Войти
конических сечениях или двумерные фигуры, образованные пересечением плоскости конуса под разными углами. Теория этих фигур была широко развита древнегреческими математиками, особенно сохранившаяся в таких работах, как работы Аполлония Пергского. Конические секции пронизывают современную математику. Аполлоний Пергский (греческий : Ἀπολλώνιος ὁ εργαῖος; латинский : Apollonius Pergaeus; c.240 до н.э. - c.190 до н.э.) был древнегреческим геометром и астрономом, известным своими работами по коническим сечениям. Начиная с работ по этой теме Евклида и Архимеда, он привел их к состоянию до изобретения аналитической геометрии. Его определения терминов эллипс, парабола и гипербола используются сегодня.
Аполлоний работал над множеством других тем, включая астрономию. Большая часть этой работы не сохранилась, за исключением, как правило, фрагментов, которые упоминаются другие авторы. Его гипотеза об эксцентрических орбитах для объяснения явно аберрантного движения планет, в которой обычно верили в средневековья, была отвергнута в эпоху Возрождения.
Для такого важного участника проекта. Из-за математики остается скудная биографическая информация. Греческий комментатор VI Евтокий из Аскалона, о главном произведении Аполлония, Конике, утверждает:
«Геометрический Аполлоний... прибыл из Перги в Памфилии во времена Птолемея Эвергета, так записывает Гераклей, биографию Архимеда…»
Перга в то время был эллинизированным городом Памфилии в Анатолии. Руины города еще стоят. Это был центр эллинистической культуры. Эвергет, «благодетель», отождествляет Птолемея III Эвергета, греческого династа Египта в преемственности диадохов. Предположительно, его «времена» - это его царствование, 246–222 / 221 гг. До н. Э. Времена всегда записываются правителем или действующим судьей, если бы Аполлоний родился раньше 246 г., это были бы «времена» отца Эвергета. Личность Гераклея неясна. Таким образом, приблизительные времена Аполлония известны, но точные даты не могут быть названы. Цифры лет конкретных рождения и смерти, различные учеными, являются лишь предположениями.
Евтокий, по-видимому, связывает Пергу с династией Птолемеев Египта. Никогда не находившаяся под Египтом, Перга в 246 г. до н.э. принадлежала империи Селевкидов, независимому диадохам государству, управляемому династией Селевкидов. В течение последней половины III века до н. Э. Перга несколько раз переходила из рук в руки, находясь то под властью Селевкидов, то под царством Пергамона на севере, управляемым династией Атталидов. Можно было ожидать, что кто-то, названный «из Перги», жил и работал там. Напротив, если позже Аполлоний был отождествлен с Пергой, то не по его месту жительства. Из прошедших автобиографических материалов следует, что он жил, учился и оставил в Александрии.
Письмо греческой математика и астронома Гипсикла изначально было частью дополнения к Книге XIV Евклида, входящей в три книг Евклида «Начала».
"Василид Тирский О, когда он приехал в Александрию и встретил моего отца, большую часть своего пребывания с ним из-за связи между ними из-за их общего интереса к математике. И однажды, глядя в трактат, написано Аполлонием о сравнении и икосаэдра, вписанных в одну и ту же сферу, то есть по вопросу о том, что соотнося их друг с другом, они пришли к выводу, что трактовка Аполлонием этого в этой книге неправильной; соответственно, как я понял от отца, они приступили к его исправлению и переписыванию. В этой книге демонстрировался рассматриваемый вопрос. Теперь книга, изданная Аполлонием, доступна всем; «Со своей стороны, я решил посвятить вам то, что считать, в качестве комментария, от части. всей математике и особенно в геометрии, чтобы вынести экспертное суждение о том, что я собираюсь написать, и отчасти потому, что из-за вашей близости с моим отцом и вашего дружеского чувства ко мне вынести любезно выслушать мое исследование. Но пора закончить с преамбулой и начать сам трактат ».
Аполлон жилой ближе к концу исторического периода, который теперь называется эллинистическим периодом, характеризуемый на обширные неэлложские регионы на разную глубину, радикальным в одних местах, почти не в других. Изменение было инициировано Филиппом II Македонским и его сыном, Александр Великий, который, покорив всю серию ошеломляющих побед, завоевал Персидскую империю, правившую территорию Египта до Пакистана. Филипп был убит в 336 г. до н. Э. Александр продолжил выполнение своего плана, завоевав обширную Персидскую империю.
Материал находится в уцелевших фальшивых «Предисловиях» к книгам его Conics. Это письма, пересленные влиятельным друзьям Аполлония с просьбой прилагаемую книгу. с письмом. Предисловие к Книге I, адресованное некоему Евдему, напоминает ему, что Коникс изначально был запрошен гостем дома в Александрии, геометром Навкратом, иначе неизвестным истории. К концу визита у Навкрата был первый черновик всех восьми книг. Аполлоний называет их «без полного очищения» (ou diakatharantes по-гречески, ea non perpurgaremus по-латыни). Он намеревался проверить и исправить книги, выпуская каждую по ее завершению.
Услышав об этом плане от самого Аполлония во время последующего визита последнего в Пергам, Евдем настоял на том, чтобы Аполлоний послал ему каждую книгу перед выпуском. Обстоятельства предполагают, что на этом этапе Аполлоний был молодым геометром, ищим компанию и совет опытных профессионалов. Папп утверждает, что он был с учениками Евклида в Александрии. Евклида давно не было. Это пребывание было, возможно, заключительным этапом обучения Аполлония. Евдем был, возможно, старшей фигурой в своем более раннем образовании в Пергаме; в любом случае есть основания полагаться, что он был стал или главой Библиотеки и исследовательского центра (Музей ) Пергама. Аполлоний утверждает, что первые четыре книги были посвящены развитию элементов, а последние четыре касались специальных тем.
Между предисловиями I и II есть пробел. Аполлоний послал своего сына, тоже Аполлония, доставить II. Он говорит с большей уверенностью, предлагая Евдемусу использовать книгу в специальных учебных группах, что подразумевает, что Евдемус был высокопоставленным лицом, если не директором, в исследовательском центре. Исследования в таких учреждениях, которые предполагают модели Ликея Аристотеля в Афинах, из-за проживания Александра Великого и его соратников в его северной ветви. к которой добавились библиотека и музей. В штат была всего одна такая школа. Принадлежащий королю, он находился под королевским патронажем, обычно был ревнивым, восторженным и заинтересованным. Цари покупали, просили, занимали и крали драгоценные книги, когда и где могли. Книги были очень ценными, доступными только богатым читателям. Собирать их было королевской обязанностью. Пергамон известен производством пергамента, поэтому «пергамент » происходит от «Пергамон».
Аполлоний вспоминает Филонида из Лаодикии, геометрия, которую он представил Евдему в Эфесе. Филонид стал учеником Евдема. Он жил в основном в Сирии в первой половине II века до нашей эры. Указывает ли встреча, что Аполлоний теперь в Эфесе, не решено. Интеллектуальное сообщество Средиземноморья было интернациональным по культуре. Ученые были мобильны в поисках работы. Все они общались через какую-то почтовую службу, государственную или частную. Сохранившиеся письма в изобилии. Они навещали друг друга, читали работы друг друга, делали предложения друг другу, рекомендовали студентов и накопили традиции, которые некоторые называют «золотым веком математики».
Предисловие III отсутствует. Во время перерыва скончался Евдем, говорит Аполлоний в IV, снова утвержденная точка зрения, что Евдем был старше Аполлония. Предисловия IV - VII носят более формальный характер, они опускают личную информацию и концентрируются на обобщении книг. Все они адресованы таинственному Атталу, выбор, сделанный «потому», как Аполлоний пишет Атталу, «из вашего искреннего желания владеть моими произведениями». К тому времени такое желание было у многих в Пергаме. Предположительно, этот Аттал был кем-то особенным, получившим копии шедевра Аполлония прямо из рук автора. Одна сильная теория состоит в том, что Аттал Аттал II Филадельф, 220-138 гг. До н.э., генерал и защитник королевства своего брата (Евмен II ), соправитель по болезни последнего в 160 г. до н.э., и наследник его престола и его вдова в 158 г. до н. э. Он и его брат были большими покровителями искусства, благодаря чему библиотека приобрела международное величие. Даты созвучны датам Филонида, тогда как мотив Аполлония созвучен инициативе Аттала по сбору книг.
Аполлоний послал Атталу Предисловия V - VII. В Предисловии VII он представлен Книгу VIII как «приложение»... «которое я постараюсь отправить вам как можно скорее». Нет никаких записей о том, что он был отправлен или отправлен или когда-либо завершен. Он может отсутствовать в истории, потому что никогда не был в истории, Аполлоний умер до его завершения. Папп Александрийский, однако, предоставил для него леммы, так что по крайней мере какое-то его издание должно было когда-то находиться в обращении.
Аполлоний был плодовитымром, выполнившим большое количество работ. Выжил только один, Коникс. Это плотный и обширный справочник по теме, даже по сегодняшним меркам, служащий хранилищем малоизвестных сейчас геометрических утверждений, а также средство для некоторых новых, разработанных Аполлонием. Его аудиторией было не широкое население, которое не умело ни читать, ни писать. Он всегда предназначен для знатоков математики и их небольшого числа образованных читателей, связанных с ними государственными школами и связанными с библиотеками. Другими словами, это всегда был справочник по библиотеке. Его основное определение важного математического наследием. По большей части ее методы и выводы были заменены Аналитической геометрией.
Из восьми его книг только первые располагающие основания основать, что они произошли от оригинальных текстов Аполлония. Книги 5-7 переведены с арабского на латынь. Оригинальный греческий язык был утерян. Статус Книги VIII неизвестен. Первый проект существовал. Был ли когда-либо выпущен окончательный вариант, неизвестно. Его "реконструкция" Эдмонда Галлея существует на латыни. Невозможно узнать, насколько оно похоже на Аполлония. Галлей также реконструировал De Rationis Sectione и De Spatii Sectione. Помимо этих работ, за исключением некоторых фрагментов, не является документация, которая каким-либо образом может быть истолкована как происходящая от Аполлония.
Многие из утраченных произведений упоминаются или упомянуты комментаторами. Кроме того, есть идеи, приписываемые Аполлонию другими авторами без документации. Достоверно или нет, но это слухи. Некоторые авторы Аполлония определенными видами вызывают, названными его именем. Другие пытаются выразить Аполлония в современной нотации или фразеологии с неопределенной степенью точности.
В греческом тексте Conics используется евклидово расположение определений, фигур и их частей; то есть «данные», за которыми следуют предложения, «подавие доказательству». В книгах I-VII представлено 387 предложений. Такое расположение можно увидеть в любом учебнике геометрии традиционного предмета. Как и в любом курсе математики, материал очень плотный, и его рассмотрение обязательно медленное. У Аполлония был план для каждой книги, который частично описан в Предисловиях. Заголовки, или указатели на план, в некоторой степени неполноценны, Аполлоний больше полагался на логическую последовательность тем.
Таким образом создается интеллектуальная ниша для комментаторов веков. Каждый должен представить Аполлония наиболее ясным и актуальным для своего времени. Они используют различные методы: аннотации, расширенный вводный материал, разные форматы, дополнительные рисунки, поверхностная реорганизация путем добавления capita и так далее. Есть тонкие вариации в интерпретации. Современный русскоязычный человек сталкивается с нехваткой материала на английском языке из-за того, что английские ученые предпочитают новую латынь. Такие интеллектуальные английские гиганты, как Эдмундлей и Исаак Ньютон, настоящие потомки эллинистической традиции математики и астрономии, могут быть прочитаны и интерпретированы в переводе только населением, говорящим по-английски, не знакомым с классическими языками; то есть большинство из них.
Презентации, полностью написанные на английском языке, начинаются в конце 19 века. Особо следует отметить «Трактат Хита о конических сечениях». Его обширный вводный комментарий включает в себя такие элементы, как словарь аполлонических геометрических терминов, дающих греческий язык, значения и использование. Комментируя, что «явно зловещая масса трактата удерживает многие попытки познакомиться с ним», он обещает добавить заголовки, внешне изменив организацию, и уточнить текст с помощью современных обозначений. Таким образом, в его работе обнаруживаются две системы организации, его собственная и система Аполлония, соответствие которой дано в скобках.
Работа Хита незаменима. Он преподавал на протяжении всего начала 20 века, скончавшись в 1940 году. Св. John's College (Аннаполис / Санта-Фе), который был военным училищем с колониальных времен, предшествовавший Военно-морской академии США в Аннаполисе, Мэриленд, к которому он примыкает, в 1936 г. лишился аккредитации и оказался на грани банкротства. В отчаянии правление вызвало Стрингфеллоу Барра и Скотта Бьюкенена из Чикагского университета, где они разработали новую теоретическую программу для обучения классике. Воспользовавшись этим, в 1937 году они учредили «новую» программу в Сент-Джонс, позже названную программу Великие книги, фиксированный учебный план, по которому будут преподавать избранные ключевые участники культуры западной цивилизации.. В соборе Святого Иоанна Аполлония начали учить самого себя, а не какое-то дополнение к аналитической геометрии.
«Учителем» Аполлония был Р. Кейтсби Талиаферро, новый доктор философии в 1937 году из Университета Вирджинии. Он был наставником до 1942 года, а затем в течение одного года, в 1948 году, предоставил английские переводы, перевел Альмагеста Птолемея и Коники Аполлония. Эти переводы вошли в серию Великих книг западного мира Британской энциклопедии. Включены только книги I-III с приложением по специальным темам. В отличие от Хита, Талиаферро не пытался реорганизовать Аполлония, даже поверхностно, или переписать его. Его перевод на современный английский язык довольно точно следует греческому. Он до некоторой формы использует современные геометрические обозначения.
Одновременно с работой Талиаферро Айвор Томас, оксфордский донор эпохи Второй мировой войны, проявлял большой интерес к греческой математике. Он спланировал сборник избранных материалов, который был реализован во время его военной службы в офицера Королевского Норфолкского полка. После войны он нашел свое пристанище в Классической библиотеке Леба, где он занимает два тома, все переведенные Томасом, с греческим на одной стороне страницы и английским на другой, как это принято для серия Леба. Работа Томаса послужила руководством для золотого века греческой математики. Что касается Аполлония, он включает в основном только те части Книги I, которые определяют разделы.
Хит, Талиаферро и Томас удовлетворяли общественный спрос на Аполлония в переводе на протяжении большей части 20 века. Тема продолжается. Более поздние переводы и исследования включают новую информацию и точки зрения, а также исследуют старые.
Книга I содержит 58 предложений. Его наиболее важным содержанием являются все основные определения конусов и конических сечений. Эти определения не совсем совпадают с современными определениями тех же слов. Этимологически современные слова происходят от древних, но этимон часто отличается по значению от его рефлекса.
A коническая поверхность порождается отрезком линии, вращающимся вокруг точка биссектрисы, конечные точки которой составляют окружности, каждая в своей собственной плоскости . Конус , одна из ветвей двойной конической поверхности, представляет собой поверхность с точкой (вершиной или вершиной ), окружностью (основание ), а ось - линия, соединяющая вершину и центр основания.
«сечение » (латинское sectio, греческое фолиант) - это воображаемое «разрезание» конуса плоскостью .
Греческие геометры были заинтересованы в размещении избранных фигур из своего инвентаря в различных приложениях инженерии и архитектуры, как и великие изобретатели, такие как как Архимед, привыкли делать. Спрос на конические сечения был тогда и существует сейчас. Развитие математической характеристики сдвинуло геометрию в направлении греческой геометрической алгебры, которая наглядно демонстрирует такие алгебраические основы, как присвоение значений линейным сегментам в качестве переменных. Они использовали системукоординат, промежуточную между сеткой измерений и декартовой системы координат. Теории пропорций и применения площадей возможностиили визуальные уравнения. (См. Ниже в разделе «Методы Аполлония»).
Анимированный рисунок изображает метод «приложения площадей» для выражения математической зависимости, характеризующей параболу. Левый верхний угол изменяющегося прямоугольника с левой стороны и правый верхний угол с правой стороны - это «любая точка на участке». В анимации он находится после раздела. Оранжевый квадрат вверху - это «квадрат на расстоянии от точки до диаметра; то есть квадрат ординаты. У Аполлония ориентация горизонтальна, а не вертикальна, как показано здесь. Здесь это квадрат абсциссы.. Независимо от ориентации, уравнение остается тем же, но имена. Синий прямоугольник снаружи - это прямоугольник по другой координате и расстоянию p. В алгебре x = py, одна из форм уравнения для параболы. внешний прямоугольник по величине py, сечение должно быть гиперболой; если меньше, то эллипсом. «Применение области» неявно спрашивает, применима ли эта область, то есть равен ли он квадрату на сегмент? Если да, то применимость (парабола) была установлена. Аполлоний вслед за Евклидом, применимы ли прямоугольник на абсциссе любой точки на разрезе к квадрату ординаты . Если это так, его слово-уравнение эквивалентно 
Случай «неприменимости» далее делится на две возможности. Для данной функции 
Применимость может быть достигнута путем добавления дефицит, 
может быть записано в виде
где C / B - это d, уравнение для гиперболы
становится
где C / B - s.
