Риманова геометрия

редактировать
Эллиптическую геометрию также иногда называют «римановой геометрией».

Риманова геометрия - это ветвь дифференциальной геометрии, изучающая римановы многообразия, гладкие многообразия с римановой метрикой, то есть со скалярным произведением на касательном пространстве в каждой точке, которое плавно меняется от точки к точке. Это дает, в частности, местные понятия угла, длины кривых, площади поверхности и объема. Из них можно получить некоторые другие глобальные величины путем интегрирования местных вкладов.

Риманова геометрия возникла из видения Бернхарда Римана, выраженного в его вступительной лекции « Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen » («О гипотезах, на которых основана геометрия»). Это очень широкое и абстрактное обобщение дифференциала. геометрия поверхностей в R 3. Развитие римановой геометрии привело к синтезу различных результатов, касающихся геометрии поверхностей и поведения геодезических на них, с методами, которые могут быть применены к изучению дифференцируемых многообразий более высоких размерностей. Это позволило сформулировать Эйнштейн «с общей теорией относительности, сделали глубокое влияние на теории групп и теории представлений, а также анализ и стимулировал развитие алгебраической и дифференциальной топологии.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Введение
  • 2 Классические теоремы
    • 2.1 Общие теоремы
    • 2.2 Геометрия в целом
      • 2.2.1 Кривизна защемленного сечения
      • 2.2.2 Ограниченная снизу секционная кривизна
      • 2.2.3 Ограниченная сверху секционная кривизна
      • 2.2.4 Кривизна Риччи, ограниченная снизу
      • 2.2.5 Отрицательная кривизна Риччи
      • 2.2.6 Положительная скалярная кривизна
  • 3 См. Также
  • 4 Примечания
  • 5 ссылки
  • 6 Внешние ссылки

Вступление

Бернхард Риманн

Риманова геометрия была впервые предложена Бернхардом Риманом в 19 веке. Он имеет дело с широким спектром геометрий, метрические свойства которых меняются от точки к точке, включая стандартные типы неевклидовой геометрии.

Каждое гладкое многообразие допускает риманову метрику, которая часто помогает решать проблемы дифференциальной топологии. Он также служит начальным уровнем для более сложной структуры псевдоримановых многообразий, которые (в четырех измерениях) являются основными объектами общей теории относительности. Другие обобщения римановой геометрии включают финслерову геометрию.

Существует близкая аналогия дифференциальной геометрии с математической структурой дефектов в регулярных кристаллах. Вывихи и дисклинации вызывают скручивание и искривление.

Следующие статьи содержат полезный вводный материал:

Классические теоремы

Ниже приводится неполный список наиболее классических теорем римановой геометрии. Выбор делается в зависимости от его важности и элегантности формулировки. Большинство результатов можно найти в классической монографии Джеффа Чигера и Д. Эбина (см. Ниже).

Приведенные формулировки далеко не очень точные и не самые общие. Этот список ориентирован на тех, кто уже знает основные определения и хочет знать, о чем эти определения.

Общие теоремы

  1. Гаусса-Бонне теорема Интеграл от кривизны Гаусса на компактном 2-мерного риманова многообразия равна 2πχ ( М)где χ ( М) обозначает эйлерову характеристику из М. Эта теорема имеет обобщение на любое компактное четномерное риманово многообразие, см. Обобщенную теорему Гаусса-Бонне.
  2. Теоремы вложения Нэша. Они утверждают, что любое риманово многообразие может быть изометрически вложено в евклидово пространство R n.

Геометрия в целом

Во всех следующих теоремах мы предполагаем некоторое локальное поведение пространства (обычно формулируемое с использованием предположения кривизны), чтобы получить некоторую информацию о глобальной структуре пространства, включая либо некоторую информацию о топологическом типе многообразия, либо о поведении точек. на «достаточно больших» расстояниях.

Защемленная секционная кривизна

  1. Теорема о сфере. Если M - односвязное компактное n -мерное риманово многообразие с секционной кривизной, строго сжатой между 1/4 и 1, то M диффеоморфно сфере.
  2. Теорема Чигера о конечности. Для констант C, D и V существует лишь конечное число (с точностью до диффеоморфизма) компактных n -мерных римановых многообразий секционной кривизны | K | ≤ C, диаметр ≤ D и объем ≥ V.
  3. Почти плоские многообразия Громова. Существует такое ε n gt; 0, что если n- мерное риманово многообразие имеет метрику секционной кривизны | K | ≤ ε n и диаметра ≤ 1, то его конечное покрытие диффеоморфно нильмногообразию.

Ограниченная снизу секционная кривизна

  1. Теорема души Чигера – Громолля. Если М не являются компактным полным неотрицательно изогнут п - мерное риманово многообразие, то М содержит компактное вполне геодезическое подмногообразие S такого, что M диффеоморфно нормального расслоения S ( S называется душа из М). В частности, если М имеет строго положительную кривизну всюду, то это диффеоморфен к R н. Г. Перельман в 1994 г. дал удивительно элегантное / короткое доказательство гипотезы о душе: M диффеоморфно R n, если оно имеет положительную кривизну только в одной точке.
  2. Теорема Громова о числах Бетти. Существует постоянная С = С ( п) такое, что если М представляет собой компактное связное п - мерное многообразие с положительной секционной кривизны тогда сумма его чисел Бетти не превосходит C.
  3. Теорема Гроув – Петерсена о конечности. Указанные константы С, D и В, существует лишь конечное число типов гомотопических компактных п - мерных риманов многообразий с секционной кривизной K ≥ C, диаметром ≤ D и объемом ≥ V.

Ограниченная сверху секционная кривизна

  1. Картана-Адамар теорема утверждает, что полный односвязный риманово многообразие М неположительной секционной кривизны диффеоморфен к евклидову пространства R п с п = тусклыми М через экспоненциальное отображение в любой точке. Отсюда следует, что любые две точки односвязного полного риманова многообразия с неположительной секционной кривизной соединены единственной геодезической.
  2. Геодезический поток любого компактного риманова многообразия с отрицательной кривизной секционной эргодичен.
  3. Если M - полное риманово многообразие с секционной кривизной, ограниченной сверху строго отрицательной константой k, то это пространство CAT ( k). Следовательно, его фундаментальная группа Γ =  π 1 ( M) гиперболична по Громову. Это имеет много значений для структуры фундаментальной группы:

Кривизна Риччи, ограниченная снизу

  1. Теорема Майерса. Если компактное риманово многообразие имеет положительную кривизну Риччи, то его фундаментальная группа конечна.
  2. Формула Бохнера. Если компактное риманово n -многообразие имеет неотрицательную кривизну Риччи, то его первое число Бетти не превосходит n, с равенством тогда и только тогда, когда риманово многообразие является плоским тором.
  3. Теорема о расщеплении. Если полное n -мерное риманово многообразие имеет неотрицательную кривизну Риччи и прямую линию (т. Е. Геодезическую, минимизирующую расстояние на каждом интервале), то оно изометрично прямому произведению вещественной прямой и полного ( n -1) -мерного риманиана. многообразие, имеющее неотрицательную кривизну Риччи.
  4. Неравенство Бишопа – Громова. Объем метрического шара радиуса r в полном n- мерном римановом многообразии с положительной кривизной Риччи имеет объем не больше, чем объем шара того же радиуса r в евклидовом пространстве.
  5. Теорема Громова о компактности. Множество всех римановых многообразий с положительной кривизной Риччи и диаметром в большинстве D является предварительно компактным в Громова-Хаусдорфа метрики.

Отрицательная кривизна Риччи

  1. Группа изометрий компактного риманова многообразия с отрицательной кривизной Риччи дискретна.
  2. Любое гладкое многообразие размерности n ≥ 3 допускает риманову метрику с отрицательной кривизной Риччи. ( Это не относится к поверхностям.)

Положительная скалярная кривизна

  1. П - мерный тор не допускает метрику с положительной скалярной кривизной.
  2. Если радиус инъективности компактного n- мерного риманова многообразия ≥ π, то средняя скалярная кривизна не превосходит n ( n -1).

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Книги
  • Бергер, Марсель (2000), Риманова геометрия во второй половине двадцатого века, серия лекций в университете, 17, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN   0-8218-2052-4. (Предоставляет исторический обзор и обзор, включая сотни ссылок.)
  • Чигер, Джефф ; Эбин, Дэвид Г. (2008), Теоремы сравнения в римановой геометрии, Провиденс, Род-Айленд: AMS Chelsea Publishing; Переиздание оригинала 1975 года.
  • Галло, Сильвестр; Хулин, Доминик; Лафонтен, Жак (2004), Риманова геометрия, Universitext (3-е изд.), Берлин: Springer-Verlag.
  • Йост, Юрген (2002), Риманова геометрия и геометрический анализ, Берлин: Springer-Verlag, ISBN   3-540-42627-2.
  • Петерсен, Питер (2006), Риманова геометрия, Берлин: Springer-Verlag, ISBN   0-387-98212-4
  • От Римана к дифференциальной геометрии и теории относительности (Личен Джи, Атанас Пападопулос и Сумио Ямада, ред.) Springer, 2017, XXXIV, 647 с. ISBN   978-3-319-60039-0
Статьи

внешние ссылки

Последняя правка сделана 2023-03-21 07:04:46
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте