Войти
Реальная линия с точкой в бесконечности; она называется реальной проективной линией.В геометрии точка на бесконечности или идеальная точка является идеализированной предельной точкой на "конце "каждой строки.
В случае аффинной плоскости (включая евклидову плоскость ), существует одна идеальная точка для каждого пучка параллельных линий самолет. Смешение этих точек дает проективную плоскость, в которой нельзя выделить ни одной точки, если мы «забываем», какие точки были добавлены. Это справедливо для геометрии над любым полем и, в более общем смысле, над любым телом .
. В реальном случае бесконечно удаленная точка завершает линию в топологически замкнутую кривую. В более высоких измерениях все бесконечно удаленные точки образуют проективное подпространство на одно измерение меньше, чем у всего проективного пространства, которому они принадлежат. Точка на бесконечности также может быть добавлена к комплексной прямой (которую можно рассматривать как комплексную плоскость), тем самым превратив ее в замкнутую поверхность, известную как комплексная проективная линия, C P, также называемая сферой Римана (когда комплексные числа отображаются в каждой точке).
В случае гиперболического пространства каждая линия имеет две различные идеальные точки. Здесь набор идеальных точек принимает форму квадрики.
В аффинном или евклидовом пространстве более высокого измерения указывает на бесконечность - это точки, которые добавляются к пространству для получения проективного завершения. Набор точек на бесконечности называется, в зависимости от размерности пространства, линией на бесконечности, плоскостью на бесконечности или гиперплоскостью на бесконечности, во всех случаях проективное пространство на одно измерение меньше.
Поскольку проективное пространство над полем является гладким алгебраическим многообразием, то же самое верно и для множества бесконечно удаленных точек. Точно так же, если основное поле является реальным или комплексным полем, набор точек на бесконечности представляет собой многообразие.
В художественном рисовании и технической перспективе проекция на плоскость изображения бесконечно удаленная точка класса параллельных прямых называется их точкой схода.
В гиперболической геометрии бесконечно удаленные точки обычно назвал идеальные точки. В отличие от евклидовой и эллиптической геометрии, каждая прямая имеет две бесконечно удаленные точки: дана прямая l и точка P не на l, правая и левая ограничивающие параллели сходятся асимптотически к различным точкам на бесконечности.
Все бесконечно удаленные точки вместе образуют абсолют Кэли или границу гиперболической плоскости.
Симметрия точек и линий возникает в проективная плоскость: так же, как пара точек определяет линию, пара прямых определяет точку. Существование параллельных прямых приводит к установлению бесконечно удаленной точки, которая представляет собой пересечение этих параллелей. Эта аксиоматическая симметрия выросла из исследования графической перспективы, где параллельная проекция возникает как центральная проекция, где центр C - бесконечно удаленная точка, или образная точка . Аксиоматическая симметрия точек и линий называется двойственностью.
. Хотя бесконечно удаленная точка рассматривается наравне с любой другой точкой проективного диапазона в представлении точек с проективные координаты, отмечается различие: конечные точки представлены с 1 в конечной координате, а точка на бесконечности имеет там 0. Необходимость представления бесконечно удаленных точек требует наличия одной дополнительной координаты за пределами пространства конечных точек.
Эту конструкцию можно обобщить на топологические пространства. Для данного пространства могут существовать разные компактификации, но произвольное топологическое пространство допускает расширение Александрова, также называемое одноточечной компактификацией, когда исходное пространство само не является компактным. Проективная линия (над произвольным полем) - это Александровское расширение соответствующего поля. Таким образом, круг - это компактификация с одной точкой реальной прямой , а сфера - это компактификация с одной точкой плоскости. Проективные пространства Pдля n>1 не являются одноточечными компактификациями соответствующих аффинных пространств по причине, упомянутой выше в разделе § Аффинная геометрия, и пополнения гиперболических пространств идеальными точками также не являются одним -точечные компактификации.
