Теорема Паппа о центроиде

Теорема применима к открытому цилиндру, конусу и сфере, чтобы получить площади их поверхности. Центроиды находятся на расстоянии a (красным) от оси вращения.

В математике, центроид теорема Паппа в (также известный как теорема Guldinus, теорема Паппа-Guldinus или теоремы Паппа в) либо из двух смежных теорем, связанных с площадью поверхности и объема на поверхностях и твердых тел вращения.

Эти теоремы приписываются Паппу Александрийскому и Полу Гулдину. Формулировка этой теоремы Паппом впервые появляется в печати в 1659 году, но она была известна ранее Кеплеру в 1615 году и Гульдину в 1640 году.

• 1 Первая теорема
• 2 Вторая теорема
  • 2.1 Доказательство
• 3 Обобщения
• 4 В n-измерениях
• 5 Сноски
• 6 Рекомендации
• 7 Внешние ссылки

Первая теорема гласит, что площадь поверхности из поверхности вращения, генерируемого вращением плоской кривой C примерно через оси которых внешние по отношению к C и на той же плоскости, равна произведению длины дуги s из C и расстояние D, проходимого геометрический центр тяжести из C:

${\ displaystyle A = sd.}$

Например, площадь поверхности тора с малым радиусом r и большим радиусом R равна

${\ displaystyle A = (2 \ pi r) (2 \ pi R) = 4 \ pi ^ {2} Rr.}$

Вторые государства теорема о том, что объем V в А тела вращения, генерируемого при вращении плоской фигуры F относительно внешней оси равен произведению площади A из F и расстояния г, пройденного геометрической центроида F. (Центроид F обычно отличается от центра тяжести граничной кривой C.) То есть:

${\ displaystyle V = Ad.}$

Например, объем тора с малым радиусом r и большим радиусом R равен

${\ Displaystyle V = (\ pi r ^ {2}) (2 \ pi R) = 2 \ pi ^ {2} Rr ^ {2}.}$

Этот частный случай был выведен Иоганном Кеплером с использованием бесконечно малых величин.

Доказательство

Позвольте быть площадью, твердым телом вращения и объемом. Предположим, начинается в плоскости и вращается вокруг оси. Расстояние от центра тяжести до оси - это ее координата. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle xz}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle R = {\ frac {\ iint _ {F} x \, dA} {A}},}$

и теорема утверждает, что

${\ Displaystyle V = Ad = A \ cdot 2 \ pi R = 2 \ pi \ iint _ {F} x \, dA.}$

Чтобы показать это, пусть будет в хт -плоскость, параметризованных по для, в области параметров. Поскольку по сути является отображением из в, площадь задается формулой замены переменных : ${\ displaystyle F}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Phi} (u, v) = (x (u, v), 0, z (u, v))}$${\ Displaystyle (и, v) \ в F ^ {*}}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ Phi}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle F}$

${\ displaystyle A = \ iint _ {F} dA = \ iint _ {F ^ {*}} \ left | {\ frac {\ partial (x, z)} {\ partial (u, v)}} \ right | \, du \, dv = \ iint _ {F ^ {*}} \ left | {\ frac {\ partial x} {\ partial u}} {\ frac {\ partial z} {\ partial v}} - {\ frac {\ partial x} {\ partial v}} {\ frac {\ partial z} {\ partial u}} \ right | \, du \, dv,}$

где есть определитель из матрицы Якоби изменения переменных. ${\ displaystyle \ left | {\ tfrac {\ partial (x, z)} {\ partial (u, v)}} \ right |}$

Твердое тело имеет тороидальную параметризацию для в области параметров ; и его объем ${\ displaystyle W}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Phi} (u, v, \ theta) = (x (u, v) \ cos \ theta, x (u, v) \ sin \ theta, z (u, v))}$${\ Displaystyle (и, v, \ theta)}$${\ Displaystyle W ^ {*} = F ^ {*} \ times [0,2 \ pi]}$

