Диск (математика)

Диск с окружностью (C) в черном цвете, диаметром (D) в голубом, радиусом (R) красным, а центр (O) пурпурным.

В geometry, a disk (также spelled disc ) - это область на плоскости , ограниченная кругом . Диск называется закрытым, если он содержит круг, образующий его границу, и открытым, если его нет.

Содержание

• 1 Формулы
• 2 Свойства
• 3 См. Также
• 4 Ссылки

Формулы

В декартовых координатах открытый диск с центром $(a,\; b)\; \{\backslash \; displaystyle\; (a,\; b)\}$и радиусом R задается формулой

, а замкнутый круг с тем же центром и радиусом задается как

$D\; ¯\; =\; \{(x,\; y)\; \in \; R\; 2:\; (x\; -\; a)\; 2\; +\; (y\; -\; b)\; 2\; \le \; R\; 2\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{D\}\}\; =\; \backslash \; \{(x,\; y)\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{2\}\}\; :(\; xa)\; ^\; \{2\}\; +\; (yb)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; leq\; R\; ^\; \{2\}\; \backslash \}.\}$

область замкнутого или открытого диска радиуса R равна πR (см. область диска ).

Свойства

диск имеет круговую симметрию.

Открытый диск и закрытый диск не являются топологически эквивалентными (то есть они не гомеоморфны ), поскольку они имеют разные топологические свойства друг от друга. Например, каждый закрытый диск компактен, тогда как каждый открытый диск не компактен. Однако с точки зрения алгебраической топологии у них много общих свойств: оба они сжимаемы и поэтому гомотопически эквивалентны одной точке. Это означает, что их фундаментальные группы тривиальны, и все группы гомологий тривиальны, кроме 0-й группы, которая изоморфна Z . Эйлерова характеристика точки (и, следовательно, замкнутого или открытого диска) равна 1.

Каждая непрерывная карта из закрытого диск сам по себе имеет как минимум одну фиксированную точку (мы не требуем, чтобы карта была биективной или даже сюръективной ); это случай n = 2 из теоремы Брауэра о неподвижной точке. Утверждение неверно для открытого диска:

Рассмотрим, например, функцию $f\; (x,\; y)\; =\; (x\; +\; 1\; -\; y\; 2\; 2,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-y\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \{2\}\},\; y\; \backslash \; right)\}$который отображает каждую точку открытого единичного диска в другую точка на открытом единичном диске справа от заданного. Но для замкнутого единичного круга он фиксирует каждую точку на полукруге $x\; 2\; +\; y\; 2\; =\; 1,\; x>0.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; =\; 1,\; x>0.\}$

См. также

• Блочный диск, диск с радиусом один
• Кольцо (математика), область между двумя концентрическими окружностями
• Шар (математика), обычный термин для трехмерного аналога диска
• Дисковая алгебра, пространство функций на диске
• Ортоцентроидный диск, содержащий определенные центры треугольника

Ссылки