Войти
| Геометрия | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
 Проецирование в сферу на плоскости | ||||||||||
| ветви | ||||||||||
| ||||||||||
| Нульмерный | ||||||||||
| Одномерный | ||||||||||
Двумерный
| ||||||||||
| Трехмерный | ||||||||||
| Четырех- / многомерный | ||||||||||
| Геометры | ||||||||||
по имени
| ||||||||||
по периоду
| ||||||||||
|
Синтетическая геометрия (иногда называемая аксиоматической геометрией или даже чистой геометрией) - это изучение геометрии без использования координат или формул. Он полагается на аксиоматический метод и инструменты, непосредственно связанные с ними, то есть компас и линейку, чтобы делать выводы и решать проблемы.
Только после введения координатных методов появилась причина ввести термин «синтетическая геометрия», чтобы отличить этот подход к геометрии от других подходов. Другие подходы к геометрии воплощены в аналитической и алгебраической геометрии, где можно использовать анализ и алгебраические методы для получения геометрических результатов.
По словам Феликса Кляйна
Синтетическая геометрия изучает фигуры как таковые, не прибегая к формулам, тогда как аналитическая геометрия последовательно использует такие формулы, которые могут быть записаны после принятия соответствующей системы координат.
Геометрия, представленная Евклидом в « Элементах», является типичным примером использования синтетического метода. Это излюбленный метод Исаака Ньютона для решения геометрических задач.
Синтетические методы были наиболее заметными в течение 19 - го века, когда геометры отвергнуты скоординировать методы в создании основ по проективной геометрии и неевклидовой геометрии. Например, геометр Якоб Штайнер (1796 - 1863) ненавидел аналитическую геометрию и всегда отдавал предпочтение синтетическим методам.
Процесс логического синтеза начинается с некоторой произвольной, но определенной отправной точки. Эта отправная точка - введение примитивных понятий или примитивов и аксиом об этих примитивах:
Из заданного набора аксиом синтез исходит как тщательно построенный логический аргумент. Когда значительный результат строго доказывается, он становится теоремой.
Не существует фиксированного набора аксиом для геометрии, так как можно выбрать более одного согласованного набора. Каждый такой набор может привести к разной геометрии, хотя есть также примеры различных наборов, дающих одну и ту же геометрию. При таком изобилии возможностей говорить о «геометрии» в единственном числе уже неуместно.
Исторически параллельный постулат Евклида оказался независимым от других аксиом. Простое отбрасывание дает абсолютную геометрию, а отрицание дает гиперболическую геометрию. Другие непротиворечивые наборы аксиом могут дать другую геометрию, например проективную, эллиптическую, сферическую или аффинную геометрию.
Аксиомы непрерывности и «промежуточности» также являются необязательными, например, дискретные геометрии могут быть созданы путем их отбрасывания или изменения.
После программы Эрланген из Klein, природа любой заданной геометрии можно рассматривать как связь между симметрией и содержание предложений, а не стиль развития.
Первоначальная трактовка Евклида оставалась неизменной в течение более двух тысяч лет, пока одновременное открытие неевклидовой геометрии Гауссом, Бойяи, Лобачевским и Риманом в 19 веке не привело математиков к сомнению в основных предположениях Евклида.
Один из первых французских аналитиков резюмировал синтетическую геометрию следующим образом:
Расцветом синтетической геометрии можно считать 19 век, когда аналитические методы, основанные на координатах и исчислении, игнорировались некоторыми геометрами, такими как Якоб Штайнер, в пользу чисто синтетического развития проективной геометрии. Например, рассмотрение проективной плоскости, исходя из аксиом инцидентности, на самом деле является более широкой теорией (с большим количеством моделей ), чем можно найти, начиная с векторного пространства размерности три. На самом деле проективная геометрия имеет самое простое и элегантное синтетическое выражение любой геометрии.
В своей программе Эрланген, Феликс Клейн преуменьшить напряженность между синтетическими и аналитическими методами:
Тесная аксиома исследование евклидовой геометрии привело к построению четырехугольника Ламберта и четырехугольнику Саккери. Эти структуры представили область неевклидовой геометрии, в которой отрицается параллельная аксиома Евклида. Гаусс, Бойяи и Лобачевский независимо построили гиперболическую геометрию, в которой параллельные прямые имеют угол параллельности, зависящий от их разделения. Это исследование стало широко доступным благодаря модели диска Пуанкаре, в которой движения задаются преобразованиями Мёбиуса. Точно так же Риман, ученик Гаусса, построил риманову геометрию, частным случаем которой является эллиптическая геометрия.
Другой пример касается инверсивной геометрии, предложенной Людвигом Иммануэлем Магнусом, которую можно считать синтетической по духу. Тесно связанная операция возвратно-поступательного движения выражает анализ плоскости.
Карл фон Штаудт показал, что алгебраические аксиомы, такие как коммутативность и ассоциативность сложения и умножения, на самом деле являются следствием инцидентности прямых в геометрических конфигурациях. Дэвид Гильберт показал, что конфигурация Дезарга играет особую роль. Дальнейшую работу проделали Рут Муфанг и ее ученики. Эти концепции были одним из мотиваторов геометрии инцидентности.
Когда параллельные прямые принимаются за первичные, синтез дает аффинную геометрию. Хотя евклидова геометрия является одновременно аффинной и метрической геометрией, в общем случае в аффинных пространствах может отсутствовать метрика. Дополнительная гибкость, предоставляемая таким образом, делает аффинную геометрию подходящей для изучения пространства-времени, как это обсуждалось в истории аффинной геометрии.
В 1955 году Герберт Буземанн и Пол Дж. Келли озвучили ностальгическую ноту по синтетической геометрии:
Эта аналитическая геометрия не может заменить без серьезных потерь синтетическую геометрию.
Например, обучение в колледжах теперь включает линейную алгебру, топологию и теорию графов, где предмет разрабатывается на основе первых принципов, а предложения выводятся с помощью элементарных доказательств.
Сегодняшний студент геометрии имеет отличные аксиомы Евклид доступно: см аксиом Гильберта и аксиомы Тарских.
Эрнст Кёттер опубликовал (на немецком языке) отчет в 1901 г. «Развитие синтетической геометрии от Монжа до Штаудта (1847 г.)» ;
Синтетические доказательства геометрических теорем используют вспомогательные конструкции (например, вспомогательные линии ) и такие понятия, как равенство сторон или углов, а также подобие и соответствие треугольников. Примеры таких доказательств могут быть найдены в статьях теорема бабочки, биссектриса теорема, теорема Аполлония, теорема Британского флага, теорема Чевы, Равная вписанной теорема, Геометрическая средняя теорема, формула Герона, теорема равнобедренного треугольника, косинусы, и другие, связаны с здесь.
В сочетании с вычислительной геометрией, A вычислительная геометрия синтетической была основана, имея тесную связь, например, с матроидами теории. Синтетическая дифференциальная геометрия - это приложение теории топосов к основам теории дифференцируемых многообразий.