${\ Displaystyle V = \ iiint _ {W} dV = \ iiint _ {W ^ {*}} \ left | {\ frac {\ partial (x, y, z)} {\ partial (u, v, \ theta)}} \ right | \, du \, dv \, d \ theta.}$

Расширение,

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ left | {\ frac {\ partial (x, y, z)} {\ partial (u, v, \ theta)}} \ right | amp; = \ left | \ det { \ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial x} {\ partial u}} \ cos \ theta amp; {\ frac {\ partial x} {\ partial v}} \ cos \ theta amp; -x \ sin \ theta \ \ [6pt] {\ frac {\ partial x} {\ partial u}} \ sin \ theta amp; {\ frac {\ partial x} {\ partial v}} \ sin \ theta amp; x \ cos \ theta \\ [6pt ] {\ frac {\ partial z} {\ partial u}} amp; {\ frac {\ partial z} {\ partial v}} amp; 0 \ end {bmatrix}} \ right | \\ [5pt] amp; = \ left | - {\ frac {\ partial z} {\ partial v}} {\ frac {\ partial x} {\ partial u}} \, x + {\ frac {\ partial z} {\ partial u}} {\ frac { \ partial x} {\ partial v}} \, x \ right | = \ \ left | -x \, {\ frac {\ partial (x, z)} {\ partial (u, v)}} \ right | = x \ left | {\ frac {\ partial (x, z)} {\ partial (u, v)}} \ right |. \ end {align}}}$

Последнее равенство выполняется, потому что ось вращения должна быть внешней по отношению к, то есть. Сейчас, ${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle х \ geq 0}$

${\ displaystyle {\ begin {align} V amp; = \ iiint _ {W ^ {*}} \ left | {\ frac {\ partial (x, y, z)} {\ partial (u, v, \ theta)} } \ right | \, du \, dv \, d \ theta = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \! \! \! \! \ iint _ {F ^ {*}} x (u, v) \ left | {\ frac {\ partial (x, z)} {\ partial (u, v)}} \ right | \, du \, dv \, d \ theta \\ [6pt] amp; = 2 \ pi \ iint _ {F ^ {*}} x (u, v) \ left | {\ frac {\ partial (x, z)} {\ partial (u, v)}} \ right | \, du \, dv = 2 \ pi \ iint _ {F} x \, dA \ end {выровнено}}}$

заменой переменных.

Эти теоремы могут быть обобщены для произвольных кривых и форм при соответствующих условиях.

Гудман и Гудман обобщают вторую теорему следующим образом. Если фигура F двигается через пространство таким образом, что она остается перпендикулярной к кривой L, описываемой центроид F, то она заметает твердую объемную V = Ad, где является область F и d представляет собой длину L. (Это предполагает, что твердое тело не пересекает себя.) В частности, F может вращаться вокруг своего центра тяжести во время движения.

Тем не менее, соответствующее обобщение первой теоремы справедливо только если кривая L прослежена центроид лежит в плоскости, перпендикулярной к плоскости C.

В общем, можно создать размерное твердое тело, вращая размерное тело вокруг размерной сферы. Это называется твердым телом вращения видов. Пусть -й центроид группы определяется формулой ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle np}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle F}$

${\ displaystyle R = {\ frac {\ iint _ {F} x ^ {p} \, dA} {A}},}$

Затем теоремы Паппа обобщаются на:

Объем -твердого вращения вида = (Объем образующего -твердого тела) (Площадь поверхности -сферы, обозначенная -й центроид образующего тела) ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p}$ ${\ Displaystyle (п {-} р)}$${\ displaystyle \ times}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$

а также

Площадь поверхности -твердого тела вращения вида = (Площадь поверхности образующего -твердого тела) (Площадь поверхности -сферы, прослеживаемая -м центром тяжести образующего твердого тела) ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p}$ ${\ Displaystyle (п {-} р)}$${\ displaystyle \ times}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$

Исходные теоремы относятся к. ${\ Displaystyle п = 3, \, р = 1}$

• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Паппа о центроиде". MathWorld.