Плоскость (геометрия)

редактировать
Плоская двумерная поверхность Уравнение плоскости в нормальной форме

В математике, плоскость - это плоская, размерная поверхность, которая простирается бесконечно далеко. Плоскость - это двумерный аналог точки точки (нулевые измерения), линии (одно измерение) и трехмерного пространства. Самолеты могут возникать как подпространства некоторого многомерного пространства, например, с одной из стен комнаты, бесконечно протяженной, или они могут наслаждаться независимым существованием самостоятельно, как в настройке Евклидовой геометрии.

При работе исключительно в двухмерном евклидовом пространстве, используется определенный артикль, поэтому плоскость относится ко всему пространству. Многие фундаментальные задачи в математике, геометрии, тригонометрии, теории графов и построении графиков выполняются в двухмерном пространстве, или, другими словами, в самолете.

Содержание

  • 1 Евклидова геометрия
  • 2 Представление
    • 2.1 Определение по содержащимся точкам и линиям
    • 2.2 Свойства
    • 2.3 Точечно-нормальная форма и общий вид уравнения плоскости
    • 2.4 Описание плоскости с помощью точки и двух лежащих на ней векторов
    • 2.5 Описание плоскости с помощью трех точек
      • 2.5.1 Метод 1
      • 2.5.2 Метод 2
      • 2.5.3 Метод 3
  • 3 Операции
    • 3.1 Расстояние от точки до плоскости
    • 3.2 Пересечение прямой и плоскости
    • 3.3 Линия пересечения двух плоскостей
      • 3.3.1 Двугранный угол
  • 4 Плоскости в различных областях математики
  • 5 Топологические и дифференциально-геометрические понятия
  • 6 См. Также
  • 7 Примечания
  • 8 Ссылки
  • 9 Внешние ссылки

Евклидова геометрия

Евклид изложил первую великую веху математической мысль, аксиоматическая трактовка геометрии. Он выбрал небольшое ядро ​​неопределенных терминов (называемых общими понятиями) и постулатов (или аксиом ), которые затем использовал для доказательства различных геометрических утверждений. Хотя самолету в его современном понимании нет прямого определения нигде в Элементах, его можно рассматривать как часть общих понятий. Евклид никогда не использовал числа для измерения длины, угла или площади. Таким образом, евклидова плоскость не совсем такая же, как декартова плоскость .

Три параллельные плоскости.

Плоскость - это линейчатая поверхность.

Представление

Этот раздел касается исключительно плоскостей, встроенных в три измерения: в частности, в R.

Определение по содержанию точки и линии

В евклидовом пространстве любого количества измерений плоскость однозначно определяется любым из следующих условий:

  • Три не коллинеарных точки (точки не на одной линия).
  • Линия и точка не на этой линии.
  • Две отдельные, но пересекающиеся линии.
  • Две отдельные, но параллельные линии.

Свойства

Следующие утверждения верны в трехмерном евклидовом пространстве, но не в более высоких измерениях, хотя у них есть аналоги в более высоких измерениях:

  • Две разные плоскости либо параллельны, либо пересекаются в линия.
  • Прямая параллельна плоскости, пересекает ее в одной точке или содержится в плоскости.
  • Две разные прямые , перпендикулярные одной плоскости, должны быть параллельны к друг друга.
  • Две разные плоскости, перпендикулярные одной прямой, должны быть параллельны друг другу.

Точечно-нормальная форма и общая форма уравнения плоскости

Аналогичным образом того, как линии в двумерном пространстве описываются с использованием формы точечного наклона для своих уравнений, плоскости в трехмерном пространстве имеют естественное описание с помощью точки на плоскости и вектора, ортогонального ей (нормаль вектор ), чтобы указать его "наклон".

