Центроид

Среднее («среднее») положение всех точек в форме Центроид треугольника

В математика и физика, центроид или геометрический центр плоской фигуры - это среднее арифметическое положение всех точек на рисунке. Неформально, это точка, в которой вырез формы может быть идеально сбалансирован на кончике булавки.

Определение распространяется на любой объект в n- мерном пространстве : его центроид - это среднее положение всех точек во всех направлениях координат.

В то время как в геометрии слово барицентр является синонимом центроида, в астрофизике и астрономии барицентр - это центр масс двух или более тел, вращающихся по орбите друг с другом. В физике центр масс - это среднее арифметическое всех точек , взвешенных по локальной плотности или удельному весу. Если физический объект имеет однородную плотность, его центр масс совпадает с центроидом его формы.

В geography центроид радиальной проекции области земной поверхности на уровень моря - это географический центр региона.

• 1 История
• 2 Свойства
• 3 Примеры
• 4 Расположение
  • 4.1 Метод отвеса
  • 4.2 Метод балансировки
  • 4.3 Из конечного набора точек
  • 4.4 Путем геометрического разложения
  • 4.5 По интегральной формуле
  • 4.6 Ограниченной области
  • 4.7 L-образного объекта
  • 4.8 Треугольника
  • 4.9 Многоугольника
  • 4.10 Конуса или пирамиды
  • 4.11 Тетраэдра и n -мерный симплекс
  • 4.12 Полушария
• 5 См. также
• 6 Примечания
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Термин «центроид» появился недавно чеканка (1814 г.). Он используется в качестве замены старых терминов «центр тяжести » и «центр масс », когда необходимо подчеркнуть чисто геометрические аспекты этой точки. Термин свойственен английскому языку. Французы чаще всего используют «центр притяжения», а другие используют термины схожего значения.

Центр тяжести, как следует из названия, возник в механике, скорее всего, в связи со строительством. Когда, где и кем он был изобретен, неизвестно, так как эта концепция, вероятно, пришла в голову многим людям индивидуально с небольшими различиями.

Хотя возможно Евклид все еще был активен в Александрии в детстве Архимеда (287–212 до н.э.), несомненно, что когда Архимед посетил Александрия, Евклида там больше не было. Таким образом, Архимед не мог усвоить теорему о том, что медианы треугольника пересекаются в точке - центре тяжести треугольника непосредственно от Евклида, поскольку этого утверждения нет в Элементах Евклида. Первое явное утверждение этого предположения принадлежит Герону Александрийскому (возможно, I век н.э.) и встречается в его «Механике». Между прочим, можно добавить, что это положение не входило в учебники по геометрии плоскости до XIX века.

Хотя Архимед прямо не заявляет об этом утверждении, он косвенно ссылается на него, предполагая, что он был с ним знаком. Однако Жан Этьен Монтукла (1725–1799), автор первой истории математики (1758), категорически заявляет (т. I, стр. 463), что центр тяжести твердых тел является предметом Архимеда не трогал.

В 1802 году Шарль Босу (1730–1813) опубликовал двухтомный Essai sur l'histoire générale des mathématiques. Эта книга была высоко оценена современниками, судя по тому, что уже через два года после публикации она была переведена на итальянский (1802–03), английский (1803) и немецкий (1804) языки. Боссут считает, что Архимед обнаружил центроид плоских фигур, но ничего не говорит о твердых телах.

Геометрический центроид выпуклого объекта всегда лежит в объект. У невыпуклого объекта центр тяжести может находиться за пределами самой фигуры. Центроид кольца кольца или чаши, например, лежит в центральной пустоте объекта.

Если центроид определен, он является фиксированной точкой всех изометрий в его группе симметрии. В частности, геометрический центр тяжести объекта лежит на пересечении всех его гиперплоскостей симметрии . Центроид многих фигур (правильный многоугольник, правильный многогранник, цилиндр, прямоугольник, ромб, круг, сфера, эллипс, эллипсоид, суперэллипс, суперэллипсоид и т. д.) может определяться только этим принципом.

