Двухцентровый четырехугольник

редактировать

Тип формы

Поризма Понселе для двухцентровых четырехугольников ABCD и EFGH

В евклидовой геометрии, двухцентровый четырехугольник - это выпуклый четырехугольник, который имеет как вписанную окружность, так и описанную окружность. Радиусы и центр этих кругов называются внутренним и описанным радиусом, а также центром и центром описанной окружности соответственно. Из определения следует, что бицентрические четырехугольники обладают всеми свойствами как касательных четырехугольников, так и циклических четырехугольников. Другие названия этих четырехугольников: касательный к хорде четырехугольник и вписанный и описанный четырехугольник . Его также редко называли четырехугольником с двойным кругом и четырехугольником с двумя начертаниями.

Если две окружности, одна внутри другой, являются вписанной и описанной окружностями двухцентрового четырехугольника, то каждая точка на описанной окружности является вершиной двухцентрового четырехугольника, имеющего ту же вписанную и описанную окружности. Это следствие поризма Понселе, которое было доказано французским математиком Жан-Виктором Понселе (1788–1867).

Содержание
  • 1 Особые случаи
  • 2 Характеристики
  • 3 Конструкция
  • 4 Площадь
    • 4.1 Формулы в четырех величинах
    • 4.2 Формулы в трех величинах
    • 4.3 Неравенства
  • 5 Формулы угла
  • 6 Внутренний радиус и окружной радиус
    • 6.1 Неравенства
  • 7 Расстояние между центром окружности и центром описанной окружности
    • 7.1 Теорема Фусса
    • 7.2 Тождество Карлица
    • 7.3 Неравенства для касательной длина и стороны
  • 8 Другие свойства центрирующего элемента
  • 9 Свойства диагоналей
  • 10 Четыре центра центрирования лежат на окружности
  • 11 См. также
  • 12 Ссылки
Особые случаи
A справа воздушный змей

Примерами двухцентровых четырехугольников являются квадраты, правые змеи и равнобедренные тангенциальные трапеции.

Характеристики
Двуцентрический четырехугольник ABCD и его контактный четырехугольник WXYZ

Выпуклый четырехугольник ABCD со сторонами a, b, c, d является бицентрическим тогда и только тогда, когда противоположные стороны удовлетворяют теореме Пито для касательных четырехугольников и d свойство циклического четырехугольника, что противоположные углы являются дополнительными ; то есть

{a + c = b + d A + C = B + D = π. {\ displaystyle {\ begin {cases} a + c = b + d \\ A + C = B + D = \ pi. \ end {ases}}}{\ begin {cases} a + c = b + d \\ A + C = B + D = \ pi. \ end {cases}}

Три другие характеристики относятся к точкам, где Окружность, вписанная в касательный четырехугольник , касается сторон. Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD, DA в точках W, X, Y, Z соответственно, то касательный четырехугольник ABCD также является вписанным, если и только если выполняется одно из следующих трех условий:

  • WY перпендикулярно к XZ
  • AWWB = DYYC {\ displaystyle {\ frac {AW} {WB}} = {\ frac {DY} {YC}}}\frac{AW}{WB}=\frac{DY}{YC}
  • ACBD = AW + CYBX + DZ {\ displaystyle {\ frac {AC} {BD}} = {\ frac {AW + CY} {BX + DZ}}}\ frac {AC} {BD} = \ frac { AW + CY} {BX + DZ}

Первый из этих трех означает, что контактный четырехугольник WXYZ является ортодиагональю четырехугольник.

Если E, F, G, H являются серединами WX, XY, YZ, ZW соответственно, то касательный четырехугольник ABCD также является вписанным тогда и только тогда, когда четырехугольник EFGH является прямоугольник.

Согласно другой характеристике, если I является центром в тангенциальном четырехугольнике, где продолжения противоположных сторон пересекаются в точках J и K, то четырехугольник также является циклическим, если и только если JIK является прямым углом.

