A сфера ( от греч. σφαῖρα - sphaira, «глобус, шар») - это геометрический объект в трехмерном пространстве, то есть поверхность шара ( то есть аналогично круглым объектам в двух измерениях, где «круг » представлен его «диск» ).
Подобно кругу в двухмерном пространстве, сфера математически определяется как набор точек, находящихся на одинаковом расстоянии r от данной точки в трехмерном пространстве.. Это расстояние r представляет собой радиус мяча, который из всех точек, находящихся на расстоянии меньше (или для закрытого шара, меньше или равно) r от данной точки, т.е. центр математического шара. Их также называют радиусом и сферы соответственно. Самый длинный прямой отрезок шара, соединяющий точки сферы, проходит через центр, и его длина, таким образом, вдвое больше радиуса; это диаметр как сферы, так и шара.
Хотя вне математики термины «сфера» и «шар» иногда используются взаимозаменяемые, в математике указанное выше различие проводится между сферой, которая является двумерным замкнутым видом , встроенная в трехмерном евклидово пространстве, и шар, который представляет собой трехмерную форму, включающую сферу и все, находится внутри сферы (замкнутый шар), или чаще, просто точки внутри, а не на сфере (открытый шар). Различие между шаром и сферой не всегда поддерживалось, и особенно старые математические ссылки говорят о сфере как о твердом теле. Это аналогично ситуации в плоскости, где термины «круг» и «диск» также могут быть перепутаны.
В аналитической геометрии сфера с центром (x 0, y 0, z 0) и d радиус r - это геометрическое место всех точек (x, y, z), таких что
Пусть a, b, c, d, e - действительные числа с a ≠ 0, и положим
Тогда уравнение
не имеет вещественных точек в качестве решений, и является уравнением воображаемой сферы . Если , единственное решение - точка , и уравнение называется уравнением точечной сферы . Наконец, в случае , - уравнение сферы с центром в и радиусом .
Если в приведенном выше уравнении равно нулю, тогда f (x, y, z) = 0 - это уравнение плоскости. Таким образом, плоскость можно представить как сферу бесконечного радиуса, центр которой является точкой на бесконечности.
Точки на сфере с радиусом и center можно параметры с помощью
Параметр может быть связан с положительным углом, отсчитываемым от направления положительной оси Z через центр к радиус-вектору, параметр может быть связан с положительным углом, отсчитываемым от направления положительной оси x через центр проекции радиус-вектор на плоскость xy.
Сфера любого радиуса с интегральной поверхностью дифференциальной формы :
Это уравнение отражает, что положение положения и скорости точки (x, y, z) и (dx, dy, dz), движущиеся по сфере, всегда ортогональны друг к другу.
Сфера также может быть сконструирована как поверхность, образованная вращение окружения вокруг любого из ее диаметров. Круг - это особый тип эллипса, сфера - это особый тип эллипсоида вращения. Заменив круг на эллипс, повернутый вокруг своей главной оси , форма станет вытянутым сфероидом ; вращающийся вокруг малой оси, сплюснутый сфероид.
В трех измерений, объем внутри сферы (то есть объем шар, но классически называемый объем сферы) равно
где r - радиус d - диаметр сферы. Архимед первым вывел эту формулу, показав, что объем внутри сферы вдвое больше между сферой и окруженным ром этой сферы (имеющей высоту и диаметр цилиндра равенру шара). Это можно доказать, вписав конус в перевернутую полусферу, отметив, что площадь поперечного сечения конуса плюс площадь поперечного сечения сферы такая же, как и площадь поперечного сечения описывающего цилиндра., и применяя принцип Кавальери. Эта формула также может быть получена с использованием интегогочисления, то есть дискового интегрирования для суммирования системы измерения бесконечного из круговых дисков бесконечно малых небольшая толщина, сложенная бок о бок и центрированная по оси x от x = −r до x = r, предполагая, что сфера радиуса r центрирована в начале координат.
При любом заданном x приращенном объеме (δV) равенство произведению площади поперечного сечения диска в точке x на его толщину (δx):
Общий объем - это сумма всех дополнительных областей:
В пределе, когда δx приближается к нулю, это уравнение принимает следующий вид:
В любом заданном x прямоугольный треугольник соединяет x, y и r с началом координат; Следовательно, применение теоремы Пифагора дает:
Использование этой замены дает
который может быть вычислен для достижения результата
Альтернативная формула находится с использованием сферических координат с Схема объема
поэтому
Для большинства практических целей объем внутри сферы , вписанной в куб, может быть равен 52,4% от объема куба, поскольку V = π / 6 d, где d - диаметр сферы, а также длину стороны куба и π / 6 ≈ 0,5236. Например, сфера диаметром 1 м имеет 52,4% куба с длиной ребра 1 м 0,524 м.
Площадь сферы радиуса r составляет:
Архимед первым вывел формулу из того факта, что проекция на боковую поверхность описанного цилиндра поддерживает эту площадь. Другой подход к получению формулы исходит из того факта, что она равна производной формулы для объема по r, потому что полный объем внутри сферы радиуса можно рассматривать как сумму поверхности бесконечного числа сферических оболочек бесконечно малой толщины, концентрически уложенных друг в друга от радиуса 0 до радиуса r. При бесконечно малой толщине поверхности на внутренней и внешней поверхности любой толщины бесконечно мало, бесконечно малой толщины.
При любом заданном радиусе r дополнительный объем (δV) равенство произведению площади поверхности на радиусе r (A (r)) на толщину оболочки (δr):
Общий объем - это сумма всех возможностей оболочки:
В пределе, когда δr приближается к нулю, это уравнение принимает следующий вид:
Заменить V:
Дифференцируя обе части этого уравнения с помощью относительно r дает A как функцию от r:
Обычно это сокращается как:
где r считается фиксированным радиусом сферы.
В качестве альтернативы, элемент области на сфере задается в сферических координатах как dA = r sin θ dθ dφ. В декартовых координат элемент площади равенство
Таким образом, общая площадь может быть получена путем интегрирования :
Сфера имеет наименьшую площадь поверхности из всех поверхностей, которые охватывают объем среди всех закрытых поверхностей с данной поверхностью. Таким образом, сфера появляется в природе: например, пузырьки и маленькие капли воды имеют примерно сферическую форму, потому что поверхностное натяжение локально минимизирует площадь поверхности.
Площадь поверхности относительно шара массы называется удельной площадью поверхности и может быть выражена из приведенных выше уравнений как
где ρ - плотность (отношение массы к объему).
В случае круга, круг может быть описан параметрическим уравнением : см. Плоское сечение эллипсоида.
. Не пустое пересечение поверхности по кругу , которое содержит центр сферы (соосны), состоит из окружностей и / или точек.
На схеме показан случай, когда цилиндр и сфера состоят из двух окружностей. Если бы радиус цилиндра был равен радиусу сферы, то пересечение было бы одним кругом, где обе поверхности касаются друг друга.
В случае сфероида с тем же центром и большой осью, что и сфера, пересечение будет состоять из двух точек (вершин), где поверхность касаются друг друга.
Если сфера описывается параметрическим представлением
получается кривые Клелии, если углы связаны уравнением
Особые случаи: Кривая Вивиани () и сферические спирали ().
В навигации, прямая линия или локсодромия представляет собой дугу, пересекающую все меридианы из долготы под тем же углом. Линия румба- это не сферическая спираль. Нет простой связи между углами и .
Если сфера пересекается другая поверхность, могут быть более сложные сферические кривые.
Пример: сфера - цилиндр
Пересечение сферы с уравнением и цилиндр с уравнением - это не просто один или два круга. Это решение нелинейной системы уравнений
(см. неявную кривую и диаграмму)
Сфера однозначно определяет четырьмя точками, которые не копланарны. В более общем смысле, сфера однозначно определяется четырьмя условиями, такими как прохождение через точку, касание к плоскости и т. Д. Это свойство аналогично тому, что три неколлинеарных точки определенные уникальный круг в самолет.
Следовательно, сфера однозначно определяется (то есть проходит через) окружностью и точкой, не лежащей в этом круге.
Изучив общие решения двух сфер, можно увидеть, что две сферы пересекаются по окружности, и плоскость, содержащаяся этот круг, называется радикальной плоскостью пересекающихся сфер. Хотя радикальная плоскость является реальной плоскостью, круг может быть воображаемым (у сфер нет общей реальной точки) или состоять из одной точки (сфера касаются в этой точке).
Угол между двумя кругами в реальной точке пересечения - это двугранный угол . Две сферы пересекаются одним и тем же углом во всех точках круга пересечения. Они пересекаются под прямым углом (ортогональны ) тогда и только тогда, когда квадрат между их центрами равен сумме квадратов их радиусов.
Если f (x, y, z) = 0 и g (x, y, z) = 0 - уравнения двух различных сфер, то
также является уравнением сферы для произвольных значений параметров s и т. Набор всех сфер, удовлетворяющих этому уравнению, называется пучком сфер определяемым двумя исходными сферами. В этом определении сфера может быть плоскостью (бесконечный радиус, центр в бесконечности), и если внутренняя сфера имеет плоскость, тогда все сферы могут быть плоскостью, в противном случае в плоскости есть одна плоскость (радикальная плоскость). карандаш.
A большого круга на сфере тот же центр и радиус, что и сфера, следовательно, разделяют его на две равные части. плоские сечения называются сферическими сечениями - либо большие круги для плоскостей, проходящих через центр сферы, либо маленькие круги для всех остальных.
Любая плоскость, которая включает в себя центр сферы, делит ее на два равных полушария . Любые две пересекающиеся плоскости, которые включают центр сферы, делят сферу на четыре лунки или двуугольника, вершины совпадают с противоположными точками, лежащими на линии пересечения плоскостей..
Любая пара точек на сфере, лежащих на прямой линии, проходящей через центр сферы (т.е. диаметр), называется точки противоположности - на сфере между ними равной длины окружности. Любая другая (т.е. не антиподальная) пара различных точек на сфере
Сферическая геометрия обладает свойствами, аналогичными евклидовой, когда-то оснащенной этим "расстояние по дуге ".
И более абстрактное обобщение геометрии также использует ту же концепцию расстояния в Римановом круге.
Полушарие предположил, что является оптимальным (с наименьшей площадью) изометрическим заполнением римановой окружности.
Антиподальное частное сферы - это поверхность, называемая реальной проективной плоскостью, которое также можно рассматривать как северное полушарие с идентифицированными точками-антиподами экватора.
Термины, заимствованные непосредственно из географии Земли, несмотря на то, что ее сфероидальная форма имеет большие или меньшие отклонения от идеальной сферы (см. геоид ), широко