В частности, пусть r0будет вектором положения некоторой точки P 0 = (x 0, y 0, z 0), и пусть n = (a, b, c) будет ненулевым вектором. Плоскость, определяемая точкой P 0 и вектором n, состоит из этих точек P с вектором положения r, так что вектор, нарисованный из P 0 к P перпендикулярно n . Вспоминая, что два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, отсюда следует, что искомую плоскость можно описать как набор всех точек r таких, что

n ⋅ (r - r 0) = 0. {\ displaystyle \ mathbf {n} \ cdot (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0}) = 0.}\ mathbf {n} \ cdot (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0}) = 0.

(точка здесь означает точку (скаляр) product.) В раскрытом виде это становится

a (x - x 0) + b (y - y 0) + c (z - z 0) = 0, {\ displaystyle a (x-x_ {0}) + b (y-y_ {0}) + c (z-z_ {0}) = 0,}a (x-x_ {0 }) + b (y-y_ {0}) + c (z-z_ {0}) = 0,

, которая является точечно-нормальной формой уравнения плоскости. Это просто линейное уравнение

ax + by + cz + d = 0, {\ displaystyle ax + by + cz + d = 0,}ax + by + cz + d = 0,

где

d = - (ax 0 + на 0 + cz 0). {\ displaystyle d = - (ax_ {0} + by_ {0} + cz_ {0}).}{\ displaystyle d = - (ax_ {0} + by_ {0} + cz_ {0}).}

И наоборот, легко показать, что если a, b, c и d являются константами, а a, b и c не все равны нулю, тогда график уравнения

ax + by + cz + d = 0, {\ displaystyle ax + by + cz + d = 0,}ax + by + cz + d = 0,

представляет собой плоскость, имеющую вектор n = (a, b, c) как обычно. Это знакомое уравнение для плоскости называется общей формой уравнения плоскости.

Так, например, уравнение регрессии в форме y = d + ax + cz (с b = −1) устанавливает наиболее подходящую плоскость в трехмерном пространстве, когда есть две объясняющие переменные.

Описание плоскости с помощью точки и двух лежащих на ней векторов

В качестве альтернативы, плоскость может быть описана параметрически как набор всех точек вида

r = r 0 + sv + tw, {\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} _ {0} + s \ mathbf {v} + t \ mathbf {w},}{\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} _ {0} + s \ mathbf {v} + t \ mathbf {w}, }
Векторное описание плоскости

где s и t находятся в диапазоне всех действительных чисел, v и w заданы линейно независимыми векторами, определяющими плоскость, а r0- это вектор, представляющий положение произвольной (но фиксированной) точки на плоскости. Векторы v и w могут быть визуализированы как векторы, начинающиеся с r0и указывающие в разных направлениях вдоль плоскости. Векторы v и w могут быть перпендикулярны, но не могут быть параллельны.

Описание плоскости через три точки

Пусть p1= (x 1, y 1, z 1), p2= (x 2, y 2, z 2) и p3= (x 3, y 3, z 3) быть неколлинеарными точками.

Метод 1

Плоскость, проходящая через p1, p2и p3, может быть описана как набор всех точек (x, y, z), которые удовлетворяют следующему определителю уравнения:

| x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 | = | x - x 1 y - y 1 z - z 1 x - x 2 y - y 2 z - z 2 x - x 3 y - y 3 z - z 3 | = 0. {\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x-x_ {1} y-y_ {1} z-z_ {1} \\ x_ {2} -x_ {1} y_ {2} -y_ {1} z_ {2} -z_ {1} \\ x_ {3} -x_ {1} y_ {3} -y_ {1} z_ {3} -z_ {1} \ end {vmatrix}} = {\ begin {vmatrix } x-x_ {1} y-y_ {1} z-z_ {1} \\ x-x_ {2} y-y_ {2} z-z_ {2} \\ x-x_ {3} y-y_ {3} z-z_ {3} \ end {vmatrix}} = 0.}{\ begin {vmatrix} x-x_ {1} y-y_ {1} z- z_ {1} \\ x_ {2} -x_ {1} y_ {2} -y_ {1} z_ {2} -z_ {1} \\ x_ {3} -x_ {1} y_ {3} -y_ {1} z_ {3} -z_ {1} \ end {vmatrix}} = {\ begin {vmatrix} x-x_ {1} y-y_ {1} z-z_ {1} \\ x-x_ {2 } y-y_ {2} z-z_ {2} \\ x-x_ {3} y-y_ {3} z-z_ {3} \ end {vmatrix}} = 0.

Метод 2

Чтобы описать плоскость уравнением вида ax + by + cz + d = 0 {\ displaystyle ax + by + cz + d = 0}ax + by + cz + d = 0 , решите следующую систему уравнений:

ax 1 + by 1 + cz 1 + d = 0 {\ displaystyle \, ax_ {1} + by_ {1} + cz_ {1} + d = 0}\, ax_ {1} + by_ {1} + cz_ {1} + d = 0
ax 2 + by 2 + cz 2 + d = 0 {\ displaystyle \, ax_ {2} + by_ {2} + cz_ { 2} + d = 0}\, ax_ {2} + by_ {2} + cz_ {2} + d = 0
ax 3 + by 3 + cz 3 + d = 0. {\ displaystyle \, ax_ {3} + by_ {3} + cz_ {3} + d = 0.}\, ax_ {3} + by_ {3} + cz_ {3} + d = 0.

Эта система может быть решена с помощью правила Крамера и основных манипуляций с матрицами. Пусть

D = | x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 | {\ displaystyle D = {\ begin {vmatrix} x_ {1} y_ {1} z_ {1} \\ x_ {2} y_ {2} z_ {2} \ x_ {3} y_ {3} z_ {3 } \ end {vmatrix}}}D = {\ begin { vmatrix} x_ {1} y_ {1} z_ {1} \\ x_ {2} y_ {2} z_ {2} \\ x_ {3} y_ {3} z_ {3} \ end {vmatrix}} .

Если D не равно нулю (то есть для плоскостей, не проходящих через начало координат), значения для a, b и c могут быть вычислены следующим образом:

a = - d D | 1 y 1 z 1 1 y 2 z 2 1 y 3 z 3 | {\ displaystyle a = {\ frac {-d} {D}} {\ begin {vmatrix} 1 y_ {1} z_ {1} \\ 1 y_ {2} z_ {2} \\ 1 y_ {3} z_ {3} \ end {vmatrix}}}a = {\ frac {-d} {D}} {\ begin {vmatrix} 1 y_ {1} z_ {1} \\ 1 y_ {2} z_ {2} \\ 1 y_ {3} z_ {3} \ end {vmatrix}}
b = - d D | x 1 1 z 1 x 2 1 z 2 x 3 1 z 3 | {\ displaystyle b = {\ frac {-d} {D}} {\ begin {vmatrix} x_ {1} 1 z_ {1} \\ x_ {2} 1 z_ {2} \\ x_ {3} 1 z_ {3} \ end {vmatrix}}}b = {\ frac {-d} {D}} {\ begin {vmatrix} x_ {1} 1 z_ {1} \\ x_ {2} 1 z_ {2} \ \ x_ {3} 1 z_ {3} \ end {vmatrix}}
c = - d D | x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 |. {\ displaystyle c = {\ frac {-d} {D}} {\ begin {vmatrix} x_ {1} y_ {1} 1 \\ x_ {2} y_ {2} 1 \\ x_ {3} y_ { 3} 1 \ end {vmatrix}}.}c = {\ frac {-d} {D}} {\ begin {vmatrix} x_ {1} y_ {1 } 1 \\ x_ {2} y_ {2} 1 \\ x_ {3} y_ {3} 1 \ end {vmatrix}}.

Эти уравнения являются параметрическими по d. Приняв d равным любому ненулевому числу и подставив его в эти уравнения, мы получим один набор решений.

Метод 3

Эта плоскость также может быть описана указанным выше предписанием «точка и вектор нормали ». Подходящий вектор нормали дается перекрестным произведением

n = (p 2 - p 1) × (p 3 - p 1), {\ displaystyle \ mathbf {n} = (\ mathbf {p} _ {2} - \ mathbf {p} _ {1}) \ times (\ mathbf {p} _ {3} - \ mathbf {p} _ {1}),}{\ displaystyle \ mathbf {n} = (\ mathbf {p} _ {2} - \ mathbf { p} _ {1}) \ times (\ mathbf {p} _ {3} - \ mathbf {p} _ {1}),}

и точка r0может быть за любую из данных точек p1,p2или p3(или любую другую точку на плоскости).

Операции

Расстояние от точки до плоскости

Для плоскости Π: ax + by + cz + d = 0 {\ displaystyle \ Pi: ax + by + cz + d = 0}{\ displaystyle \ Pi: ax + by + cz + d = 0} и точка p 1 = (x 1, y 1, z 1) {\ displaystyle \ mathbf {p} _ {1} = (x_ { 1}, y_ {1}, z_ {1})}{\ displaystyle \ mathbf {p} _ {1} = (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1}) } не обязательно лежать на плоскости, кратчайшее расстояние от p 1 {\ displaystyle \ mathbf {p} _ {1}}{\ displaystyle \ mathbf {p } _ {1}} к плоскости

D = | а х 1 + б у 1 + с г 1 + г | а 2 + б 2 + в 2. {\ displaystyle D = {\ frac {\ left | ax_ {1} + by_ {1} + cz_ {1} + d \ right |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}}.}D = {\ frac {\ left | ax_ {1 } + by_ {1} + cz_ {1} + d \ right |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}}.

Отсюда следует, что p 1 {\ displaystyle \ mathbf {p} _ {1}}{\ displaystyle \ mathbf {p } _ {1}} лежит в плоскости тогда и только тогда, когда D = 0.

Если a 2 + b 2 + c 2 = 1 {\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}} = 1}{\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}} = 1 означает, что a, b и c нормализованы, тогда уравнение принимает вид

D = | а х 1 + б у 1 + с г 1 + г |. {\ displaystyle D = \ | ax_ {1} + by_ {1} + cz_ {1} + d |.}{\ displaystyle D = \ | ax_ {1} + by_ {1} + cz_ {1} + d |.}

Другая векторная форма для уравнения плоскости, известная как нормальная форма Гессе зависит от параметра D. Эта форма выглядит так:

n ⋅ r - D 0 = 0, {\ displaystyle \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {r} -D_ {0} = 0,}\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {r} -D_ {0} = 0,

где n {\ displaystyle \ mathbf {n}}\ mathbf {n} - единичный вектор нормали к плоскости, r {\ displaystyle \ mathbf {r}}\ mathbf {r} позиция вектор точки плоскости и D 0 расстояние плоскости от начала координат.

