Эксцентриситет (математика)

редактировать

Характеристика конических сечений

Все типы конических сечений, расположенных с возрастающим эксцентриситетом. Обратите внимание, что кривизна уменьшается с увеличением эксцентриситета, и что ни одна из этих кривых не пересекается.

В математике эксцентриситет конического участка является неотрицательным вещественное число, однозначно характеризующее его форму.

Более формально два конических сечения похожи тогда и только тогда, когда имеют одинаковый эксцентриситет.

Эксцентриситет можно рассматривать как меру того, насколько коническое сечение отклоняется от круглого. В частности:

Эксцентриситет окружности равен нулю.
Эксцентриситет эллипса , который не является окружностью, больше нуля, но меньше 1.
Эксцентриситет параболы равен 1.
Эксцентриситет гиперболы больше 1.

Содержание

1 Определения
2 Альтернативные названия
3 Обозначения
4 Значения
5 Эллипсы
- 5.1 Другие формулы для эксцентриситета эллипса
6 Гиперболы
7 Квадрики
8 Небесная механика
9 Аналогичные классификации
10 См. Также
11 Ссылки
12 Внешние ссылки

Определения

плоское сечение конуса

Любое коническое сечение может быть определено как геометрическое место точек, расстояния до точки (фокус) и линии (директриса) находятся в постоянном соотношении. Это отношение называется эксцентриситетом и обычно обозначается буквой e.

Эксцентриситет также может быть определен в терминах пересечения плоскости и конуса с двойным ворсом, связанного с коническим сечением. Если конус ориентирован так, что его ось вертикальна, эксцентриситет равен

e = sin ⁡ β sin ⁡ α, 0 < α < 90 ∘, 0 ≤ β ≤ 90 ∘, {\displaystyle e={\frac {\sin \beta }{\sin \alpha }},\ \ 0<\alpha <90^{\circ },\ 0\leq \beta \leq 90^{\circ }\,}

e = \ frac {\ sin \ beta} {\ sin \ alpha}, \ \ 0 <\ alpha <90 ^ \ circ, \ 0 \ le \ beta \ le90 ^ \ circ \,

, где β - угол между плоскостью и горизонталью, а α - угол между образующей наклона конуса. и горизонтальный. Для $β = 0 {\ displaystyle \ beta = 0}$ $\ beta = 0$ сечение плоскости представляет собой круг, для $β = α {\ displaystyle \ beta = \ alpha}$ $\beta=\alpha$ парабола. (Плоскость не должна совпадать с вершиной конуса.)

линейный эксцентриситет эллипса или гиперболы, обозначаемый c (или иногда f или e), - это расстояние между его центрами и любой из двух его фокусов. Эксцентриситет можно определить как отношение линейного эксцентриситета к большой полуоси a: то есть $e = ca {\ displaystyle e = {\ frac {c} {a}}}$ $e = \ frac {c} {a}$ (без центра линейный эксцентриситет для парабол не определен).

Альтернативные названия

Эксцентриситет иногда называют первым эксцентриситетом, чтобы отличить его от второго эксцентриситета и третьего эксцентриситета определен для эллипсов (см. ниже). Эксцентриситет также иногда называют числовым эксцентриситетом .

В случае эллипсов и гипербол линейный эксцентриситет иногда называют полуфокальным разделением .

Обозначение

Три условных обозначения: обычно используются:

e для эксцентриситета и c для линейного эксцентриситета.
ε для эксцентриситета и e для линейного эксцентриситета.
e или ϵ < for the eccentricity and f for the linear eccentricity (mnemonic for half-focal separation).

В данной статье используется первое обозначение.

Значения

Коническое сечение	Уравнение	Эксцентриситет (e)	Линейный эксцентриситет (c)
Окружность	$x 2 + y 2 знак равно r 2 {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2}}$ $x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2$	$0 {\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$	$0 {\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$
эллипс	$Икс 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2} }} = 1}$ ${\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1$ или $y 2 a 2 + x 2 b 2 = 1 {\ displaystyle {\ frac {y ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {x ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ ${\ displaystyle {\ frac {y ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {x ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ где $a>b {\ displaystyle a>b}$ $a>b$	$1 - b 2 a 2 {\ displaystyle \ sqrt {1 - {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}}$ ${\ sqrt {1 - {\ frac {b ^ {2}} {a ^ { 2}}}}}$	$a 2 - b 2 {\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ { 2}}}}$ ${\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}$
Парабола	$x 2 = 4 ay {\ displaystyle x ^ {2} = 4ay}$ $x ^ {2} = 4ay$	$1 {\ displaystyle 1}$ $1$	–
Гипербола	$x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 {\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ ${\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1$ или $y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1 {\ displaystyle {\ fr ac {y ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {x ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ ${\ displaystyle {\ frac {y ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {x ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	$1 + b 2 a 2 {\ displaystyle {\ sqrt {1 + {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}}$ ${\ sqrt {1 + {\ frac {b ^ {2}} {a ^ { 2}}}}}$	$a 2 + b 2 {\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$ ${\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}$

Здесь для эллипса и гиперболы a - длина большой полуоси, а b - длина малой полуоси.

Когда коническое сечение задано в общей квадратичной форме

A x 2 + B xy + C y 2 + D x + E y + F = 0, {\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0,}

Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0,

следующая формула дает эксцентриситет e, если коническое сечение не является параболой (с эксцентриситетом, равным 1), а не вырожденным гипербола или вырожденный эллипс, а не воображаемый эллипс:

e = 2 (A - C) 2 + B 2 η (A + C) + (A - C) 2 + B 2 {\ displaystyle e = {\ sqrt {\ frac {2 {\ sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}}} {\ eta (A + C) + {\ sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}}}}}}

e = \ sqrt {\ frac {2 \ sqrt {(AC) ^ 2 + B ^ 2}} {\ eta (A + C) + \ sqrt {(AC) ^ 2 + B ^ 2}}}

где $η = 1 {\ displaystyle \ eta = 1}$ $\ eta = 1$ , если определитель матрицы 3 × 3

[AB / 2 D / 2 B / 2 CE / 2 D / 2 E / 2 F] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} A B / 2 D / 2 \\ B / 2 C E / 2 \\ D / 2 E / 2 F \ end {bmatrix}}}

\ begin {bmatrix} A B / 2 D / 2 \\ B / 2 C E / 2 \\ D / 2 E / 2 F \ end {bmatrix}

отрицательно или $η = - 1 {\ displaystyle \ eta = -1}$ $\ eta = -1$ , если этот определитель положительный.

Эллипс и гипербола с постоянным a и изменяющимся эксцентриситетом e.

Эллипсы

Эксцентриситет эллипса строго меньше 1. Когда окружности (с эксцентриситетом 0) если считать как эллипсы, эксцентриситет эллипса больше или равен 0; если кругам присвоена специальная категория и они исключены из категории эллипсов, то эксцентриситет эллипса строго больше 0.

Для любого эллипса пусть a будет длиной его полу- большая ось, а b - длина ее малой полуоси.

. Мы определяем ряд связанных дополнительных понятий (только для эллипсов):

Имя	Символ	через a и b	через e
Первый эксцентриситет	$e {\ displaystyle e}$ $e$	$1 - b 2 a 2 {\ displaystyle {\ sqrt {1 - {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}}$ ${\ sqrt {1 - {\ frac {b ^ {2}} {a ^ { 2}}}}}$	$e {\ displaystyle e}$ $e$
Второй эксцентриситет	$e ′ {\ displaystyle e '}$ $e'$	$a 2 b 2 - 1 {\ displaystyle {\ sqrt {{\ frac {a ^ {2}} {b ^ {2}}} - 1}}}$ $\ sqrt {\ frac {a ^ 2} {b ^ 2} -1}$	$e 1 - e 2 {\ displaystyle {\ frac {e} {\ sqrt {1-e ^ {2}}}}}$ $\ frac {e} {\ sqrt {1-e ^ 2}}$
Третий эксцентриситет	$e ″ = m {\ displaystyle e '' = {\ sqrt {m}}}$ $e''=\sqrt m$	$a 2 - b 2 a 2 + b 2 {\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}$ $\ frac {\ sqrt {a ^ 2-b ^ 2}} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}$	$e 2 - e 2 {\ displaystyle {\ frac {e} {\ sqrt {2-e ^ {2}}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {e} {\ sqrt {2-e ^ {2}}}}}$
Угловой эксцентриситет	$α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ альфа$	$cos - 1 ⁡ (ba) {\ displaystyle \ cos ^ {- 1} \ left ({\ frac {b} {a}} \ right)}$ $\ cos ^ {- 1} \ left (\ frac {b } {a} \ right)$	$грех - 1 ⁡ e {\ displaystyle \ sin ^ {- 1} e}$ $\ sin ^ {- 1} e$

Другие формулы для определения эксцентриситета эллипса

Эксцентриситет эллипса - это, проще всего, отношение расстояния c между центр эллипса и каждый фокус на длину большой полуоси a.

е = с а. {\ displaystyle e = {\ frac {c} {a}}.}

{\ displaystyle e = {\ frac {c} {a}}.}

Эксцентриситет - это также отношение большой полуоси a к расстоянию d от центра до направляющей:

e = a d. {\ displaystyle e = {\ frac {a} {d}}.}

e = \ frac {a} {d}.

Эксцентриситет может быть выражен через уплощение f (определяется как $f = 1 - b / a {\ displaystyle f = 1-b / a}$ ${\ displaystyle f = 1-b / a}$ для большой полуоси a и малой полуоси b):

e = f (2 - f). {\ displaystyle e = {\ sqrt {f (2-f)}}.}

{\ displaystyle e = {\ sqrt { f (2-f)}}.}

(Сглаживание может быть обозначено g в некоторых предметных областях, если f - линейный эксцентриситет.)

Определите максимум и минимальные радиусы $r max {\ displaystyle r _ {\ text {max}}}$ $r_ \ text {max}$ и $r min {\ displaystyle r _ {\ text {min}}}$ $r_\text{min}$ как максимальное и минимальное расстояния от любого фокуса до эллипса (то есть расстояния от любого фокуса до двух концов большой оси). Тогда для большой полуоси a эксцентриситет определяется как

e = r max - r min r max + r min = r max - r min 2 a, {\ displaystyle e = {\ frac {r _ {\ text {max }} - r _ {\ text {min}}} {r _ {\ text {max}} + r _ {\ text {min}}}} = {\ frac {r _ {\ text {max}} - r _ {\ text {min}}} {2a}},}

e = \ frac {r_ \ text {max} -r_ \ text {min}} {r_ \ text {max} + r_ \ text {min}} = \ frac {r_ \ text {max} -r_ \ text {min}} {2a},

который представляет собой расстояние между фокусами, деленное на длину большой оси.

Гиперболы

Эксцентриситет гиперболы может быть любым действительным числом больше 1 без верхней границы. Эксцентриситет прямоугольной гиперболы равен $2 {\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ .

Квадрики

Эллипсы, гиперболы со всеми возможными эксцентриситетами от нуля до бесконечности и параболой на одна кубическая поверхность.

Эксцентриситет трехмерной квадрики - это эксцентриситет обозначенного его сечения. Например, на трехосном эллипсоиде меридиональный эксцентриситет - это эксцентриситет эллипса, образованный сечением, содержащим как самую длинную, так и самую короткую оси (одна из которых будет полярной осью), а экваториальный эксцентриситет - это эксцентриситет образованного эллипса. разрезом через центр, перпендикулярным полярной оси (т.е. в экваториальной плоскости). Но: конические сечения могут встречаться и на поверхностях более высокого порядка (см. Изображение).

Небесная механика

В небесной механике для связанных орбит в сферическом потенциале приведенное выше определение неформально обобщено. Когда расстояние апоцентра близко к расстоянию перицентра, говорят, что орбита имеет низкий эксцентриситет; когда они сильно различаются, орбита считается эксцентричной или имеет эксцентриситет, близкий к единице. Это определение совпадает с математическим определением эксцентриситета для эллипсов в кеплеровском языке, то есть $1 / r {\ displaystyle 1 / r}$ $1 / r$ потенциалов.

Аналогичные классификации

В ряде математических классификаций используется терминология, производная от классификации конических сечений по эксцентриситету:

Классификация элементов из SL2(R) в виде эллиптических, параболических и гиперболических - и аналогично для классификации элементов PSL 2 (R), реальных преобразований Мёбиуса.
Классификация дискретных распределений по отношение дисперсии к среднему ; подробнее см. кумулянты некоторых дискретных распределений вероятностей.
Классификация уравнений в частных производных проводится по аналогии с классификацией конических сечений; см. эллиптические, параболические и гиперболические уравнения с частными производными.

См. также

Ссылки

Внешние ссылки

На Викискладе есть материалы, связанные с эксцентриситетом.

MathWorld: эксцентриситет