Плоскость на бесконечности

В проекционной геометрии плоскость на бесконечности является гиперплоскостью на бесконечности трехмерного проективного пространства или на любую плоскость, содержащуюся в гиперплоскости на бесконечности любого проективного пространства более высокого измерения. Эта статья будет посвящена исключительно трехмерному случаю.

• 1 Определение
• 2 Аналитическое представление
• 3 Свойства
• 4 Примечания
• 5 Ссылки

Есть два подхода к определению плоскости на бесконечности которые зависят от того, с чего начинается проективное 3-пространство или аффинное 3-пространство.

Если дано проективное 3-пространство, бесконечно удаленная плоскость является любой выделенной проективной плоскостью Космос. Эта точка зрения подчеркивает тот факт, что эта плоскость геометрически не отличается от любой другой плоскости. С другой стороны, дано аффинное 3-пространство, плоскость на бесконечности является проективной плоскостью, которая добавляется к аффинному 3-пространству, чтобы придать ему закрытие свойств инцидентности. Это означает, что точки плоскости на бесконечности - это точки, где будут встречаться параллельные линии аффинного 3-пространства, а прямые - это линии, где будут встречаться параллельные плоскости аффинного 3-пространства. Результатом сложения является проективное 3-пространство, $P\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; ^\; \{3\}\}$. Эта точка зрения подчеркивает внутреннюю структуру плоскости в бесконечности, но делает ее «особенной» по сравнению с другими плоскостями пространства.

Если аффинное 3-пространство является действительным, $R\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}$, то добавление действительного проективного плоскость $RP\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; P\; ^\; \{2\}\}$на бесконечности дает реальное проективное 3-пространство $RP\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\; \}\; P\; ^\; \{3\}\}$.

Поскольку любые две проективные плоскости в проективном 3-пространстве эквивалентны, мы можем выбрать однородную систему координат так, чтобы любая точка на плоскость в бесконечности представлена ​​как (X: Y: Z: 0). Тогда любая точка в аффинном 3-пространстве будет представлена ​​как (X: Y: Z: 1). Кажется, что точки на бесконечно удаленной плоскости имеют три степени свободы, но однородные координаты эквивалентны от до при любом изменении масштаба:

$(X:\; Y:\; Z:\; 0)\; \equiv \; (a\; X:\; a\; Y\; :\; a\; Z:\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; (X:\; Y:\; Z:\; 0)\; \backslash \; Equiv\; (aX:\; aY:\; aZ:\; 0)\}$,

так, чтобы координаты (X: Y: Z: 0) могли быть нормализовал, тем самым уменьшив количество степеней свободы до двух (таким образом, поверхность, а именно проективная плоскость).

Предложение: любая линия, проходящая через начало координат (0: 0: 0: 1) и через точку (X: Y: Z: 1), будет пересекать плоскость на бесконечности в точка (X: Y: Z: 0).

Доказательство: линия, проходящая через точки (0: 0: 0: 1) и (X: Y: Z: 1), будет состоять из точек, которые являются линейными комбинациями двух заданные баллы:

$a\; (0:\; 0:\; 0:\; 1)\; +\; b\; (X:\; Y:\; Z:\; 1)\; =\; (b\; X:\; b\; Y:\; b\; Z:\; a\; +\; b).\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (0:\; 0:\; 0:\; 1)\; +\; b\; (X:\; Y:\; Z:\; 1)\; =\; (bX:\; bY:\; bZ:\; a\; +\; b).\}$

Чтобы такая точка лежала на плоскости на бесконечности мы должны иметь $a\; +\; b\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; +\; b\; =\; 0\}$. Итак, выбирая $a\; =\; -\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; -b\}$, мы получаем точку $(b\; X:\; b\; Y:\; b\; Z:\; 0)\; =\; (X:\; Y\; :\; Z:\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; (bX:\; bY:\; bZ:\; 0)\; =\; (X:\; Y:\; Z:\; 0)\}$, если требуется. Q.E.D.

Любая пара параллельных прямых в трехмерном пространстве будет пересекать друг друга в бесконечно удаленной точке на плоскости. Кроме того, каждая линия в 3-м пространстве пересекает плоскость на бесконечности в уникальной точке. Эта точка определяется направлением - и только направлением - линии. Чтобы определить эту точку, рассмотрите прямую, параллельную данной линии, но проходящую через начало координат, если линия еще не проходит через начало координат. Затем выберите любую точку, кроме начала координат, на этой второй строке. Если однородные координаты этой точки равны (X: Y: Z: 1), то однородные координаты бесконечно удаленной точки, через которую проходят первая и вторая линии, равны (X: Y: Z: 0).

Пример: рассмотрим линию, проходящую через точки (0: 0: 1: 1) и (3: 0: 1: 1). Параллельная линия проходит через точки (0: 0: 0: 1) и (3: 0: 0: 1). Эта вторая линия пересекает плоскость на бесконечности в точке (3: 0: 0: 0). Но первая строка также проходит через эту точку:

$\lambda \; (3:\; 0:\; 1:\; 1)\; +\; \mu \; (0:\; 0:\; 1:\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; (3:\; 0:\; 1:\; 1)\; +\; \backslash \; му\; (0:\; 0:\; 1:\; 1)\}$

$=\; (3\; \lambda :\; 0:\; \lambda \; +\; \mu :\; \lambda \; +\; \mu )\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; (3\; \backslash \; lambda:\; 0:\; \backslash \; lambda\; +\; \backslash \; mu:\; \backslash \; lambda\; +\; \backslash \; му)\}$

$=\; (3:\; 0:\; 0:\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; (3:\; 0:\; 0:\; 0)\}$

когда $\lambda \; +\; \mu \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; +\; \backslash \; mu\; =\; 0\}$. ■

Любая пара параллельных плоскостей в аффинном 3-мерном пространстве будет пересекать друг друга по проективной прямой (линия на бесконечности ) в плоскости на бесконечности. Кроме того, каждая плоскость в аффинном 3-пространстве пересекает плоскость на бесконечности по уникальной прямой. Эта линия определяется направлением - и только направлением - плоскости.

Поскольку плоскость на бесконечности является проективной плоскостью, она гомеоморфна поверхности «сферы по модулю антиподов», т. Е. Сферы, в которой антиподальные точки эквивалентны: S / {1, -1}, где фактор понимается как фактор по действию группы (см. фактор-пространство ).

• Бамкрот, Роберт Дж. (1969), Современная проективная геометрия, Холт, Райнхарт и Уинстон
• Мезерв, Брюс Э. (1983) [1955], Фундаментальные концепции геометрии, Дувр, ISBN 0-486-63415-9
• Педо, Дэн (1988) [1970], Геометрия / Комплексный курс, Дувр, ISBN 0-486-65812-0
• Сэмюэл, Пьер (1988), Проективная геометрия, UTM Readings in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 0-387-96752-4
• Woods, Frederick S. (1961) [1922], Higher Geometry / An Introduction to Advanced Methods in Analytic Geometry, Dover
• Йель, Пол Б. (1968), Геометрия и симметрия, Холден-Дэй