Копланарность

редактировать

В geometry набор точек в пространстве является копланарным, если существует геометрическая плоскость, содержащая их все. Например, три точки всегда копланарны, и если точки разные и неколлинеарны, определяемая ими плоскость уникальна. Однако набор из четырех или более различных точек, как правило, не будет лежать в одной плоскости.

Две линии в трехмерном пространстве копланарны, если есть плоскость, которая включает их обе. Это происходит, если линии параллельны или если они пересекаются друг с другом. Две линии, которые не являются компланарными, называются наклонными линиями.

Геометрия расстояний обеспечивает технику решения проблемы определения того, является ли набор точек компланарным, зная только расстояния между ними.

Содержание

1 Свойства в трех измерениях
2 Копланарность точек в n измерениях с заданными координатами
3 Геометрические формы
4 См. Также
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Свойства в трех измерениях

В трехмерном пространстве два линейно независимых вектора с одинаковой начальной точкой определяют плоскость, проходящую через эту точку. Их перекрестное произведение является вектором нормали к этой плоскости, и любой вектор , ортогональный этому перекрестному произведению через начальную точку, будет лежать в плоскости. Это приводит к следующему тесту на компланарность с использованием тройного скалярного произведения :

Четыре различных точки, x 1, x 2, x 3 и x 4 компланарны тогда и только тогда, когда

[(x 2 - x 1) × (x 4 - x 1)] ⋅ (x 3 - x 1) = 0. {\ displaystyle [( x_ {2} -x_ {1}) \ times (x_ {4} -x_ {1})] \ cdot (x_ {3} -x_ {1}) = 0.}

{\ displaystyle [(x_ {2} -x_ {1}) \ times (x_ {4} -x_ {1 })] \ cdot (x_ {3} -x_ {1}) = 0.}

, что также эквивалентно

(Икс 2 - Икс 1) ⋅ [(Икс 4 - Икс 1) × (Икс 3 - Икс 1)] = 0. {\ Displaystyle (x_ {2} -x_ {1}) \ cdot [(x_ { 4} -x_ {1}) \ times (x_ {3} -x_ {1})] = 0.}

{\ displaystyle (x_ {2} -x_ {1}) \ cdot [(x_ {4} -x_ {1}) \ times (x_ {3} -x_ {1})] = 0.}

Если три вектора a, bи c копланарны, то если a⋅b= 0 (т. Е. a и b ортогональны), то

(c) a ^) a ^ + (c) b ^) b ^ = c, {\ displaystyle (\ mathbf {c} \ cdot \ mathbf {\ hat {a}}) \ mathbf {\ hat {a}} + (\ mathbf {c} \ cdot \ mathbf {\ hat {b}}) \ mathbf { \ hat {b}} = \ mathbf {c},}

(\ mathbf {c} \ cdot \ mathbf {\ hat a}) \ mathbf {\ hat a} + (\ mathbf {c} \ cdot \ mathbf {\ hat b}) \ mathbf {\ hat b} = \ mathbf {c},

где $a ^ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {a}}}$ $\ mathbf {\ hat {a}}$ обозначает единичный вектор в направлении а . Таким образом, векторные проекции из c на a и c на b складываются, чтобы получить исходный c.

Копланарность точек в n измерениях с заданными координатами

Поскольку три или меньше точек всегда копланарны, проблема определения того, когда набор точек компланарен, обычно представляет интерес только тогда, когда имеется не менее четырех точек участвует. В случае, если имеется ровно четыре точки, можно использовать несколько специальных методов, но общий метод, который работает для любого количества точек, использует векторные методы и свойство, что плоскость определяется двумя линейно независимыми векторами.

В n-мерном пространстве (n ≥ 3) набор из k точек, {p 0, p 1,..., p k - 1 } компланарны тогда и только тогда, когда матрица их относительных разностей, то есть матрица, столбцы (или строки) которой являются векторами $p 0 p 1 →, p 0 p 2 →,…, p 0 pk - 1 → {\ displaystyle {\ overrightarrow {p_ {0} p_ {1}}}, {\ overrightarrow {p_ {0} p_ {2}}}, \ ldots, {\ overrightarrow {p_ {0} p_ {k) -1}}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {p_ {0} p_ {1}}}, {\ overrightarrow {p_ {0} p_ {2}}}, \ ldots, {\ overrightarrow {p_ {0} p_ {k-1}}}}$ имеет ранг 2 или меньше.

Например, для четырех точек X = (x 1, x 2,..., x n), Y = (y 1, y 2,..., y n), Z = (z 1, z 2,..., z n) и W = (w 1, w 2,..., w n), если матрица

[x 1 - w 1 x 2 - w 2… xn - wny 1 - w 1 y 2 - w 2… yn - wnz 1 - w 1 z 2 - w 2 … Zn - wn] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x_ {1} -w_ {1} x_ {2} -w_ {2} \ dots x_ {n} -w_ {n} \\ y_ {1} -w_ {1} y_ {2} -w_ {2} \ dots y_ {n} -w_ {n} \\ z_ {1} -w_ {1} z_ {2} -w_ {2} \ dots z_ {n} -w_ {n} \\\ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x_ {1} -w_ {1} x_ {2} -w_ {2} \ dots x_ {n} -w_ {n} \\ y_ {1} -w_ {1} y_ {2} -w_ {2} \ dots y_ {n} -w_ {n} \\ z_ {1} -w_ {1} z_ {2} -w_ {2} \ dots z_ {n} -w_ {n} \\\ end {bmatrix}}}

имеет ранг 2 или меньше, четыре точки копланарны.

В частном случае плоскости, содержащей начало координат, свойство можно упростить следующим образом: набор из k точек и начало координат копланарны тогда и только тогда, когда матрица координат k очков имеет ранг 2 или меньше.

Геометрические формы

A косой многоугольник - это многоугольник, вершины которого не копланарны. Такой многоугольник должен иметь не менее четырех вершин; косых треугольников нет.

A многогранник с положительным объемом имеет вершины, которые не все компланарны.

См. Также

Ссылки

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик У. «Копланарность». MathWorld.