Эволюция

редактировать
Эволюция кривой (синяя парабола) - это геометрическое место всех ее центров кривизны (красный). Эволюция кривой (в данном случае эллипса) - это огибающая ее нормалей.

В дифференциальной геометрии кривых, эволюция кривой - это геометрическое место всех ее центров кривизны. То есть, когда центр кривизны каждой точки кривой нарисован, результирующая форма будет эволюцией этой кривой. Следовательно, эволюция круга - это единственная точка в его центре. Эквивалентно, эволюция - это огибающая из нормалей кривой.

Эволюция кривой, поверхности или, в более общем смысле, подмногообразия, является каустикой карты нормалей. Пусть M - гладкое регулярное подмногообразие в. Для каждой точки p в M и каждого вектора v, основанного на p и перпендикулярном M, мы связываем точку p + v . Это определяет лагранжеву карту, называемую картой нормалей. Каустика карты нормалей - это эволюция M.

Эволюты тесно связаны с эвольвентами : кривая - это эволюция любой из ее эвольвент.

Содержание

  • 1 История
  • 2 Эволюция параметрической кривой
  • 3 Свойства эволюции
  • 4 Примеры
    • 4.1 Эволюция параболы
    • 4.2 Эволюция эллипса
    • 4.3 Эволюты циклоиды
  • 5 Эволюты некоторых кривых
  • 6 Радиальная кривая
  • 7 Ссылки

История

Аполлоний (c.200 г. до н.э.) обсуждал эволюции в Книге V своих Коников. Однако Гюйгенс иногда считается первым, кто их изучил (1673). Гюйгенс сформулировал свою теорию эволюций примерно в 1659 году, чтобы помочь решить проблему поиска кривой таутохрон, которая, в свою очередь, помогла ему построить изохронный маятник. Это произошло потому, что кривая таутохрона - это циклоида, а циклоида обладает уникальным свойством, заключающимся в том, что ее эволюция также является циклоидой. На самом деле теория эволюции позволила Гюйгенсу достичь многих результатов, которые позже будут получены с помощью исчисления.

Эволюция параметрической кривой

Если x → = c → (t), t ∈ [t 1, t 2] {\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ vec {c}} (t), \; t \ in [t_ {1}, t_ {2}]}{\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ vec {c}} (t), \; t \ in [t_ {1}, t_ {2}]} - параметрическое представление правильной кривой на плоскости с нулевой кривизной и ρ (t) {\ displaystyle \ rho (t)}{\ displaystyle \ rho (t)} его радиус кривизны и n → (t) {\ displaystyle {\ vec {n}} (t)}{\ displaystyle {\ vec {n}} (t)} единичная нормаль, указывающая на центр кривизны, затем

  • E → (t) знак равно с → (t) + ρ (t) N → (t) {\ displaystyle {\ vec {E}} (t) = {\ vec {c}} (t) + \ rho (t) {\ vec {n}} (t)}{\ displaystyle {\ vec {E}} (t) = {\ vec {c}} (t) + \ rho (t) {\ vec {n}} (t)}

описывает эволюцию данной кривой.

Для c → (t) = (x (t), y (t)) T {\ displaystyle {\ vec {c}} (t) = (x (t), y ( t)) ^ {T}}{\ displaystyle {\ vec {c}} (t) = (x (t), y (t)) ^ {T}} и E → = (X, Y) T {\ displaystyle {\ vec {E}} = (X, Y) ^ {T}}{\ displaystyle {\ vec {E}} = (X, Y) ^ {T}} получается

  • X (t) = x (t) - y ′ (t) ⋅ (x ′ (t) 2 + y ′ (t) 2) x ′ (t) ⋅ y ″ (t) - Икс ″ (т) ⋅ Y '(т) {\ Displaystyle \ Displaystyle X (т) = х (т) - {\ гидроразрыва {у' (т) \ cdot {\ Big (} х '(т) ^ {2} + y '(t) ^ {2} {\ Big)}} {x' (t) \ cdot y '' (t) -x '' (t) \ cdot y '(t)}} \ quad}{\displaystyle \displaystyle X(t)=x(t)-{\frac {y'(t)\cdot {\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big)}}{x'(t)\cdot y''(t)-x''(t)\cdot y'(t)}}\quad }и
Y (t) = y (t) + x ′ (t) ⋅ (x ′ (t) 2 + y ′ (t) 2) x ′ (t) ⋅ y ″ (T) - x ″ (t) ⋅ y ′ (t) {\ displaystyle \ displaystyle Y (t) = y (t) + {\ frac {x '(t) \ cdot {\ Big (} x' ( t) ^ {2} + y '(t) ^ {2} {\ Big)}} {x' (t) \ cdot y '' (t) -x '' (t) \ cdot y '(t) }}}{\displaystyle \displaystyle Y(t)=y(t)+{\frac {x'(t)\cdot {\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big)}}{x'(t)\cdot y''(t)-x''(t)\cdot y'(t)}}}.

Свойства эволюции

Нормаль в точке P является касательной в центре кривизны C.

Для получения свойств правильной кривой полезно использовать длину дуги s {\ displaystyle s}s данной кривой в качестве параметра, поскольку | c → ′ | Знак равно 1 {\ displaystyle \; | {\ vec {c}} '| = 1 \;}{\displaystyle \;|{\vec {c}}'|=1\;}и n → ′ = - c → ′ / ρ {\ displaystyle \; {\ vec {n}} '= - {\ vec {c}}' / \ rho \;}{\displaystyle \;{\vec {n}}'=-{\vec {c}}'/\rho \;}(см. формулы Френе – Серре ). Следовательно, касательный вектор эволюции E → = c → + ρ n → {\ displaystyle \; {\ vec {E}} = {\ vec {c}} + \ rho {\ vec {n}} \ ;}{\ displaystyle \; {\ vec {E}} = {\ vec {c}} + \ rho {\ vec {n}} \;} - это:

E → ′ = c → ′ + ρ ′ n → + ρn → ′ = ρ ′ n →. {\ displaystyle {\ vec {E}} '= {\ vec {c}}' + \ rho '{\ vec {n}} + \ rho {\ vec {n}}' = \ rho '{\ vec { n}} \.}{\displaystyle {\vec {E}}'={\vec {c}}'+\rho '{\vec {n}}+\rho {\vec {n}}'=\rho '{\vec {n}}\.}

Из этого уравнения можно получить следующие свойства эволюции:

  • В точках с ρ ′ = 0 {\ displaystyle \ rho '= 0}{\displaystyle \rho '=0}эволюция не регулярна. Это означает: в точках с максимальной или минимальной кривизной (вершин данной кривой) у эволюты есть куспиды (парабола, эллипс, нефроид).
  • Для любой дуги эволюции, которая не включает выступ, длина дуги равна разнице между радиусами кривизны на ее концах. Этот факт приводит к простому доказательству теоремы Тейта – Кнезера о вложении соприкасающихся окружностей.
  • Нормали данной кривой в точках ненулевой кривизны касаются эволюты, а нормали кривой в точках нулевой кривизны являются асимптотами эвольвенты. Следовательно: эволюция - это огибающая нормалей данной кривой.
  • На участках кривой с ρ ′>0 {\ displaystyle \ rho '>0}{\displaystyle \rho '>0 } или ρ ′ < 0 {\displaystyle \rho '<0}{\displaystyle \rho '<0}кривая - это эвольвента своей эволюции. (На схеме: синяя парабола - это эвольвента красной полукубической параболы, которая на самом деле является эволюцией синей параболы.)

Доказательство последнего свойства:. Пусть будет ρ ′>0 {\ displaystyle \ rho '>0}{\displaystyle \rho '>0} в разделе рассмотрения. эвольвенту эволюты можно описать следующим образом:

C → 0 = E → - E → ′ | E → ′ | (∫ 0 s | E → ′ (ш) | dw + l 0), {\ displaystyle {\ vec {C}} _ ​​{0} = {\ vec {E}} - {\ frac {{\ vec {E }} '} {| {\ vec {E}}' |}} \; {\ Big (} \ int _ {0} ^ {s} | {\ vec {E}} '(w) | \; \ mathrm {d} w + l_ {0} \; {\ Big)} \ ;,}{\displaystyle {\vec {C}}_{0}={\vec {E}}-{\frac {{\vec {E}}'}{|{\vec {E}}'|}}\;{\Big (}\int _{0}^{s}|{\vec {E}}'(w)|\;\mathrm {d} w+l_{0}\;{\Big)}\;,}

где l 0 {\ displaystyle l_ {0}}l_0 - фиксированное расширение строки ( см. Инвольта параметризованной кривой ).. С E → = c → + ρ n →, E → ′ = ρ ′ n → {\ displaystyle {\ vec {E}} = {\ vec {c}} + \ rho {\ vec {n}} \;, \; {\ vec {E}} '= \ rho' {\ vec {n}}}{\displaystyle {\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}\;,\;{\vec {E}}'=\rho '{\vec {n}}}и ρ ′>0 {\ displaystyle \ rho '>0}{\displaystyle \rho '>0} получается

C → 0 = c → + ρ n → - n → (∫ 0 s ρ ′ (w) dw + l 0) = c → + (ρ (0) - l 0) n →. {\ displaystyle {\ vec {C}} _ ​​{0} = {\ vec {c}} + \ rho {\ vec {n}} - {\ vec {n }} \; {\ Big (} \ int _ {0} ^ {s} \ rho '(w) \; \ mathrm {d} w \; + l_ {0} {\ Big)} = {\ vec { c}} + (\ rho (0) -l_ {0}) \; {\ vec {n}} \ ;.}{\displaystyle {\vec {C}}_{0}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}-{\vec {n}}\;{\Big (}\int _{0}^{s}\rho '(w)\;\mathrm {d} w\;+l_{0}{\Big)}={\vec {c}}+(\rho (0)-l_{0})\;{\vec {n}}\;.}

Это означает: Для расширения строки l 0 = ρ (0) {\ displaystyle l_ {0} = \ rho (0)}{\ displaystyle l_ {0} = \ rho (0)} воспроизводится заданная кривая.

  • Параллельные кривые имеют одинаковую эволюцию.

Доказательство: параллельная кривая на расстоянии d {\ displaystyle d}d от заданной кривой имеет параметрическое представление c → d = c → + dn → {\ displaystyle {\ vec {c}} _ {d} = {\ vec {c}} + d {\ vec {n}}}{\ displaystyle {\ vec {c} } _ {d} = {\ vec {c}} + d {\ vec {n}}} и радиус кривизны ρ d = ρ - d {\ displaystyle \ rho _ {d} = \ rho -d}{\ displaystyle \ rho _ {d} = \ rho -d} (см. параллельная кривая ). Следовательно, эволюция параллельной кривой равна E → d = c → d + ρ d n → = c → + d n → + (ρ - d) n → = c → + ρ n → = E →. {\ displaystyle {\ vec {E}} _ {d} = {\ vec {c}} _ {d} + \ rho _ {d} {\ vec {n}} = {\ vec {c}} + d {\ vec {n}} + (\ rho -d) {\ vec {n}} = {\ vec {c}} + \ rho {\ vec {n}} = {\ vec {E}} \ ;. }{\ displaystyle {\ vec {E}} _ {d} = {\ vec { c}} _ {d} + \ rho _ {d} {\ vec {n}} = {\ vec {c}} + d {\ vec {n}} + (\ rho -d) {\ vec {n }} = {\ vec {c}} + \ rho {\ vec {n}} = {\ vec {E}} \ ;.}

Примеры

Эволюция параболы

Для параболы с параметрическим представлением (t, t 2) {\ displaystyle (t, t ^ {2})}(t, t ^ {2}) можно получить из формул выше уравнений:

X = ⋯ = - 4 t 3 {\ displaystyle X = \ cdots = -4t ^ {3}}{\ displaystyle X = \ cdots = -4t ^ {3}}
Y = ⋯ = 1 2 + 3 t 2, {\ displaystyle Y = \ cdots = {\ frac {1} {2}} + 3t ^ {2} \ ;,}{\ displaystyle Y = \ cdots = {\ frac {1} {2}} + 3t ^ {2} \ ;,}