Еще одним необходимым и достаточным По мнению, касательный четырехугольник ABCD является вписанным, если и только если его линия Ньютона перпендикулярна линии Ньютона его контактного четырехугольника WXYZ. (Линия Ньютона четырехугольника - это линия, определяемая серединами его диагоналей.)

Конструкция
Бицентрический четырехугольник ABCD с контактным четырехугольником WXYZ. Анимация см. Здесь

Существует простой метод построения двухцентрового четырехугольника:

Он начинается с вписанной окружности C r вокруг центра I с радиуса r, а затем проведите две друг к другу перпендикулярной хорды WY и XZ во вписанной окружности C r. На концах хорд проведите касательные a, b, c и d к вписанной окружности. Они пересекаются в четырех точках A, B, C и D, которые являются вершинами двухцентрового четырехугольника. Чтобы нарисовать описанную окружность, нарисуйте две серединные перпендикуляры p1и p 2 на сторонах двухцентрового четырехугольника a соответственно b. Серединные перпендикуляры p 1 и p 2 пересекаются в центре O описанной окружности C R на расстоянии x до центра I вписанной окружности C <228.>г. Описанную окружность можно провести вокруг центра O.

Справедливость этой конструкции обусловлена ​​характеристикой, согласно которой в тангенциальном четырехугольнике ABCD контактный четырехугольник WXYZ имеет перпендикулярные диагонали тогда и только тогда, когда тангенциальный четырехугольник также циклический.

Площадь

Формулы в четырех величинах

Площадь K бицентрика Четырехугольник можно выразить четырьмя величинами четырехугольника несколькими способами. Если стороны представляют собой a, b, c, d, то площадь определяется как

K = a b c d. {\ displaystyle \ displaystyle K = {\ sqrt {abcd}}.}\ displaystyle K = {\ sqrt {abcd}}.

Это частный случай формулы Брахмагупты. Его также можно получить непосредственно из тригонометрической формулы для площади тангенциального четырехугольника. Обратите внимание на то, что обратное неверно: некоторые четырехугольники, которые не являются бицентрическими, также имеют площадь K = a b c d. {\ displaystyle \ displaystyle K = {\ sqrt {abcd}}.}\ displaystyle K = {\ sqrt {abcd}}. Одним из примеров такого четырехугольника является неквадратный прямоугольник.

Площадь также можно выразить через касательные длины e, f, g, h как

K = efgh 4 (e + f + g + h). {\ displaystyle K = {\ sqrt [{4}] {efgh}} (e + f + g + h).}K = { \ sqrt [{4}] {efgh}} (e + f + g + h).

Формула для определения площади двухцентрового четырехугольника ABCD с центром I:

K = AI ⋅ CI + BI ⋅ DI. {\ displaystyle K = AI \ cdot CI + BI \ cdot DI.}K = AI \ cdot CI + BI \ cdot DI.

Если двухцентровый четырехугольник имеет хорды касания k, l и диагонали p, q, то он имеет площадь

K = klpqk 2 + l 2. {\ displaystyle K = {\ frac {klpq} {k ^ {2} + l ^ {2}}}.}K = {\ frac {klpq} {k ^ {2} + l ^ {2}}}.

Если k, l - хорды касания, а m, n - бимедианы четырехугольника, то площадь можно рассчитать по формуле

K = | м 2 - n 2 к 2 - l 2 | kl {\ displaystyle K = \ left | {\ frac {m ^ {2} -n ^ {2}} {k ^ {2} -l ^ {2}}} \ right | kl}K = \ left | {\ frac {m ^ {2} -n ^ {2}} {k ^ {2} -l ^ {2}}} \ right | kl

Эта формула не может используется, если четырехугольник - это правый змей, поскольку знаменатель в этом случае равен нулю.

Если M и N - середины диагоналей, а E и F - точки пересечения продолжений противоположных сторон, то площадь двицентрического четырехугольника определяется как

K = 2 MN EI ⋅ FIEF {\ displaystyle K = {\ frac {2MN \ cdot EI \ cdot FI} {EF}}}K = { \ frac {2MN \ cdot EI \ cdot FI} {EF}}

, где I - центр вписанной окружности.

