В евклидовой геометрии, двухцентровый четырехугольник - это выпуклый четырехугольник, который имеет как вписанную окружность, так и описанную окружность. Радиусы и центр этих кругов называются внутренним и описанным радиусом, а также центром и центром описанной окружности соответственно. Из определения следует, что бицентрические четырехугольники обладают всеми свойствами как касательных четырехугольников, так и циклических четырехугольников. Другие названия этих четырехугольников: касательный к хорде четырехугольник и вписанный и описанный четырехугольник . Его также редко называли четырехугольником с двойным кругом и четырехугольником с двумя начертаниями.
Если две окружности, одна внутри другой, являются вписанной и описанной окружностями двухцентрового четырехугольника, то каждая точка на описанной окружности является вершиной двухцентрового четырехугольника, имеющего ту же вписанную и описанную окружности. Это следствие поризма Понселе, которое было доказано французским математиком Жан-Виктором Понселе (1788–1867).
Примерами двухцентровых четырехугольников являются квадраты, правые змеи и равнобедренные тангенциальные трапеции.
Выпуклый четырехугольник ABCD со сторонами a, b, c, d является бицентрическим тогда и только тогда, когда противоположные стороны удовлетворяют теореме Пито для касательных четырехугольников и d свойство циклического четырехугольника, что противоположные углы являются дополнительными ; то есть
Три другие характеристики относятся к точкам, где Окружность, вписанная в касательный четырехугольник , касается сторон. Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD, DA в точках W, X, Y, Z соответственно, то касательный четырехугольник ABCD также является вписанным, если и только если выполняется одно из следующих трех условий:
Первый из этих трех означает, что контактный четырехугольник WXYZ является ортодиагональю четырехугольник.
Если E, F, G, H являются серединами WX, XY, YZ, ZW соответственно, то касательный четырехугольник ABCD также является вписанным тогда и только тогда, когда четырехугольник EFGH является прямоугольник.
Согласно другой характеристике, если I является центром в тангенциальном четырехугольнике, где продолжения противоположных сторон пересекаются в точках J и K, то четырехугольник также является циклическим, если и только если JIK является прямым углом.
Еще одним необходимым и достаточным По мнению, касательный четырехугольник ABCD является вписанным, если и только если его линия Ньютона перпендикулярна линии Ньютона его контактного четырехугольника WXYZ. (Линия Ньютона четырехугольника - это линия, определяемая серединами его диагоналей.)
Существует простой метод построения двухцентрового четырехугольника:
Он начинается с вписанной окружности C r вокруг центра I с радиуса r, а затем проведите две друг к другу перпендикулярной хорды WY и XZ во вписанной окружности C r. На концах хорд проведите касательные a, b, c и d к вписанной окружности. Они пересекаются в четырех точках A, B, C и D, которые являются вершинами двухцентрового четырехугольника. Чтобы нарисовать описанную окружность, нарисуйте две серединные перпендикуляры p1и p 2 на сторонах двухцентрового четырехугольника a соответственно b. Серединные перпендикуляры p 1 и p 2 пересекаются в центре O описанной окружности C R на расстоянии x до центра I вписанной окружности C <228.>г. Описанную окружность можно провести вокруг центра O.
Справедливость этой конструкции обусловлена характеристикой, согласно которой в тангенциальном четырехугольнике ABCD контактный четырехугольник WXYZ имеет перпендикулярные диагонали тогда и только тогда, когда тангенциальный четырехугольник также циклический.
Площадь K бицентрика Четырехугольник можно выразить четырьмя величинами четырехугольника несколькими способами. Если стороны представляют собой a, b, c, d, то площадь определяется как
Это частный случай формулы Брахмагупты. Его также можно получить непосредственно из тригонометрической формулы для площади тангенциального четырехугольника. Обратите внимание на то, что обратное неверно: некоторые четырехугольники, которые не являются бицентрическими, также имеют площадь Одним из примеров такого четырехугольника является неквадратный прямоугольник.
Площадь также можно выразить через касательные длины e, f, g, h как
Формула для определения площади двухцентрового четырехугольника ABCD с центром I:
Если двухцентровый четырехугольник имеет хорды касания k, l и диагонали p, q, то он имеет площадь
Если k, l - хорды касания, а m, n - бимедианы четырехугольника, то площадь можно рассчитать по формуле
Эта формула не может используется, если четырехугольник - это правый змей, поскольку знаменатель в этом случае равен нулю.
Если M и N - середины диагоналей, а E и F - точки пересечения продолжений противоположных сторон, то площадь двицентрического четырехугольника определяется как
, где I - центр вписанной окружности.
Площадь двухцентрового четырехугольника может быть выражена через две противоположные стороны и угол θ между диагоналями согласно
В терминах двух смежных углов и радиуса r вписанной окружности, площадь определяется как
Площадь указывается в радиусе описанной окружности R и внутреннем радиусе r как
где θ - это угол между диагоналями.
Если M и N - середины диагоналей, а E и F - точки пересечения продолжений противоположных сторон, тогда площадь также можно выразить как
где Q - фут перпендикуляра к линии EF, проходящей через центр вписанной окружности.
Если r и R - это внутренний радиус и радиус описанной окружности соответственно, то площадь K удовлетворяет неравенствам
Существует равенство с обеих сторон, только если четырехугольник является квадратом.
Другое неравенство для площади:
где r и R - внутренний и окружной радиус соответственно.
Аналогичное неравенство, дающее более точную верхнюю границу площади, чем предыдущее, имеет вид
с равенством выполняется тогда и только тогда, когда четырехугольник является правым змеем.
Кроме того, со сторонами a, b, c, d и полупериметр s:
Если a, b, c, d - длины сторон AB, BC, CD, DA соответственно в двухцентровом четырехугольнике ABCD, то углы его вершин могут быть вычислены с помощью касательной функции :
Использование те же обозначения, для функций синуса и косинуса выполняются следующие формулы:
Угол θ между диагоналями можно рассчитать из
The inradius r двухцентрового четырехугольника определяется сторонами a, b, c, d согласно
радиус описанной окружности R дается как частный случай формулы Парамешвары. Это
Внутренний радиус также может быть выражен через следующие друг за другом касательные длины e, f, g, h согласно
Эти две формулы фактически являются необходимыми и достаточными условиями для тангенциального четырехугольника с радиусом r, равным цикличности.
Четыре стороны a, b, c, d двухцентрового четырехугольника являются четырьмя решениями уравнения четвертой степени
где s - полупериметр, а r и R - внутренний и описанный радиус соответственно.
Если существует бицентрический четырехугольник с радиусом r, касательная длина которого равна e, f, g, h, то существует бицентрический четырехугольник с радиусом r, касательные длины которого равны e, f, g, h, где v может быть любым действительным числом.
Бицентрический четырехугольник имеет больший радиус, чем любой другой тангенциальный четырехугольник с такой же последовательностью. Влияние длин сторон.
Радиус описанной окружности R и внутренний радиус r удовлетворяют неравенству
, которое было доказано Л. Фейесом Тотом в 1948 году. Оно справедливо с равенством только тогда, когда две окружности концентрически (имеют одинаковый центр друг с другом); тогда четырехугольник - это квадрат. Неравенство можно доказать несколькими способами, один из которых использует двойное неравенство для области, указанной выше.
Расширение предыдущего неравенства:
где есть равенство с обеих сторон тогда и только тогда, когда четырехугольник является квадратом.
полупериметр двухцентрового четырехугольника удовлетворяет
где r и R - внутренний и описанный радиус соответственно.
Кроме того,
и
Теорема Фусса дает связь между внутренним радиусом r, радиусом описанной окружности R и расстоянием x между центр окружности I и центр описанной окружности O для любого двухцентрового четырехугольника. Отношение имеет вид
или эквивалентно
Он был получен Николай Фасс (1755–1826) в 1792 году. Решение относительно x дает
Теорема Фусса, которая является аналогом теоремы Эйлера для треугольников для бицентрических четырехугольников, говорит, что если четырехугольник бицентрический, то две связанные с ним окружности связаны согласно приведенным выше уравнениям. На самом деле верно и обратное: для двух окружностей (одна внутри другой) с радиусами R и r и расстоянием x между их центрами, удовлетворяющими условию теоремы Фусса, существует выпуклый четырехугольник, вписанный в один из них и касающийся другого. (а затем по теореме Понселе о замыкании их существует бесконечно много).
Применение к выражению теоремы Фусса для x через r и R - еще один способ получим указанное выше неравенство Обобщение:
Другая формула для расстояния x между центрами вписанной окружности и описанной окружности принадлежит американскому математику Леонарду Карлитцу (1907–1999). В нем говорится, что
, где r и R - inradius и описанный радиус соответственно, и
где a, b, c, d - стороны бицентрического четырехугольника.
Для касательных длин e, f, g, h справедливы следующие неравенства:
и
где r - внутренний радиус, R - радиус описанной окружности, а x - расстояние между центром окружности и центром описанной окружности. Стороны a, b, c, d удовлетворяют неравенствам
и
центр окружности, центр и пересечение диагоналей в бицентрическом четырехугольнике является коллинеарным.
Существует следующее равенство, связывающее четыре расстояния между центром I и вершинами бицентрического четырехугольника ABCD:
где r - внутренний радиус.
Если P - пересечение диагоналей двухцентрового четырехугольника ABCD с центром I, то
Неравенство, касающееся радиуса r и описанного радиуса R в двухцентровом четырехугольнике ABCD равно
где I - информатор.
Длины диагоналей двухцентрового четырехугольника могут быть выражены через сторон или касательные длины, которые являются формулами, которые верны в вписанном четырехугольнике и касательном четырехугольнике соответственно.
В двухцентровом четырехугольнике с диагоналями p и q выполняется следующее тождество:
где r и R - внутренний радиус и окружной радиус соответственно. Это равенство можно переписать как
или, решив его как квадратное уравнение для произведения диагоналей, в форме
Неравенство для произведения диагоналей p, q в двухцентровом четырехугольнике равно
где a, b, c, d стороны. Это было доказано Мюрреем С. Кламкиным в 1967 году.
Пусть ABCD - двухцентровый четырехугольник, O - центр круга (ABCD).. Тогда центры четырех треугольников OAB, OBC, OCD, ODA лежат на окружности.
На Викискладе есть медиафайлы, связанные с Двухцентровым четырехугольником. |