Войти
Средняя точка сегмента (x 1, y 1) до (x 2, y 2)В геометрии, средняя точка является средней точкой отрезок . Он находится на равноудалении от обеих конечных точек и является центроидом как сегмента, так и конечных точек. Он делит пополам сегмент.
Середина сегмента в n-мерном пространстве, конечными точками являются 
То есть, координата i средней точки (i = 1, 2,..., n) равна
Учитывая две точки интереса, найти среднюю точку отрезка линии, который они определяют, можно выполняется с помощью компаса и линейки. Середину линейного сегмента, встроенного в плоскость , можно определить, сначала построив линзу , используя дуги окружности равного (и достаточно большого) радиуса с центрами в двух конечных точках, а затем соединение бугров линзы (две точки пересечения дуг). Точка, в которой линия, соединяющая выступы, пересекает сегмент, тогда является серединой сегмента. Сложнее найти середину, используя только компас, но это все же возможно в соответствии с теоремой Мора-Маскерони.
Средняя точка любого диаметра круга является центром круга.
Любая прямая , перпендикулярная любой хорде окружности и проходящая через ее среднюю точку, также проходит через центр окружности.
Теорема бабочка гласит, что если M является средней точкой хорды PQ окружности, через которую проходят две другие хорды AB и CD, то AD и BC пересекают хорду PQ в точке X и Y соответственно, так что M - середина XY.
Середина любого сегмента, который является биссектрисой области биссектрисы или периметром биссектрисы эллипса - центр эллипса.
Центр эллипса также является средней точкой сегмента, соединяющего два фокусировки эллипса.
Середина отрезка, соединяющего вершины гиперболы, является центром гиперболы.
Серединный перпендикуляр стороны треугольника - это линия, которая перпендикулярна этой стороне и проходит через ее середину. Три серединных перпендикуляра трех сторон треугольника пересекаются в центре описанной окружности (центр окружности, проходящей через три вершины).
медиана стороны треугольника проходит как через среднюю точку стороны, так и через противоположную вершину треугольника. Три медианы треугольника пересекаются в центроиде треугольника (точка, в которой треугольник балансировал бы, если бы он был сделан из тонкого листа металла однородной плотности).
центр из девяти точек треугольника находится в средней точке между центром описанной окружности и ортоцентром. Все эти точки находятся на линии Эйлера.
Середина (или средняя линия) треугольника - это отрезок прямой, который соединяет середины двух сторон треугольника. Он параллелен третьей стороне и имеет длину, равную половине этой третьей стороны.
Средний треугольник данного треугольника имеет вершины в серединах сторон данного треугольника, поэтому его стороны являются тремя средними сегментами данного треугольника. Он имеет тот же центр тяжести и медианы с данным треугольником. периметр среднего треугольника равен полупериметру (половине периметра) исходного треугольника, а его площадь составляет одну четверть площади исходного треугольника. ортоцентр (пересечение высот ) среднего треугольника совпадает с центром описанной окружности (центром круга, проходящего через вершины) исходного треугольника.
Каждый треугольник имеет начертанный эллипс, называемый его эллипсом Штейнера, который касается треугольника внутри в серединах всех его сторон.. Этот эллипс расположен в центре тяжести треугольника, и он имеет наибольшую площадь из всех эллипсов, вписанных в треугольник.
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности является средней точкой гипотенузы.
В равнобедренном треугольнике медиана, высота, а серединный перпендикуляр со стороны основания и биссектриса угла вершины совпадают с линией Эйлера и осью симметрии , и эти совпадающие линии проходят через середину стороны основания.
Два бимедиана выпуклого четырехугольника - это отрезки прямых, которые соединяют середины противоположных сторон, следовательно, каждая делит две стороны пополам. Две бимедианы и линейный сегмент, соединяющий середины диагоналей, являются параллельными в (все пересекаются в) точке, называемой "центроидом вершины", которая является средней точкой всех трех из этих сегментов.
Четыре «солодости» выпуклого четырехугольника - это перпендикуляры к стороне, проходящей через середину противоположной стороны, отсюда деление последней стороны пополам. Если четырехугольник циклический (вписан в круг), все эти солодости встречаются в общей точке, называемой «антицентром».
Теорема Брахмагупты утверждает, что если вписанный четырехугольник ортодиагонален (то есть имеет перпендикуляр диагоналей ), то перпендикуляр к стороне от точка пересечения диагоналей всегда проходит через середину противоположной стороны.
Теорема Вариньона утверждает, что середины сторон произвольного четырехугольника образуют вершины параллелограмма , и если четырехугольник не самопересекающийся, то площадь параллелограмма равна половине площадь четырехугольника.
Линия Ньютона - это линия, соединяющая середины двух диагоналей в выпуклом четырехугольнике, который не является параллелограммом. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника, пересекаются в точке, лежащей на линии Ньютона.
A правильный многоугольник имеет вписанную окружность, которая касается каждой стороны многоугольника в его средней точке.
В правильном многоугольнике с четным числом сторон, середина диагонали между противоположными вершинами является центром многоугольника.
растягивающий до середины многоугольник циклического многоугольника P (многоугольник, все вершины которого лежат на одной окружности) - это еще один циклический многоугольник. вписанный в тот же круг, многоугольник, вершины которого являются серединами дуг окружности между вершинами P. Итерация операции растяжения средней точки на произвольном исходном многоугольнике приводит к последовательности многоугольников, формы которых сходятся к формула правильного многоугольника.
Вышеупомянутые формулы для средней точки сегмента неявно используют длины сегментов. Однако в обобщении до аффинной геометрии, где длины сегментов не определены, средняя точка все еще может быть определена, поскольку это аффинный инвариант. синтетическое аффинное определение средней точки M отрезка AB - это проективное гармоническое сопряжение бесконечно удаленной точки , P, прямой AB. То есть точка M такая, что H [A, B; ВЕЧЕРА]. Когда координаты могут быть введены в аффинную геометрию, два определения средней точки будут совпадать.
Средняя точка не определяется естественным образом в проективной геометрии, поскольку нет выделенной точки, которая могла бы играть роль точка на бесконечности (любая точка в проективном диапазоне может быть проективно отображена на любую другую точку в (том же или каком-либо другом) проективном диапазоне). Однако фиксация бесконечно удаленной точки определяет аффинную структуру на рассматриваемой проективной прямой , и приведенное выше определение может быть применено.
Определение средней точки сегмента может быть расширено до геодезических дуг на римановом многообразии. Обратите внимание, что, в отличие от аффинного случая, середина между двумя точками не может быть определена однозначно.
