Цилиндр

редактировать

Пустая консервная банка

A цилиндр (от греч. κύλινδρος - кулиндрос, «ролик», "тумблер") традиционно представлял собой трехмерное твердое тело, одну из самых основных криволинейных геометрических форм. Это идеализированная версия твердой физической жестяной банки с крышками сверху и снизу.

Этот традиционный вид все еще используется в элементарных трактовках геометрии, но продвинутая математическая точка зрения сместилась на бесконечную криволинейную поверхность, и именно так теперь выглядит цилиндр. определены в различных современных областях геометрии и топологии.

Изменение основного значения (твердое тело по сравнению с поверхностью) создало некоторую двусмысленность с терминологией. Обычно есть надежда, что контекст проясняет смысл. Обе точки зрения обычно представлены и различаются, ссылаясь на твердые цилиндры и цилиндрические поверхности, но в литературе неприукрашенный термин цилиндр может относиться к любому из них или даже к более специализированному объекту, правильному круговому цилиндру.

Содержание

1 Типы
- 1.1 Правые круглые цилиндры
2 Свойства
- 2.1 Цилиндрические секции
- 2.2 Объем
- 2.3 Площадь поверхности
- 2.4 Правый полый круговой цилиндр (цилиндрическая оболочка)
- 2.5 На сфере и цилиндре
3 Цилиндрические поверхности
4 Проективная геометрия
5 Призмы
6 См. Также
7 Примечания
8 Ссылки
9 Внешние ссылки

Типы

Определения и результаты в этом разделе взяты из текста 1913 года «Плоская и сплошная геометрия» Джорджа Вентворта и Дэвида Юджина Смита (Wentworth Smith 1913).

A цилиндрическая поверхность- это поверхность, состоящая из всех точек на всех прямых, которые параллельны данной линии и которые проходят через фиксированную плоскую кривую . в плоскости, не параллельной заданной линии. Любая линия в этом семействе параллельных линий называется элементом цилиндрической поверхности. С точки зрения кинематики , если задана плоская кривая, называемая директрисой, цилиндрическая поверхность - это поверхность, очерченная линией, называемой образующей, а не в плоскости директрисы, движущейся параллельно самой себе. и всегда проходя через директрису. Любое конкретное положение образующей является элементом цилиндрической поверхности.

Правый и наклонный круговой цилиндр

A твердое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, называется (твердым) цилиндром. Отрезки линии, определяемые элементом цилиндрической поверхности между двумя параллельными плоскостями, называются элементом цилиндра. Все элементы цилиндра имеют одинаковую длину. Область, ограниченная цилиндрической поверхностью в любой из параллельных плоскостей, называется основаниемцилиндра. Два основания цилиндра - это конгруэнтные фигуры. Если элементы цилиндра перпендикулярны плоскостям, содержащим основания, цилиндр является правым цилиндром, в противном случае он называется наклонным цилиндром. Если основаниями являются диски (области, граница которых представляет собой круг ), цилиндр называется круговым цилиндром. В некоторых элементарных трактовках цилиндр всегда означает круговой цилиндр.

Высота (или высота) цилиндра - это перпендикулярное расстояние между его основаниями.

Цилиндр, полученный вращением отрезка линии вокруг фиксированной линии, параллельной которой он является, является цилиндром вращения. Цилиндр вращения - это правильный круговой цилиндр. Высота цилиндра вращения - это длина сегмента образующей. Линия, вокруг которой вращается сегмент, называется осью цилиндра и проходит через центры двух оснований.

Правый круговой цилиндр с радиусом r и высотой h

Правые круговые цилиндры

Термин цилиндр часто относится к сплошному цилиндру с круговыми концами, перпендикулярными оси, то есть к правильному круговому цилиндру, как показано на рисунке. Цилиндрическая поверхность без концов называется открытым цилиндром. Формулы для площади и объема прямоугольного кругового цилиндра были известны с ранней древности.

