Деление на ноль

редактировать

Результат, полученный в виде действительного числа при делении на ноль

Функция y = 1 / x. Когда x приближается к 0 справа, y стремится к бесконечности. Когда x приближается к 0 слева, y стремится к отрицательной бесконечности.

В математике, деление на ноль равно деление, где делитель (знаменатель) равен ноль. Такое деление может быть формально выражено как a / 0, где a - делимое (числитель). В обычной арифметике это выражение не имеет значения, так как нет числа, которое при умножении на 0 дает (при условии, что a 0), поэтому деление на ноль равно undefined. Поскольку любое число, умноженное на ноль, равно нулю, выражение 0/0 также не определено; когда это форма limit, это неопределенная форма. Исторически одна из самых ранних записанных ссылок на математическую невозможность присвоения значения a / 0 содержится в критике Джорджа Беркли исчисления бесконечно малых в 1734 году в Аналитик («призраки ушедших величин»).

Существуют математические структуры, в которых a / 0 определено для некоторых a, например, в сфере Римана и проективно удлиненная вещественная линия ; однако такие структуры не удовлетворяют всем обычным правилам арифметики (аксиомы поля ).

В вычислении программная ошибка может быть результатом попытки деления на ноль. В зависимости от среды программирования и типа числа (например, с плавающей точкой, целое число ), деленного на ноль, оно может генерировать положительную или отрицательную бесконечность с помощью IEEE 754 стандарт с плавающей запятой, генерировать исключение , генерировать сообщение об ошибке , вызывать завершение программы, приводить к особому not-a-number, или сбой.

Содержание

1 Элементарная арифметика
2 Ранние попытки
3 Алгебра
- 3.1 Деление как обратное умножению
- 3.2 Ошибки
4 Анализ
- 4.1 Расширенная вещественная линия
  - 4.1.1 Формальные операции
- 4.2 Проективно расширенная вещественная линия
- 4.3 Сфера Римана
- 4.4 Расширенная неотрицательная вещественная линия
5 Высшая математика
- 5.1 Нестандартный анализ
- 5.2 Теория распределения
- 5.3 Линейная алгебра
- 5.4 Абстрактная алгебра
6 Компьютерная арифметика
7 Исторические происшествия
8 См. Также
9 Ссылки
- 9.1 Примечания
- 9.2 Источники
10 Дополнительная информация g

Элементарная арифметика

Когда деление объясняется на уровне элементарной арифметики, оно часто рассматривается как разделение набора объектов на равные части. В качестве примера рассмотрим наличие десяти файлов cookie, и эти файлы cookie должны быть распределены поровну между пятью людьми за столом. Каждый человек получит 10/5 = 2 куки. Точно так же, если есть десять файлов cookie и только один человек за столом, этот человек получит 10/1 = 10 файлов cookie.

Итак, для деления на ноль, какое количество файлов cookie получает каждый человек, когда 10 файлов cookie равномерно распределяются среди 0 человек за столом? В вопросе можно указать определенные слова, чтобы выделить проблему. Проблема с этим вопросом - «когда». Нет возможности никому раздать 10 файлов cookie. Итак, 10/0, по крайней мере, в элементарной арифметике, считается либо бессмысленным, либо неопределенным.

Если есть, скажем, 5 файлов cookie и 2 человека, проблема в "равномерном распределении". В любом целочисленном разделении 5 элементов на 2 части либо одна из частей раздела будет иметь больше элементов, чем другая, либо будет остаток (записанный как 5/2 = 2 r1). Или проблема с 5 файлами cookie и 2 людьми может быть решена путем разрезания одного файла cookie пополам, что вводит идею дробей (5/2 = 21/2). С другой стороны, проблема с 5 файлами cookie и 0 людьми не может быть решена никаким способом, сохраняющим значение слова «разделяет».

В элементарной алгебре другой способ рассмотрения деления на ноль состоит в том, что деление всегда можно проверить с помощью умножения. Рассматривая приведенный выше пример 10/0, устанавливая x = 10/0, если x равно десяти, деленному на ноль, тогда x, умноженное на ноль, равно десяти, но нет x, который при умножении на ноль дает десять (или любое число, кроме нуль). Если вместо x = 10/0, x = 0/0, то каждый x удовлетворяет вопрос «какое число x, умноженное на ноль, дает ноль?»

Ранние попытки

Брахмаспхунасиддханта из Брахмагупта (ок. 598–668) - самый ранний текст, трактующий ноль как самостоятельное число и для определения операций с нулем. Автор не мог объяснить деление на ноль в своих текстах: его определение, как легко доказать, приводит к алгебраическим абсурдам. Согласно Брахмагупте,

положительное или отрицательное число при делении на ноль является дробью, знаменателем которой является ноль. Ноль, деленный на отрицательное или положительное число, либо равен нулю, либо выражается в виде дроби с нулем в числителе и конечной величиной в знаменателе. Ноль, деленный на ноль, равен нулю.

В 830 году Махавира безуспешно пытался исправить ошибку Брахмагупты в своей книге «Ганита Сара Самграха»: «Число остается неизменным при делении на ноль».

Алгебра

Четыре основные операции - сложение, вычитание, умножение и деление - применительно к целым числам (положительным целым числам), с некоторыми ограничениями, в элементарной арифметике используются в качестве основы для поддержки расширения области номеров, к которым они относятся. Например, чтобы сделать возможным вычитание любого целого числа из другого, область чисел должна быть расширена до всего набора целых чисел, чтобы включить отрицательные целые числа. Точно так же, чтобы поддерживать деление любого целого числа на любое другое, область чисел должна расширяться до рациональных чисел. Во время этого постепенного расширения системы счисления уделяется внимание тому, чтобы «расширенные операции», применяемые к старым числам, не давали других результатов. Грубо говоря, поскольку деление на ноль не имеет значения (не определено) в настройке целых чисел, это остается верным, поскольку настройка расширяется до действительных или даже комплексных чисел.

В качестве области числа, к которым могут быть применены эти операции, расширяется, есть также изменения в том, как операции просматриваются. Например, в области целых чисел вычитание больше не считается базовой операцией, поскольку его можно заменить сложением чисел со знаком. Точно так же, когда царство чисел расширяется и включает рациональные числа, деление заменяется умножением на определенные рациональные числа. В соответствии с этим изменением точки зрения вопрос «Почему мы не можем делить на ноль?» Превращается в «Почему рациональное число не может иметь нулевой знаменатель?». Чтобы точно ответить на этот пересмотренный вопрос, необходимо внимательно изучить определение рациональных чисел.

В современном подходе к построению поля действительных чисел рациональные числа появляются как промежуточный этап в развитии, основанном на теории множеств. Сначала натуральные числа (включая ноль) устанавливаются на аксиоматической основе, такой как система аксиом Пеано, а затем это расширяется до кольца целых чисел. Следующим шагом является определение рациональных чисел с учетом того, что это должно быть сделано с использованием только уже установленных наборов и операций, а именно, сложение, умножение и целые числа. Начиная с набора упорядоченных пар целых чисел, {(a, b)} с b ≠ 0, определите бинарное отношение на этом наборе как (a, b) ≃ (c, г) тогда и только тогда, когда ad = bc. Показано, что это отношение является отношением эквивалентности, и его классы эквивалентности затем определяются как рациональные числа. Именно в формальном доказательстве того, что это отношение является отношением эквивалентности, требуется требование, чтобы вторая координата не была равна нулю (для проверки транзитивности ).

Приведенное выше объяснение может быть слишком абстрактным и техническим для многих целей, но если если предполагается существование и свойства рациональных чисел, как это обычно делается в элементарной математике, «причина» недопустимости деления на ноль скрыта от поля зрения. Тем не менее, в этом контексте может быть дано (нестрогое) обоснование.

