Вращательная симметрия

редактировать

Симметрия (что-то похожее) при вращении трискелион, появляющийся на острове Флаг Человека имеет симметрию вращения, потому что он выглядит таким же, когда вращается на одну треть полного оборота вокруг своего центра. Поскольку его внешний вид идентичен в трех различных ориентациях, его вращательная симметрия является тройной.

Вращательная симметрия, также известная как радиальная симметрия в биологии, - это свойство формы, когда она выглядит то же самое после некоторого поворота на частичный оборот. Степень вращательной симметрии объекта - это количество различных ориентаций, при которых он выглядит одинаково при каждом повороте.

Содержание

  • 1 Формальная обработка
    • 1.1 Дискретная симметрия вращения
    • 1.2 Примеры
    • 1.3 Несколько осей симметрии, проходящие через одну и ту же точку
    • 1.4 Вращательная симметрия относительно любого угла
    • 1.5 Вращательная симметрия с трансляционной симметрией
  • 2 См. также
  • 3 Ссылки
  • 4 Внешние ссылки

Формальная обработка

Формально вращательная симметрия - это симметрия относительно некоторых или всех вращения в m-мерном евклидовом пространстве. Вращения - это прямые изометрии, то есть изометрии, сохраняющие ориентацию. Следовательно, группа симметрии вращательной симметрии является подгруппой в E (m) (см. евклидова группа ).

Симметрия относительно всех вращений вокруг всех точек подразумевает трансляционную симметрию относительно всех трансляций, поэтому пространство однородно, а группа симметрии - это все E (m). С измененным понятием симметрии для векторных полей группа симметрии также может быть E (m).

Для симметрии относительно вращений вокруг точки мы можем принять эту точку за начало координат. Эти вращения образуют специальную ортогональную группу SO (m), группу ортогональных матриц размером m × m с определителем 1. Для m = 3 это группа вращений SO ( 3).

В другом определении слова группа вращения объекта - это группа симметрии внутри E (n), группа прямых изометрий ; другими словами, пересечение полной группы симметрии и группы прямых изометрий. Для хиральных объектов это то же самое, что и полная группа симметрии.

Законы физики являются SO (3) -инвариантными, если они не различают разные направления в пространстве. Из-за теоремы Нётер вращательная симметрия физической системы эквивалентна закону сохранения углового момента.

Дискретная вращательная симметрия

Вращательная симметрия n-го порядка, также называемая n-кратной вращательной симметрией или дискретной вращательной симметрией n-го порядка, относительно конкретной точки (в 2D) или оси (в 3D) означает, что поворот на угол 360 ° / n (180 °, 120 °, 90 °, 72 °, 60 °, 51 ⁄ 7 ° и т. Д.) Не меняет объект. «Односторонняя» симметрия - это несимметрия (все объекты выглядят одинаково после поворота на 360 °).

обозначение для n-кратной симметрии - Cnили просто «n». Фактическая группа симметрии определяется точкой или осью симметрии вместе с n. Для каждой точки или оси симметрии тип абстрактной группы - это циклическая группа порядка n, Z n. Хотя для последнего также используется обозначение C n, следует различать геометрическое и абстрактное C n : существуют другие группы симметрии того же абстрактного типа группы, которые геометрически различны, см. циклические группы симметрии в 3D.

фундаментальная область - это сектор 360 ° / n.

Примеры без дополнительной симметрии отражения :

Cn- группа вращения правильного n-стороннего многоугольника в 2D и правильного n-сторонняя пирамида в 3D.

Если есть, например, вращательная симметрия относительно угла 100 °, затем также относительно одного из 20 °, наибольший общий делитель 100 ° и 360 °.

Типичный трехмерный объект с вращательной симметрией (возможно, также с перпендикулярными осями), но без зеркальной симметрии - это пропеллер.

Примеры

C2 (подробнее )C3 (подробнее )C4 (подробнее )C5 (подробнее )C6 (подробнее )
Двойной маятник переворачивает graph.png . Двойной фрактал маятника Дорожный знак Финляндия 166.svg . Круговая развязка дорожный знак Звезда двухсотлетия США 1976 г. (геометрия).svg . Двухсотлетие США Звезда. Круг на полях в перспективе
En-300px-Shogi.png . Исходная позиция в блокировке сёги Snoldelev-three-interlaced-horns.svg . Снолделев Стоун, связанных рожков для питья,Op-art-4-sided-spiral-tunnel-7.svg 15crossings-декоративный-knot.svg Olavsrose.svg

Несколько осей симметрии через одну и ту же точку

Для дискретной симметрии с несколькими осями симметрии, проходящими через одну и ту же точку, существуют следующие возможности:

  • Помимо n-кратной оси, n перпендикулярные оси 2-го порядка: диэдральные группы Dnпорядка 2n (n ≥ 2). Это группа вращения правильной призмы или правильной бипирамиды. Хотя используются те же обозначения, следует различать геометрический и абстрактный D n : существуют другие группы симметрии тот же абстрактный тип группы, которые геометрически различны, см. группы диэдральной симметрии в 3D.
  • 4 × 3-кратных и 3 × 2-кратных осях: группа вращения T порядка 12 правильного тетраэдра. Группа изоморфна чередующейся группе A4.
  • 3 × 4-кратной, 4 × 3-кратной и 6 × 2-кратной осям: группа вращения O порядка 24 из куб и правильный октаэдр. Группа изоморфна симметричной группе S4.
  • 6 × 5-кратных, 10 × 3-кратных и 15 × 2-кратных осей: группе вращения I порядка 60 додекаэдра и икосаэдр. Группа изоморфна знакопеременной группе A 5. Группа содержит 10 версий D 3 и 6 версий D 5 (симметрии вращения, такие как призмы и антипризмы).

В случае Платоновых тел, оси 2-го порядка проходят через середины противоположных краев, и их количество составляет половину числа ребер. Другие оси проходят через противоположные вершины и центры противоположных граней, за исключением случая тетраэдра, где каждая из трех осей проходит через одну вершину и центр одной грани.

Поворотная симметрия относительно любого угла

Поворотная симметрия относительно любого угла в двух измерениях - это круговая симметрия. Основная область - это полуоси.

В трех измерениях мы можем различать цилиндрическую симметрию и сферическую симметрию (без изменений при вращении вокруг одной оси или при любом вращении). То есть никакой зависимости от угла с использованием цилиндрических координат и никакой зависимости от любого угла с использованием сферических координат. Основная область представляет собой полуплоскость, проходящую через ось, и радиальную полуплоскость, соответственно. Осесимметричный или осесимметричный - это прилагательные, которые относятся к объекту, имеющему цилиндрическую симметрию или осесимметрию (т. Е. Симметрию вращения относительно центральной оси) как бублик (тор ). Примером приблизительной сферической симметрии является Земля (по плотности и другим физическим и химическим свойствам).

В 4D непрерывная или дискретная симметрия вращения относительно плоскости соответствует соответствующей двумерной симметрии вращения в каждой перпендикулярной плоскости относительно точки пересечения. Объект также может иметь симметрию вращения относительно двух перпендикулярных плоскостей, например если это декартово произведение двух двухмерных фигур с осевой симметрией, как, например, в случае дуоцилиндр и различные правильные дуопризмы.

Вращательная симметрия с трансляционной симметрией

Диаграмма группы обоев p4.png . Расположение внутри примитивной ячейки из 2- и 4-кратных ротоцентров. основной домен обозначен желтым цветом.Групповая диаграмма обоев p6.png . Расположение в примитивной ячейке 2-, 3- и 6-кратных ротоцентров, по отдельности или в комбинации (рассматривайте 6-кратный символ как комбинацию 2- и 3-кратного символа); только в случае 2-кратной симметрии форма параллелограмма может быть другой. В случае p6 основная область обозначена желтым цветом.

2-кратная вращательная симметрия вместе с одинарной трансляционной симметрией является одной из групп Фриза. На каждую примитивную ячейку .

приходится два ротоцентра. Вместе с двойной трансляционной симметрией группы вращения представляют собой следующие группы обоев с осями на примитивную ячейку:

  • p2 (2222): 4 × 2 -сложить; группа вращения параллелограммной, прямоугольной и ромбической решетки.
  • p3 (333): 3 × 3-кратная; не группа вращений какой-либо решетки (каждая решетка в перевернутом виде одинакова, но это не относится к этой симметрии); это например группа вращения правильной треугольной мозаики с чередующимися раскрашенными равносторонними треугольниками.
  • p4 (442): 2 × 4-кратное, 2 × 2-кратное; группа вращения квадратной решетки.
  • p6 (632): 1 × 6-кратное, 2 × 3-кратное, 3 × 2-кратное; группа вращения гексагональной решетки.
  • 2-кратные ротоцентры (включая возможные 4-кратные и 6-кратные), если они вообще присутствуют, образуют транслят решетки, равный трансляционному решетка, масштабированная в 1/2 раза. В случае трансляционной симметрии в одном измерении применяется аналогичное свойство, хотя термин «решетка» не применяется.
  • 3-кратные ротоцентры (включая возможные 6-кратные), если они вообще есть, образуют регулярный шестиугольная решетка, равная поступательной решетке, повернутая на 30 ° (или, что эквивалентно, 90 °), и масштабированная в раз 1 3 3 {\ displaystyle {\ frac {1} {3}} {\ sqrt {3}} }\ frac {1} {3} \ sqrt { 3}
  • 4-кратные ротоцентры, если они вообще есть, образуют правильную квадратную решетку, равную трансляционной решетке, повернутую на 45 ° и масштабируемую с коэффициентом 1 2 2 {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {2}}}\ frac {1} {2} \ sqrt {2}
  • 6-кратные ротоцентры, если они вообще есть, образуют правильную гексагональную решетку, которая является трансляцией поступательной решетки.

Масштабирование решетки делит количество точек на единицу площади на квадрат масштабного коэффициента. Следовательно, количество 2-, 3-, 4- и 6-кратных ротоцентров на одну примитивную ячейку равно 4, 3, 2 и 1, соответственно, снова включая 4-кратный как частный случай 2-кратного и т. Д.

Трехкратная симметрия вращения в одной точке и двукратная в другой (или то же самое в 3D по отношению к параллельным осям) подразумевает группу вращения p6, то есть двойную трансляционную симметрию и шестикратную симметрию вращения в некоторой точке (или, в 3D, параллельная ось). Расстояние переноса для симметрии, созданной одной такой парой ротоцентров, составляет 2 3 {\ displaystyle 2 {\ sqrt {3}}}{\ displaystyle 2 {\ sqrt {3}}} раз их расстояние.

Евклидова плоскостьГиперболическая плоскость
Мозаика V46b.svg . Треугольная мозаика Гексакиса, пример p6, [6,3], (632) (с цветами) и p6m, [6,3], (* 632) (без цветов); линии являются осями отражения, если цвета игнорируются, и осью симметрии особого вида, если цвета не игнорируются: отражение меняет цвета. Можно выделить прямоугольные линейные сетки в трех ориентациях.Heptakis Heptagonal tiling.png . Заказ 3-7 kisrhombille, пример симметрии [7,3] (732) и [7,3], (* 732) (без цветов)

См. Также

Литература

  • Weyl, Hermann (1982) [1952]. Симметрия. Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02374-3. Цитата имеет пустой неизвестный параметр: | coauthors =()

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-04 10:56:55
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте