Трапеция

редактировать

Выпуклый четырехугольник с как минимум одной парой параллельных сторон

Трапеция (AmE). Трапеция (BrE)
Трапеция или трапеция
Тип	четырехугольник
Ребра и вершины	4
Площадь	$a + b 2 h {\ displaystyle {\ tfrac {a + b} {2}} h }$ $\ tfrac {a + b} {2} h$
Свойства	выпуклый

В евклидовой геометрии, выпуклый четырехугольник по крайней мере с одной парой параллелей стороны обозначается как трапеция () на английском языке за пределами Северной Америки, но как трапеция () в американском и канадском английском. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны называются ножками или боковыми сторонами (если они не параллельны; в противном случае есть две пары оснований). Разносторонняя трапеция - это трапеция без сторон равной меры, в отличие от особых случаев ниже.

Содержание

1 Этимология
- 1.1 Трапеция и трапеция
2 Включающее и исключительное определение
3 Особые случаи
4 Условия существования
5 Характеристики
6 Средний сегмент и высота
7 Площадь
8 Диагонали
9 Другие свойства
10 Приложения
- 10.1 Архитектура
- 10.2 Геометрия
- 10.3 Биология
- 10.4 Компьютерная инженерия
11 См. Также
12 Ссылки
13 Дополнительная литература
14 Внешние ссылки

Этимология

Термин трапеция используется в английском языке с 1570 года, от позднего латинского trapezium, от греческого τραπέζιον (trapézion), буквально " столик », уменьшительное от τράπεζα (trápeza),« стол », само от τετράς (tetrás),« четыре »+ πέζα (péza),« ступня; конец, граница, край ».

Первое зарегистрированное использование греческого слова, переведенного как трапеция (τραπεζοειδή, trapezoeidé, «подобный столу»), было употреблено Марином Проклом (412–485 гг. Н. книга Элементов Евклида.

В этой статье используется термин трапеция id в том смысле, который используется в США и Канаде. Во многих языках также используется слово, производное от греческого, используемая форма является наиболее близкой к трапеции, а не к трапеции (например, французская трапеция, итальянская трапеция, португальская трапеция, испанская трапеция, немецкая трапеция, украинское «трапеція»).

Трапеция против трапеции

Термин трапеция когда-то определялся как четырехугольник без каких-либо параллельных сторон в Британии и других странах. В Оксфордском словаре английского языка (OED) говорится: «Часто его называли английские писатели в 19 веке». Согласно OED, смысл фигуры без параллельных сторон - это значение, для которого Прокл ввел термин «трапеция». Это сохраняется во французском трапезоиде, немецком трапецоиде и в других языках. Однако именно этот смысл считается устаревшим.

Трапеция в понимании Прокла - это четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна. Это было особое значение в Англии в 17 и 18 веках, и снова преобладающее в недавнем употреблении за пределами Северной Америки. Трапеция как любой четырехугольник, более общий, чем параллелограмм - это смысл термина в Евклиде.

. Как ни странно, слово трапеция иногда использовалось в Англии с ок. 1800 до с. 1875 г., чтобы обозначить неправильный четырехугольник, у которого стороны не параллельны. Сейчас это устарело в Англии, но продолжается в Северной Америке. Однако эту форму чаще (и менее запутанно) называют неправильным четырехугольником.

Инклюзивное и исключающее определение

Есть некоторые разногласия относительно того, параллелограммы, которые имеют две пары параллельных сторон следует рассматривать как трапеции. Некоторые определяют трапецию как четырехугольник, имеющий только одну пару параллельных сторон (исключительное определение), тем самым исключая параллелограммы. Другие определяют трапецию как четырехугольник с по крайней мере одной парой параллельных сторон (включительное определение), что делает параллелограмм особым типом трапеции. Последнее определение согласуется с его использованием в высшей математике, такой как исчисление. В этой статье используется инклюзивное определение и параллелограммы рассматриваются как частные случаи трапеции. Это также поддерживается в таксономии четырехугольников.

Согласно включительному определению, все параллелограммы (включая ромбы, прямоугольники и квадраты ) являются трапециями.. Прямоугольники имеют зеркальную симметрию по средним краям; ромбы имеют зеркальную симметрию на вершинах, а квадраты имеют зеркальную симметрию как на средних краях, так и на вершинах.

Особые случаи

Особые случаи трапеции. Оранжевые фигуры также квалифицируются как параллелограммы.

A правая трапеция (также называемая прямоугольной трапецией) имеет два смежных прямых угла. Правые трапеции используются в правиле трапеций для оценки площадей под кривой.

острая трапеция имеет два смежных острых угла на более длинном основании, тогда как тупая трапеция имеет один острый и один тупой угол на каждом основании.

Равнобедренная трапеция - это трапеция, у которой базовые углы имеют одинаковую величину. Как следствие, две ветви также имеют равную длину и обладают симметрией отражения . Это возможно для острых трапеций или прямых трапеций (прямоугольников).

A параллелограмм - трапеция с двумя парами параллельных сторон. Параллелограмм имеет центральную 2-кратную вращательную симметрию (или симметрию точечного отражения ). Возможны тупые трапеции или прямые трапеции (прямоугольники).

A тангенциальная трапеция - это трапеция, имеющая вписанную окружность..

A Четырехугольник Саккери похож на трапецию в гиперболической плоскости с двумя смежными прямыми углами, при этом это прямоугольник. в евклидовой плоскости. Четырехугольник Ламберта в гиперболической плоскости имеет 3 прямых угла.

Условие существования

Четыре длины a, c, b, d могут составлять последовательные стороны непараллелограммной трапеции, причем a и b параллельны, только если

| d - c | < | b − a | < d + c. {\displaystyle \displaystyle |d-c|<|b-a|

{\ displaystyle \ displaystyle | dc | <| ba | <d + c.}

Четырехугольник является параллелограммом, если $d - c = b - a = 0 {\ displaystyle dc = ba = 0}$ ${\ displaystyle dc = ba = 0}$ , но это экс-тангенциальный четырехугольник (который не является трапецией), когда $| d - c | = | б - а | ≠ 0 {\ displaystyle | dc | = | ba | \ neq 0}$ ${\ displaystyle | dc | = | ba | \ neq 0}$ .

Характеристики

Для выпуклого четырехугольника следующие свойства эквивалентны, и каждое из них подразумевает, что четырехугольник является трапецией:

Он имеет два соседних угла , которые являются дополнительными, то есть они в сумме составляют 180 градусов.
Угол между стороной и диагональю равен углу между противоположная сторона и та же самая диагональ.
диагонали пересекают друг друга с одинаковым соотношением (это соотношение такое же, как и между длинами параллельных
Диагонали разрезают четырехугольник на четыре треугольника, из которых одна противоположная пара подобна.
Диагонали разрезают четырехугольник на четыре треугольника, из которых одна противоположная пара имеет равные площади.
Произведение площадей двух треугольников, образованных одной диагональю, равно произведению площадей двух треугольников, образованных другой диагональю.
Площади S и T некоторых двух противоположных точек Треугольники из четырех треугольников, образованных диагоналями, удовлетворяют уравнению

K = S + T, {\ displaystyle {\ sqrt {K}} = {\ sqrt {S}} + {\ sqrt {T}},}

\ sqrt {K} = \ sqrt { S} + \ sqrt {T},

где K - площадь четырехугольника.

Середины двух противоположных сторон и пересечение диагоналей коллинеарны.
Углы в четырехугольнике ABCD удовлетворяют $sin ⁡ A sin ⁡ C = sin ⁡ B sin ⁡ D. {\ displaystyle \ sin A \ sin C = \ sin B \ sin D.}$ $\ sin A \ sin C = \ sin B \ sin D.$
Сумма косинусов двух соседних углов равна 0, как и косинусы двух других углов.
Котангенсы углов сумма двух соседних углов равна 0, как и котангенсы двух других соседних углов.
Один бимедиан делит четырехугольник на два четырехугольника равной площади.
Длина бимедиана, соединяющего середины двух противоположных сторон равны сумме длин других сторон.

Кроме того, следующие свойства эквивалентны, и каждое из них подразумевает, что противоположные стороны a и b параллельны:

Последовательные стороны a, c, b, d и диагонали p, q удовлетворяют уравнению

p 2 + q 2 = c 2 + d 2 + 2 ab. {\ displaystyle p ^ {2} + q ^ {2} = c ^ {2} + d ^ {2} + 2ab.}

p ^ 2 + q ^ 2 = c ^ 2 + d ^ 2 + 2ab.

Расстояние v между серединами диагоналей удовлетворяет уравнению

v = | а - б | 2. {\ displaystyle v = {\ frac {| ab |} {2}}.}

v = \ frac {| ab |} {2}.

Средний сегмент и высота

Средний сегмент (также называемый срединной или средней линией) трапеции - это сегмент, соединяющий середины ног. Параллельно базам. Его длина m равна среднему значению длин оснований a и b трапеции,

m = a + b 2. {\ displaystyle m = {\ frac {a + b} {2}}.}

m = \ frac {a + b} {2}.

Средний сегмент трапеции является одним из двух бимедианов (другой бимедиан делит трапецию на равные области).

Высота (или высота) - это перпендикулярное расстояние между основаниями. В случае, если два основания имеют разную длину (a ≠ b), высоту трапеции h можно определить по длине ее четырех сторон по формуле

h = (- a + b + c + d) (a - b + c + d) (a - b + c - d) (a - b - c + d) 2 | б - а | {\ displaystyle h = {\ frac {\ sqrt {(-a + b + c + d) (a-b + c + d) (a-b + cd) (ab-c + d)}} {2 | ba |}}}

h = \ frac {\ sqrt {(- a + b + c + d) (a-b + c + d) (a-b + cd) (ab-c + d)}} {2 | ba |}

где c и d - длины сторон.

Площадь

Площадь K трапеции определяется как

K = a + b 2 ⋅ h = mh {\ displaystyle K = {\ frac {a + b} {2 }} \ cdot h = mh}

К = \ гидроразрыва {a + b} {2} \ cdot h = mh

где a и b - длины параллельных сторон, h - высота (перпендикулярное расстояние между этими сторонами), а m - среднее арифметическое длины двух параллельных сторон. В 499 году нашей эры Арьябхата, великий математик - астроном из классической эпохи индийской математики и индийской астрономии, использовал этот метод в Арьябхатия (раздел 2.8). Это дает как частный случай хорошо известную формулу для площади треугольника, рассматривая треугольник как вырожденную трапецию, в которой одна из параллельных сторон сжалась до точки..

Индийский математик 7-го века Бхаскара I вывел следующую формулу для площади трапеции с последовательными сторонами a, c, b, d:

K = 1 2 (a + b) c 2 - 1 4 ((b - a) + c 2 - d 2 b - a) 2 {\ displaystyle K = {\ frac {1} {2}} (a + b) {\ sqrt {c ^ {2} - {\ frac {1} {4}} \ left ((ba) + {\ frac {c ^ {2} -d ^ {2}} {ba}} \ right) ^ {2}} }}

{\ displaystyle K = {\ frac {1} {2}} (a + b) {\ sqrt {c ^ {2} - {\ frac {1} {4}} \ left ((ba) + {\ frac {c ^ {2} -d ^ {2}} {ba}} \ right) ^ {2}}}}

где a и b параллельны, а b>a. Эта формула может быть преобразована в более симметричный вариант

K = a + b 4 | б - а | (- a + b + c + d) (a - b + c + d) (a - b + c - d) (a - b - c + d). {\ Displaystyle К = {\ гидроразрыва {a + b} {4 | ba |}} {\ sqrt {(-a + b + c + d) (a-b + c + d) (a-b + cd) (ab-c + d)}}.}

K = \ frac {a + b} {4 | ba |} \ sqrt {(- a + b + c + d) (a-b + c + d) (a-b + cd) (ab-c + d)}.

Когда одна из параллельных сторон сузилась до точки (скажем, a = 0), эта формула сводится к формуле Герона для площади треугольника..

Другая эквивалентная формула для площади, которая больше напоминает формулу Герона, это

K = a + b | б - а | (s - b) (s - a) (s - b - c) (s - b - d), {\ displaystyle K = {\ frac {a + b} {| ba |}} {\ sqrt {(sb) (sa) (sbc) (sbd)}},}

K = \ frac {a + b} {| ba |} \ sqrt {(sb) (sa) (sbc) (sbd)},

где $s = 1 2 (a + b + c + d) {\ displaystyle s = {\ tfrac {1} {2}} ( a + b + c + d)}$ $s = \ tfrac {1} {2} (a + b + c + d)$ - это полупериметр трапеции. (Эта формула похожа на формулу Брахмагупты, но отличается от нее тем, что трапеция может не быть циклической (вписанной в круг). Формула также является частным случаем Формула Бретшнайдера для общего четырехугольника ).

Из формулы Бретшнайдера следует, что

K = (ab 2 - a 2 b - ad 2 + bc 2) (ab 2 - a 2 b - ac 2 + bd 2) (2 (b - а)) 2 - (б 2 + г 2 - а 2 - в 2 4) 2. {\ displaystyle K = {\ sqrt {{\ frac {(ab ^ {2} -a ^ {2} b-ad ^ {2} + bc ^ {2}) (ab ^ {2} -a ^ {2 } b-ac ^ {2} + bd ^ {2})} {(2 (ba)) ^ {2}}} - \ left ({\ frac {b ^ {2} + d ^ {2} -a ^ {2} -c ^ {2}} {4}} \ right) ^ {2}}}.}

K = \ sqrt {\ frac {(ab ^ 2-a ^ 2 b-ad ^ 2 + bc ^ 2) (ab ^ 2-a ^ 2 b-ac ^ 2 + bd ^ 2)} {(2 (ba)) ^ 2} - \ left ( \ frac {b ^ 2 + d ^ 2-a ^ 2-c ^ 2} {4} \ right) ^ 2}.

Линия, соединяющая середины параллельных сторон, делит площадь пополам.

Диагонали

Длины диагоналей равны

p = ab 2 - a 2 b - ac 2 + bd 2 b - a, {\ displaystyle p = {\ sqrt {\ frac {ab ^ {2} -a ^ {2} b-ac ^ {2} + bd ^ {2}} {ba}}},}

p = \ sqrt {\ frac {ab ^ 2-a ^ 2b-ac ^ 2 + bd ^ 2} {ba}},

q = ab 2 - a 2 b - ad 2 + bc 2 b - a {\ displaystyle q = {\ sqrt {\ frac {ab ^ {2} -a ^ {2} b-ad ^ {2} + bc ^ {2}} {ba}}}}

q = \ sqrt {\ frac {ab ^ 2-a ^ 2b-ad ^ 2 + bc ^ 2} {ba}}

где a короткое основание, b - длинное основание, а c и d - ножки трапеции.

Если трапеция разделена на четыре треугольника своими диагоналями AC и BD (как показано справа), пересекающимися в точке O, то область $△ {\ displaystyle \ треугольник}$ $\ треугольник$ AOD равно AOD $△ {\ displaystyle \ треугольник}$ $\ треугольник$ BOC, и произведению площадей $△ {\ displaystyle \ треугольник}$ $\ треугольник$ AOD и $△ {\ displaystyle \ треугольник}$ $\ треугольник$ BOC совпадает с BOC $△ {\ displaystyle \ треугольник}$ $\ треугольник$ AOB и $△ {\ displaystyle \ треугольник }$ $\ треугольник$ наложенным платежом. Отношение площадей каждой пары смежных треугольников такое же, как и между длинами параллельных сторон.

Пусть трапеция имеет последовательно вершины A, B, C и D и параллельные стороны AB и DC. Пусть E - пересечение диагоналей, и пусть F находится на стороне DA, а G - на стороне BC, так что FEG параллелен AB и CD. Тогда FG - это среднее гармоническое для AB и DC:

1 F G = 1 2 (1 A B + 1 D C). {\ displaystyle {\ frac {1} {FG}} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {1} {AB}} + {\ frac {1} {DC}} \ right).}

\ frac {1} { FG} = \ frac {1} {2} \ left (\ frac {1} {AB} + \ frac {1} {DC} \ right).

Линия, проходящая через точку пересечения расширенных непараллельных сторон и точку пересечения диагоналей, делит каждое основание пополам.

Другие свойства

Центр области (центр масс для однородной пластинки ) лежит вдоль отрезка прямой, соединяющего середины параллельных сторон, на перпендикулярном расстоянии x от более длинной стороны b, заданном формулой

x = h 3 (2 a + ба + б). {\ displaystyle x = {\ frac {h} {3}} \ left ({\ frac {2a + b} {a + b}} \ right).}

x = \ frac {h} {3} \ left (\ frac {2a + b} {a + b} \ right).

Центр области делит этот сегмент в соотношении (при переходе от короткой стороны к длинной)

a + 2 b 2 a + b. {\ displaystyle {\ frac {a + 2b} {2a + b}}.}

{\ displaystyle {\ frac {a + 2b} {2a + b}}.}

Если биссектрисы углов A и B пересекаются в P, а биссектрисы углов C и D пересекаются в Q, то

PQ = | A D + B C - A B - C D | 2. {\ displaystyle PQ = {\ frac {| AD + BC-AB-CD |} {2}}.}

PQ = \ frac {| AD + BC-AB-CD |} {2}.

Приложения

Храм Дендура в Метрополитен-музее Искусство в Нью-Йорке

Архитектура

В архитектуре это слово используется для обозначения симметричных дверей, окон и зданий, построенных шире у основания и сужающихся кверху, на египетском языке. стиль. Если у них прямые стороны и острые угловые углы, их форма обычно равнобедренная трапеция. Это был стандартный стиль для дверей и окон инков.

Геометрия

. Задача о перекрещенных лестницах - это задача нахождения расстояния между параллельными сторонами правой трапеции, учитывая длину диагонали и расстояние от перпендикулярной опоры до диагонального пересечения.

Биология

Пример трапециевидной переднеспинки, выделенный на молочай

в морфологии, таксономии и др. описательные дисциплины, в которых термин для таких форм является необходимым, такие термины, как трапеция или трапеция, обычно полезны в описании конкретных органов или форм.

Компьютерная инженерия

В компьютерной инженерии, особенно в цифровой логике. и в компьютерной архитектуре трапеции обычно используются для обозначения мультиплексоров. Мультиплексоры - это логические элементы, которые выбирают между несколькими элементами и выдают один выходной сигнал на основе сигнала выбора. В типичных конструкциях используются трапеции без специального указания, что они являются мультиплексорами, поскольку они универсально эквивалентны.

См. Также

Вежливое число, также известное как число трапеции
Правило трапеции, также известное как правило трапеции
Клин, многогранник, определяемый двумя треугольников и трех трапеций.

Ссылки

Дополнительная литература

D. Фрайверт, А. Сиглер и М. Ступел: Общие свойства трапеций и выпуклых четырехугольников

Внешние ссылки

Трапеции в Энциклопедия математики.
Вайсштейн, Эрик У. "Правая трапеция". MathWorld.
Определение трапеции Площадь трапеции Медиана трапеции С интерактивной анимацией
Трапеция (Северная Америка) на elsy.at : Анимированный курс (конструкция, окружность, площадь)
Правило трапеции по численным методам для студентов старших курсов
Аутар Кау и Э. Эрик Калу, Численные методы с приложениями, ( 2008)