Формулы в трех величинах

Площадь двухцентрового четырехугольника может быть выражена через две противоположные стороны и угол θ между диагоналями согласно

K = ac tan ⁡ θ 2 = bd cot ⁡ θ 2. {\ displaystyle K = ac \ tan {\ frac {\ theta} {2}} = bd \ cot {\ frac {\ theta} {2}}.}K = ac \ tan {{\ frac {\ theta} {2}}} = bd \ cot {{\ frac {\ theta} {2}}}.

В терминах двух смежных углов и радиуса r вписанной окружности, площадь определяется как

K = 2 r 2 (1 sin ⁡ A + 1 sin ⁡ B). {\ displaystyle K = 2r ^ {2} \ left ({\ frac {1} {\ sin {A}}} + {\ frac {1} {\ sin {B}}} \ right).}K = 2r ^ {2} \ left ({\ frac {1} {\ sin {A}}} + {\ frac {1} {\ sin {B}}} \ right).

Площадь указывается в радиусе описанной окружности R и внутреннем радиусе r как

K = r (r + 4 R 2 + r 2) sin ⁡ θ {\ displaystyle K = r (r + {\ sqrt {4R ^ {2) } + r ^ {2}}}) \ sin \ theta}K = r (r + {\ sqrt {4R ^ { 2} + r ^ {2}}}) \ sin \ theta

где θ - это угол между диагоналями.

Если M и N - середины диагоналей, а E и F - точки пересечения продолжений противоположных сторон, тогда площадь также можно выразить как

K = 2 MNEQ ⋅ FQ {\ displaystyle K = 2MN {\ sqrt {EQ \ cdot FQ}}}K = 2MN {\ sqrt {EQ \ cdot FQ}}

где Q - фут перпендикуляра к линии EF, проходящей через центр вписанной окружности.

Неравенства

Если r и R - это внутренний радиус и радиус описанной окружности соответственно, то площадь K удовлетворяет неравенствам

4 r 2 ≤ K ≤ 2 R 2. {\ displaystyle \ displaystyle 4r ^ {2} \ leq K \ leq 2R ^ {2}.}\ displaystyle 4r ^ {2} \ leq K \ leq 2R ^ {2}.

Существует равенство с обеих сторон, только если четырехугольник является квадратом.

Другое неравенство для площади:

К ≤ 4 3 р 4 R 2 + r 2 {\ displaystyle K \ leq {\ tfrac {4} {3}} r {\ sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}}}K \ leq {\ tfrac {4} {3}} r {\ sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}}

где r и R - внутренний и окружной радиус соответственно.

Аналогичное неравенство, дающее более точную верхнюю границу площади, чем предыдущее, имеет вид

K ≤ r (r + 4 R 2 + r 2) {\ displaystyle K \ leq r (r + {\ sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}})}K \ leq r (r + {\ sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}})

с равенством выполняется тогда и только тогда, когда четырехугольник является правым змеем.

Кроме того, со сторонами a, b, c, d и полупериметр s:

2 K ≤ s ≤ r + r 2 + 4 R 2; {\ displaystyle 2 {\ sqrt {K}} \ leq s \ leq r + {\ sqrt {r ^ {2} + 4R ^ {2}}};}2 {\ sqrt {K}} \ leq s \ leq r + {\ sqrt {r ^ {2} + 4R ^ {2} }};
6 K ≤ ab + ac + ad + bc + шд + кд ≤ 4 р 2 + 4 р 2 + 4 рр 2 + 4 р 2; {\ displaystyle 6K \ leq ab + ac + ad + bc + bd + cd \ leq 4r ^ {2} + 4R ^ {2} + 4r {\ sqrt {r ^ {2} + 4R ^ {2}}}; }6K \ leq ab + ac + ad + bc + bd + cd \ leq 4r ^ {2} + 4R ^ {2} + 4r {\ sqrt {r ^ {2} + 4R ^ {2}}};
4 K r 2 ≤ abcd ≤ 16 9 r 2 (r 2 + 4 R 2). {\ displaystyle 4Kr ^ {2} \ leq abcd \ leq {\ frac {16} {9}} r ^ {2} (r ^ {2} + 4R ^ {2}).}4Kr ^ {2 } \ leq abcd \ leq {\ frac {16} {9}} r ^ {2} (r ^ {2} + 4R ^ {2}).
Формулы углов

