Сфера Римана

Сферу Римана можно визуализировать как плоскость комплексных чисел, обернутую вокруг сферы (с помощью некоторой формы стереографической проекции - подробности приведены ниже).

В математике, то сфера Римана, названная в честь Бернхарда Римана, является моделью из расширенной комплексной плоскости, то комплексная плоскость плюс точка на бесконечности. Эта расширенная плоскость представляет собой расширенные комплексные числа, то есть комплексные числа плюс значение ∞ для бесконечности. В модели Римана точка «∞» находится рядом с очень большими числами, так же как точка «0» находится рядом с очень маленькими числами.

Расширенные комплексные числа полезны в комплексном анализе, потому что они позволяют в некоторых случаях делить на ноль таким образом, чтобы выражения выглядели корректно. Например, любая рациональная функция на комплексной плоскости может быть расширена до голоморфной функции на сфере Римана с отображением полюсов рациональной функции на бесконечность. В более общем смысле любую мероморфную функцию можно рассматривать как голоморфную функцию, область значений которой является сферой Римана. ${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {0}} = \ infty}$

В геометрии сфера Римана является прототипом римановой поверхности и одним из простейших комплексных многообразий. В проективной геометрии сферу можно рассматривать как комплексную проективную прямую P ¹ ( C), проективное пространство всех комплексных прямых в C ². Как и любую компактную риманову поверхность, сферу можно рассматривать как проективную алгебраическую кривую, что делает ее фундаментальным примером в алгебраической геометрии. Он также находит применение в других областях, которые зависят от анализа и геометрии, такие как Блохи сфера из квантовой механики, так и в других областях физики.

Расширенная комплексная плоскость также называется замкнутой комплексной плоскостью.

• 1 Расширенные комплексные числа
  • 1.1 Арифметические операции
  • 1.2 Рациональные функции
• 2 Как комплексное многообразие
• 3 Как комплексная проективная линия
• 4 Как сфера
• 5 Метрическая
• 6 автоморфизмов
• 7 приложений
• 8 См. Также
• 9 ссылки
• 10 Внешние ссылки

В расширенных комплексных чисел состоят из комплексных чисел C вместе с ∞. Набор расширенных комплексных чисел может быть записан как C ∪ {∞} и часто обозначается добавлением некоторого украшения к букве C, например

${\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {C}}}, \ quad {\ overline {\ mathbb {C}}}, \ quad {\ text {или}} \ quad \ mathbb {C} _ {\ infty}.}$

Геометрически набор расширенных комплексных чисел называется сферой Римана (или расширенной комплексной плоскостью).

Арифметические операции

Сложение комплексных чисел можно расширить, определив для z ∈ C,

${\ Displaystyle г + \ infty = \ infty}$

для любого комплексного числа z, а умножение может быть определено как

${\ Displaystyle г \ раз \ infty = \ infty}$

для всех ненулевых комплексных чисел z, причем ∞ × ∞ = ∞. Обратите внимание, что ∞ - ∞ и 0 × ∞ остаются неопределенными. В отличие от комплексных чисел, расширенные комплексные числа не образуют поле, поскольку ∞ не имеет аддитивного или мультипликативного обратного. Тем не менее, деление на C ∪ {∞ } принято определять как

${\ displaystyle {\ frac {z} {0}} = \ infty \ quad {\ text {and}} \ quad {\ frac {z} {\ infty}} = 0}$

для всех ненулевых комплексных чисел z с ∞/0= ∞ и0/∞= 0. Факторы0/0 а также ∞/∞ остаются неопределенными.

Рациональные функции

Любая рациональная функция f ( z) =г ( г)/h ( z)(другими словами, f ( z) - это отношение полиномиальных функций g ( z) и h ( z) от z с комплексными коэффициентами, таких, что g ( z) и h ( z) не имеют общего множителя), можно продолжить до непрерывная функция на сфере Римана. В частности, если z 0 - комплексное число, такое, что знаменатель h ( z 0) равен нулю, но числитель g ( z 0) отличен от нуля, то f ( z 0) можно определить как ∞. Кроме того, F (∞) может быть определена как предел в F ( г) при г → ∞, которое может быть конечным или бесконечным.

Множество сложных рациональных функций, математическим символом которых является C ( z), образуют все возможные голоморфные функции от сферы Римана к самой себе, когда она рассматривается как риманова поверхность, за исключением постоянной функции, принимающей значение ∞ всюду. Функции C ( z) образуют алгебраическое поле, известное как поле рациональных функций на сфере.

Например, учитывая функцию

${\ displaystyle f (z) = {\ frac {6z ^ {2} +1} {2z ^ {2} -50}}}$

мы можем определить f (± 5) = ∞, поскольку знаменатель равен нулю при z = ± 5, и f (∞) = 3, поскольку f ( z) → 3 при z → ∞. Используя эти определения, f становится непрерывной функцией от сферы Римана к самой себе.

В качестве одного-мерного комплексного многообразия, сферу Римана можно описать два карт, как с доменом, равный комплексными числами плоскости C. Пусть ζ комплексное число в один копия C, и пусть ξ комплексное число в другой копии C. Отождествим каждое ненулевое комплексное число ζ первого C с ненулевым комплексным числом1/ξвторой C. Тогда карта

${\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {z}}}$

называется картой перехода между двумя копиями C - так называемыми диаграммами - склеивая их вместе. Поскольку отображения перехода голоморфны, они определяют комплексное многообразие, называемое сферой Римана. Как комплексное многообразие с одним комплексным измерением (т. Е. С двумя действительными измерениями), это также называется римановой поверхностью.

Интуитивно карты переходов показывают, как склеить две плоскости вместе, чтобы сформировать сферу Римана. Плоскости склеены «наизнанку», так что они перекрываются почти везде, причем каждая плоскость вносит свой вклад только в одну точку (ее начало), отсутствующую в другой плоскости. Другими словами, (почти) каждая точка в сфере Римана имеет как значение ζ, так и значение ξ, и эти два значения связаны соотношением ζ =1/ξ. Тогда точка, в которой ξ = 0, должна иметь ζ -значение "1/0»; в этом смысле начало координат ξ- диаграммы играет роль« ∞ »в ζ- диаграмме. Симметрично, начало координат ζ- диаграммы играет роль ∞ в ξ- диаграмме.

Топологически получившееся пространство представляет собой одноточечную компактификацию плоскости в сферу. Однако сфера Римана - это не просто топологическая сфера. Это сфера с четко определенной сложной структурой, так что вокруг каждую точки на сфере есть окрестность, которая может быть биголоморф- отождествляется с C.

С другой стороны, теорема униформизации, центральный результат классификации римановых поверхностей, утверждает, что каждая односвязная риманова поверхность биголоморфна комплексной плоскости, гиперболической плоскости или сфере Римана. Из них сфера Римана - единственная, которая является замкнутой поверхностью ( компактной поверхностью без границы ). Следовательно, двумерная сфера допускает уникальную сложную структуру, превращающую ее в одномерное комплексное многообразие.

Сферу Римана также можно определить как комплексную проективную линию. Точки комплексной проективной прямой являются классами эквивалентности, устанавливаемыми следующим соотношением на точках из C ² \ {(0,0)}:

Если для некоторого λ ≠ 0 w = λ u и z = λ v, то${\ displaystyle (w, z) \ Thicksim (u, v).}$

В этом случае класс эквивалентности записывается [ w, z ] с использованием проективных координат. Для любой точки [ w, z ] комплексной проективной прямой одно из w и z должно быть ненулевым, скажем, w 0. Тогда по отношению эквивалентности

${\ Displaystyle [ш, г] \ толстый \ левый [1, {\ tfrac {г} {ш}} \ вправо]}$ которая находится в карте многообразия сфер Римана.

Такое рассмотрение сферы Римана легче всего связано с проективной геометрией. Например, любая прямая (или гладкая коника) на комплексной проективной плоскости биголоморфна комплексной проективной прямой. Это также удобно для изучения автоморфизмов сферы далее в этой статье.

Стереографическая проекция комплексного числа A на точку α сферы Римана

Сферу Римана можно представить как единичную сферу x ²  +  y ²  +  z ²  = 1 в трехмерном реальном пространстве R ³. Для этого рассмотрим стереографическую проекцию единичной сферы без точки (0, 0, 1) на плоскость z  = 0, которую мы отождествляем с комплексной плоскостью как ζ = x + iy. В декартовых координатах ( x, y, z) и сферических координатах ( θ, φ) на сфере (где θ - зенит, а φ - азимут ), проекция

${\ displaystyle \ zeta = {\ frac {x + iy} {1-z}} = \ cot \ left ({\ frac {1} {2}} \ theta \ right) \; e ^ {i \ phi}.}$

Точно так же стереографическая проекция из (0, 0, −1) на плоскость z = 0, отождествляемая с другой копией комплексной плоскости посредством ξ = x - iy, записывается

${\ displaystyle \ xi = {\ frac {x-iy} {1 + z}} = \ tan \ left ({\ frac {1} {2}} \ theta \ right) \; e ^ {- i \ phi }.}$

Чтобы покрыть единичную сферу, нужны две стереографические проекции: первая будет охватывать всю сферу, кроме точки (0, 0, 1), а вторая, кроме точки  (0, 0, −1). Следовательно, нужны две сложные плоскости, по одной для каждой проекции, которые интуитивно можно представить как склеенные вплотную при  z = 0. Обратите внимание, что две комплексные плоскости по-разному отождествляются с плоскостью z = 0. Ориентации -поворота необходимо поддерживать последовательную ориентацию на сфере, и, в частности, комплексном сопряжении вызывает переход карту голоморфные.

Карты переходов между ζ- координатами и ξ- координатами получаются путем составления одной проекции с обратной для другой. Они оказываются равными ζ =1/ξи ξ =1/ζ, как описано выше. Таким образом, единичная сфера диффеоморфна сфере Римана.

При этом диффеоморфизме единичная окружность в ζ- диаграмме, единичная окружность в ξ- диаграмме и экватор единичной сферы отождествляются. Единичный диск | ζ | lt;1 отождествляется с южным полушарием z lt;0, а единичный диск | ξ | lt;1 отождествляется с северным полушарием  z gt; 0.

Риманова поверхность не имеет какой-либо конкретной римановой метрики. Однако конформная структура римановой поверхности определяет класс метрик: все те, чья подчиненная конформная структура является данной. Более подробно: сложная структура римановой поверхности однозначно определяет метрику с точностью до конформной эквивалентности. (Две метрики называются конформно эквивалентными, если они отличаются умножением на положительную гладкую функцию. ) И наоборот, любая метрика на ориентированной поверхности однозначно определяет комплексную структуру, которая зависит от метрики только с точностью до конформной эквивалентности. Таким образом, сложные структуры на ориентированной поверхности находятся во взаимно однозначном соответствии с конформными классами метрик на этой поверхности.

Внутри данного конформного класса можно использовать конформную симметрию, чтобы найти репрезентативную метрику с удобными свойствами. В частности, в любом конформном классе всегда существует полная метрика постоянной кривизны.

В случае сферы Римана, то Гаусс-Бонн теорема означает, что постоянная кривизны метрика должна иметь положительную кривизну K. Отсюда следует, что метрика должна быть изометричной сфере радиуса1/√ Kв R ³ через стереографическую проекцию. В ζ- диаграмме на сфере Римана метрика с K = 1 имеет вид

${\ displaystyle ds ^ {2} = \ left ({\ frac {2} {1+ | \ zeta | ^ {2}}} \ right) ^ {2} \, | d \ zeta | ^ {2} = {\ frac {4} {\ left (1+ \ zeta {\ bar {\ zeta}} \ right) ^ {2}}} \, d \ zeta \, d {\ bar {\ zeta}}.}.$

В вещественных координатах ζ = u + iv формула имеет вид

${\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {4} {\ left (1 + u ^ {2} + v ^ {2} \ right) ^ {2}}} \ left (du ^ {2} + dv ^ {2} \ right).}$

С точностью до постоянного множителя эта метрика согласуется со стандартной метрикой Фубини – Штуди на комплексном проективном пространстве (примером которой является сфера Римана).

С точностью до масштабирования это единственная метрика на сфере, группа сохраняющих ориентацию изометрий которой является 3-мерной (и ни одна из них не является более чем 3-мерной); эта группа называется SO (3). В этом смысле это самая симметричная метрика на сфере. (Группа всех изометрий, известная как O (3), также трехмерна, но в отличие от SO (3) не является связным пространством.)

Наоборот, пусть S обозначает сферу (как абстрактное гладкое или топологическое многообразие ). По теореме униформизации на S существует единственная комплексная структура с точностью до конформной эквивалентности. Отсюда следует, что любая метрика на S конформно эквивалентна круглой метрике. Все такие метрики определяют одну и ту же конформную геометрию. Таким образом, круглая метрика не присуща сфере Римана, поскольку «округлость» не является инвариантом конформной геометрии. Сфера Римана - это только конформное многообразие, а не риманово многообразие. Однако, если нужно выполнить риманову геометрию на сфере Римана, круглая метрика - естественный выбор (с любым фиксированным радиусом, хотя радиус = 1 - самый простой и наиболее распространенный выбор). Это потому, что только круглая метрика на сфере Римана имеет группу изометрий, являющуюся 3-мерной группой. (А именно, группа, известная как SO (3), непрерывная («Ли») группа, которая топологически является 3-мерным проективным пространством P ^3.)

Мёбиусово преобразование, действующая на сферу, а на плоскости стереографической проекции Основная статья: преобразование Мебиуса

Изучению любого математического объекта помогает понимание его группы автоморфизмов, то есть карт от объекта к самому себе, которые сохраняют существенную структуру объекта. В случае сферы Римана автоморфизм - это обратимое конформное отображение (т. Е. Биголоморфное отображение) из сферы Римана в себя. Оказывается, единственные такие отображения - это преобразования Мёбиуса. Это функции вида

${\ Displaystyle е (\ дзета) = {\ гидроразрыва {а \ дзета + Ь} {с \ дзета + д}},}$

где a, b, c и d - такие комплексные числа, что ad - bc ≠ 0. Примеры преобразований Мёбиуса включают растяжения, вращения, сдвиги и сложную инверсию. Фактически, любое преобразование Мёбиуса может быть записано как их композиция.

Преобразования Мёбиуса - это омографии на комплексной проективной прямой. В проективных координатах преобразование f можно записать

${\ displaystyle [\ zeta, \ 1] {\ begin {pmatrix} a amp; c \\ b amp; d \ end {pmatrix}} \ = \ [a \ zeta + b, \ c \ zeta + d] \ = \ \ left [{ \ tfrac {a \ zeta + b} {c \ zeta + d}}, \ 1 \ right] \ = \ [f (\ zeta), \ 1].}$

Таким образом, преобразования Мёбиуса можно описать как комплексные матрицы 2 × 2 с ненулевым определителем. Поскольку они действуют на проективные координаты, две матрицы дают одно и то же преобразование Мёбиуса тогда и только тогда, когда они отличаются ненулевым множителем. Группа преобразований Мёбиуса является проективной группой PGL (2, С).

Если снабдить сферу Римана метрикой Фубини – Штуди, то не все преобразования Мёбиуса являются изометриями; например, расширений и переводов нет. Изометрии образуют собственную подгруппу в PGL (2, C), а именно PSU (2). Эта подгруппа изоморфна группе вращений SO (3), которая является группой симметрий единичной сферы в R ³ (которые, будучи ограничены сферой, становятся изометриями сферы).

В комплексном анализе мероморфная функция на комплексной плоскости (или на любой римановой поверхности, если на то пошло) является отношением ж/граммдвух голоморфных функций f и g. Как отображение комплексных чисел, он не определен везде, где g равно нулю. Однако он индуцирует голоморфное отображение ( f, g) в комплексную проективную прямую, которое корректно определено даже там, где g = 0. Эта конструкция полезна при изучении голоморфных и мероморфных функций. Например, на компактной римановой поверхности нет непостоянных голоморфных отображений на комплексные числа, но голоморфные отображения на комплексную проективную прямую многочисленны.

Сфера Римана имеет множество применений в физике. В квантовой механике точки на сложной проективной прямой являются естественными значениями состояний поляризации фотонов, спиновых состояний массивных частиц со спином. 1/2и частицы с двумя состояниями в целом (см. также Квантовый бит и сферу Блоха ). Сфера Римана была предложена в качестве релятивистской модели небесной сферы. В теории струн, то worldsheets строк являются римановых поверхностей, а сфера Римана, являясь самым простым риманова поверхность, играет существенную роль. Это также важно в теории твисторов.

• Конформная геометрия
• Перекрестное соотношение
• Dessin d'enfant
• Направленная бесконечность
• Набор хопфа
• Самолет Мебиуса
• Проективно расширенная действительная линия

• Браун, Джеймс и Черчилль, Руэль (1989). Комплексные переменные и приложения. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN   0-07-010905-2.
• Гриффитс, Филипп и Харрис, Джозеф (1978). Основы алгебраической геометрии. Джон Вили и сыновья. ISBN   0-471-32792-1.
• Пенроуз, Роджер (2005). Дорога к реальности. Нью-Йорк: Кнопф. ISBN   0-679-45443-8.
• Рудин, Вальтер (1987). Реальный и комплексный анализ. Нью-Йорк: Макгроу – Хилл. ISBN   0-07-100276-6.

• "Сфера Римана", Математическая энциклопедия, EMS Press, 2001 [1994]
• Раскрытие преобразований Мебиуса, Дуглас Н. Арнольд и Джонатан Рогнесс (видео двух профессоров Миннесотского университета, объясняющих и иллюстрирующих преобразования Мебиуса с использованием стереографической проекции из сферы)