Войти
В математике, полилинейная алгебра расширяет методы линейной алгебры. Подобно тому, как линейная алгебра построена на концепции вектора и развивает теорию векторных пространств, полилинейная алгебра основывается на понятиях p -векторов и мультивекторов с алгебрами Грассмана.
В векторном пространстве размерности n обычно рассматриваются только векторы. Согласно Герману Грассманну и другим, это предположение упускает из виду сложность рассмотрения структур пар, троек и общих мультивекторов. Поскольку существует несколько комбинаторных возможностей, оказывается, что пространство мультивекторов имеет 2 n измерений. Абстрактная формулировка определителя является наиболее непосредственным применением. Полилинейная алгебра также находит применение в механическом исследовании реакции материалов на напряжения и деформации с различными модулями упругости. Эта практическая ссылка привела к использованию слова тензор для описания элементов полилинейного пространства. Дополнительная структура в полилинейном пространстве привела к тому, что оно играет важную роль в различных исследованиях по высшей математике. Хотя Грассманн начал эту тему в 1844 году со своей книги «Ausdehnungslehre» и переиздан в 1862 году, его работа медленно нашла признание, поскольку обычная линейная алгебра давала достаточно проблем для понимания.
Тема полилинейной алгебры применяется в некоторых исследованиях многомерного исчисления и многообразий, где используется матрица Якоби. В бесконечно малых дифференциалов одной переменной исчисления становятся дифференциальные формы в многомерном исчислении, и их обработка осуществляется с помощью внешней алгебры.
После Грассмана разработки в области полилинейной алгебры были сделаны в 1872 году Виктором Шлегелем, когда он опубликовал первую часть своей System der Raumlehre, и Элвином Бруно Кристоффелем. Большой прогресс в полилинейной алгебре произошел в работах Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивита (см. Ссылки). Это была форма абсолютного дифференциального исчисления полилинейной алгебры, которую Марсель Гроссманн и Мишель Бессо представили Альберту Эйнштейну. Публикация Эйнштейном в 1915 году общей теории относительности, объясняющей прецессию перигелия Меркурия, сделала полилинейную алгебру и тензоры физически важной математикой.
Примерно в середине 20 века изучение тензоров было переформулировано более абстрактно. В Бурбаках трактат группы Полилинейная Алгебра особенно влиятелен в самом деле термин полилинейная алгебра, возможно, возникла там.
Одной из причин в то время была новая область применения - гомологическая алгебра. Развитие алгебраической топологии в 1940-х годах дало дополнительный стимул к развитию чисто алгебраической трактовки тензорного произведения. Вычисление групп гомологии в продукте двух топологических пространств включает тензорное произведение; но только в простейших случаях, таких как тор, он вычисляется таким образом напрямую (см. теорему Кюннета ). Топологические явления были достаточно тонкими, чтобы требовать более основательных концепций; технически говоря, необходимо было определить функторы Tor.
Материал, который нужно было систематизировать, был довольно обширным, включая идеи, восходящие к Герману Грассману, идеи теории дифференциальных форм, которые привели к когомологиям де Рама, а также более элементарные идеи, такие как произведение клина, которое обобщает перекрестное произведение.
В результате довольно суровое изложение темы Бурбаки полностью отвергло один подход в векторном исчислении ( кватернионный путь, то есть, в общем случае, связь с группами Ли ), и вместо этого применил новый подход с использованием теории категорий., при этом групповой подход Ли рассматривается как отдельный вопрос. Поскольку это приводит к гораздо более чистому обращению, вероятно, не было возврата назад в чисто математических терминах. (Строго говоря, был задействован подход универсального свойства ; он несколько более общий, чем теория категорий, и в то же время выяснялась взаимосвязь между ними как альтернативными способами.)
В самом деле, то, что было сделано, почти точно объясняет, что тензорные пространства - это конструкции, необходимые для сведения полилинейных задач к линейным задачам. Эта чисто алгебраическая атака не дает геометрической интуиции.
Переформулируя проблемы в терминах полилинейной алгебры, мы получаем ясное и четко определенное «лучшее решение»: ограничения, которые налагает решение, являются именно теми, которые необходимы на практике. В общем, нет необходимости использовать какие-либо специальные конструкции, геометрические идеи или прибегать к системам координат. На теоретико-категориальном жаргоне все совершенно естественно.
В принципе, абстрактный подход может восстановить все, что было сделано традиционным подходом. На практике это может показаться не таким простым. С другой стороны, понятие естественности согласуется с общим принципом ковариантности общей теории относительности. Последний имеет дело с тензорными полями (тензорами, меняющимися от точки к точке на многообразии ), но ковариантность утверждает, что язык тензоров существенен для правильной формулировки общей теории относительности.
Несколько десятилетий спустя довольно абстрактный взгляд, исходящий из теории категорий, был связан с подходом, разработанным в 1930-х годах Германом Вейлем (работая через общую теорию относительности с помощью абстрактного тензорного анализа, а также в его книге «Классические группы»). В некотором смысле это замкнуло полный круг теории, еще раз соединив содержание старых и новых точек зрения.
Тематика полилинейной алгебры за эти годы изменилась меньше, чем ее изложение. Вот и другие страницы, относящиеся к нему в центре:
Есть также словарь тензорной теории.
Некоторые способы применения концепций полилинейной алгебры:
