Математические финансы, также известные как количественные финансы и финансовая математика, являются областью прикладной математики, связанной с математическим моделированием финансовых рынков. См. Количественный аналитик.
В общем, существует две отдельных ветвей финансов, которые требуют передовых количественных метод: производные ценообразования, с одной стороны, и оценкой риски и портфельного управления на другом. Математические финансы сильно пересекаются с областями вычислительных финансов и финансового инжиниринга. Последний фокусируется на приложениях и моделировании, часто с помощью стохастических моделей активов, тогда как первый фокусируется, помимо анализа, на создании инструментов реализации для моделей. Также с этим связано количественное инвестирование, которое опирается на статистические и числовые модели (а в последнее время и на машинное обучение ) в отличие от традиционных. фундаментальный анализ при управлении портфелями ; см. также Алгоритмический трейдинг.
Французский математик Луи Башелье считается автором первой научной работы по математическим финансам, опубликованной в 1900 году. Но математические финансы возникли как дисциплина в 1970-х годах после работ Фишера Блэка, Майрона Скоулза и Роберта Мертона по теории ценообразования опционов. Математическое инвестирование возникло из исследования математика Эдварда Торпа, который сначала использовал статистические методы, чтобы изобрести карточный счет в блэкджеке, а затем применил его принципы к современному систематическому инвестированию.
Предмет тесно связан с дисциплиной финансовой экономики, которая связана со значительной частью теории, лежащей в основе финансовой математики. Как правило, математические финансы выводят и расширяют математические или числовые модели без необходимости установления связи с финансовой теорией, принимая в качестве исходных данных наблюдаемые рыночные цены. Требуется математическая последовательность, а не совместимость с экономической теорией. Так, например, в то время как финансовый экономист может изучить структурные причины, почему компании может иметь определенную цену акций, финансовый математик может взять цену акций как данность и попытаться использовать стохастическое исчисление, чтобы получить соответствующее значение производных от запас. См.: Оценка опционов ; Финансовое моделирование ; Стоимость активов. Фундаментальная теорема безарбитражных ценообразования является одним из ключевых теорем финансовой математики, а Блэка-Шоулза уравнение и формула являются одними из ключевых результатов.
Сегодня многие университеты предлагают ученую степень и исследовательские программы в области математических финансов.
Существуют две отдельные области финансов, которые требуют передовых количественных методов: ценообразование деривативов и управление рисками и портфелем. Одно из основных различий заключается в том, что они используют разные вероятности, такие как вероятность нейтрального риска (или вероятность арбитражного ценообразования), обозначенная «Q», и фактическая (или актуарная) вероятность, обозначенная «P».
Цель | "экстраполировать настоящее" |
Среда | нейтральная к риску вероятность |
Процессы | мартингалы в непрерывном времени |
Измерение | низкий |
Инструменты | Itō исчисление, PDE |
Вызовы | калибровка |
Бизнес | сторона продажи |
Целью ценообразования производных финансовых инструментов является определение справедливой цены данной ценной бумаги с точки зрения более ликвидных ценных бумаг, цена которых определяется законом спроса и предложения. Значение слова «справедливая», конечно, зависит от того, рассматривать ли вы покупку или продажу ценной бумаги. Примерами оцениваемых ценных бумаг являются обычные и экзотические опционы, конвертируемые облигации и т. Д.
Как только справедливая цена определена, продавец может торговать по ценной бумаге. Следовательно, ценообразование деривативов - это сложная процедура «экстраполяции» для определения текущей рыночной стоимости ценной бумаги, которая затем используется сообществом продавцов. Количественное ценообразование деривативов было инициировано Луи Башелье в книге «Теория спекуляции» (« Теория спекуляции », опубликована в 1900 году) с введением самых основных и наиболее влиятельных процессов, броуновского движения и его приложений к ценообразованию опционов.. Броуновское движение выводится с помощью уравнения Ланжевена и дискретного случайного блуждания. Башелье смоделировал временной ряд изменений логарифма цен акций как случайное блуждание, в котором краткосрочные изменения имели конечную дисперсию. Это заставляет долгосрочные изменения следовать гауссовскому распределению.
Теория оставалась бездействующей до тех пор, пока Фишер Блэк и Майрон Скоулз, наряду с фундаментальным вкладом Роберта К. Мертона, не применили второй по значимости процесс, геометрическое броуновское движение, к ценообразованию опционов. За это М. Скоулз и Р. Мертон были удостоены Нобелевской премии по экономическим наукам 1997 года. Блэк не имел права на получение приза из-за своей смерти в 1995 году.
Следующим важным шагом была фундаментальная теорема ценообразования активов Харрисона и Плиски (1981), согласно которой подходящим образом нормализованная текущая цена P 0 ценной бумаги не имеет арбитража и, таким образом, действительно справедлива, только если существует стохастический процесс P t с постоянным ожидаемым значением, которое описывает его дальнейшее развитие:
| ( 1) |
Процесс, удовлетворяющий ( 1), называется « мартингалом ». Мартингейл не вознаграждает за риск. Таким образом, вероятность процесса нормализованной цены ценной бумаги называется «нейтральной по отношению к риску» и обычно обозначается буквой « » шрифта на доске.
Соотношение ( 1) должно выполняться для всех времен t: поэтому процессы, используемые для ценообразования производных финансовых инструментов, естественным образом устанавливаются в непрерывное время.
В кванты, которые работают в Q мире производных ценообразования являются специалистами с глубоким знанием конкретных продуктов, которые они моделируют.
Ценные бумаги оцениваются индивидуально, и поэтому проблемы в мире Q имеют незначительный характер. Калибровка - одна из основных проблем в мире Q: после того, как параметрический процесс с непрерывным временем был откалиброван для набора торгуемых ценных бумаг с помощью отношения, такого как ( 1), аналогичное отношение используется для определения цены новых производных финансовых инструментов.
Основными количественными инструментами, необходимыми для обработки Q-процессов в непрерывном времени, являются стохастическое исчисление Ито, моделирование и уравнения в частных производных (PDE).
Цель | "моделировать будущее" |
Среда | реальная вероятность |
Процессы | дискретный временной ряд |
Измерение | большой |
Инструменты | многомерная статистика |
Вызовы | предварительный расчет |
Бизнес | сторона покупателя |
Управление рисками и портфелем направлено на моделирование статистически полученного распределения вероятностей рыночных цен всех ценных бумаг на заданном горизонте будущих инвестиций. Это «реальное» распределение вероятностей рыночных цен обычно обозначается буквой « » шрифта на доске, в отличие от «нейтральной к риску» вероятности « », используемой при ценообразовании деривативов. На основе распределения P покупатель принимает решения о том, какие ценные бумаги покупать, чтобы улучшить предполагаемый профиль прибылей и убытков своих позиций, рассматриваемых как портфель. Все чаще элементы этого процесса автоматизируются; см. Краткое изложение финансов § Количественное инвестирование для получения списка соответствующих статей.
За свою новаторскую работу Марковиц и Шарп вместе с Мертоном Миллером разделили Нобелевскую мемориальную премию по экономическим наукам 1990 года, впервые присужденную за работу в области финансов.
Работа Марковица и Шарпа по отбору портфелей познакомила математику с управлением инвестициями. Со временем математика стала более сложной. Благодаря Роберту Мертону и Полу Самуэльсону однопериодные модели были заменены непрерывным временем, моделями броуновского движения, а квадратичная функция полезности, неявная в оптимизации среднего – дисперсионного, была заменена более общими возрастающими вогнутыми функциями полезности. Более того, в последние годы акцент сместился на оценку риска, то есть на опасность ошибочного предположения, что только расширенный анализ временных рядов может обеспечить полностью точные оценки параметров рынка.
Много усилий было потрачено на изучение финансовых рынков и того, как цены меняются со временем. Чарльз Доу, один из основателей компаний Dow Jones amp; Company и The Wall Street Journal, сформулировал ряд идей по этому вопросу, которые теперь называются теорией Доу. Это основа так называемого метода технического анализа, который пытается предсказать будущие изменения. Один из принципов «технического анализа» состоит в том, что рыночные тенденции указывают на будущее, по крайней мере, в краткосрочной перспективе. Утверждения технических аналитиков оспариваются многими учеными.
С годами были разработаны все более сложные математические модели и стратегии ценообразования производных финансовых инструментов, но их доверие было подорвано финансовым кризисом 2007–2010 годов. Современная практика математических финансов подвергалась критике со стороны деятелей в этой области, особенно со стороны Пола Уилмотта и Нассима Николаса Талеба в его книге «Черный лебедь». Талеб утверждает, что цены на финансовые активы не могут быть охарактеризованы с помощью простых моделей, используемых в настоящее время, что делает большую часть текущей практики в лучшем случае неактуальной, а в худшем - опасно вводящей в заблуждение. В январе 2009 года Уилмотт и Эмануэль Дерман опубликовали «Манифест разработчиков финансовых моделей», в котором рассматриваются некоторые из наиболее серьезных проблем. Такие организации, как Институт нового экономического мышления, сейчас пытаются разработать новые теории и методы.
В общем, моделирование изменений с помощью распределений с конечной дисперсией все чаще считается неуместным. В 1960-х Бенуа Мандельброт обнаружил, что изменения цен не следуют гауссовскому распределению, а лучше моделируются альфа- стабильными распределениями Леви. Масштаб изменения или волатильности зависит от продолжительности временного интервала в степени немного больше 1/2. Значительные изменения вверх или вниз более вероятны, чем то, что можно было бы вычислить с использованием распределения Гаусса с предполагаемым стандартным отклонением. Но проблема в том, что это не решает проблему, поскольку значительно усложняет параметризацию и снижает надежность управления рисками.