Из свойств используемой нами системы счисления (т.е. целых чисел, рациональных чисел, действительных чисел и т. Д.), Если b ≠ 0, то уравнение a / b = c эквивалентно a = b × c. Предполагая, что a / 0 является числом c, тогда должно быть, что a = 0 × c = 0. Однако единственное число c тогда должно было бы определяться уравнением 0 = 0 × c, но каждый число удовлетворяет этому уравнению, поэтому мы не можем присвоить числовое значение 0/0.

Деление как обратное умножению

Концепция, объясняющая деление в алгебре, заключается в том, что это обратное умножению. Например,

6 3 = 2 {\ displaystyle {\ frac {6} {3}} = 2}

{\ frac {6} {3}} = 2

, поскольку 2 - это значение, для которого неизвестная величина в

? × 3 = 6 {\ displaystyle? \ Times 3 = 6}

? \ Times 3 Знак равно 6

верно. Но выражение

6 0 = x {\ displaystyle {\ frac {6} {0}} = \, x}

{\ frac {6} {0 }} = \, x

требует, чтобы значение неизвестной величины было найдено в

x × 0 = 6. {\ displaystyle x \ times 0 = 6.}

x \ times 0 = 6.

Но любое число, умноженное на 0, равно 0, и поэтому не существует числа, которое решает уравнение.

Выражение

0 0 = x {\ displaystyle {\ frac {0} {0}} = \, x}

{\ frac {0} {0}} = \, x

требует, чтобы значение неизвестной величины было найдено в

x × 0 = 0. {\ displaystyle x \ times 0 = 0.}

х \ раз 0 = 0.

Опять же, любое число, умноженное на 0, равно 0, и поэтому на этот раз каждое число решает уравнение вместо того, чтобы быть единственным числом, которое можно принять за значение 0/0.

Как правило, одно значение не может быть присвоено дроби, знаменатель которой равен 0, поэтому значение остается неопределенным.

Заблуждения

Неотъемлемой причиной запрета деления на ноль является то, что, если бы оно было разрешено, возникло бы множество абсурдных результатов (т. Е. заблуждений ). При работе с числовыми величинами легко определить, когда предпринимается незаконная попытка деления на ноль. Например, рассмотрим следующее вычисление.

С допущениями:

0 × 1 = 0, 0 × 2 = 0, {\ displaystyle {\ begin {align} 0 \ times 1 = 0, \\ 0 \ times 2 = 0, \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} 0 \ times 1 = 0, \\ 0 \ times 2 = 0, \ end {align}}}

верно следующее:

0 × 1 = 0 × 2. {\ displaystyle 0 \ times 1 = 0 \ times 2.}

{\ displaystyle 0 \ times 1 = 0 \ times 2.}

Деление обеих сторон на ноль дает:

0 × 1 0 = 0 × 2 0 0 0 × 1 = 0 0 × 2. {\ Displaystyle {\ begin {align} {\ frac {0 \ times 1} {0}} = {\ frac { 0 \ times 2} {0}} \\ [6px] {\ frac {0} {0}} \ times 1 = {\ frac {0} {0}} \ times 2. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {0 \ times 1} {0}} = {\ frac {0 \ times 2} {0}} \ \ [6px] {\ frac {0} {0}} \ times 1 = {\ frac {0} {0}} \ times 2. \ end {align}}}

В упрощенном виде это дает:

1 = 2. {\ Displaystyle 1 = 2.}

{\ displaystyle 1 = 2.}

Ошибка заключается в предположении, что деление 0 на 0 является допустимой операцией с теми же свойствами, что и деление на любое другое число..

Однако можно замаскировать деление на ноль в алгебраическом аргументе, что приведет к недействительным доказательствам, что, например, 1 = 2, например, следующее :

Пусть 1 = x.

Умножьте на x, чтобы получить

x = x 2. {\ displaystyle x = x ^ {2}.}

{\ displaystyle x = x ^ {2}.}

Вычтите 1 с каждой стороны, чтобы получить

x - 1 = x 2 - 1. {\ displaystyle x-1 = x ^ {2} -1.}

{\ displaystyle x-1 = x ^ {2} -1.}

Разделите обе стороны на x - 1

x - 1 x - 1 = x 2 - 1 x - 1 = (x + 1) (x - 1) x - 1, {\ displaystyle {\ begin {выровнено } {\ frac {x-1} {x-1}} = {\ frac {x ^ {2} -1} {x-1}} \\ [6pt] = {\ frac {(x + 1) (x-1)} {x-1}}, \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac { x-1} {x-1}} = {\ frac {x ^ {2} -1} {x-1}} \\ [6pt] = {\ frac {(x + 1) (x-1)} {x-1}}, \ end {align}}}

, что упрощается до

1 = x + 1. {\ displaystyle 1 = x + 1.}

{\ displaystyle 1 = x + 1.}

Но, поскольку x = 1,

1 = 1 + 1 = 2. {\ displaystyle 1 = 1 + 1 = 2.}

{\ displaystyle 1 = 1 + 1 = 2. }

Замаскированное деление на ноль происходит, поскольку x - 1 = 0, когда x = 1.

Анализ

Расширенная вещественная линия

На первый взгляд кажется возможным определить a / 0, учитывая предел a / b, когда b приближается к 0.

Для любого положительного a предел справа равен

lim b → 0 + ab = + ∞ {\ displaystyle \ lim _ {b \ to 0 ^ {+}} {a \ over b} = + \ infty}

\ lim _ {b \ to 0 ^ {+}} {a \ over b} = + \ infty

однако предел слева равен

lim b → 0 - ab = - ∞ {\ displaystyle \ lim _ {b \ to 0 ^ {-}} {a \ over b} = - \ infty}

\ lim _ {b \ to 0 ^ {-}} {a \ over b} = - \ infty

и поэтому $lim b → 0 ab {\ displaystyle \ lim _ {b \ to 0} {a \ over b}}$ $\ lim _ {b \ to 0} {a \ over b}$ не определено (предел также не определен для отрицательного a).

Кроме того, нет очевидного определения 0/0, которое можно было бы вывести из рассмотрения предела отношения. Предел

lim (a, b) → (0, 0) ab {\ displaystyle \ lim _ {(a, b) \ to (0,0)} {a \ over b}}

\ lim _ {(a, b) \ to (0,0)} {a \ over b}

не существовать. Пределы формы

lim x → 0 f (x) g (x) {\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {f (x) \ over g (x)}}

\ lim _ {x \ to 0} {f (x) \ над g (x)}

, в котором оба ƒ (x) и g (x) приближаются к 0, когда x приближается к 0, могут равняться любому действительному или бесконечному значению или могут не существовать вообще, в зависимости от конкретных функций ƒ и g. Эти и другие подобные факты показывают, что выражение 0/0 не может быть четко определенным как предел.

Формальные операции

A формальное вычисление - это операция, выполняемая с использованием правил арифметики, без учета того, четко ли определен результат вычисления. Таким образом, иногда полезно думать о a / 0, где a ≠ 0, как о $∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ . Эта бесконечность может быть положительной, отрицательной или беззнаковой, в зависимости от контекста. Например, формально:

lim x → 0 1 x = lim x → 0 1 lim x → 0 x = ∞. {\ displaystyle \ lim \ limits _ {x \ to 0} {{\ frac {1} {x}} = {\ frac {\ lim \ limits _ {x \ to 0} {1}} {\ lim \ limits _ {x \ to 0} {x}}}} = \ infty.}

\ lim \ limits _ {x \ to 0} {{\ frac {1} {x}} = {\ frac {\ lim \ limits _ {x \ to 0} {1}} {\ lim \ limits _ {x \ to 0} {x}}}} = \ infty.

Как и при любом формальном вычислении, могут быть получены неверные результаты. Логически строгое (в отличие от формального) вычисление будет утверждать только, что

lim x → 0 + 1 x = + ∞ и lim x → 0 - 1 x = - ∞. {\ displaystyle \ lim \ limits _ {x \ to 0 ^ {+}} {\ frac {1} {x}} = + \ infty {\ text {and}} \ lim \ limits _ {x \ to 0 ^ {-}} {\ frac {1} {x}} = - \ infty.}

\ lim \ limits _ {x \ to 0 ^ {+}} {\ frac {1} { x}} = + \ infty {\ text {and}} \ lim \ limits _ {x \ to 0 ^ {-}} {\ frac {1} {x}} = - \ infty.

Поскольку односторонние ограничения разные, двусторонний предел не существует в стандартной структуре реальных чисел. Кроме того, дробь 1/0 остается undefined в расширенной вещественной строке, поэтому она и

lim x → 0 1 lim x → 0 x {\ displaystyle {\ frac {\ lim \ limits _ {x \ to 0} 1} {\ lim \ limits _ {x \ to 0} x}}}

{\ frac {\ lim \ limits _ {x \ to 0} 1} { \ lim \ limits _ {x \ to 0} x}}

бессмысленные выражения.

Проективно расширенная вещественная линия

Множество $R ∪ {∞} {\ displaystyle \ mathbb {R} \ cup \ {\ infty \}}$ $\ mathbb {R} \ cup \ {\ infty \ }$ - это проективно расширенная вещественная линия, которая является одноточечная компактификация реальной линии. Здесь $∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ означает бесконечность без знака, бесконечную величину, которая не является ни положительной, ни отрицательной. Это количество удовлетворяет $- ∞ = ∞ {\ displaystyle - \ infty = \ infty}$ $- \ infty = \ infty$ , что необходимо в данном контексте. В этой структуре $a / 0 = ∞ {\ displaystyle a / 0 = \ infty}$ $a / 0 = \ infty$ может быть определено для ненулевого a, и $a / ∞ = 0 {\ displaystyle a / \ infty = 0}$ ${\ displaystyle a / \ infty = 0 }$ , если a не равно $∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ . Это естественный способ просмотра диапазона функции тангенса и функций котангенса тригонометрии : tan (x) приближается к единственной точке на бесконечности, когда x приближается к $+ π / 2 {\ displaystyle + \ pi / 2}$ ${\ displaystyle + \ pi / 2}$ или $- π / 2 {\ displaystyle - \ pi / 2}$ $- \ pi / 2$ в любом направлении.

Это определение приводит ко многим интересным результатам. Однако результирующая алгебраическая структура не является полем , и не следует ожидать, что она будет вести себя так же. Например, $∞ + ∞ {\ displaystyle \ infty + \ infty}$ $\ infty + \ infty$ не определено в этом продолжении вещественной линии.

Сфера Римана

Набор $C ∪ {∞} {\ displaystyle \ mathbb {C} \ cup \ {\ infty \}}$ $\ mathbb {C} \ чашка \ {\ infty \}$ - это сфера Римана, которая имеет большое значение в комплексном анализе. Здесь также $∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ - бесконечность без знака, или, как ее часто называют в этом контексте, точка на бесконечности. Этот набор аналогичен проективно расширенной действительной линии, за исключением того, что он основан на поле из комплексных чисел. В сфере Римана $1/0 = ∞ {\ displaystyle 1/0 = \ infty}$ $1/0 = \ infty$ и $1 / ∞ = 0 {\ displaystyle 1 / \ infty = 0}$ $1 / \ infty = 0$ , но $0/0 {\ displaystyle 0/0}$ $0/0$ и $0 × ∞ {\ displaystyle 0 \ times \ infty}$ $0 \ times \ infty$ не определены.

Расширенная строка неотрицательных действительных чисел

Отрицательные действительные числа можно отбросить и ввести бесконечность, что приведет к набору [0, ∞], где деление на ноль естественным образом определяется как a / 0 = ∞ для положительных a. Хотя это делает деление определенным в большем количестве случаев, чем обычно, во многих случаях вычитание остается неопределенным, потому что нет отрицательных чисел.

Высшая математика

Хотя деление на ноль нельзя разумно определить с помощью действительных и целых чисел, его или аналогичные операции можно последовательно определять в других математических структурах.

Нестандартный анализ

В гиперреальных числах и сюрреалистических числах деление на ноль по-прежнему невозможно, но деление на ненулевое бесконечно малое возможно.

Теория распределения

В теории распределения можно расширить функцию $1 x {\ displaystyle \ textstyle {\ frac {1} {x}}}$ $\ textstyle {\ frac {1} {x}}$ к распределению по всему пространству действительных чисел (фактически, с использованием основных значений Коши ). Однако не имеет смысла спрашивать «значение» этого распределения при x = 0; сложный ответ относится к единственной поддержке распределения.

Линейная алгебра

В матричной алгебре (или линейной алгебре в целом) можно определить псевдоделение, задав a / b = ab, где b представляет собой псевдообратную функции b. Можно доказать, что если b существует, то b = b. Если b равно 0, то b = 0.

Абстрактная алгебра

Любая система счисления, которая образует коммутативное кольцо - например, целые числа, действительные числа и комплексные числа - могут быть расширены до колеса, в котором всегда возможно деление на ноль; однако в таком случае «деление» имеет несколько иное значение.

Концепции, применяемые к стандартной арифметике, аналогичны концепциям, применяемым в более общих алгебраических структурах, таких как кольца и поля. В поле каждый ненулевой элемент обратим относительно умножения; как и выше, деление создает проблемы только при попытке деления на ноль. Это также верно в отношении телеграфного поля (которое по этой причине называется делительным кольцом ). Однако в других кольцах деление на ненулевые элементы также может создавать проблемы. Например, кольцо Z/6Zцелых чисел mod 6. Значение выражения $2 2 {\ displaystyle \ textstyle {\ frac {2} {2}}}$ $\ textstyle {\ frac {2} {2}}$ должно быть решением x уравнения $2 x = 2 {\ displaystyle 2x = 2}$ $2x = 2$ . Но в кольце Z/6Z, 2 является делителем нуля. У этого уравнения есть два различных решения: x = 1 и x = 4, поэтому выражение $2 2 {\ displaystyle \ textstyle {\ frac {2} {2}}}$ $\ textstyle {\ frac {2} {2}}$ равно undefined.

В теории поля выражение $ab {\ displaystyle \ textstyle {\ frac {a} {b}}}$ $\ textstyle {\ frac {a} {b}}$ является лишь сокращением формального выражения ab, где b - мультипликативный обратный из б. Поскольку аксиомы поля гарантируют существование таких инверсий только для ненулевых элементов, это выражение не имеет смысла, когда b равно нулю. Современные тексты, которые определяют поля как особый тип кольца, включают аксиому 0 1 для полей (или ее эквивалент), так что нулевое кольцо исключается из поля. В нулевом кольце возможно деление на ноль, что показывает, что других аксиом поля недостаточно, чтобы исключить деление на ноль в поле.

Компьютерная арифметика

Большинство калькуляторов, таких как этот Texas Instruments TI-86, останавливают выполнение и отображают сообщение об ошибке, когда пользователь или запущенная программа пытается разделить на ноль.

Деление на ноль на калькуляторе Android 2.2.1 показывает символ бесконечности.

Стандарт с плавающей запятой IEEE, поддерживаемый почти всеми современные блоки с плавающей запятой, определяют, что каждая арифметическая операция с плавающей запятой, включая деление на ноль, имеет четко определенный результат. Стандарт поддерживает подписанный ноль, а также бесконечность и NaN (не число). Есть два нуля: +0 (положительный ноль) и -0 (отрицательный ноль), и это устраняет любую двусмысленность при делении. В арифметике IEEE 754 a ÷ +0 означает положительную бесконечность, когда a положительно, отрицательную бесконечность, когда a отрицательно, и NaN, когда a = ± 0. Знаки бесконечности меняются при делении на −0.

Обоснованием этого определения является сохранение знака результата в случае арифметического опустошения. Например, при вычислении с одинарной точностью 1 / (x / 2), где x = ± 2, при вычислении x / 2 происходит обратное переполнение и получается ± 0 с совпадением знаков x, а результат будет ± ∞ с совпадением знаков x. Знак будет соответствовать знаку точного результата ± 2, но величина точного результата слишком велика для представления, поэтому бесконечность используется для обозначения переполнения.

Целочисленное деление на ноль обычно обрабатывается иначе, чем с плавающей запятой, поскольку нет целочисленного представления результата. Некоторые процессоры генерируют исключение , когда предпринимается попытка разделить целое число на ноль, хотя другие просто продолжат работу и выдадут неверный результат для деления. Результат зависит от того, как реализовано деление, и может быть либо нулем, либо иногда максимально возможным целым числом.

Из-за неправильных алгебраических результатов присвоения любого значения делению на ноль многие компьютерные языки программирования (включая те, которые используются калькуляторами ) явно запрещают выполнение работа и может преждевременно остановить программу, которая пытается это сделать, иногда сообщая об ошибке «Делить на ноль». В этих случаях, если требуется какое-то особое поведение для деления на ноль, условие должно быть явно проверено (например, с помощью оператора if ). Некоторые программы (особенно те, которые используют арифметику с фиксированной запятой, где нет специального оборудования с плавающей запятой) будут использовать поведение, подобное стандарту IEEE, используя большие положительные и отрицательные числа для аппроксимации бесконечностей. В некоторых языках программирования попытка разделить на ноль приводит к неопределенному поведению. Используемый во многих школах графический язык программирования Scratch 2.0 и 3.0 возвращает Infinity или -Infinity в зависимости от знака дивиденда.

В арифметике с дополнением до двух попытки разделить наименьшее целое число со знаком на -1 сопровождаются аналогичными проблемами и обрабатываются с тем же диапазоном решений, от явных условий ошибки до поведение undefined.

Большинство калькуляторов либо возвращают ошибку, либо сообщают, что 1/0 не определено; однако некоторые графические калькуляторы TI и HP будут оценивать (1/0) до ∞.

Microsoft Math и Mathematica возвращают ComplexInfinityдля 1/0. Maple и SageMath возвращают сообщение об ошибке для 1/0 и бесконечность для 1 / 0,0 (0,0 указывает этим системам использовать арифметику с плавающей запятой вместо алгебраической арифметики).

Некоторые современные калькуляторы позволяют деление на ноль в особых случаях, когда это будет полезно для студентов и, предположительно, будет понятно математикам в контексте. Некоторые калькуляторы, например онлайн-калькулятор Desmos, допускают арктангенс (1/0). Студентов часто учат, что обратная функция котангенса, арккотангенс, должна быть вычислена, взяв арктангенс обратной величины, и поэтому калькулятор может разрешить арктангенс (1/0), давая результат $π 2 {\ displaystyle {\ tfrac {\ pi} {2}}}$ ${\ tfrac {\ pi} {2}}$ , которое является правильным значением арккотангенса 0. Математическое обоснование состоит в том, что предел, когда x стремится к нулю арктангенса 1 / x, равен $π 2 {\ displaystyle {\ tfrac {\ pi} {2}}}$ ${\ tfrac {\ pi} {2}}$ .

Исторические происшествия

21 сентября 1997 года, ошибка деления на ноль в "Диспетчере удаленных баз данных" на борту Военный корабль США Йорктаун (CG-48) отключил все машины в сети, что привело к отказу силовой установки корабля.