Общая формула для более высоких измерений может быть быстро получена с использованием векторной записи. Пусть гиперплоскость имеет уравнение n ⋅ (r - r 0) = 0 {\ displaystyle \ mathbf {n} \ cdot (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0})) = 0}\ mathbf {n} \ cdot (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0}) = 0 , где n {\ displaystyle \ mathbf {n}}\ mathbf {n} - это вектор нормали и r 0 = ( x 10, x 20,…, x N 0) {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {0} = (x_ {10}, x_ {20}, \ dots, x_ {N0})}\ mathbf {r} _ {0} = (x_ {10}, x_ {20}, \ dots, x_ {N0}) - это вектор положения в точку в гиперплоскости. Нам нужно перпендикулярное расстояние до точки r 1 = (x 11, x 21,…, x N 1) {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {1} = (x_ {11}, x_ {21}, \ точки, x_ {N1})}\ mathbf {r} _ {1} = (x_ {11}, x_ {21 }, \ dots, x_ {N1}) . гиперплоскость также может быть представлена ​​скалярным уравнением ∑ i = 1 N aixi = - a 0 {\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {i = 1} ^ {N} a_ {i} x_ {i} = - a_ {0}}{\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {i = 1} ^ {N} a_ {i} x_ {i} = - a_ {0}} , для констант {ai} {\ displaystyle \ {a_ {i} \}}\ {a_ {i} \} . Аналогичным образом, соответствующий n {\ displaystyle \ mathbf {n}}\ mathbf {n} может быть представлен как (a 1, a 2,…, a N) {\ displaystyle (a_ {1}, а_ {2}, \ точки, а_ {N})}(a_ {1}, a_ {2}, \ dots, a_ {N}) . Нам нужна скалярная проекция вектора r 1 - r 0 {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {0}}\ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {0} в направлении n {\ displaystyle \ mathbf {n}}\ mathbf {n} . Отмечая, что n ⋅ r 0 = r 0 ⋅ N = - a 0 {\ displaystyle \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {r} _ {0} = \ mathbf {r} _ {0} \ cdot \ mathbf {n} = -a_ {0}}\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {r} _ {0} = \ mathbf {r} _ {0} \ cdot \ mathbf {n} = -a_ { 0} (поскольку r 0 {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {0}}\ mathbf {r} _ {0} удовлетворяет уравнению гиперплоскость ) имеем

D = | (г 1 - г 0) ⋅ п | | п | = | г 1 ⋅ п - г 0 п | | п | = | r 1 ⋅ n + a 0 | | п | = | a 1 x 11 + a 2 x 21 + ⋯ + a N x N 1 + a 0 | a 1 2 + a 2 2 + ⋯ + a N 2 {\ displaystyle {\ begin {выровнено} D = {\ frac {| (\ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {0}) \ cdot \ mathbf {n} |} {| \ mathbf {n} |}} \\ = {\ frac {| \ mathbf {r} _ {1} \ cdot \ mathbf {n} - \ mathbf {r} _ {0} \ cdot \ mathbf {n} |} {| \ mathbf {n} |}} \\ = {\ frac {| \ mathbf {r} _ {1} \ cdot \ mathbf {n} + a_ {0} |} {| \ mathbf {n} |}} \\ = {\ frac {| a_ {1} x_ {11} + a_ {2} x_ {21} + \ dots + a_ {N} x_ {N1} + a_ {0} |} {\ sqrt {a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + \ dots + a_ {N} ^ {2}}}} \ end {выровнено }}}{\ displaystyle {\ begin {align} D = {\ гидроразрыв {| (\ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {0}) \ cdot \ mathbf {n} |} {| \ mathbf {n} |}} \\ = {\ frac {| \ mathbf {r} _ {1} \ cdot \ mathbf {n} - \ mathbf {r} _ {0} \ cdot \ mathbf {n} |} {| \ mathbf {n} |}} \\ = {\ frac {| \ mathbf {r} _ {1} \ cdot \ mathbf {n} + a_ {0} |} {| \ mathbf {n} |}} \\ = {\ frac {| a_ { 1} x_ {11} + a_ {2} x_ {21} + \ dots + a_ {N} x_ {N1} + a_ {0} |} {\ sqrt {a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + \ dots + a_ {N} ^ {2}}}} \ end {align}}} .

Пересечение линии и плоскости

В аналитической геометрии пересечение линии линии и плоскости в трехмерном пространстве может быть пустой набор, точка или линия.

