Войти
На сфере сумма углов треугольника не равна 180 °. Сфера не является евклидовым пространством, но локально законы евклидовой геометрии являются хорошими приближениями. В маленьком треугольнике на поверхности земли сумма углов лишь немногим больше 180 градусов. Поверхность сферы может быть представлена набором двумерных карт. Следовательно, это двумерное многообразие.
Сфера с треугольником на ней. Сферическая геометрия - это геометрия двух- мерного поверхность сферы. Это пример геометрии , которая не является евклидовой. Два практических применения принципов сферической геометрии: навигация и астрономия.
В плоская (евклидова) геометрия, основные понятия - точки и (прямые) прямые. На сфере точки определяются в обычном смысле. Эквиваленты прямых определяются не в обычном смысле слова «прямая линия» в евклидовой геометрии, а в смысле «кратчайших путей между точками», которые называются геодезическими. На сфере геодезические - это большие круги ; другие геометрические концепции определены как в плоской геометрии, но с прямыми линиями, замененными большими кругами. Таким образом, в сферической геометрии углы определены между большими окружностями, что приводит к сферической тригонометрии, которая во многих отношениях отличается от обычной тригонометрии ; например, сумма внутренних углов треугольника превышает 180 градусов.
Сферическая геометрия - это не эллиптическая геометрия, а скорее подмножество эллиптической геометрии. Например, он разделяет с этой геометрией свойство, заключающееся в том, что линия не имеет параллелей через данную точку. Сравните это с евклидовой геометрией, в которой линия имеет одну параллель, проходящую через данную точку, и гиперболической геометрией, в которой прямая имеет две параллели и бесконечное количество ультрапараллелей, проходящих через данную точку. точка.
Важной геометрией, связанной с геометрией сферы, является геометрия реальной проективной плоскости ; он получается путем определения противоположных точек (пар противоположных точек) на сфере. Локально проективная плоскость обладает всеми свойствами сферической геометрии, но имеет другие глобальные свойства. В частности, это неориентируемый, или односторонний.
Концепции сферической геометрии также могут применяться к продолговатой сфере, хотя в определенные формулы должны быть внесены небольшие изменения.
Существуют многомерные сферические геометрии; см. эллиптическая геометрия.
Самая ранняя математическая работа древности, дошедшая до нашего времени, - «О вращающейся сфере» (Περὶ κινουμένης σφαίρας, Peri kinoumenes sphairas) Автолика Питанского, жившего в конце четвертого века до нашей эры.
Сферическую тригонометрию изучали первые греческие математики, такие как Феодосий из Вифиния, греческий астроном и математик, написавший Sphaerics, книгу по геометрии сферы, и Менелай Александрийский, который написал книгу по сферической тригонометрии под названием Sphaerica и разработал теорему Менелая.
Книга Неизвестных Дуг Сферы, написанная исламским математиком Аль-Джайани, считается первым трактатом о сферических тригонометрия. В книге содержатся формулы для правых треугольников, общий закон синусов и решение сферического треугольника с помощью полярного треугольника.
Книга Региомонтана о треугольниках, написанная около 1463 г., это первая чисто тригонометрическая работа в Европе. Однако Джероламо Кардано отметил столетие спустя, что большая часть его материала по сферической тригонометрии была взята из работ двенадцатого века андалузского ученого Джабира ибн Афлаха.
Леонард Эйлер опубликовал серию важных воспоминаний о сферической геометрии:
Если точки определены как точки на сфере, а линии - как большие окружности этой сферы, сферическая геометрия обладает следующими свойствами:
Поскольку есть две дуги (линия s egments) определяется парой точек, которые не являются антиподами, на линии, которую они определяют, три неколлинеарных точки не определяют уникальный треугольник. Однако, если мы рассматриваем только треугольники, стороны которых являются малыми дугами больших окружностей, у нас есть следующие свойства:
Сферическая геометрия подчиняется два из постулатов Евклида : второй постулат («произвести [продолжить] конечную прямую линию непрерывно по прямой линии») и t четвертый постулат («что все прямые углы равны друг другу»). Однако это нарушает три других: вопреки первому постулату не существует единственного кратчайшего маршрута между любыми двумя точками (противоположные точки, такие как северный и южный полюса на сферическом глобусе, являются контрпримерами); вопреки третьему постулату, сфера не содержит кругов сколь угодно большого радиуса; и вопреки пятому (параллельному) постулату, нет точки, через которую можно провести линию, которая никогда не пересекает данную линию.
Утверждение, эквивалентное постулату параллельности, что существует треугольник, сумма углов которого равна 180 °. Поскольку сферическая геометрия нарушает постулат параллельности, такого треугольника на поверхности сферы не существует. Сумма углов треугольника на сфере равна 180 ° (1 + 4f), где f - часть поверхности сферы, заключенная в треугольник. Для любого положительного значения f это превышает 180 °.
 | На Викискладе есть материалы, связанные с Сферической геометрией. |