Правый круговой цилиндр можно также рассматривать как тело вращения, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Эти цилиндры используются в технике интеграции («дисковый метод») для получения объемов тел вращения.

Свойства

Цилиндрические секции

Цилиндрические секции - это пересечение поверхности цилиндра с плоскостью . В общем, это кривые и особые типы плоских сечений . Цилиндрическое сечение плоскостью, содержащей два элемента цилиндра, представляет собой параллелограмм . Такое цилиндрическое сечение правого цилиндра представляет собой прямоугольник.

Цилиндрическое сечение, в котором пересекающаяся плоскость пересекается и перпендикулярна всем элементам цилиндра, называется правым сечением. Если правая часть цилиндра представляет собой круг, то цилиндр - это круговой цилиндр. В более общем смысле, если правое сечение цилиндра представляет собой коническое сечение (парабола, эллипс, гипербола), то твердый цилиндр называется параболическим, эллиптическим и гиперболическим соответственно.

Цилиндрические сечения правого кругового цилиндра

Для прямого кругового цилиндра существует несколько способов пересечения плоскостей с цилиндром. Во-первых, плоскости, которые пересекают основание не более чем в одной точке. Плоскость касается цилиндра, если она встречается с цилиндром в единственном элементе. Правые секции представляют собой окружности, а все остальные плоскости пересекают цилиндрическую поверхность в виде эллипса. Если плоскость пересекает основание цилиндра ровно в двух точках, то отрезок, соединяющий эти точки, является частью цилиндрического сечения. Если такая плоскость содержит два элемента, она имеет прямоугольник как цилиндрическую секцию, в противном случае стороны цилиндрической секции являются частями эллипса. Наконец, если плоскость содержит более двух точек основания, она содержит всю основу, а цилиндрическое сечение представляет собой окружность.

В случае правильного кругового цилиндра с цилиндрическим сечением, которое является эллипсом, эксцентриситет e цилиндрического сечения и большая полуось a цилиндрическое сечение зависит от радиуса цилиндра r и угла α между секущей плоскостью и осью цилиндра следующим образом:

e = cos ⁡ α, {\ displaystyle e = \ cos \ alpha,}

{ \ Displaystyle е = \ cos \ alpha,}

а = г sin ⁡ α. {\ displaystyle a = {\ frac {r} {\ sin \ alpha}}.}

{\ displaystyle a = {\ frac {r} {\ sin \ alpha}}.}

Объем

Если основание кругового цилиндра имеет радиус r и цилиндр имеет высоту h, то его объем определяется как

V = πrh.

Эта формула верна независимо от того, является ли цилиндр правильным цилиндром.

Эта формула может быть установлена с использованием принципа Кавальери.

Твердый эллиптический цилиндр с полуосями a и b для базового эллипса и высотой h

В более общем смысле, по тому же принципу, объем любого цилиндра является произведением площадь основания и высота. Например, эллиптический цилиндр с основанием, имеющим большую полуось a, малую полуось b и высоту h, имеет объем V = Ah, где A - площадь базового эллипса (= πab). Этот результат для правых эллиптических цилиндров также может быть получен интегрированием, где ось цилиндра берется как положительная ось x, а A (x) = A - площадь каждого эллиптического поперечного сечения, таким образом:

V = 0 h A (x) dx = ∫ 0 h π abdx = π ab ∫ 0 hdx = π abh. {\ Displaystyle V = \ int _ {0} ^ {h} A (x) dx = \ int _ {0} ^ {h} \ pi abdx = \ pi ab \ int _ {0} ^ {h} dx = \ pi abh.}

{\ displaystyle V = \ int _ {0} ^ {h} A (x) dx = \ int _ {0} ^ {h} \ pi abdx = \ pi ab \ int _ {0} ^ {h} dx = \ pi abh.}

Используя цилиндрические координаты, объем правого кругового цилиндра может быть вычислен путем интегрирования по

= ∫ 0 h ∫ 0 2 π ∫ 0 rsdsd ϕ dz {\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {h} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {r} s \, \, ds \, d \ phi \, dz}

= \ int_ {0} ^ {h} \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ int_ {0} ^ {r} s \, \, ds \, d \ phi \, dz

= π r 2 h. {\ displaystyle = \ pi \, r ^ {2} \, h.}

{\ displaystyle = \ pi \, r ^ {2} \, h.}

Площадь поверхности

Имея радиус r и высоту (высоту) h, площадь поверхности Правый круговой цилиндр, ориентированный так, чтобы его ось была вертикальна, состоит из трех частей:

площадь верхнего основания: πr
площадь нижнего основания: πr
площадь стороны: 2πrh

Площадь верхнего и нижнего оснований одинакова и называется базой, B. Площадь стороны известна как боковая область, L.

Открытый цилиндр не включает ни верхних, ни нижних элементов и, следовательно, имеет площадь поверхности (боковую площадь)

L = 2πrh.

Площадь поверхности сплошного правого кругового цилиндра складывается из суммы всех трех компонентов: верхней, нижней и боковой. Следовательно, его площадь поверхности равна

A = L + 2B = 2πrh + 2πr = 2πr (h + r) = πd (r + h),

, где d = 2r - диаметр круглый верх или низ.

Для данного объема правый круговой цилиндр с наименьшей площадью поверхности имеет h = 2r. Эквивалентно, для данной площади поверхности правый круговой цилиндр с наибольшим объемом имеет h = 2r, то есть цилиндр плотно входит в куб со стороной, равной высоте (= диаметру основной окружности).

Боковая площадь L кругового цилиндра, который не обязательно должен быть прямым цилиндром, в более общем случае определяется следующим образом:

L = e × p,

где e - длина элемента, а p - периметр. правого сечения цилиндра. Это дает предыдущую формулу для поперечной площади, когда цилиндр является правильным круговым цилиндром.

Полый цилиндр

Правый круговой полый цилиндр (цилиндрическая оболочка)

Правый круговой полый цилиндр (или цилиндрическая оболочка) - это трехмерная область, ограниченная двумя правильными круговыми цилиндрами имеющий одну и ту же ось и два параллельных кольцевых основания, перпендикулярных общей оси цилиндров, как на схеме.

Пусть высота равна h, внутренний радиус r и внешний радиус R. Объем определяется как

V = π (R 2 - r 2) h = 2 π (R + r 2) h (R - r). {\ displaystyle V = \ pi (R ^ {2} -r ^ {2}) h = 2 \ pi \ left ({\ frac {R + r} {2}} \ right) h (Rr).}

{\ displaystyle V = \ pi (R ^ {2} -r ^ {2}) h = 2 \ pi \ left ({\ frac {R + r} {2}} \ right) h (Rr).}

Таким образом, объем цилиндрической оболочки равен 2π (средний радиус) (высота) (толщина).

Площадь поверхности, включая верх и низ, определяется как

A = 2 π ( R + r) h + 2 π (R 2 - r 2). {\ displaystyle A = 2 \ pi (R + r) h + 2 \ pi (R ^ {2} -r ^ {2}).}

{\ displaystyle A = 2 \ pi (R + r) h + 2 \ pi (R ^ {2} -r ^ {2}). }

Цилиндрические оболочки используются в обычном методе интегрирования для определения объемов твердых тел. вращения.

О сфере и цилиндре

Сфера имеет 2/3 объема и площади поверхности ее описывающего цилиндра, включая его основания

В трактате под этим названием написано c. 225 г. до н. Э., Архимед получил результат, которым он больше всего гордился, а именно получение формул для объема и площади поверхности сферы, используя взаимосвязь между сферой и ее описанный правый круговой цилиндр такой же высоты и диаметра. Сфера имеет объем, составляющий две трети объема описанного цилиндра, и площадь поверхности, равную 2/3 площади цилиндра (включая основания). Поскольку значения для цилиндра были уже известны, он впервые получил соответствующие значения для сферы. Объем сферы радиуса r равен 4 / 3πr = 2/3 (2πr). Площадь поверхности этой сферы 4πr = 2/3 (6πr). Скульптурная сфера и цилиндр были помещены на могилу Архимеда по его просьбе.

Цилиндрические поверхности

В некоторых областях геометрии и топологии термин цилиндр относится к тому, что было названо цилиндрической поверхностью. Цилиндр определяется как поверхность, состоящая из всех точек на всех прямых, которые параллельны данной прямой и которые проходят через фиксированную плоскую кривую в плоскости, не параллельной данной прямой. Такие цилиндры иногда упоминаются как обобщенные цилиндры. Через каждую точку обобщенного цилиндра проходит уникальная линия, содержащаяся в цилиндре. Таким образом, это определение можно перефразировать, чтобы сказать, что цилиндр - это любая линейчатая поверхность, натянутая на однопараметрическое семейство параллельных линий.

Цилиндр, имеющий правое сечение, представляющий собой эллипс, парабола или гипербола, называется эллиптическим цилиндром, параболическим цилиндром и гиперболическим цилиндром. соответственно. Это вырожденные поверхности квадрики.

Параболический цилиндр

Когда главные оси квадрики выровнены с системой отсчета (всегда возможно для квадрики), общее уравнение квадрики в трех измерениях задается как

е (Икс, Y, Z) знак равно A Икс 2 + В Y 2 + С Z 2 + D Икс + E Y + G Z + H = 0, {\ Displaystyle F (x, y, z) = Ax ^ {2} + By ^ {2} + Cz ^ {2} + Dx + Ey + Gz + H = 0,}

{\ displaystyle f (x, y, z) = Ax ^ {2} + By ^ {2} + Cz ^ {2} + Dx + Ey + Gz + H = 0,}

с коэффициентами, являющимися действительными числами, а не всеми A, B и C равно 0. Если хотя бы одна переменная не появляется в уравнении, квадрика вырождена. Если одна переменная отсутствует, мы можем предположить, соответствующим поворотом осей, что переменная z не появляется, и общее уравнение этого типа вырожденной квадрики можно записать как

A (x + D 2 A) 2 + B (Y + E 2 B) 2 = ρ, {\ displaystyle A \ left (x + {\ frac {D} {2A}} \ right) ^ {2} + B \ left (y + {\ frac {E} {2B}} \ right) ^ {2} = \ rho,}

{\ displaystyle A \ left (x + {\ frac {D} {2A}} \ right) ^ {2} + B \ left (y + {\ frac {E} { 2B}} \ right) ^ {2} = \ rho,}

где

ρ = - H + D 2 4 A + E 2 4 B. {\ displaystyle \ rho = -H + {\ frac {D ^ {2}} {4A}} + {\ frac {E ^ {2}} {4B}}.}

{\ displaystyle \ rho = -H + {\ frac {D ^ {2}} {4A}} + {\ frac {E ^ {2}} {4B}}.}

Если AB>0, это уравнение эллиптического цилиндра. Дальнейшее упрощение может быть получено посредством переноса осей и скалярного умножения. Если $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ имеет тот же знак, что и коэффициенты A и B, то уравнение эллиптического цилиндра может быть переписано в декартовых координатах как:

(xa) 2 + (yb) 2 = 1. {\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {b}) } \ right) ^ {2} = 1.}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} { b}} \ right) ^ {2} = 1.}

Это уравнение эллиптического цилиндра является обобщением уравнения обычного кругового цилиндра (a = b). Эллиптические цилиндры также известны как цилиндроиды, но это название неоднозначно, так как оно также может относиться к коноиду Плюккера.

Если $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ имеет другой знак чем коэффициенты, мы получаем воображаемые эллиптические цилиндры:

(xa) 2 + (yb) 2 = - 1, {\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = - 1,}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = - 1,}

, на которых нет реальных точек. ( $ρ = 0 {\ displaystyle \ rho = 0}$ $\ rho = 0$ дает одну вещественную точку.)

Если A и B имеют разные знаки и $ρ ≠ 0 {\ displaystyle \ rho \ neq 0}$ $\ rho \ neq 0$ , мы получаем гиперболические цилиндры, уравнения которых можно переписать как:

(xa) 2 - (yb) 2 = 1. {\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = 1.}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = 1.}

Наконец, если AB = 0, предположим, без ограничения общности, что B = 0 и A = 1 для получения параболических цилиндров с уравнениями, которые можно записать как:

x 2 + 2 ay = 0. {\ displaystyle {x} ^ {2} + 2a {y} = 0.}

{\ displaystyle {x} ^ {2} + 2a {y} = 0.}

В проективной геометрии цилиндр - это просто конус, вершина которого находится на бесконечности, что визуально соответствует цилиндру в перспективе он выглядит как конус к небу.

Проективная геометрия

В проективной геометрии цилиндр - это просто конус, вершина которого (вершина) лежит на плоскости на бесконечности. Если конус является квадратичным конусом, бесконечно удаленная плоскость (проходящая через вершину) может пересекать конус по двум действительным прямым, одной действительной прямой (фактически совпадающая пара прямых) или только в вершине. В этих случаях возникают соответственно гиперболические, параболические или эллиптические цилиндры.

Эта концепция полезна при рассмотрении вырожденных коник, которые могут включать цилиндрические коники.

Призмы

Планетарий Тихо Браге, Копенгаген, является примером усеченного цилиндра

Сплошной круговой цилиндр можно рассматривать как предельный случай n-угольника призма, где n стремится к бесконечности. Связь очень сильная, и многие старые тексты рассматривают призмы и цилиндры одновременно. Формулы для площади поверхности и объема выводятся из соответствующих формул для призм с использованием вписанных и описанных призм и последующего неограниченного увеличения количества сторон призмы. Одна из причин раннего акцента (а иногда и исключительного обращения) на круговых цилиндрах заключается в том, что круговое основание является единственным типом геометрической фигуры, для которой этот метод работает с использованием только элементарных соображений (без обращения к исчислению или более сложной математике). Терминология относительно призм и цилиндров идентична. Так, например, поскольку усеченная призма - это призма, основания которой не лежат в параллельных плоскостях, твердый цилиндр, основания которого не лежат в параллельных плоскостях, будет называться усеченным цилиндром.

С точки зрения многогранности цилиндр также можно рассматривать как двойную биконуса как бесконечноногую бипирамиду.

Семейство однородных призмы [ v ]
Многогранник
Кокстера
Мозаика
Конфигурация	2.4.4	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4. 4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4

См. Также

Список фигур
Твердое тело Штейнмеца, пересечение двух или трех перпендикулярных цилиндров

Примечания

Ссылки

Альберт, Абрахам Адриан (2016) [1949], Solid Analytic Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-81026-3
Своковски, Эрл У. (1983), Исчисление с аналитической геометрией (Альтернативное издание), Prindle, Weber Schmidt, ISBN 0-87150-341-7
Вентворт, Джордж; Смит, Дэвид Юджин (1913), Plane and Solid Geometry, Ginn and Co.

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы, связанные с Цилиндром (геометрия).

Викиисточник имеет текст статьи Британской энциклопедии 1911 года Цилиндр.

Найдите цилиндр в Викисловаре, бесплатном словаре.

Weisstein, Эрик У. «Цилиндр». MathWorld.
Площадь поверхности цилиндра в MATHguide
Объем цилиндра в MATHguide