Линия пересечения двух плоскостей

Две пересекающиеся плоскости в трехмерном пространстве

Линия пересечения двух плоскостей Π 1: n 1 ⋅ r = h 1 {\ displaystyle \ Pi _ {1}: \ mathbf {n} _ {1} \ cdot \ mathbf {r} = h_ {1}}{\ displaystyle \ Pi _ {1}: \ mathbf {n} _ {1} \ cdot \ mathbf {r} = h_ {1}} и Π 2: n 2 ⋅ r = h 2 {\ displaystyle \ Pi _ {2}: \ mathbf {n} _ {2} \ cdot \ mathbf {r} = h_ {2}}{\ displaystyle \ Pi _ {2}: \ mathbf {n} _ {2} \ cdot \ mathbf {r} = h_ {2}} где ni {\ displaystyle \ mathbf {n} _ {i}}{\ displaystyle \ mathbf {n} _ {i}} нормализованы:

r = (c 1 n 1 + c 2 n 2) + λ (n 1 × n 2) {\ displaystyle \ mathbf {r} = ( c_ {1} \ mathbf {n} _ {1} + c_ {2} \ mathbf {n} _ {2}) + \ lambda (\ mathbf {n} _ {1} \ times \ mathbf {n} _ { 2})}{\ displaystyle \ mathbf {r} = (c_ {1} \ mathbf {n} _ {1} + c_ {2} \ mathbf {n} _ {2}) + \ lambda (\ mathbf {n} _ { 1} \ times \ mathbf {n} _ {2})}

где

c 1 = h 1 - h 2 (n 1 ⋅ n 2) 1 - (n 1 ⋅ n 2) 2 {\ displaystyle c_ {1} = {\ frac {h_ { 1} -h_ {2} (\ mathbf {n} _ {1} \ cdot \ mathbf {n} _ {2})} {1 - (\ mathbf {n} _ {1} \ cdot \ mathbf {n} _ {2}) ^ {2}}}}{\ displaystyle c_ { 1} = {\ frac {h_ {1} -h_ {2} (\ mathbf {n} _ {1} \ cdot \ mathbf {n} _ {2})} {1 - (\ mathbf {n} _ { 1} \ cdot \ mathbf {n} _ {2}) ^ {2}}}}
c 2 = h 2 - h 1 (n 1 ⋅ n 2) 1 - (n 1 ⋅ n 2) 2. {\ displaystyle c_ {2} = {\ frac {h_ {2} -h_ {1} (\ mathbf {n} _ {1} \ cdot \ mathbf {n} _ {2})} {1 - (\ mathbf {n} _ {1} \ cdot \ mathbf {n} _ {2}) ^ {2}}}.}{\ displaystyle c_ {2} = {\ frac {h_ {2} -h_ {1} (\ mathbf {n} _ {1} \ cdot \ mathbf {n} _ {2})} {1 - (\ mathbf {n} _ {1} \ cdot \ mathbf {n} _ {2}) ^ {2} }}.}

Это можно найти, заметив, что линия должна быть перпендикулярна обеим нормальным плоскостям и поэтому параллельна их перекрестное произведение n 1 × n 2 {\ displaystyle \ mathbf {n} _ {1} \ times \ mathbf {n} _ {2}}{\ displaystyle \ mathbf {n} _ {1} \ times \ mathbf {п} _ {2}} (это перекрестное произведение равно нулю тогда и только если плоскости параллельны и, следовательно, не пересекаются или полностью совпадают).

Остаток выражения достигается путем нахождения произвольной точки на линии. Для этого учтите, что любую точку в пространстве можно записать как r = c 1 n 1 + c 2 n 2 + λ (n 1 × n 2) {\ displaystyle \ mathbf {r} = c_ {1} \ mathbf {n} _ {1} + c_ {2} \ mathbf {n} _ {2} + \ lambda (\ mathbf {n} _ {1} \ times \ mathbf {n} _ {2})}{\ displaystyle \ mathbf {r} = c_ {1} \ mathbf {n} _ {1} + c_ {2} \ mathbf {n} _ {2} + \ lambda (\ mathbf {n} _ {1} \ times \ mathbf {n } _ {2})} , поскольку {n 1, n 2, (n 1 × n 2)} {\ displaystyle \ {\ mathbf {n} _ {1}, \ mathbf {n} _ {2}, (\ mathbf {n} _ {1} \ times \ mathbf {n} _ {2}) \}}{ \ Displaystyle \ {\ mathbf {n} _ {1}, \ mathbf {n} _ {2}, (\ mathbf {n} _ {1} \ times \ mathbf {n} _ {2}) \}} - это базис. Мы хотим найти точку, которая находится на обеих плоскостях (т.е. на их пересечении), поэтому вставьте это уравнение в каждое из уравнений плоскостей, чтобы получить два одновременных уравнения, которые можно решить для c 1 {\ displaystyle c_ { 1}}c_{1}и c 2 {\ displaystyle c_ {2}}c_ {2} .