Если a, b, c, d - длины сторон AB, BC, CD, DA соответственно в двухцентровом четырехугольнике ABCD, то углы его вершин могут быть вычислены с помощью касательной функции :

tan ⁡ A 2 = bcad = детская кроватка ⁡ C 2, {\ displaystyle \ tan {\ frac {A} {2}} = {\ sqrt {\ frac {bc} {ad}}} = \ cot {\ frac {C} {2}},}\ tan {{\ frac {A} {2}} } = {\ sqrt {{\ frac {bc} {ad}}}} = \ cot {{\ frac {C} {2}}},
загар ⁡ B 2 = cdab = cot ⁡ D 2. {\ displaystyle \ tan {\ frac {B} {2}} = {\ sqrt {\ frac {cd} {ab}}} = \ cot {\ frac {D} {2}}.}\ tan {{\ frac {B} {2}}} = {\ sqrt {{\ frac {cd} {ab}}}} = \ cot {{\ frac {D} {2}} }.

Использование те же обозначения, для функций синуса и косинуса выполняются следующие формулы:

sin ⁡ A 2 = bcad + bc = cos ⁡ C 2, {\ displaystyle \ sin {\ frac {A} {2 }} = {\ sqrt {\ frac {bc} {ad + bc}}} = \ cos {\ frac {C} {2}},}\ sin {{\ frac {A} {2}}} = {\ sqrt {{\ frac {bc} {ad + bc}}}} = \ cos {{\ frac {C} {2}}},
cos ⁡ A 2 = adad + bc = sin ⁡ C 2, {\ displaystyle \ cos {\ frac {A} {2}} = {\ sqrt {\ frac {ad} {ad + bc}}} = \ sin {\ frac {C} {2}},}\ cos {{\ frac {A} { 2}}} = {\ sqrt {{\ frac {ad} {ad + bc}}}} = \ sin {{\ frac {C} {2}}},
грех ⁡ В 2 = cdab + cd = соз ⁡ D 2, {\ displaystyle \ sin {\ frac {B} {2}} = {\ sqrt {\ frac {cd} {ab + cd}}} = \ cos {\ frac {D} {2}},}\ sin {{\ frac {B} {2}}} = {\ sqrt {{\ frac {cd } {ab + cd}}}} = \ cos {{\ frac {D} {2}}},
cos ⁡ B 2 = abab + cd = sin ⁡ D 2. {\ displaystyle \ cos {\ frac {B} {2}} = {\ sqrt {\ frac {ab} {ab + cd}}} = \ sin {\ frac {D} {2}}.}\ cos {{\ frac {B} {2}}} = {\ sqrt {{\ frac {ab} {ab + cd}}}} = \ sin {{\ frac {D} {2}}}.

Угол θ между диагоналями можно рассчитать из

tan ⁡ θ 2 = bdac. {\ displaystyle \ displaystyle \ tan {\ frac {\ theta} {2}} = {\ sqrt {\ frac {bd} {ac}}}.}\ displaystyle \ tan {{\ frac {\ theta} {2}}} = {\ sqrt {{\ frac {bd} {ac}}}}.
Inradius и окружной радиус

The inradius r двухцентрового четырехугольника определяется сторонами a, b, c, d согласно

r = abcda + c = abcdb + d. {\ displaystyle \ displaystyle r = {\ frac {\ sqrt {abcd}} {a + c}} = {\ frac {\ sqrt {abcd}} {b + d}}.}\ displaystyle r = {\ frac {{\ sqrt {abcd}}} {a + c}} = {\ frac {{\ sqrt {abcd}}} {b + d}}.

радиус описанной окружности R дается как частный случай формулы Парамешвары. Это

R = 1 4 (a b + c d) (a c + b d) (a d + b c) a b c d. {\ displaystyle \ displaystyle R = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {\ frac {(ab + cd) (ac + bd) (ad + bc)} {abcd}}}.}\ displaystyle R = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {{\ frac {(ab + cd) (ac + bd) (ad + bc)} {abcd} }}}.

Внутренний радиус также может быть выражен через следующие друг за другом касательные длины e, f, g, h согласно

r = eg = fh. {\ displaystyle \ displaystyle r = {\ sqrt {eg}} = {\ sqrt {fh}}.}\ displaystyle r = {\ sqrt {eg}} = {\ sqrt {fh}}.

Эти две формулы фактически являются необходимыми и достаточными условиями для тангенциального четырехугольника с радиусом r, равным цикличности.

Четыре стороны a, b, c, d двухцентрового четырехугольника являются четырьмя решениями уравнения четвертой степени

y 4 - 2 sy 3 + (s 2 + 2 r 2 + 2 r 4 R 2 + r 2) y 2 - 2 rs (4 R 2 + r 2 + r) y + r 2 s 2 = 0 {\ displaystyle y ^ {4} -2sy ^ {3} + (s ^ {2} + 2r ^ {2} + 2r {\ sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}}) y ^ {2} -2rs ({\ sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}} + r) y + r ^ {2} s ^ {2} = 0}y ^ {4} -2sy ^ {3} + (s ^ {2} + 2r ^ {2} + 2r {\ sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}}) y ^ {2} -2rs ({\ sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}} + r) y + r ^ {2} s ^ {2} = 0

где s - полупериметр, а r и R - внутренний и описанный радиус соответственно.

Если существует бицентрический четырехугольник с радиусом r, касательная длина которого равна e, f, g, h, то существует бицентрический четырехугольник с радиусом r, касательные длины которого равны e, f, g, h, где v может быть любым действительным числом.

Бицентрический четырехугольник имеет больший радиус, чем любой другой тангенциальный четырехугольник с такой же последовательностью. Влияние длин сторон.

Неравенства

Радиус описанной окружности R и внутренний радиус r удовлетворяют неравенству

R ≥ 2 r {\ displaystyle R \ geq {\ sqrt {2}} r}R \ geq {\ sqrt {2}} r

, которое было доказано Л. Фейесом Тотом в 1948 году. Оно справедливо с равенством только тогда, когда две окружности концентрически (имеют одинаковый центр друг с другом); тогда четырехугольник - это квадрат. Неравенство можно доказать несколькими способами, один из которых использует двойное неравенство для области, указанной выше.

Расширение предыдущего неравенства:

r 2 R ≤ 1 2 (sin ⁡ A 2 cos ⁡ B 2 + sin ⁡ B 2 cos ⁡ C 2 + sin ⁡ C 2 cos ⁡ D 2 + грех ⁡ D 2 соз ⁡ A 2) ≤ 1 {\ displaystyle {\ frac {r {\ sqrt {2}}} {R}} \ leq {\ frac {1} {2}} \ left (\ sin {\ frac {A} {2}} \ cos {\ frac {B} {2}} + \ sin {\ frac {B} {2}} \ cos {\ frac {C} {2}} + \ sin {\ frac {C} {2}} \ cos {\ frac {D} {2}} + \ sin {\ frac {D} {2}} \ cos {\ frac {A} {2}} \ right) \ leq 1}{\ frac {r {\ sqrt {2}}} {R}} \ leq {\ frac {1} {2}} \ left (\ sin {{\ frac { A} {2}}} \ cos {{\ frac {B} {2}}} + \ sin {{\ frac {B} {2}}} \ cos {{\ frac {C} {2}}} + \ sin {{\ frac {C} {2}}} \ cos {{\ frac {D} {2}}} + \ sin {{\ frac {D} {2}}} \ cos {{\ frac {A} {2}}} \ right) \ leq 1

где есть равенство с обеих сторон тогда и только тогда, когда четырехугольник является квадратом.

полупериметр двухцентрового четырехугольника удовлетворяет

8 r (4 R 2 + r 2 - r) ≤ s ≤ 4 R 2 + r 2 + r {\ displaystyle {\ sqrt {8r \ left ({\ sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}} - r \ right) }} \ leq s \ leq {\ sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}} + r}{\ sqrt {8r \ left ({\ sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}} - r \ right)}} \ leq s \ leq {\ sqrt { 4R ^ { 2} + r ^ {2}}} + r

где r и R - внутренний и описанный радиус соответственно.

Кроме того,

2 sr 2 ≤ abc + abd + acd + bcd ≤ 2 r (r + r 2 + 4 R 2) 2 {\ displaystyle 2sr ^ {2} \ leq abc + abd + acd + bcd \ leq 2r (r + {\ sqrt {r ^ {2} + 4R ^ {2}}}) ^ {2}}2sr ^ {2} \ leq abc + abd + acd + bcd \ leq 2r (r + {\ sqrt {r ^ {2} + 4R ^ {2 }}}) ^ {2}

и

abc + abd + acd + bcd ≤ 2 K (K + 2 К 2). {\ displaystyle abc + abd + acd + bcd \ leq 2 {\ sqrt {K}} (K + 2R ^ {2}).}abc + abd + acd + bcd \ leq 2 {\ sqrt {K}} (K + 2R ^ {2}).
Расстояние между центром окружности и центром окружности
Двухцентровый четырехугольник ABCD с центром I и центр описанной окружности O

Теорема Фусса

Теорема Фусса дает связь между внутренним радиусом r, радиусом описанной окружности R и расстоянием x между центр окружности I и центр описанной окружности O для любого двухцентрового четырехугольника. Отношение имеет вид

1 (R - x) 2 + 1 (R + x) 2 = 1 r 2, {\ displaystyle {\ frac {1} {(Rx) ^ {2}}} + {\ frac { 1} {(R + x) ^ {2}}} = {\ frac {1} {r ^ {2}}},}{\ frac {1} {(Rx) ^ {2}}} + {\ frac {1} {(R + x) ^ {2}}} = {\ frac { 1} {r ^ {2}}},

или эквивалентно

2 r 2 (R 2 + x 2) = (К 2 - x 2) 2. {\ displaystyle \ displaystyle 2r ^ {2} (R ^ {2} + x ^ {2}) = (R ^ {2} -x ^ {2}) ^ {2}.}\ displaystyle 2r ^ {2} (R ^ {2} + x ^ {2}) = (R ^ {2} -x ^ {2}) ^ {2}.

Он был получен Николай Фасс (1755–1826) в 1792 году. Решение относительно x дает

x = R 2 + r 2 - r 4 R 2 + r 2. {\ displaystyle x = {\ sqrt {R ^ {2} + r ^ {2} -r {\ sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}}}}.}x = {\ sqrt {R ^ { 2} + r ^ {2} -r {\ sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}}}}.

Теорема Фусса, которая является аналогом теоремы Эйлера для треугольников для бицентрических четырехугольников, говорит, что если четырехугольник бицентрический, то две связанные с ним окружности связаны согласно приведенным выше уравнениям. На самом деле верно и обратное: для двух окружностей (одна внутри другой) с радиусами R и r и расстоянием x между их центрами, удовлетворяющими условию теоремы Фусса, существует выпуклый четырехугольник, вписанный в один из них и касающийся другого. (а затем по теореме Понселе о замыкании их существует бесконечно много).

Применение x 2 ≥ 0 {\ displaystyle x ^ {2} \ geq 0}x ^ {2} \ geq 0 к выражению теоремы Фусса для x через r и R - еще один способ получим указанное выше неравенство R ≥ 2 r. {\ displaystyle R \ geq {\ sqrt {2}} r.}R \ geq {\ sqrt {2}} r. Обобщение:

2 r 2 + x 2 ≤ R 2 ≤ 2 r 2 + x 2 + 2 r x. {\ displaystyle 2r ^ {2} + x ^ {2} \ leq R ^ {2} \ leq 2r ^ {2} + x ^ {2} + 2rx.}2r ^ {2} + x ^ {2} \ leq R ^ {2} \ leq 2r ^ {2} + x ^ {2} + 2rx.

Тождество Карлитца

Другая формула для расстояния x между центрами вписанной окружности и описанной окружности принадлежит американскому математику Леонарду Карлитцу (1907–1999). В нем говорится, что

x 2 = R 2 - 2 R r ⋅ μ {\ displaystyle \ displaystyle x ^ {2} = R ^ {2} -2Rr \ cdot \ mu}\ displaystyle x ^ {2} = R ^ {2} -2Rr \ cdot \ mu

, где r и R - inradius и описанный радиус соответственно, и

μ = (ab + cd) (ad + bc) (a + c) 2 (ac + bd) = (ab + cd) (ad + bc) (b + d) 2 (ac + bd) {\ displaystyle \ displaystyle \ mu = {\ sqrt {\ frac {(ab + cd) (ad + bc)} {(a + c) ^ { 2} (ac + bd)}}} = {\ sqrt {\ frac {(ab + cd) (ad + bc)} {(b + d) ^ {2} (ac + bd)}}}}\ displaystyle \ mu = {\ sqrt {{\ frac {(ab + cd) (ad + bc)} {(a + c) ^ {2} (ac + bd)}}}} = {\ sqrt {{\ frac {(ab + cd) (ad + bc)} {(b + d) ^ {2} (ac + bd)} }}}

где a, b, c, d - стороны бицентрического четырехугольника.

Неравенства для касательных длин и сторон

Для касательных длин e, f, g, h справедливы следующие неравенства:

4 r ≤ e + f + г + час ≤ 4 р ⋅ р 2 + Икс 2 р 2 - Икс 2 {\ Displaystyle 4r \ Leq E + F + г + ч \ Leq 4r \ cdot {\ frac {R ^ {2} + х ^ {2 }} {R ^ {2} -x ^ {2}}}}4r \ leq e + f + g + h \ leq 4r \ cdot {\ frac {R ^ {2} + x ^ {2}} {R ^ {2} -x ^ {2}}}

и

4 r 2 ≤ e 2 + f 2 + g 2 + h 2 ≤ 4 (R 2 + x 2 - r 2) {\ displaystyle 4r ^ {2} \ leq e ^ {2} + f ^ {2} + g ^ {2} + h ^ {2} \ leq 4 (R ^ {2} + x ^ {2} - r ^ {2})}4r ^ {2} \ leq e ^ { 2} + f ^ {2} + g ^ {2} + h ^ {2} \ leq 4 (R ^ {2} + x ^ {2} -r ^ {2})

где r - внутренний радиус, R - радиус описанной окружности, а x - расстояние между центром окружности и центром описанной окружности. Стороны a, b, c, d удовлетворяют неравенствам

8 r ≤ a + b + c + d ≤ 8 r ⋅ R 2 + x 2 R 2 - x 2 {\ displaystyle 8r \ leq a + b + c + d \ leq 8r \ cdot {\ frac {R ^ {2} + x ^ {2}} {R ^ {2} -x ^ {2}}}}8r \ leq a + b + c + d \ leq 8r \ cdot {\ frac {R ^ {2} + x ^ {2} } {R ^ {2} -x ^ {2}}}

и

4 (R 2 - x 2 + 2 r 2) ≤ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≤ 4 (3 R 2 - 2 r 2). {\ displaystyle 4 (R ^ {2} -x ^ {2} + 2r ^ {2}) \ leq a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} \ leq 4 (3R ^ {2} -2r ^ {2}).}4 (R ^ {2} -x ^ {2} + 2r ^ {2}) \ leq a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} \ leq 4 (3R ^ {2} -2r ^ {2}).
Другие свойства центрирующего элемента

центр окружности, центр и пересечение диагоналей в бицентрическом четырехугольнике является коллинеарным.

Существует следующее равенство, связывающее четыре расстояния между центром I и вершинами бицентрического четырехугольника ABCD:

1 AI 2 + 1 CI 2 = 1 BI 2 + 1 DI 2 = 1 r 2 {\ displaystyle {\ frac {1} {AI ^ {2}}} + {\ frac {1} {CI ^ {2}}} = { \ frac {1} {BI ^ {2}}} + {\ frac {1} {DI ^ {2}}} = {\ frac {1} {r ^ {2}}}}{\ displaystyle {\ frac {1} {AI ^ {2}}} + {\ frac {1} {CI ^ {2}}} = {\ frac {1} {BI ^ {2}}} + {\ frac {1} {DI ^ {2}}} = {\ frac {1} {r ^ {2}}}}

где r - внутренний радиус.

Если P - пересечение диагоналей двухцентрового четырехугольника ABCD с центром I, то

A P C P = A I 2 C I 2. {\ displaystyle {\ frac {AP} {CP}} = {\ frac {AI ^ {2}} {CI ^ {2}}}.}{\ displaystyle {\ frac {AP} {CP}} = {\ frac {AI ^ {2}} {CI ^ {2}}}.}

Неравенство, касающееся радиуса r и описанного радиуса R в двухцентровом четырехугольнике ABCD равно

4 r 2 ≤ AI ⋅ CI + BI ⋅ DI ≤ 2 R 2 {\ displaystyle 4r ^ {2} \ leq AI \ cdot CI + BI \ cdot DI \ leq 2R ^ {2}}{\ displaystyle 4r ^ {2} \ leq AI \ cdot CI + BI \ cdot DI \ leq 2R ^ {2}}

где I - информатор.

Свойства диагоналей

Длины диагоналей двухцентрового четырехугольника могут быть выражены через сторон или касательные длины, которые являются формулами, которые верны в вписанном четырехугольнике и касательном четырехугольнике соответственно.

В двухцентровом четырехугольнике с диагоналями p и q выполняется следующее тождество:

pq 4 r 2 - 4 R 2 pq = 1 {\ displaystyle \ displaystyle {\ frac { pq} {4r ^ {2}}} - {\ frac {4R ^ {2}} {pq}} = 1}\ displaystyle {\ frac {pq} {4r ^ {2}}} - {\ frac {4R ^ {2}} {pq}} = 1

где r и R - внутренний радиус и окружной радиус соответственно. Это равенство можно переписать как

r = pq 2 pq + 4 R 2 {\ displaystyle r = {\ frac {pq} {2 {\ sqrt {pq + 4R ^ {2}}}}}}r = {\ frac {pq} {2 {\ sqrt {pq + 4R ^ {2}}}}}

или, решив его как квадратное уравнение для произведения диагоналей, в форме

pq = 2 r (r + 4 R 2 + r 2). {\ displaystyle pq = 2r \ left (r + {\ sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}} \ right).}pq = 2r \ left (r + {\ sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}) } \ right).

Неравенство для произведения диагоналей p, q в двухцентровом четырехугольнике равно

8 pq ≤ (a + b + c + d) 2 {\ displaystyle \ displaystyle 8pq \ leq (a + b + c + d) ^ {2}}\ displaystyle 8pq \ leq (a + b + c + d) ^ {2}

где a, b, c, d стороны. Это было доказано Мюрреем С. Кламкиным в 1967 году.

Четыре центра лежат на окружности

Пусть ABCD - двухцентровый четырехугольник, O - центр круга (ABCD).. Тогда центры четырех треугольников OAB, OBC, OCD, ODA лежат на окружности.

См. Также
На Викискладе есть медиафайлы, связанные с Двухцентровым четырехугольником.
Ссылки
Последняя правка сделана 2021-05-12 03:54:58
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте