Прямоугольник

редактировать

Четырехугольник с четырьмя прямыми углами

Прямоугольник
Прямоугольник
Тип	четырехугольник, параллелограмм, ортотоп
Ребра и вершины	4
символ Шлефли	{} × {}
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	Двугранный (D2), [2], (* 22), порядок 4
Двойной многоугольник	ромб
Свойства	выпуклый, изогональный, циклический Противоположные углы и стороны равны

В евклидовом p геометрия дорожки, прямоугольник представляет собой четырехугольник с четырьмя прямыми углами. Его также можно определить как равносторонний четырехугольник, поскольку равноугольный означает, что все его углы равны (360 ° / 4 = 90 °). Его также можно определить как параллелограмм, содержащий прямой угол. Прямоугольник с четырьмя сторонами одинаковой длины - это квадрат. Термин длинный иногда используется для обозначения не квадратного прямоугольника. Прямоугольник с вершинами ABCD будет обозначен как ABCD.

Слово «прямоугольник» происходит от латинского rectangulus, которое представляет собой комбинацию rectus (как прилагательное, правильный, правильный) и angulus (угол ).

A перекрещенный прямоугольник - это перекрещенный (самопересекающийся) четырехугольник, который состоит из двух противоположных сторон прямоугольника вместе с двумя диагоналями. Это частный случай антипараллелограмма, и его углы не прямые. Другие геометрии, такие как сферическая, эллиптическая и гиперболическая, имеют так называемые прямоугольники с противоположными сторонами равной длины и равными углами, которые не являются прямыми углами.

Прямоугольники используются во многих задачах мозаики, таких как мозаика плоскости прямоугольниками или мозаика прямоугольника по многоугольникам.

Содержание

1 Характеристики
2 Классификация
- 2.1 Традиционная иерархия
- 2.2 Альтернативная иерархия
3 Свойства
- 3.1 Симметрия
- 3.2 Двойственность прямоугольник-ромб
- 3.3 Разное
4 Формулы
5 Теоремы
6 Перекрещенные прямоугольники
7 Другие прямоугольники
8 Тесселяция
9 Квадратные, идеальные и другие мозаичные прямоугольники
10 См. также
11 Ссылки
12 Внешние ссылки

Характеристики

A выпуклые четырехугольник является прямоугольником тогда и только тогда, когда имеет одно из следующих значений:

a параллелограмм по крайней мере с одним прямым углом
a параллелограмм с диагоналями равной длины
параллелограмм ABCD, где треугольники ABD и DCA конгруэнтны
равностороннему четырехугольнику
a четырехугольник с четырьмя прямыми углами
четырехугольник, где t две диагонали равны по длине и делят пополам друг друга
выпуклый четырехугольник с последовательными сторонами a, b, c, d, площадь которого $1 4 (a + c) (b + d) {\ displaystyle {\ tfrac {1} {4}} (a + c) (b + d)}$ $\ tfrac {1} {4} (a + c) (b + d)$ .
выпуклый четырехугольник с последовательными сторонами a, b, c, d, площадь которого $1 2 (a 2 + c 2) (b 2 + d 2). {\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {(a ^ {2} + c ^ {2}) (b ^ {2} + d ^ {2})}}.}$ $\ tfrac {1} {2} \ sqrt {(a ^ 2 + c ^ 2) (b ^ 2 + d ^ 2)}.$

Классификация

Прямоугольник - это частный случай параллелограмма и трапеции. квадрат - это частный случай прямоугольника.

Традиционная иерархия

Прямоугольник - это частный случай параллелограмма, в котором каждая пара смежных стороны равно перпендикулярно.

Параллелограмм - это особый случай трапеции (известной как трапеция в Северной Америке), в которой обе пары противоположных сторон параллельны и равны по длине .

Трапеция - это выпуклый четырехугольник, который имеет по крайней мере одну пару параллельных противоположные стороны.

Выпуклый четырехугольник - это

Простой : граница не пересекает сама себя.
В форме звезды : Вся внутренняя часть видна из одной точки, не пересекая ни одного края.

Альтернативная иерархия

Де Вилльерс определяет прямоугольник в более общем смысле как любой четырехугольник с осями симметрии через каждую пару противоположных сторон. Это определение включает как прямоугольные прямоугольники, так и скрещенные прямоугольники. Каждая из них имеет ось симметрии, параллельную паре противоположных сторон и равноудаленную от них, а другая является биссектрисой перпендикуляра этих сторон, но в случае скрещенного прямоугольника первая ось не является осью симметрии ни для одной из сторон, которые она делит пополам.

Четырехугольники с двумя осями симметрии, каждая из которых проходит через пару противоположных сторон, относятся к большему классу четырехугольников, по крайней мере, с одной осью симметрии через пару противоположных сторон. Эти четырехугольники содержат равнобедренную трапецию и скрещенные равнобедренные трапеции (скрещенные четырехугольники с таким же расположением вершин , что и равнобедренные трапеции).

Свойства

Симметрия

Прямоугольник циклический : все углы лежат на одной окружности.

Это равноугольный : все его угловые углы равны (каждый из 90 градусов ).

Он изогонален или вершинно-транзитивный : все углы лежат в пределах одной орбиты симметрии .

Он имеет две линии отражательной симметрии и вращательная симметрия порядка 2 (до 180 °).

Двойственность прямоугольника и ромба

Двойной многоугольник прямоугольника представляет собой ромб, как показано в таблице ниже.

Прямоугольник	Ромб
Все углы равны.	Все стороны равны.
Альтернативные стороны равны.	Альтернативные углы равны.
Его центр равноудалён от его вершин, следовательно, он имеет описанную окружность.	. Его центр равноудалён от его сторон, следовательно, он имеет вписанную окружность.
Две оси симметрии делят пополам противоположные стороны.	Две оси симметрии делят пополам противоположные углы.
Диагонали равны по длине.	Диагонали пересекаются под равными углами.

Фигура, образованная соединением по порядку середин сторон прямоугольника, представляет собой ромб и наоборот.

Разное

Прямоугольник прямолинейный : его стороны встречаются под прямым углом.

Прямоугольник на плоскости может быть определен пятью независимыми степенями свободы, состоящими, например, из трех для позиции (включая две из смещения и одну из поворот ), один для формы (соотношение сторон ) и один для общего размера (области).

Два прямоугольника, ни один из которых не помещается внутри другого, называются несравнимыми.

Формулы

Формула для периметра прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведение длины и ширины.

Если прямоугольник имеет длину $ℓ {\ displaystyle \ ell}$ $\ ell$ и ширину $w {\ displaystyle w}$ $w$

, он имеет область $A = ℓ w {\ displaystyle A = \ ell w \,}$ $A = \ ell w \,$ ,
он имеет периметр $P = 2 ℓ + 2 w = 2 (ℓ + w) {\ displaystyle P = 2 \ ell + 2w = 2 (\ ell + w) \,}$ $P = 2 \ ell + 2w = 2 (\ ell + w) \,$ ,
каждая диагональ имеет длину $d = ℓ 2 + w 2 {\ displaystyle d = {\ sqrt {\ ell ^ {2} + w ^ {2}}}}$ $d = \ sqrt {\ ell ^ 2 + w ^ 2}$ ,
и когда $ℓ = w {\ displaystyle \ ell = w \,}$ $\ ell = w \,$ , прямоугольник представляет собой квадрат .

Теоремы

Изопериметрическая теорема для прямоугольников утверждает, что среди всех прямоугольников с заданным периметром квадрат имеет самую большую площадь .

Середины сторон любого четырехугольника с перпендикуляром диагоналями образуют прямоугольник.

A параллелограмм с равными диагоналями представляет собой прямоугольник.

Японская теорема для циклических четырехугольников утверждает, что центры четырех треугольников, определяемые вершинами циклического четырехугольника, взятого по три за раз, образуют прямоугольник.

Теорема британского флага утверждает, что с вершинами, обозначенными A, B, C и D, для любой точки P на той же плоскости прямоугольника:

(AP) 2 + (CP) 2 = (BP) 2 + (DP) 2. {\ displaystyle \ displaystyle (AP) ^ {2} + (CP) ^ {2} = (BP) ^ {2} + (DP) ^ {2}.}

\ displaystyle (AP) ^ 2 + (CP) ^ 2 = (BP) ^ 2 + (DP) ^ 2.

Для каждого выпуклого тела C на плоскости мы можем вписать прямоугольник r в C так, чтобы гомотетическая копия R r была описана вокруг C и положительное отношение гомотетии не превышало 2 и $0,5 × Площадь (R) ≤ Площадь (C) ≤ 2 × Площадь (r) {\ displaystyle 0.5 {\ text {× Area}} (R) \ leq {\ text {Area}} (C) \ leq 2 {\ text {× Area} } (r)}$ $0,5 {\ text {× Area}} (R) \ leq {\ text {Area}} (C) \ leq 2 {\ text {× Area}} (r)$ .

Перекрещенные прямоугольники

A скрещенные (самопересекающиеся) четырехугольники состоят из двух противоположных сторон несамопересекающегося четырехугольника вместе с двумя диагоналями. Точно так же скрещенный прямоугольник - это скрещенный четырехугольник, который состоит из двух противоположных сторон прямоугольника вместе с двумя диагоналями. Он имеет то же расположение вершин , что и прямоугольник. Он выглядит как два идентичных треугольника с общей вершиной, но геометрическое пересечение не считается вершиной.

Скрещенный четырехугольник иногда сравнивают с галстуком-бабочкой или бабочкой. Скрученная трехмерная прямоугольная проволочная рамка может принимать форму галстука-бабочки. Перекрещенный прямоугольник иногда называют угловой восьмеркой.

Внутренняя часть скрещенного прямоугольника может иметь плотность многоугольника в каждом треугольнике, равную ± 1, в зависимости от ориентации намотки по часовой стрелке или против часовой стрелки.

Перекрещенный прямоугольник не является равноугольным. Сумма его внутренних углов (два острых и два рефлекса ), как и у любого скрещенного четырехугольника, составляет 720 °.

Прямоугольник и скрещенный прямоугольник являются четырехугольниками. со следующими общими свойствами:

Противоположные стороны равны по длине.
Две диагонали равны по длине.
Он имеет две линии симметрии отражения и симметрии вращения 2-го порядка (на 180 °).

Другие прямоугольники

A седловидный прямоугольник имеет 4 неплоские вершины, чередующиеся с вершинами кубоида, с уникальным минимальным поверхность внутренняя, определенная как линейная комбинация четырех вершин, образующая седловидную поверхность. В этом примере показаны 4 синих края прямоугольника и две зеленые диагонали, все из которых являются диагональю кубовидных прямоугольных граней.

В сферической геометрии, сферический прямоугольник - это фигура, четыре ребра которой представляют собой дуги большого круга, которые пересекаются под равными углами более 90 °. Противоположные дуги равны по длине. Поверхность сферы в евклидовой твердотельной геометрии является неевклидовой поверхностью в смысле эллиптической геометрии. Сферическая геометрия - это простейшая форма эллиптической геометрии.

В эллиптической геометрии, эллиптический прямоугольник - это фигура в эллиптической плоскости, четыре ребра которой являются эллиптическими дугами, которые пересекаются под равными углами более 90 °. Противоположные дуги равны по длине.

В гиперболической геометрии, гиперболический прямоугольник - это фигура в гиперболической плоскости, четыре ребра которой являются гиперболическими дугами, которые встречаются под равными углами менее 90 °. Противоположные дуги равны по длине.

Тесселяции

Прямоугольник используется во многих периодических узорах тесселяции, в кирпичной кладке, например, в этих мозаиках:

. Сложенная связь

. Склейка

. Плетение корзины

. Плетение корзины

. Рисунок «елочка»

Квадратные, идеальные и другие мозаичные прямоугольники

Прямоугольник, выложенный квадратами, прямоугольниками или треугольниками, называется прямоугольник "квадрат", "прямоугольник" или "треугольник" (или "треугольник") соответственно. Прямоугольник с мозаикой идеален, если плитки подобны и имеют конечное число, и нет двух плиток одинакового размера. Если две такие плитки одинакового размера, плитка неидеальна. В идеальном (или несовершенном) треугольном прямоугольнике треугольники должны быть прямыми треугольниками.

. Прямоугольник имеет соизмеримые стороны тогда и только тогда, когда он может быть выложен конечным числом неравных квадратов. То же самое верно, если плитки - неравные равнобедренные прямоугольные.

мозаики прямоугольников другими плитками, которые привлекли наибольшее внимание, - это совпадающие непрямоугольные полимино, допускающие все вращения и размышления. Есть также мозаики по конгруэнтным полиаболо.

См. Также

Кубоид
Золотой прямоугольник
Гиперпрямоугольник
Суперэллипс (включает прямоугольник с закругленными углами)

Ссылки

Внешние ссылки

Викискладе есть медиафайлы, связанные с Прямоугольниками.

Вайсштейном, Эриком У. «Прямоугольником». MathWorld.
Определение и свойства прямоугольника с интерактивной анимацией.
Площадь прямоугольника с интерактивной анимацией.