Если мы дополнительно предположим, что n 1 {\ displaystyle \ mathbf {n} _ {1}}{\ displaystyle \ mathbf {n} _ {1}} и n 2 {\ displaystyle \ mathbf {n} _ {2}}{\ displaystyle \ mathbf {n} _ {2}} являются ортонормированными, тогда ближайшая точка на линии пересечения к началу координат равно р 0 = час 1 n 1 + час 2 n 2 {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {0} = h_ {1} \ mathbf {n} _ {1} + h_ {2} \ mathbf { n} _ {2}}{\ di splaystyle \ mathbf {r} _ {0} = h_ {1} \ mathbf {n} _ {1} + h_ {2} \ mathbf {n} _ {2}} . Если это не так, то следует использовать более сложную процедуру.

Двугранный угол

Для двух пересекающихся плоскостей, описываемых Π 1: a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 {\ displaystyle \ Pi _ {1}: a_ {1} x + b_ {1} y + c_ {1} z + d_ {1} = 0}{\ displaystyle \ Pi _ {1}: a_ {1} х + b_ {1} y + c_ {1} z + d_ {1} = 0} и Π 2: a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 {\ displaystyle \ Pi _ {2}: a_ {2} x + b_ {2} y + c_ {2} z + d_ {2} = 0}{\ displaystyle \ Pi _ {2}: a_ {2} x + b_ {2} y + c_ {2} z + d_ {2} = 0} , двугранный угол между ними определяется как угол α {\ displaystyle \ alpha}\ alpha между их нормалью направления:

cos ⁡ α = n ^ 1 ⋅ n ^ 2 | n ^ 1 | | п ^ 2 | = a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 a 1 2 + b 1 2 + c 1 2 a 2 2 + b 2 2 + c 2 2. {\ displaystyle \ cos \ alpha = {\ frac {{\ hat {n}} _ {1} \ cdot {\ hat {n}} _ {2}} {| {\ hat {n}} _ {1} || {\ hat {n}} _ {2} |}} = {\ frac {a_ {1} a_ {2} + b_ {1} b_ {2} + c_ {1} c_ {2}} {{ \ sqrt {a_ {1} ^ {2} + b_ {1} ^ {2} + c_ {1} ^ {2}}} {\ sqrt {a_ {2} ^ {2} + b_ {2} ^ { 2} + c_ {2} ^ {2}}}}}.}\ cos \ alpha = {\ frac {{\ hat {n }} _ {1} \ cdot {\ hat {n}} _ {2}} {| {\ hat {n}} _ {1} || {\ hat {n}} _ {2} |}} = {\ frac {a_ {1} a_ {2} + b_ {1} b_ {2} + c_ {1} c_ {2}} {{\ sqrt {a_ {1} ^ {2} + b_ {1} ^ {2} + c_ {1} ^ {2}}} {\ sqrt {a_ {2} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + c_ {2} ^ {2}}}}}.

Плоскости в различных областях математики

В дополнение к своей знакомой геометрической структуре с изоморфизмы, которые являются изометриями по отношению к обычному внутреннему продукту, плоскость может просматриваться на различных других уровнях абстракции. Каждый уровень абстракции соответствует определенной категории .

С одной стороны, все геометрические и метрические концепции могут быть отброшены, чтобы покинуть топологическую плоскость , о которой можно подумать. как идеализированный гомотопически тривиальный бесконечный резиновый лист, который сохраняет понятие близости, но не имеет расстояний. В топологической плоскости есть понятие линейного пути, но нет понятия прямой линии. Топологическая плоскость или ее эквивалент открытый диск - это основная топологическая окрестность, используемая для построения поверхностей (или 2-многообразий), классифицированных в топологии низкой размерности. Все изоморфизмы топологической плоскости являются непрерывными биекциями. Топологическая плоскость является естественным контекстом для ветви теории графов, которая имеет дело с плоскими графами, и такими результатами, как теорема о четырех цветах.

Плоскость также может быть рассматривается как аффинное пространство, изоморфизмы которого представляют собой комбинации сдвигов и неособых линейных отображений. С этой точки зрения расстояний нет, но коллинеарность и отношения расстояний на любой линии сохраняются.

Дифференциальная геометрия рассматривает плоскость как двумерное реальное многообразие, топологическую плоскость, которая снабжена дифференциальной структурой. Опять же в этом случае нет понятия расстояния, но теперь есть понятие гладкости отображений, например, дифференцируемый или гладкий путь (в зависимости от типа дифференциальной структуры применяется). Изоморфизмы в этом случае являются биекциями с выбранной степенью дифференцируемости.

В противоположном направлении абстракции мы можем применить совместимую структуру поля к геометрической плоскости, создав комплексную плоскость и основную область комплексного анализа. Комплексное поле имеет только два изоморфизма, которые оставляют действительную линию фиксированной: тождество и сопряжение.

. Точно так же, как и в реальном случае, плоскость также может рассматриваться как простейшая, одномерная (над комплексные числа) комплексное многообразие, иногда называемое комплексной прямой. Однако эта точка зрения резко контрастирует со случаем плоскости как двумерного вещественного многообразия. Все изоморфизмы являются конформными биекциями комплексной плоскости, но единственные возможности - это отображения, которые соответствуют композиции умножения на комплексное число и сдвига.

Кроме того, евклидова геометрия (которая везде имеет нулевую кривизну ) не единственная геометрия, которую может иметь плоскость. Плоскости может быть придана сферическая геометрия с помощью стереографической проекции . Это можно представить как размещение сферы на плоскости (как мяч на полу), удаление верхней точки и проецирование сферы на плоскость из этой точки). Это одна из проекций, которые можно использовать для построения плоской карты части поверхности Земли. Полученная геометрия имеет постоянную положительную кривизну.

В качестве альтернативы, плоскости также можно присвоить метрику, которая дает ей постоянную отрицательную кривизну, дающую гиперболическую плоскость. Последняя возможность находит применение в теории специальной теории относительности в упрощенном случае, когда есть два пространственных измерения и одно временное измерение. (Гиперболическая плоскость - это времениподобная гиперповерхность в трехмерном пространстве Минковского.)

Топологические и дифференциально-геометрические понятия

одноточечная компактификация плоскости гомеоморфна сфере (см. стереографическая проекция ); открытый диск гомеоморфен сфере без «северного полюса»; добавление этой точки завершает (компактную) сферу. Результатом этой компактификации является многообразие, называемое сферой Римана или комплексом проективной линией. Проекция евклидовой плоскости на сферу без точки - это диффеоморфизм и даже конформное отображение.

Сама плоскость гомеоморфна (и диффеоморфна) открытому диску. Для гиперболической плоскости такой диффеоморфизм конформен, а для евклидовой плоскости - нет.

См. Также

Примечания

Ссылки

  • Антон, Ховард (1994), Элементарная линейная алгебра (7-е изд.), John Wiley Sons, ISBN 0-471-58742-7
  • Eves, Howard (1963), A Survey of Geometry, I, Boston: Allyn and Bacon, Inc.

Внешние ссылки

На Викискладе есть материалы, связанные с евклидовыми планами.

Последняя правка сделана 2021-06-02 07:30:30
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте