволюция (зеленый).
Эволюция циклоиды
Для циклоиды с параметрическим представлением эволюция будет:
, который описывает транспонированную копию самого себя.
Эволюция большого нефроида (синий) - это маленький нефроид (красный).
Эволюция некоторых кривых
Эволюция
- параболы - полукубическая парабола (см. выше),
- эллипса - несимметричный астроид (см. выше),
- нефроида - нефроид ( вдвое меньше, см. диаграмму),
- астроида - астроида (вдвое больше),
- кардиоида - кардиоида (одна треть больше),
- круга - его центр,
- дельтоида - дельтовид (в три раза больше),
- из циклоиды представляет собой конгруэнтную циклоиду,
- из логарифмической спирали представляет собой ту же логарифмическую спираль,
- из трактриса является цепной линией.
Радиальная кривая
Кривая с аналогичным определением - это радиал данной кривой. Для каждой точки кривой возьмите вектор из точки в центр кривизны и переместите его так, чтобы он начинался в начале координат. Тогда геометрическое место точек на концах таких векторов называется радиалом кривой. Уравнение для радиала получается удалением членов x и y из уравнения эволюции. Это дает
Ссылки
- Вайсштейн, Эрик У. «Эволют». MathWorld.
- Соколов, Д.Д. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
- Йейтс, Р.К.: Справочник по кривым и их свойствам, Дж. У. Эдвардс (1952), «Эволюты». стр. 86ff
- Эволюция на 2d кривых.