Книга II содержит 53 предложения. Аполлон ius говорит, что он намеревался охватить «свойства, имеющие отношение к диаметрам и осям, а также асимптоты и другие вещи... для пределов возможностей». Его определение «диаметра» отличается от определения «диаметра». традиционным, поскольку он пытается направить предполагаемого получателя письма к его работе для определения. Упомянутые элементы определяют форму и формирование фигур. Касательные исследуют в конце книги.
Книга III содержит 56 предложений. Аполлоний заявляет об оригинальном открытии теоремы «Использование для построения твердых локусов... трех- и четырехстрочного геометрического места....» Географическое место конического сечения - это сечение. Задача трехлинейного геометрического места (как указано в приложении Талиаферо к Книге III) находит «геометрическое место точек, расстояния от трех заданных фиксированных прямых... таковы, что квадрат одного расстояния всегда находится в постоянном отношении к прямоугольник, действся в двух других расстояниях. ". Это доказательство применения площадей, образующих параболу. Задача с четырьмя линиями приводит к эллипсу и гиперболе. Аналитическая геометрия выводит одни и те же локусы из более простых критериев, поддерживаемых алгеброй, а не геометрией, за которую Декарт получил высокую оценку. в своих методах.
Книга IV содержит 57 предложений. Первый, посланный Атталу, а не Евдему, таким образом, представляет его более зрелую геометрическую мысль. точек, в части конуса могут пересекаться друг с другом или пересекаться с окружностью круга… » говорит с энтузиазмом, называя их «весьма полезными». в решении задач (Предисловие 4).
Книга V, известная только благодаря переводу с арабского, содержит 77 предложений, больше, чем любая книга. Они покрывают эллипс (50 предложений), параболу (22) и гиперболу (28). Это не является явной темой, которая в Предисловиях I и V Аполлониус утверждает как максимальные и минимальные строки. Эти термины не поясняются. В отличие от Книги I, Книга V не содержит определений и объяснений.
Двусмысленность притягивает толкователей Аполлония, которые вынуждены толковать, не зная смысла основных терминов книги. До недавнего времени преобладала точка зрения Хита: линии следует рассматривать как нормали сечениям. нормаль в этом случае - это перпендикуляр к кривой в точке касания , иногда называемой основанием. Если разрез построен в соответствии с системой координат Аполлония (см. Ниже в разделе «Методы Аполлония»), с переведенным Хитом как ось по оси x и вершиной в начале координат слева, фразеология предложения указывает, что минимумы / максимумы должны быть найдены между сечением и осью. Хит приходит к выводу о том, что неподвижная точка p на участке представляет собой точку касания и одним концом линии. Тогда минимальное расстояние между p и некоторой точкой g на оси должно быть нормалью от p.
В современной математике нормали к кривым известны как местоположение центра кривизны той части кривой, расположенной вокруг стопы. Расстояние от ступни до центра - это радиус кривизны. Последний представляет собой радиус окружности, но для кривых, отличных от окружности, небольшая дуга может быть аппроксимирована дугой окружности. Кривизна некруглых кривых; например, конические участки должны меняться по сечению. Карта центра кривизны; то есть его геометрическое место, когда ступня движется по секции, называется эволюцией секции. Такая фигура, край последовательных позиций линии, сегодня называется конвертом . Хит считал, что в Книге V мы видим, как Аполлоний устанавливает логическое основание теории нормалей, эволюций и конвертов.
Хит считался авторитетной интерпретацией Книги V на протяжении всего 20-го века, но изменение века принес с собой изменение взглядов. В 2001 году ученые Аполлония Фрид и Унгуру, отдавая должное другим главам Хита, возразили против историчности анализа Книги V, заявив, что он «переработал оригинал, чтобы сделать его более подходящим для современного математика... такие вещи, которые делают работу Хита сомнительной» ценностью для историка, раскрывая больше мыслей Хита, чем Аполлония ». Некоторые из его аргументов сводятся к следующему. Ни в предисловиях, ни в книгах нет никаких упоминаний о том, что максим / минимумы сами по себе являются нормами. Из 50 предложений Хита, которые, как утверждается, охватывают нормыли, только 7, V: 27-33, заявляют или подразумевают, что линии максимума / минимума перпендикулярны касательным. Эти 7 Фрид классифицирует как изолированные, не связанные с связанными положениями книги. Они никоим образом не подразумевают, что максимумы / минимумы в целом являются нормальными. В своем обширном исследовании других 43 предположений Фрид доказывает, что многого быть не может.
Фрид и Унгуру возражают, изображая Аполлония как продолжение прошлого, а не предзнаменование будущего. Во-первых, это полное филологическое исследование всех ссылок на минимальные и максимальные строки, раскрывающее стандартную фразеологию. Есть три группы по 20-25 предложений в каждой. Первая группа содержит фразу «от точки на оси к сечению», которая является противоположностью гипотетической «точки на сечении к оси». Первое не должно быть нормальным ни к чему, хотя может быть. Учитывая фиксированную точку на оси, из всех линий, соединяющих ее со всеми точками сечения, одна будет самой длинной (максимальной) и самой одной короткой (минимальной). Другие фразы: «в разрезе», «нарисовано из раздела», «отрезано между частью и его осью», отсечено по оси », и все они относятся к одному и тому же изображению.
По мнению Фрида и Унгуру, тема Книги V - это именно то, о чем говорит Аполлоний: строки максимума и минимума. Это не кодовые слова для будущих концепций. Авторы цитируют Евклида, Элементы, Книгу III, в ознакомлении с кругами, а также максимальные и минимальные расстояния от внутренних точек до окружности. Не допуская какой-либо конкретной общности, они используют такие термины, как «подобное» или «аналог». Они известны тем, что вводят новый термин «подобный неусису». Конструкция neusis представляла собой метод подгонки заданного сегмента между двумя заданными кривыми. Дана точка P и линейка с отмеченным на ней отрезком. один вращает линейку вокруг P, разрезая две кривые, пока сегмент не будет соответствовать между ними. В Книге V буква Р - точка на оси. Вращая вокруг него линейку, вы обнаруживаете расстояния до сечения, на которых можно различить минимум и максимум. Техника не применима к ситуации, так что это не невзирая. Авторы используют neusis-подобный, видя архетипическое сходство с древним методом.
Книга VI, известная только благодаря переводу с арабского, содержит 33 предложения, наименьшее из всех книг. Он также имеет большие лакуны или пробелы в тексте из-за повреждения или искажения в предыдущих текстах.
Тема относительно ясна и бесспорна. В предисловии 1 говорится, что это «равные и похожие сечения конусов». Аполлоний расширяет концепции конгруэнтности и подобия, представленные Евклидом, на более элементарные фигуры, такие как треугольники, четырехугольники, на конические сечения. В предисловии 6 упоминаются «участки и сегменты», которые «равны и неравны», а также «похожи и непохожи», и добавляется некоторая конструктивная информация.
Книга VI предлагает возврат к основным определениям в начале книги. «Равенство » определяется применением областей. Если одна цифра; то есть секция или сегмент «применяется» к другому (Галлея si Applicari Possit altera super alteram), они «равны» (aequales Галлея), если они совпадают и ни одна линия одного не пересекает любую линию другого. Это, очевидно, стандарт сравнения после Евклида, Книга I, Общие понятия, 4: «и вещи, совпадающие (epharmazanta) друг с другом, равны (isa)». Совпадение и равенство пересекаются, но это не одно и то же: применение площадей, используемых для определения разделов, зависит от количественного равенства площадей, но они могут принадлежать к разным фигурам.
Между экземплярами, которые являются одинаковыми (гомосексуалистами), равными друг другу, и экземплярами, которые разными или неравными, являются цифры, которые являются «одинаковыми» (hom-oios) или похожими. Они не являются ни полностью одинаковыми, ни разными, но имеют общие аспекты и не имеют общих аспектов, которые являются разными. Интуитивно геометры имели в виду масштаб ; например, карта похожа на топографический регион. Таким образом, фигуры могут иметь более крупную или меньшую версию самих себя.
Аспекты, которые совпадают на аналогичных рисунках, зависят от рисунка. В 6-й книге «Элементов» Евклида представлены треугольники, похожие на те, которые имеют такие же соответствующие углы. Таким образом, треугольник может иметь сколь угодно маленькие миниатюры или гигантские версии, и при этом быть «таким же» треугольником, что и оригинал.
В определениях Аполлония в начале Книги VI подобные правые конусы имеют аналогичные осевые треугольники. Подобные участки и отрезки участков находятся прежде всего в одинаковых конусах. Кроме того, для каждой абсциссы одного должна существовать абсцисса другого в желаемом масштабе. Наконец, абсцисса и ордината одного должны совпадать с координатами того же отношения ординаты к абсциссе, что и у другого. Общий эффект такой, как если бы секция или сегмент перемещались вверх и вниз по конусу, чтобы достичь другого масштаба.
Книга VII, также перевод с арабского, содержит 51 предложение. Это последнее, что Хит рассматривает в своем издании 1896 года. В Предисловии I Аполлоний не упоминает о них, подразумевая, что на момент написания первого наброска они, возможно, не существовали в достаточно связной форме для описания. Аполлоний использует непонятный язык, говоря, что это «peri dioristikon Theorematon», что Галлей перевел как «de Theorematis ad definitionem pertinentibus», а Хит - как «теоремы, включающие определения пределов». Это язык определений, но никаких определений не предлагается. Вопрос о том, может ли ссылка относиться к определенному виду определений, является предметом обсуждения, но на сегодняшний день не предложено ничего достоверного. Тема Книги VII, завершенная к концу жизни и карьеры Аполлония, указана в предисловии VII как диаметров и «изображенных на них фигур». Который должен входить сопряженные диаметры, поскольку он в степени полагается на них. Каким образом могут быть термины «пределы» или «Определения», не включается.
Другиеры и их сопряженные части решенные части в Книге I (Определения 4-6). Не каждый диаметр имеет сопряжение. Топография диаметра (греческий диаметр) требует правильной изогнутой фигуры. Области неправильной формы, к которой обращаются в наше время, не входили в древний план игры. Аполлоний, конечно, имеет в виду конические сечения, которые он часто изображает запутанным языком: «кривая в одной плоскости» - это круг, эллипс или парабола, а «две кривые в одной плоскости» - это гипербола. Хорда - прямая линия, две конечные точки находятся на рисунке; то есть разрезает фигуру в двух местах. Если на фигуру наложена сетка из параллельных хорд, то диаметр определяется как линия, разделяющая все хорды пополам и достигающая самой кривой в точке, называемой вершиной. Нет необходимости в закрытой фигуре; например, парабола имеет диаметр.
Парабола имеет симметрию в одном измерении. Две половинки совпадают или подходят друг к другу. То же самое можно сказать об одной ветви гиперболы. Сопряженные диаметры (греч. Suzugeis diametroi, где suzugeis «связаны вместе»), однако, симметричны в двух измеренийх. Фигуры, к которой они относятся, требуют также централизованного площади (греч. Kentron), сегодня называемый центроидом, который используется для использования симметрии в двух направлениях. Эти фигуры представляют собой круг, эллипс и двуветвленную гиперболу. Есть только один центроид, который не следует путать с фокусом . Диаметр - это хорда, проходящая через центр тяжести, который всегда делит его пополам.
Для круга и эллипса, пусть сетка параллельных хорд будет наложена на фигуру так, чтобы самая длинная из них была диаметром, а следующие короче, пока последняя не станет хордой, точкой касания. Касательная должна быть параллельнару диаметра. Сопряженный диаметр делит хорды пополам и помещается между центроидом и точкой касания. Более того, оба диаметра сопряжены друг с другом и называются сопряженной парой. Очевидно, что любые сопряженные пары окружности перпендикулярны друг другу, но в эллипсе только большая и малая оси, а удлинение разрушает перпендикулярность во всех остальных случаях.
Конъюгаты для двух ветвей гиперболы, полученной в результате разрезания двойного конуса единственной плоскостью. Их называют сопряженными ветвями. У них одинаковый диаметр. Его центроид делит пополам отрезок между вершинами. Есть место для еще одной диаметральной линии: пусть сетка из линий, параллельного диаметра, разрезает обе ветви гиперболы. Эти линии похожи на хорды, за исключением того, что они не заканчиваются на одной и той же непрерывной кривой. Сопряженный диаметр может быть проведен от центра тяжести, чтобы разделить хорды пополам.
Эти концепции, в основном из Книги I, дают нам возможность начать с 51 предложения Книги VII, детально определяющего отношения между сечениями, диаметрами и сопряженными диаметрами. Как и в случае с другими специализированными темами Аполлония, их полезность сегодня по сравнению с аналитической геометрией еще предстоит, хотя он утверждает в предисловии VII, что они полезны и новаторски; то есть он берет на себя заслугу перед ними.
Папп упоминает другие трактаты Аполлония:
Каждая из них была разделена на две книги, а с Данными - Поризмы, а также поверхности-локусы Евклида и коники Аполлония - согласно Паппу были включены в основную часть античного анализа. Далее следуют описанных выше работ.
De Rationis Sectione стремился решить простую проблему: имея две прямые линии и точку в каждой, проведите через третью заданную точку прямую линию, пересекающую две линии, такие как что части, между заданными точками в них и точками пересечения с этой третьей линией, иметь заданное соотношение.
De Spatii Sectione обсуждают аналогичную проблему, требуетсяую приняться в двух перехватах, чтобы они были равны данному прямоугольнику.
В конце 17 века Эдвард Бернард обнаружил версию De Rationis Sectione в Бодлианской библиотеке. Хотя он начал перевод, именно Галлей закончил его и включил в том 1706 года, восстановил De Spatii Sectione.
De Sectione Determinata рассматривает проблемы, которые можно назвать аналитической геометрией одного измерения; с вопросом о нахождении точек на линии, которые были в использовании с другими. Конкретные проблемы заключаются в следующем: данные, имеющие заданное соотношение либо (1) к, другое положение от точки удовлетворяли условию, квадрат на одной или прямоугольник. квадрату на оставшейся одной или к прямоугольнику, содержащемуся в оставшихся двух, или (2) к прямоугольнику, содержащемуся в оставшейся одной и другой заданной прямой. Некоторые пытались восстановить текст, чтобы найти решение Аполлония, среди них Снеллий (Виллеброрд Снелл, Лейден, 1698); Александр Андерсон из Абердина, в приложении к его «Аполлонию Редививусу» (Париж, 1612 г.); и Роберт Симсон в своей Opera quaedam reliqua (Глазго, 1776 г.), безусловно, лучшая попытка.
De Tactionibus охватил общую проблему: число три вещи (точки, прямые линии или круги) в позиции, описать круг, проходящий через заданные точки и касающийся заданных прямых линий или окружностей. Самый исторически интересный случай, когда возникают эти данные три данные сложны круги. В 16 веке Виета представил эту проблему (иногда известную как проблему Аполлона) Адриану Романусу, который решил ее с помощью гиперболы. Вслед за этим Виета произошло более простое решение, которое привело его к восстановлению всего трактата Аполлония в небольшом труде «Аполлоний Галл» (Париж, 1600). История проблемы подробно исследуется в предисловии к краткой статье Apollonii Pergaei quae supersunt, ac maxime Lemmata Pappi in hos Libras, cum Observationibus и т. Д. Д. Д. (Гота, 1795, 8vo).
Целью De Inclinationibus было показано, как прямая линия заданной длины, стремящаяся к заданной точке, может быть вставлена между двумя заданными (прямыми или круговыми) линиями. Хотя Марин Гетальдич и (Геометрический анализ, Кадис, 1698) пытались реставрировать, лучший из них - Самуэль Хорсли (1770).
De Locis Planis - это набор предложений, относящихся к локусам, которые являются прямыми линиями или кругами. Папп подробно излагает свои предложения, этот текст также видел восстановить его, не только П. Ферма (Oeuvres, I., 1891, стр. 3–51) и Ф. Schooten (Лейден, 1656), но также, что наиболее успешно, Р. Симсон (Глазго, 1749).
Древние писатели упоминаются на другие сочинения Аполлония, которые более не сохранились:
Страницы из арабского перевода Коников 9-го века 
издание Коники 1654 года Аполлония под редакцией Франческо Маволико Первопечатные издания начались в большей части 16 века. В то время ожидалось, что научные книги будут на латыни, сегодняшнего Новой латыни. Время рукописей на латыни почти не было, редакторы старопечатных произведений переводили с греческого или арабского на латынь. Греческий и латинский языки обычно сопоставляли, но только греческий является оригинальным, иначе редактор восстановил то, что он считал оригиналом. Критические аппараты были на латыни. Однако древние комментарии были на древнегреческом или средневековом. Только в 18-19 веках начали появляться современные языки. Ниже представлен репрезентативный список старопечатных изданий. Оригиналы этих изданий редки и дороги. Для современных изданий на современных языках смотрите ссылки.
Ему приписывается эквивалентность описаний движений планет, одно с использованием эксцентриков, а также других отклоняющихся и эпициклов. Птолемей эту эквивалентность как теорему Аполлония в Альмагесте XII.1.
Согласно Хиту, «Методы Аполлония» не были его и не были личными. Какое бы влияние он ни оказал на более поздних теоретиков, было влияние собственной геометрии, а не его новаторства в технике. Хит говорит:
«В качестве предварительной подготовки к подробному рассмотрению методов, используемых в кониках, можно в целом заявить, что они неуклонно следуют принятым принципам геометрического исследования, которые нашли свое окончательное выражение в элементах Евклида».
Что касается современников, говорящих о геометрах золотого века, термин «метод» означает, в частности, визуальный, способ реконструкции, геометр неосознанно дает тот же результат, что и алгебраический метод, используемый сегодня. В качестве примера примера алгебра находит площадь квадрата, возводя его в квадрат. Геометрический метод достижения того же результата - построение визуального квадрата. Геометрические методы в золотой век дать большинству результатов измерений алгебры.
Визуальная форма теоремы Пифагора, как ее видели древние греки. Синий квадрат представляет собой сумму двух других квадратов. Хит продолжает использовать термин геометрическая алгебра для обозначения методов всего золотого века. По его словам, этот термин назван «правильно». Сегодня этот термин был возрожден для использования в других смыслах (см. Раздел геометрическая алгебра ). Хит использовал его, как это было определено Генри Берчардом Файном в 1890 году или ранее. Файн применяет его к La Géométrie из Рене Декарта, первой полноценной работе аналитической геометрии. Устанавливается в качестве предварительного условия, «алгебры формально идентичные, две основные операции формально одинаковы», Файн говорит, что работа Декарта «не... просто числовая алгебра, но то, что из-за отсутствия названия может быть названо алгеброй отрезки. линии. Его символика такая же, как и у числовой алгебры;.... ”
Например, в Аполлонии отрезок AB (линия между точками A и B) также является числовой длиной отрезка. Он может иметь любую длину. Следовательно, AB становится тем же, что и алгебраическая переменная, например x (неизвестное), которой может быть присвоено любое значение; например, x = 3.
Переменные точки в Аполлонии с помощью таких словесных выражений, как «пусть AB будет расстоянием от любой точки на сечении до диаметра», практика, которая продолжается в алгебре сегодня. Каждый студент, изучающий основы алгебры, должен научиться преобразовывать «словесные задачи» в алгебраические переменные и уравнения, к которым применяются правила алгебры при решении относительно x. У Аполлония таких правил не было. Его решения геометрические.
Отношения, которые трудно поддаются графическим решениям, были ему недоступны; тем не менее, его репертуар живописных решений возникает из менее сложных геометрических решений, которые сегодня обычно не известны (или не требуются). Одним из хорошо известных исключений является обязательная теорема Пифагора, которая даже сейчас представляет собой треугольным треугольником с квадратами на его сторонах, иллюстрирующих такое выражение, как a + b = c. Греческие геометры называли эти термины «квадратом на AB» и т. Д. Точно так же площадь прямоугольника, образованного AB и CD, была «прямоугольником на AB и CD».
Эти концепции дали греческим геометрамраический доступ линейным функциям и квадратичная функциям, которые являются коническими сечениями. Они содержат степени 1 или 2 соответственно. Аполлоний не особо использовал кубы (представленные в твердой геометрии ), хотя конус - это твердое тело. Его интересовали конические сечения, которые предоставляют собой плоские фигуры. Степени 4 и выше были недоступны для визуализации, требуя некоторой степени абстракции, недоступной в геометрии, но готовой в алгебре.
Декартова система координат, стандартная в аналитической геометрии Все измерения длины в общедоступных единицах типа дюйммы, с использованием стандартных общедоступных устройств, таких как линейка, подразумевают общедоступные распознавание декартовой сетки ; то есть поверхность, разделенная на единичные квадраты, например один квадратный дюйм, и пространство, разделенное на единичные кубы, например, один кубический дюйм. древнегреческие единицы измерения давали такую сетку греческим математикам еще с бронзового века. До Аполлония Менахм и Архимед уже начали размещать свои фигуры в подразумеваемом окне общей сетки, предполагаемые на расстояниях, которые предполагалось, должны измеряться от левой вертикальной линии, обозначающей точку нижний такт и нижнюю горизонтальная линия, обозначающая нижний такт, направления прямолинейны или перпендикулярны друг другу. Эти края окна становятся в декартовой системы координат осями. Один определить прямолинейные расстояния любой точки от осей как координаты. У древних греков такой договоренности не было. Они просто применялись на расстоянии.
У Аполлония действительно есть стандартное, которое он помещает свои фигуры. Вертикальное измерение от горизонтальной линии, которую он называет «диаметром». В греческом это слово такое же, как и в английском, но греческий язык несколько шире в своем понимании. Если фигура конического сечения разрезана сеткой параллельных линий, диаметр делит пополам все линейные сегменты, включенные между ветвями фигуры. Он должен проходить через макушку (коруфе, «корона»). Таким образом, диаметр включает открытые фигуры, такие как парабола, а также замкнутые фигуры, такие как круг. Нет никаких указаний на то, что диаметр должен быть перпендикулярен параллельным линиям, но Аполлоний использует только прямолинейные.
Прямолинейное расстояние от точки сечения до диаметра на греческом языке называется тетагменос, просто «протяженный». Оно всегда расширяется только «вниз» (ката-) или «вверх» (ана-), переводчики интерпретируют его как ордината. В этом случае диаметр становится осью x, а вершина - начало координат. Затем ось y становится касательной к кривой в вершине. Абсцисса затем определяется как отрезок диаметра между ординатой и вершиной.
Используя свою версию системы координат, Аполлонию удалось представить в форме формы геометрические уравнения для конических сечений, что поднимает вопрос, можно ли считать его систему координат декартовой. Есть некоторые отличия. Декартова система должна рассматриваться как универсальная, охватывающая все цифры во всем пространстве до того, как будут выполнены какие-либо вычисления. Он состоит из четырех квадрантов, разделенных двумя скрещенными осями. Три квадранта включают отрицательные координаты, означающие направления, противоположные исходным осям нуля.
Аполлоний не имеет отрицательных чисел, не имеет явно нулевого числа и не развивает систему независимо от конических сечений. Он работает по существу только в квадранте 1, все положительные координаты. Карл Бойер, современный историк математики, поэтому говорит:
«греческая геометрическая алгебра не предусматривает отрицательных величин; более того, система координат в каждом случае накладывалась апостериорная на кривую, чтобы изучить ее свойства... Аполлоний, величайший геометр древности, не смог продемонстрировать аналитическую геометрию... ''
Никто отрицает, однако, что Аполлоний занимает некую промежуточную нишу между сеточной системой измерений и разработанной декартовой системы координат аналитической геометрии. Читая Аполлония, нужно стараться не принимать его термины в современном значении.
Аполлоний использует «Теорию пропорций», как она выражена в Евклиде Elements, Книги 5 и 6. Разработано Согласно Евдоксу Книдскому, эта теория занимает промежуточное положение между чисто графическими методами и современной теорией чисел. Отсутствует стандартная десятичная система счисления, как и стандартная обработка дробей. Утверждения, однако, выражают на словах правила манипулирования дробями в арифметике. Хит предлагает использовать их вместо умножения и деления.
Под термином «величина» Евдокс надеялся выйти за рамки чисел и перейти к общему пониманию размера, значение, которое оно все еще осталось. Что касается фигур Евклида, это чаще всего означает число, что и было подходом Пифагора. Пифагор ал, что Вселенная может быть охарактеризована количествами, что стало современной догмой. Книга V Евклида начинается с утверждения, что величина (мегетос, «размер») должна делиться поровну на единицу (мерос, «часть»). Таким образом, величина кратна Они не обязательно должны быть стандартными единицами измерения, такими как метры или футы. Один блок может быть любым обозначенным отрезком линии.
Далее следует, пожалуй, самое полезное фундаментальное определение, когда-либо придуманное в науке: соотношение (греч. logos, что примерно означает «объяснение») - это утверждение относительной величины. Даны две величины, скажем, отрезков AB и CD. отношение AB к CD, где CD считаетсяей, нет CD в AB; например, 3 части из 4 или 60 частей на миллион, где ppm по-прежнему использует терминологию «частей». Отношение используется современной дроби, которая также по-прежнему означает «часть» или «фрагмент» от того же латинского корня, что и «перелом». Отношение используется математического предсказания в логической структуре, называемой «пропорцией» (греч. Аналог). Пропорция утверждает, что если два сегмента, AB и CD, имеют такое же соотношение, как два других, EF и GH, тогда AB и CD пропорциональны EF и GH, или, как было бы сказано в Евклиде, AB относится к CD как EF. для GH.
Алгебра сводит это общее понятие к выражению AB / CD = EF / GH. Учитывая любые три члена, можно вычислить четвертое как неизвестное. Преобразуя приведенное выше уравнение, получаем AB = (CD / GH) • EF, в котором известно выраженное как y = kx, CD / GH как «константа пропорциональности». Грекам было несложно брать кратные (греч. Pollaplasiein), вероятным путем последовательного сложения.
Аполлоний использует отношения почти исключительно линейных сегментов и площадей, обозначенных квадратами и прямоугольниками. Переводчики обязались использовать обозначение двоеточия, введенное Готфридом Вильгельмом Лейбницем в Acta Eruditorum, 1684. Вот пример из Conics, Книга I, по предложению 11:
тер Аполлоний на Луна назван в его честь.
В эту статью включен текст из публикации, которая сейчас находится в общественном достоянии : Heath, Thomas Little (1911). «Аполлоний Пергский ». В Чисхолме, Хью (ред.). Encyclopædia Britannica. 2(11-е изд.). Издательство Кембриджского университета. С. 186–188. | На Wikimedia Commons есть материалы, связанные с Аполлонием Пергским. |
Многие популярные сайты по истории математики, ссылки на которые приведены ниже, содержат ссылки или анализируют концепции, приписываемые Аполлоний в современных обозначениях и представлениях. Поскольку большая часть Аполлония подлежит интерпретации, и он сам по себе не использует современный словарь или концепции, приведенный ниже анализ может быть неоптимальным или точным. Они представляют собой исторические теории своих авторов.
