Формула Герона

Эта статья посвящена вычислению площади треугольника. Для вычисления квадратного корня см . Метод Герона. Треугольник со сторонами a, b и c

В геометрии, формула Герона (иногда называемая формулой героя), названная в честь Героя Александрии, дает площадь в виде треугольника, если длина всех трех сторон известна. В отличие от других формул площади треугольника, нет необходимости сначала рассчитывать углы или другие расстояния в треугольнике.

• 1 Состав
• 2 Пример
• 3 История
• 4 Доказательства
  • 4.1 Тригонометрическое доказательство с использованием закона косинусов
  • 4.2 Алгебраическое доказательство с использованием теоремы Пифагора
  • 4.3 Тригонометрическое доказательство с использованием закона котангенсов
• 5 Числовая устойчивость
• 6 Другие формулы площади, похожие на формулу Герона
• 7 Обобщения
  • 7.1 Формула типа Герона для объема тетраэдра
• 8 См. Также
• 9 ссылки
• 10 Внешние ссылки

Формула Герона утверждает, что площадь из треугольника, стороны которого имеют длину, б и с в

${\ displaystyle A = {\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)}},}$

где s - полупериметр треугольника; то есть,

${\ displaystyle s = {\ frac {a + b + c} {2}}.}$

Формулу Герона также можно записать как

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + bc)}}}$

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {2 (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2}) - (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4})}}}$

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2} -2 (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4})}}}$

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {4 (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2}) - (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2}}}}$

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {4a ^ {2} b ^ {2} - (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2}}}.}$

Пусть △ ABC - треугольник со сторонами a = 4, b = 13 и c = 15. Полупериметр этого треугольника равен

s = 1/2( a + b + c) =1/2(4 + 13 + 15) = 16, а площадь равна

${\ displaystyle {\ begin {align} A amp; = {\ sqrt {s \ left (sa \ right) \ left (sb \ right) \ left (sc \ right)}} = {\ sqrt {16 \ cdot (16- 4) \ cdot (16-13) \ cdot (16-15)}} \\ amp; = {\ sqrt {16 \ cdot 12 \ cdot 3 \ cdot 1}} = {\ sqrt {576}} = 24. \ конец {выровнен}}}$

В этом примере длины сторон и площадь являются целыми числами, что делает его треугольником Герона. Однако формула Герона одинаково хорошо работает в тех случаях, когда одна или несколько сторон не являются целыми числами.

Формула зачисляются Heron (или герой) Александрийский, и доказательство можно найти в его книге Метрики, написанной около 60 г. н.э. Было высказано предположение, что Архимед знал формулу более двух веков назад, и с тех пор Metrica представляет собой сборник математические знания, доступные в древнем мире, вполне возможно, что формула предшествует ссылке, приведенной в этой работе.

Формула, эквивалентная формуле Герона, а именно:

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {a ^ {2} c ^ {2} - \ left ({\ frac {a ^ {2} + c ^ {2} -b ^ {2}} {2}} \ right) ^ {2}}}}$

был обнаружен китайцами. Он был опубликован в « Математическом трактате в девяти разделах» ( Цинь Цзюшао, 1247).

Есть много разных способов доказать формулу Герона, например, используя тригонометрию, как показано ниже, или центр и одну вневписанную окружность треугольника, или как частный случай теоремы Де Гуа (для частного случая остроугольных треугольников).

Тригонометрическое доказательство с использованием закона косинусов

Далее следует современное доказательство, основанное на алгебре и весьма отличное от доказательства Герона (в его книге «Метрика»). Пусть a, b, c - стороны треугольника, а α, β, γ - углы, противоположные этим сторонам. Применяя закон косинусов, получаем

${\ displaystyle \ cos \ gamma = {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}} {2ab}}}$

Из этого доказательства мы получаем алгебраическое утверждение, что

${\ displaystyle \ sin \ gamma = {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} \ gamma}} = {\ frac {\ sqrt {4a ^ {2} b ^ {2} - (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2}}} {2ab}}.}$

Высота треугольника на базовой а имеет длину б зш Г, и следует

${\ displaystyle {\ begin {align} A amp; = {\ frac {1} {2}} ({\ t_dv {base}}) ({\ t_dv {altitude}}) \\ amp; = {\ frac {1} { 2}} ab \ sin \ gamma \\ amp; = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {4a ^ {2} b ^ {2} - (a ^ {2} + b ^ {2} - c ^ {2}) ^ {2}}} \\ amp; = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(2ab- (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2 })) (2ab + (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}))}} \\ amp; = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(c ^ {2 } - (ab) ^ {2}) ((a + b) ^ {2} -c ^ {2})}} \\ amp; = {\ sqrt {\ frac {(c- (ab)) (c + ( ab)) ((a + b) -c) ((a + b) + c)} {16}}} \\ amp; = {\ sqrt {{\ frac {(b + ca)} {2}} { \ frac {(a + cb)} {2}} {\ frac {(a + bc)} {2}} {\ frac {(a + b + c)} {2}}}} \\ amp; = { \ sqrt {{\ frac {(a + b + c)} {2}} {\ frac {(b + ca)} {2}} {\ frac {(a + cb)} {2}} {\ frac {(a + bc)} {2}}}} \\ amp; = {\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)}}. \ end {выравнивается}}}$

Разность двух квадратов факторизации был использован в двух различных этапов.

Алгебраическое доказательство с использованием теоремы Пифагора

Треугольник с высотой h, разрезающий основание c на d + ( c - d)

Следующее доказательство очень похоже на доказательство Raifaizen. По теореме Пифагора мы имеем b ² = h ² + d ² и a ² = h ² + ( c - d) ² согласно рисунку справа. Вычитание этих значений дает a ² - b ² = c ² - 2 кд. Это уравнение позволяет нам выразить d через стороны треугольника:

${\ displaystyle d = {\ frac {-a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}} {2c}}.}$

Для высоты треугольника h ² = b ² - d ². Заменяя d на формулу, приведенную выше, и применяя тождество разности квадратов, мы получаем

${\ displaystyle {\ begin {align} h ^ {2} amp; = b ^ {2} - \ left ({\ frac {-a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}} {2c }} \ right) ^ {2} \\ amp; = {\ frac {(2bc-a ^ ​​{2} + b ^ {2} + c ^ {2}) (2bc + a ^ {2} -b ^ { 2} -c ^ {2})} {4c ^ {2}}} \\ amp; = {\ frac {{\ big (} (b + c) ^ {2} -a ^ {2} {\ big) } {\ big (} a ^ {2} - (bc) ^ {2} {\ big)}} {4c ^ {2}}} \\ amp; = {\ frac {(b + ca) (b + c + a) (a + bc) (a-b + c)} {4c ^ {2}}} \\ amp; = {\ frac {2 (sa) \ cdot 2s \ cdot 2 (sc) \ cdot 2 (sb)} {4c ^ {2}}} \\ amp; = {\ frac {4s (sa) (sb) (sc)} {c ^ {2}}}. \ End {align}}}$

Теперь применим этот результат к формуле, которая вычисляет площадь треугольника по его высоте:

${\ displaystyle {\ begin {align} A amp; = {\ frac {ch} {2}} \\ amp; = {\ sqrt {{\ frac {c ^ {2}} {4}} \ cdot {\ frac {4s) (sa) (sb) (sc)} {c ^ {2}}}}} \\ amp; = {\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)}}. \ end {выровнено}}}$

Тригонометрическое доказательство с использованием закона котангенсов

Геометрическое значение s - a, s - b и s - c. См. Обоснование этого закона котангенсов.

Из первой части доказательства закона котангенсов следует, что площадь треугольника равна

${\ displaystyle {\ begin {align} A amp; = r {\ big (} (sa) + (sb) + (sc) {\ big)} = r ^ {2} \ left ({\ frac {sa} {r }} + {\ frac {sb} {r}} + {\ frac {sc} {r}} \ right) \\ amp; = r ^ {2} \ left (\ cot {\ frac {\ alpha} {2 }} + \ cot {\ frac {\ beta} {2}} + \ cot {\ frac {\ gamma} {2}} \ right) \ end {align}}}$

и A = rs, но, поскольку сумма полууглов равна π / 2, применяется тождество тройного котангенса, поэтому первый из них равен

${\ displaystyle {\ begin {align} A amp; = r ^ {2} \ left (\ cot {\ frac {\ alpha} {2}} \ cot {\ frac {\ beta} {2}} \ cot {\ frac {\ gamma} {2}} \ right) = r ^ {2} \ left ({\ frac {sa} {r}} \ cdot {\ frac {sb} {r}} \ cdot {\ frac {sc} {r}} \ right) \\ amp; = {\ frac {(sa) (sb) (sc)} {r}}. \ end {align}}}$

Комбинируя два, получаем

${\ Displaystyle A ^ {2} = s (sa) (sb) (sc),}$

откуда следует результат.

Приведенная выше формула Герона численно нестабильна для треугольников с очень малым углом при использовании арифметики с плавающей запятой. Стабильная альтернатива включает в себя такую ​​длину сторон, чтобы a ≥ b ≥ c и вычисление

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {{\ big (} a + (b + c) {\ big)} {\ big (} c- (ab) {\ big)} {\ big (} c + (ab) {\ big)} {\ big (} a + (bc) {\ big)}}}.}.}$

Скобки в приведенной выше формуле необходимы для предотвращения численной нестабильности при оценке.

Три другие формулы площади имеют ту же структуру, что и формула Герона, но выражаются в терминах разных переменных. Во-первых, обозначив медианы сторон a, b и c соответственно как m a, m b и m c и их полусумму1/2( m a + m b + m c) в качестве σ имеем

${\ displaystyle A = {\ frac {4} {3}} {\ sqrt {\ sigma (\ sigma -m_ {a}) (\ sigma -m_ {b}) (\ sigma -m_ {c})}}.}$

Затем, обозначив высоты по сторонам a, b и c соответственно как h a, h b и h c, и обозначив полусумму обратных величин высот как H =1/2( ч⁻¹ _{а+ ч⁻¹ млрд+ ч⁻¹ с) у нас есть}

${\ displaystyle A ^ {- 1} = 4 {\ sqrt {H (H-h_ {a} ^ {- 1}) (H-h_ {b} ^ {- 1}) (H-h_ {c} ^ {-1})}}.}$

Наконец, обозначив полусумму синусов углов как S =1/2(sin α + sin β + sin γ) имеем

${\ Displaystyle A = D ^ {2} {\ sqrt {S (S- \ sin \ альфа) (S- \ sin \ beta) (S- \ sin \ gamma)}}}$

где D - диаметр описанной окружности: D =а/грех α знак равно б/грех β знак равно c/грех γ.

Формула Герона - это частный случай формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника. Формула Герона и формула Брахмагупты являются частными случаями формулы Бретшнайдера для площади четырехугольника. Формулу Герона можно получить из формулы Брахмагупты или формулы Бретшнайдера, установив одну из сторон четырехугольника равной нулю.

Формула Герона также является частным случаем формулы для площади трапеции или трапеции, основанной только на ее сторонах. Формула Герона получается установкой меньшей параллельной стороны равной нулю.

Выражая формулу Герона с определителем Кэли-Менгера через квадраты расстояний между тремя заданными вершинами,

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {- {\ begin {vmatrix} 0 amp; a ^ {2} amp; b ^ {2} amp; 1 \\ a ^ {2} amp; 0 amp; c ^ {2} amp; 1 \\ b ^ {2} amp; c ^ {2} amp; 0 amp; 1 \\ 1 amp; 1 amp; 1 amp; 0 \ end {vmatrix}}}}}$

иллюстрирует его сходство с формулой Тартальи для объема в виде трех-симплекс.

Другое обобщение формулы Герона на пятиугольники и шестиугольники, вписанные в круг, было обнаружено Дэвидом П. Роббинсом.

Формула типа Герона для объема тетраэдра

Если U, V, W, u, v, w - длины ребер тетраэдра (первые три образуют треугольник; u напротив U и т. Д.), То

${\ displaystyle {\ text {volume}} = {\ frac {\ sqrt {\, (- a + b + c + d) \, (a-b + c + d) \, (a + b-c + г) \, (a + b + cd)}} {192 \, u \, v \, w}}}$

куда

${\ displaystyle {\ begin {align} a amp; = {\ sqrt {xYZ}} \\ b amp; = {\ sqrt {yZX}} \\ c amp; = {\ sqrt {zXY}} \\ d amp; = {\ sqrt {xyz} } \\ X amp; = (w-U + v) \, (U + v + w) \\ x amp; = (U-v + w) \, (v-w + U) \\ Y amp; = (u-V + w) \, (V + w + u) \\ y amp; = (V-w + u) \, (w-u + V) \\ Z amp; = (v-W + u) \, (W + u + v) \\ z amp; = (W-u + v) \, (u-v + W). \ end {align}}}$

• Формула шнурков

1. ^ "Fórmula de Herón para calcular el área de cualquier triángulo" (на испанском языке). Испания: Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. 2004. Проверено 30 июня 2012 года.
2. ^ Kendig, Keith (2000). «Есть ли секреты формулы 2000-летней давности?». Амер. Математика. Ежемесячно. 107: 402–415. DOI : 10.2307 / 2695295.
3. ^ Хит, Томас Л. (1921). История греческой математики. II. Издательство Оксфордского университета. С. 321–323.
4. ^ Weisstein, Эрик В. "Формула Герона". MathWorld.
5. ^ 秦, 九 韶 (1773). «卷三 上, 三 斜 求 积». 數學 九章 (四庫 全書 本) (на китайском языке).
6. ^ «Личное общение по электронной почте между математиками Джоном Конвеем и Питером Дойлом». 15 декабря 1997. Проверено 25 сентября 2020 года.
7. ^ Леви-Леблон, Жан-Марк (2020-09-14). «Симметричное трехмерное доказательство формулы Герона». Математический интеллигент. DOI : 10.1007 / s00283-020-09996-8. ISSN   0343-6993.
8. ^ Нивен, Иван (1981). Максимумы и минимумы без исчисления. Математическая ассоциация Америки. С.  7–8.
9. ^ Raifaizen, Клод Х. (1971). «Более простое доказательство формулы Герона». Математический журнал. 44 (1): 27–28.
10. ^ Вторая часть доказательства закона котангенсов зависит от самой формулы Герона, но эта статья зависит только от первой части.
11. ^ Стербенз, Пэт Х. (1974-05-01). Вычисление с плавающей точкой. Серия Прентис-Холла в автоматических вычислениях (1-е изд.). Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси, США: Прентис Холл. ISBN   0-13-322495-3.
12. ↑ Уильям М. Кахан (24 марта 2000 г.). «Просчет площади и углов игольчатого треугольника» (PDF).
13. ^ Benyi, Арпад, «Цапля типа формула для треугольника,» Математическая вестник»87, июль 2003, 324-326.
14. ^ Митчелл, Дуглас В., "Формула типа Герона для обратной площади треугольника", Mathematical Gazette 89, ноябрь 2005 г., 494.
15. ^ Митчелл, Дуглас В., "Формула площади типа Герона в терминах синусов", Mathematical Gazette 93, март 2009 г., стр. 108–109.
16. ^ DP Роббинс, "Области многоугольников, вписанных в круг", Discr. Comput. Геом. 12, 223-236, 1994.
17. ^ В. Кахан, «Какое отношение имеет объем тетраэдра к языкам компьютерного программирования?», [1], стр. 16–17.

• Доказательство теоремы Пифагора из формулы Герона при разрубании узла
• Интерактивный апплет и калькулятор площади с использованием формулы Герона
• Обсуждение Дж. Х. Конвея формулы Герона
• «Формула Герона и обобщение Брахмагупты». MathPages.com.
• Геометрическое доказательство формулы Герона
• Альтернативное доказательство формулы Герона без слов
• Факторинг Heron