Кольцо (математика)

редактировать

Иллюстрация метода визуального исчисления Мамикона, показывающая, что площади двух колец с одинаковой длиной хорды одинаковы независимо от внутреннего и внешнего радиусов.

В математике, кольцо (на латинском слово «маленькое кольцо» - это кольцо / кольцо с множественными кольцами / кольцами) представляет собой объект в форме кольца, область, ограниченную двумя концентрическими круги ; эквивалентно, это установленная разница между двумя концентрическими дисками. Форма прилагательного - кольцевое (как в кольцевое затмение ).

Открытое кольцевое пространство топологически эквивалентно как открытому цилиндру S × (0,1), так и плоскости прокола. Неформально он имеет форму аппаратной шайбы.

Содержание

1 Область
2 Сложная структура
3 См. Также
4 Ссылки
5 Внешние ссылки

Область

Площадь кольца - это разность площадей большего окружности радиуса R и меньшего радиуса r:

A = π R 2 - π r 2 = π (R 2 - r 2). {\ displaystyle A = \ pi R ^ {2} - \ pi r ^ {2} = \ pi \ left (R ^ {2} -r ^ {2} \ right).}

{\ displaystyle A = \ pi R ^ {2} - \ pi r ^ {2} = \ pi \ left (R ^ {2} -r ^ {2} \ right).}

Площадь кольца определяется длиной самого длинного отрезка линии в кольцевом пространстве, который является хордой, касательной к внутренней окружности, 2d на прилагаемой диаграмме. Это можно показать с помощью теоремы Пифагора, поскольку эта линия касается меньшего круга и перпендикулярна его радиусу в этой точке, поэтому d и r являются сторонами прямоугольного треугольника. с гипотенузой R, а площадь кольца определяется как

A = π (R 2 - r 2) = π d 2. {\ displaystyle A = \ pi \ left (R ^ {2} -r ^ {2} \ right) = \ pi d ^ {2}.}

{\ displaystyle A = \ pi \ влево (R ^ {2} -r ^ {2} \ right) = \ pi d ^ {2}.}

Площадь также можно получить с помощью исчисления разделив кольцо на бесконечное количество колец бесконечно малой ширины dρ и площади 2πρ dρ, а затем интегрировав от ρ = r до ρ = R:

A = ∫ r R 2 π ρ d ρ = π (R 2 - r 2). {\ displaystyle A = \ int _ {r} ^ {R} \! \! 2 \ pi \ rho \, d \ rho = \ pi \ left (R ^ {2} -r ^ {2} \ right). }

{\ displaystyle A = \ int _ {r} ^ {R} \! \! 2 \ pi \ rho \, d \ rho = \ pi \ left (R ^ {2} -r ^ {2} \ right).}

Площадь сектора кольца с углом θ, где θ измеряется в радианах, определяется как

A = θ 2 (R 2 - r 2). {\ displaystyle A = {\ frac {\ theta} {2}} \ left (R ^ {2} -r ^ {2} \ right).}

{\ displaystyle A = {\ frac {\ theta} {2}} \ left (R ^ {2} -r ^ {2} \ right).}

Сложная структура

In комплексный анализ an кольцевое пространство ann (a; r, R) в комплексной плоскости - это открытая область, определяемая как

r < | z − a | < R. {\displaystyle r<|z-a|

{\ displaystyle r <| za | <R. }

Если r равно 0, область известна как проколотый диск (диск с отверстием точка в центре) радиуса R вокруг точки a.

Как подмножество комплексной плоскости, кольцо можно рассматривать как риманову поверхность. Сложная структура кольца зависит только от отношения r / R. Каждое кольцо ann (a; r, R) может быть голоморфно преобразовано в стандартное кольцо с центром в начале координат и с внешним радиусом 1 посредством отображения

z ↦ z - a R. {\ displaystyle z \ mapsto {\ frac {za} {R}}.}

{\ displaystyle z \ mapsto {\ frac {za} {R}}.}

Тогда внутренний радиус равен r / R < 1.

Теорема Адамара о трех кругах является утверждением о максимальном значении, которое голоморфная функция может принимать внутри кольца.

См. Также

Теорема о кольце (или предположение)
Визуальное исчисление # Описание, альтернативный подход к области кольцевого пространства
Сферическая оболочка
Тор
Список геометрических фигур

Список литературы

^«Край Вселенной: празднование десяти лет математических горизонтов». Дата обращения 9 мая 2017 г.

Внешние ссылки

Определение и свойства кольцевого пространства С интерактивной анимацией
Площадь кольцевого пространства, формула С интерактивной анимацией