В частности, центр тяжести параллелограмма является точкой пересечения его двух диагоналей . Это не относится к другим четырехугольникам .

. По той же причине центроид объекта с трансляционной симметрией не определен (или находится за пределами ограничивающего пространства), поскольку сдвиг не имеет фиксированной точки..

Центроид треугольника - это пересечение трех медиан треугольника (каждая медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны).

Другие свойства центроида треугольника см. В ниже.

Метод отвесной линии

Центроид равномерно плотной плоской пластинки, например, на рисунке (а) ниже, может быть определено экспериментально с использованием отвеса и штифта для нахождения совмещенного центра масс тонкого тела однородной плотности, имеющего такую ​​же форму. Корпус удерживается штифтом, вставленным в точку за пределами предполагаемого центра тяжести, таким образом, что он может свободно вращаться вокруг штифта; затем отвес снимается со штифта (рисунок b). Положение отвеса отслеживается на поверхности, и процедура повторяется со шпилькой, вставленной в любой другой точке (или в нескольких точках) за пределами центроида объекта. Единственной точкой пересечения этих линий будет центроид (рисунок c). При условии, что тело имеет однородную плотность, все линии, построенные таким образом, будут включать центроид, и все линии будут пересекаться в одном и том же месте.

(a)	(b)	(c)

Этот метод может быть расширен (теоретически) на вогнутые формы, где центр тяжести может лежать вне формы, и фактически к твердым телам (опять же с однородной плотностью), где центр тяжести может находиться внутри тела. (Виртуальные) положения отвесов должны быть записаны другими способами, кроме их рисования по форме.

Метод балансировки

Для выпуклых двумерных форм центр тяжести может быть найден путем уравновешивания формы на меньшей форме, такой как вершина узкого цилиндра. Центроид находится где-то в пределах диапазона контакта между двумя формами (и точно в точке, где форма будет балансировать на штифте). В принципе, для определения центра тяжести с произвольной точностью можно использовать все более узкие цилиндры. На практике воздушные потоки делают это невозможным. Однако, отмечая диапазон перекрытия нескольких весов, можно достичь значительного уровня точности.

конечного набора точек

Центроид конечного набора $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$точек $x\; 1,\; x\; 2,\; \dots ,\; Xk\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{1\},\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{k\}\}$в $R\; п\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$равно

$C\; =\; x\; 1\; +\; x\; 2\; +\; \cdots \; +\; xkk\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{1\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{k\}\}\; \{k\}\}\}$.

Эта точка минимизирует сумму квадратов евклидовых расстояний между собой и каждая точка в наборе.

Путем геометрического разложения

Центроид плоской фигуры $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$можно вычислить, разделив его на конечное число более простых фигур $X\; 1,\; X\; 2,\dots ,\; X\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{1\},\; X\_\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; X\_\; \{n\}\}$, вычисление центроида $C\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{i\}\}$и области $A\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{i\}\}$каждой части, а затем вычисление

$C\; x\; =\; \sum \; C\; ix\; A\; я\; \sum \; A\; я,\; С\; Y\; знак\; равно\; \sum \; С\; iy\; A\; я\; \sum \; A\; я\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{x\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; C\_\; \{i\_\; \{x\}\}\; A\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; sum\; A\_\; \{i\}\}\; \},\; C\_\; \{y\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; C\_\; \{i\_\; \{y\}\}\; A\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; sum\; A\_\; \{i\}\}\}\}$

Отверстия на рисунке $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \}$, перекрытия между частями или части, выходящие за пределы рисунка, могут быть обработаны с использованием отрицательных областей $A\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{i\}\}$. А именно, меры $A\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{i\}\}$следует принимать с положительными и отрицательными знаками таким образом, чтобы сумма знаков $A\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{i\}\}$для всех частей, которые окружают данную точку $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$равно 1, если $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$принадлежит $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, иначе 0.

Например, рисунок ниже (а) легко разделить на квадрат и треугольник, оба с положительной площадью; и круглое отверстие с отрицательной площадью (b).

(a) 2D-объект (b) Объект, описанный с использованием более простых элементов (c) Центроиды элементов объекта

Центроид каждой части можно найти в любом списке центроидов простых форм (в). Тогда центроид фигуры - это средневзвешенное значение трех точек. Горизонтальное положение центроида от левого края рисунка

$x\; =\; 5\; \times \; 10\; 2\; +\; 13,33\; \times \; 1\; 2\; 10\; 2\; -\; 3\; \times \; \pi \; 2,5\; 2\; 10\; 2\; +\; 1\; 2\; 10\; 2\; -\; \pi \; 2,5\; 2\; \approx \; 8,5\; единицы\; измерения.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{5\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{2\}\; +13,33\; \backslash \; times\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; 10\; ^\; \{2\}\; -3\; \backslash \; times\; \backslash \; pi\; 2,5\; ^\; \{2\}\}\; \{10\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; 10\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; pi\; 2,5\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 8,5\; \{\backslash \; t\_dv\; \{units\}\}.\}$

Вертикальное положение центроид находится точно так же.

Та же формула верна для любых трехмерных объектов, за исключением того, что каждый $A\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{i\}\}$должен быть объемом $X\; i\; \{\; \backslash \; displaystyle\; X\_\; \{i\}\}$, а не его площадь. Это также справедливо для любого подмножества $R\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{d\}\}$, для любого измерения $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$с областями, замененными на $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$-размерные меры частей.

По интегральной формуле

Центроид подмножества X из $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$также может быть вычислен интегралом

$C\; =\; \int \; xg\; (x)\; dx\; \int \; g\; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; int\; xg\; (x)\; \backslash ;\; dx\}\; \{\backslash \; int\; g\; (x)\; \backslash \; ;\; dx\}\}\}$

где интегралы берутся по всему пространству $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$, а g - характеристика функция подмножества, которая равна 1 внутри X и 0 вне его. Обратите внимание, что знаменатель - это просто мера множества X. Эта формула не может быть применена, если у множества X есть нулевая мера или если любой интеграл расходится.

Другая формула для центроида:

$C\; k\; =\; \int \; z\; S\; k\; (z)\; dz\; \int \; S\; k\; (z)\; dz\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; int\; zS\_\; \{k\; \}\; (z)\; \backslash ;\; dz\}\; \{\backslash \; int\; S\_\; \{k\}\; (z)\; \backslash ;\; dz\}\}\}$

где C k - это k-я координата C, а S k (z) - это мера пересечения X с гиперплоскостью, определяемая уравнением x k = z. И снова знаменатель - это просто мера X.

Для плоской фигуры, в частности, координаты центра масс:

$C\; x\; =\; \int \; x\; S\; y\; (x)\; dx\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{x\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; int\; xS\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{y\}\}\; (x)\; \backslash ;\; dx\}\; \{A\}\}\}$

$C\; y\; =\; \int \; y\; S\; x\; (y)\; dy\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{y\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; int\; yS\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{x\}\}\; (y)\; \backslash ;\; dy\}\; \{A\}\}\}$

где A - площадь фигуры X; S y (x) - длина пересечения X с вертикальной линией на абсциссе x; и S x (y) - аналогичная величина для поменяемых местами осей.

ограниченной области

Центроид $(x\; ¯,\; y\; ¯)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; bar\; \{x\}\},\; \backslash ;\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\})\; \}$области, ограниченной графиками непрерывных функций $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$и $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$такое, что $f\; (x)\; \ge \; g\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; \backslash \; geq\; g\; (x)\}$на интервале $[a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b]\}$, $a\; \le \; x\; \le \; b\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; leq\; x\; \backslash \; leq\; b\}$, задается как

$x\; ¯\; =\; 1\; A\; \int \; abx\; [f\; (х)\; -\; g\; (x)]\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{x\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{A\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; x\; [f\; (x)\; -g\; (\; х)]\; \backslash ;\; dx\}$

$y\; ¯\; =\; 1\; A\; \int \; ab\; [f\; (x)\; +\; g\; (x)\; 2]\; [f\; (x)\; -\; g\; (x)]\; dx,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{y\; \}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{A\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{f\; (x)\; +\; g\; (x)\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right]\; [f\; (\; x)\; -g\; (x)]\; \backslash ;\; dx,\}$

где $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$- площадь региона (заданная как $\int \; ab\; [f\; (x)\; -\; g\; (x)]\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; [f\; (x)\; -g\; (x)]\; \backslash ;\; dx\}$).

L-образного объекта

Это метод определения ce ntroid L-образного объекта.

1. Разделите фигуру на два прямоугольника, как показано на рис. 2. Найдите центроиды этих двух прямоугольников, нарисовав диагонали. Нарисуйте линию, соединяющую центроиды. Центроид фигуры должен лежать на этой линии AB.
2. Разделите фигуру на два других прямоугольника, как показано на рис. 3. Найдите центроиды этих двух прямоугольников, нарисовав диагонали. Нарисуйте линию, соединяющую центроиды. Центроид L-образной формы должен лежать на этой прямой CD.
3. Поскольку центр тяжести формы должен лежать как вдоль AB, так и вдоль CD, он должен быть на пересечении этих двух линий в точке O. точка O может находиться внутри или снаружи L-образного объекта.

треугольника

Центроид треугольника - это точка пересечения его медиан (линии соединение каждой вершины со средней точкой противоположной стороны). Центроид делит каждую из медиан в соотношении 2: 1, то есть находится на расстояния от каждой стороны до противоположной вершины (см. Рисунки справа). Его декартовы координаты - это означает координат трех вершин. То есть, если три вершины равны $L\; =\; (x\; L,\; y\; L),\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; (x\_\; \{L\},\; y\_\; \{L\}),\}$$M\; =\; (x\; M,\; y\; M),\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; =\; (x\_\; \{M\},\; y\_\; \{M\}),\}$и $N\; =\; (x\; N,\; y\; N),\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; =\; (x\_\; \{N\},\; y\_\; \{N\}),\}$, то центроид (обозначенный здесь C, но чаще всего обозначаемый G в геометрии треугольника ) равен

$C\; =\; 1\; 3\; (L\; +\; M\; +\; N)\; =\; (1\; 3\; (x\; L\; +\; x\; M\; +\; x\; N),\; 1\; 3\; (y\; L\; +\; y\; M\; +\; y\; N)).\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; (L\; +\; M\; +\; N)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; (x\_\; \{L\}\; +\; x\_\; \{M\}\; +\; x\_\; \{N)\; \}),\; \backslash ;\; \backslash ;\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; (y\_\; \{L\}\; +\; y\_\; \{M\}\; +\; y\_\; \{N\})\; \backslash \; right).\}$

Следовательно, центроид находится в $1\; 3:\; 1\; 3:\; 1\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{3\}\}:\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{3\}\}:\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{3\}\}\}$дюйм барицентрические координаты.

В трилинейных координатах центроид может быть выражен любым из этих эквивалентных способов с точки зрения длин сторон a, b, c и углов при вершинах L, M, N:

$C\; =\; 1\; a:\; 1\; b:\; 1\; c\; =\; bc:\; ca:\; ab\; =\; csc\; \; L:\; csc\; \; M:\; csc\; \; N\; =\; cos\; \; L\; +\; cos\; \; M\; \cdot \; cos\; \; N:\; cos\; \; M\; +\; cos\; \; N\; \cdot \; cos\; \; L:\; cos\; \; N\; +\; cos\; \; L\; \cdot \; cos\; \; M\; =\; sec\; \; L\; +\; sec\; \; M\; \cdot \; sec\; \; N:\; sec\; \; M\; +\; sec\; \; N\; \cdot \; sec\; \; L:\; sec\; \; N\; +\; sec\; \; L\; \cdot \; sec\; \; М.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; C\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\}\}:\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{b\}\}:\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\}\}\; =\; bc:\; ca:\; ab\; =\; \backslash \; csc\; L:\; \backslash \; csc\; M:\; \backslash \; csc\; N\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; cos\; L\; +\; \backslash \; cos\; M\; \backslash \; cdot\; \backslash \; cos\; N:\; \backslash \; cos\; M\; +\; \backslash \; cos\; N\; \backslash \; cdot\; \backslash \; cos\; L:\; \backslash \; cos\; N\; +\; \backslash \; cos\; L\; \backslash \; cdot\; \backslash \; cos\; M\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; sec\; L\; +\; \backslash \; sec\; M\; \backslash \; cdot\; \backslash \; sec\; N:\; \backslash \; sec\; M\; +\; \backslash \; sec\; N\; \backslash \; cdot\; \backslash \; sec\; L:\; \backslash \; sec\; N\; +\; \backslash \; sec\; L\; \backslash \; cdot\; \backslash \; sec\; M.\; \backslash \; end\; \{выровнено\; \}\}\}$

Центроид также является физическим центром масс, если треугольник сделан из однородного листа материала; или если вся масса сосредоточена в трех вершинах и поровну разделена между ними. С другой стороны, если масса распределена по периметру треугольника с равномерной линейной плотностью, то центр масс находится в центре Шпикера (центр среднего треугольника ), который (в общем случае) не совпадает с геометрическим центром тяжести полного треугольника.

Площадь треугольника в 1,5 раза превышает длину любой стороны, умноженную на перпендикулярное расстояние от стороны до центроида.

Центроид треугольника лежит на его прямой Эйлера между его ортоцентром H и его центром описанной окружности O, ровно в два раза ближе к последнему, чем к первому:

$CH\; ¯\; =\; 2\; CO\; ¯.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{CH\}\}\; =\; 2\; \{\backslash \; overline\; \{CO\}\}.\}$

Кроме того, для инцентратора I и центра по девяти точкам N, имеем

Если G - центр тяжести треугольника ABC, то:

$(Площадь\; △\; ABG)\; =\; (Площадь\; △\; ACG)\; =\; (Площадь\; △\; BCG)\; =\; 1\; 3\; (Площадь\; △\; ABC)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; text\; \{Площадь\}\}\; \backslash \; треугольник\; \backslash \; mathrm\; \{ABG\})\; =\; (\{\backslash \; text\; \{Площадь\}\}\; \backslash \; треугольник\; \backslash \; mathrm\; \{ACG\})\; =\; (\{\backslash \; text\; \{Площадь\}\}\; \backslash \; треугольник\; \backslash \; mathrm\; \{BCG\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; (\{\backslash \; text\; \{Площадь\}\}\; \backslash \; треугольник\; \backslash \; mathrm\; \{ABC\; \})\}$

изогонально сопряженным центроиду треугольника является его симедианная точка.

Любая из трех медиан, проходящих через центроид, делит площадь треугольника пополам. Это неверно для других линий, проходящих через центроид; наибольшее отклонение от деления на равные площади происходит, когда линия, проходящая через центр тяжести, параллельна стороне треугольника, образуя меньший треугольник и трапецию ; в этом случае площадь трапеции равна 5/9 площади исходного треугольника.

Пусть P - любая точка на плоскости треугольника с вершинами A, B, C и центроидом G. Тогда сумма Квадрат расстояний P от трех вершин превышает сумму квадратов расстояний от центроида G до вершин в три раза больше квадрата расстояния между P и G:

$PA\; 2\; +\; PB\; 2\; +\; PC\; 2\; =\; GA\; 2\; +\; GB\; 2\; +\; GC\; 2\; +\; 3\; PG\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; PA\; ^\; \{2\}\; +\; PB\; ^\; \{2\}\; +\; PC\; ^\; \{2\}\; =\; GA\; ^\; \{2\}\; +\; GB\; ^\; \{2\}\; +\; GC\; ^\; \{2\}\; +\; 3PG\; ^\; \{2\}.\}$

сумма квадратов сторон треугольника равна троекратной сумме квадратов расстояний от центроида до вершин:

$AB\; 2\; +\; BC\; 2\; +\; CA\; 2\; =\; 3\; (GA\; 2\; +\; GB\; 2\; +\; GC\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; AB\; ^\; \{2\}\; +\; BC\; ^\; \{2\}\; +\; CA\; ^\; \{2\}\; =\; 3\; (GA\; ^\; \{2\}\; +\; GB\; ^\; \{2\}\; +\; GC\; ^\; \{2\}).\}$

Центроид треугольника равен точка, которая максимизирует произведение ориентированных расстояний от точки до сторон треугольника.

Пусть ABC - треугольник, пусть G - его центр тяжести, а D, E и F - середины BC, CA и AB соответственно. Для любой точки P в плоскости ABC тогда

$P\; A\; +\; P\; B\; +\; P\; C\; \le \; 2\; (P\; D\; +\; P\; E\; +\; P\; F)\; +\; 3\; P\; G.\; \{\backslash \; displaystyle\; PA\; +\; PB\; +\; PC\; \backslash \; leq\; 2\; (PD\; +\; PE\; +\; PF)\; +\; 3PG.\}$

многоугольника

Центроид несамопересекающегося замкнутого многоугольника, определяемое n вершинами (x 0,y0), (x 1,y1),..., (x n − 1, y n − 1), является точкой ( C x, C y), где

$C\; x\; =\; 1\; 6\; A\; \sum \; i\; =\; 0\; n\; -\; 1\; (xi\; +\; xi\; +\; 1)\; (xiyi\; +\; 1\; -\; xi\; +\; 1\; yi),\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{x\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{6A\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; (x\_\; \{i\}\; +\; x\_\; \{i\; +\; 1\})\; (x\_\; \{i\}\; \backslash \; y\_\; \{i\; +\; 1\}\; -x\_\; \{i\; +\; 1\}\; \backslash \; y\_\; \{i\}),\}$и

$C\; y\; =\; 1\; 6\; A\; \sum \; i\; =\; 0\; п\; -\; 1\; (yi\; +\; yi\; +\; 1)\; (xiyi\; +\; 1\; -\; xi\; +\; 1\; yi),\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{y\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{6A\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\; \}\; ^\; \{n-1\}\; (y\_\; \{i\}\; +\; y\_\; \{i\; +\; 1\})\; (x\_\; \{i\}\; \backslash \; y\_\; \{i\; +\; 1\}\; -x\_\; \{i\; +\; 1\}\; \backslash \; y\_\; \{i\}),\}$

и где A - подписанная площадь многоугольника, как описано формулой шнурка :

$A\; =\; 1\; 2\; \sum \; i\; =\; 0\; n\; -\; 1\; (xiyi\; +\; 1\; -\; xi\; +\; 1\; yi).\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; (x\_\; \{i\}\; \backslash \; y\_\; \{i\; +\; 1\}\; -x\_\; \{i\; +\; 1\}\; \backslash \; y\_\; \{i\}).\}$

В этих формулах предполагается, что вершины пронумерованы в порядке их появления по периметру многоугольника; кроме того, вершина (x n, y n) предполагается такой же, как (x 0, y 0), значение $i\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; +\; 1\}$в последнем случае должно выполняться в цикле до $i\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; 0\}$. (Если точки пронумерованы по часовой стрелке, площадь A, вычисленная, как указано выше, будет отрицательной; однако координаты центроида будут правильными даже в этом случае.)

Конуса или пирамиды

Центроид конуса или пирамиды расположен на отрезке линии, который соединяет вершину с центроидом основания. Для твердого конуса или пирамиды центр тяжести составляет 1/4 расстояния от основания до вершины. Для конуса или пирамиды, представляющих собой просто оболочку (полую) без основания, центроид составляет 1/3 расстояния от плоскости основания до вершины.

тетраэдра и n-мерного симплекса

A тетраэдр представляет собой объект в трехмерном пространстве, имеющий четыре треугольника в качестве его граней. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центром тяжести противоположной грани, называется срединной, а отрезок, соединяющий середины двух противоположных ребер, называется бимедианой. Следовательно, есть четыре медианы и три бимедианы. Эти семь отрезков пересекаются в центре тетраэдра. Медианы делятся на центроид в соотношении 3: 1. Центроид тетраэдра - это середина между его точкой Монжа и центром описанной области (центром описанной сферы). Эти три точки определяют линию Эйлера тетраэдра, которая аналогична прямой Эйлера треугольника.

Эти результаты обобщаются на любой n-мерный симплекс следующим образом. Если набор вершин симплекса равен $v\; 0,\dots ,\; vn\; \{\backslash \; displaystyle\; \{v\_\; \{0\},\; \backslash \; ldots,\; v\_\; \{n\}\}\}$, то рассматриваемые вершины как векторов, центроид равен

$C\; =\; 1\; n\; +\; 1\; \sum \; i\; =\; 0\; nvi.\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\; +\; 1\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; v\_\; \{i\}.\}$

Геометрический центроид совпадает с центром масс, если масса равномерно распределена по всему симплексу или сосредоточена в вершинах как n + 1 равных масс.

полушария

Центроид твердого полушария (т.е. половина твердого шара) делит отрезок прямой, соединяющий центр шара с полюсом полушария в соотношении 3: 5 (т.е. лежит на 3/8 пути от центра до полюса). Центроид полого полушария (то есть половина полой сферы) делит отрезок прямой, соединяющий центр сферы с полюсом полушария пополам.

• Центр Чебышева
• Среднее Фреше
• Алгоритм k-средних
• Список центроидов
• Определение центра масс
• Медоид
• Теорема Паппа о центроидах
• Спектральный центроид
• Центр треугольника

• Альтшиллер-Корт, Натан (1925), Геометрия колледжа: Введение в современную геометрию треугольника и круга (2-е изд..), Нью-Йорк: Barnes Noble, LCCN 52013504
• Бурк, Пол (июль 1997 г.). «Расчет площади и центра тяжести многоугольника».
• Джонсон, Роджер А. (2007), Advanced Euclidean Geometry, Dover
• Kay, David C. (1969), College Geometry, Нью-Йорк : Holt, Rinehart and Winston, LCCN 69012075
• Larson, Roland E.; Хостетлер, Роберт П.; Эдвардс, Брюс Х. (1998), Исчисление одной переменной (6-е изд.), Houghton Mifflin Company
• Protter, Murray H.; Морри, младший, Чарльз Б. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2-е изд.), Чтение: Addison-Wesley, LCCN 76087042

• Энциклопедия центров треугольников Кларка Кимберлинга. Центроид индексируется как X (2).
• Характеристическое свойство центроида в точке срезать узел
• Барицентрические координаты в точке разрезать узел
• Интерактивный анимация, показывающая Центроид треугольника и Построение центроида с компасом и линейкой
• Экспериментальное определение медиан и центроида треугольника в Эскизы динамической геометрии, интерактивный эскиз динамической геометрии с использованием симулятора гравитации Золушки.