, который описывает полукубическую параболу

Evolute (красный) эллипса

Эволюция эллипса

Для эллипса с параметрическим представлением (a cos ⁡ t, b sin ⁡ t) {\ displaystyle (a \ cos t, b \ sin t)}{\ displaystyle (a \ cos t, b \ sin t)} получается:

X = ⋯ = a 2 - b 2 a cos 3 ⁡ t {\ displaystyle X = \ cdots = {\ frac {a ^ {2} -b ^ { 2}} {a}} \ cos ^ {3} t}{\ displaystyle X = \ cdots = {\ frac {a ^ {2} -b ^ {2}} {a}} \ cos ^ {3} t}
Y = ⋯ = b 2 - a 2 b sin 3 ⁡ t. {\ displaystyle Y = \ cdots = {\ frac {b ^ {2} -a ^ {2}} {b}} \ sin ^ {3} t \ ;.}{\ displaystyle Y = \ cdots = {\ frac {b ^ {2} -a ^ {2}} {b}} \ sin ^ {3} t \ ;.}

Это уравнения несимметричной астроид. Исключение параметра t {\ displaystyle t}t приводит к неявному представлению

  • (a X) 2 3 + (b Y) 2 3 = (a 2 - b 2) 2 3. {\ displaystyle (aX) ^ {\ tfrac {2} {3}} + (bY) ^ {\ tfrac {2} {3}} = (a ^ {2} -b ^ {2}) ^ {\ tfrac {2} {3}} \.}{\ displaystyle (aX) ^ {\ tfrac {2} { 3}} + (bY) ^ {\ tfrac {2} {3}} = (a ^ {2} -b ^ {2}) ^ {\ tfrac {2} {3}} \.}
Циклоида (синий), ее соприкасающийся круг (красный) и эволюция (зеленый).

Эволюция циклоиды

Для циклоиды с параметрическим представлением (r (t - sin ⁡ t), r (1 - cos ⁡ t)) {\ displaystyle (r (t- \ sin t), r (1- \ cos t)) }{\ displaystyle (r (t- \ sin t), r (1- \ cos t))} эволюция будет:

X = ⋯ = r (t + sin ⁡ t) {\ displaystyle X = \ cdots = r (t + \ sin t)}{\ displaystyle X = \ cdots = r (t + \ sin t)}
Y = ⋯ = r (соз ⁡ t - 1) {\ displaystyle Y = \ cdots = r (\ cos t-1)}{\ displaystyle Y = \ cdots знак равно р (\ соз t-1)}

, который описывает транспонированную копию самого себя.

Эволюция большого нефроида (синий) - это маленький нефроид (красный).

Эволюция некоторых кривых

Эволюция

Радиальная кривая

Кривая с аналогичным определением - это радиал данной кривой. Для каждой точки кривой возьмите вектор из точки в центр кривизны и переместите его так, чтобы он начинался в начале координат. Тогда геометрическое место точек на концах таких векторов называется радиалом кривой. Уравнение для радиала получается удалением членов x и y из уравнения эволюции. Это дает

(X, Y) = (- y ′ x ′ 2 + y ′ 2 x ′ y ″ - x ″ y ′, x ′ x ′ 2 + y ′ 2 x ′ y ″ - x ″ y ′). {\ displaystyle (X, Y) = \ left (-y '{\ frac {{x'} ^ {2} + {y '} ^ {2}} {x'y' '- x''y'} } \;, \; x '{\ frac {{x'} ^ {2} + {y '} ^ {2}} {x'y' '- x''y'}} \ right) \ ;. }{\displaystyle (X,Y)=\left(-y'{\frac {{x'}^{2}+{y'}^{2}}{x'y''-x''y'}}\;,\;x'{\frac {{x'}^{2}+{y'}^{2}}{x'y''-x''y'}}\right)\;.}

Ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-19 09:13:23
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте