Расстояние по большому кругу

редактировать

Диаграмма, показывающая расстояние по большому кругу (нарисовано красным) между двумя точками на сфере, P и Q. Две противоположные точки также показаны точки u и v.

расстояние по большому кругу, ортодромное расстояние или сферическое расстояние - это кратчайшее расстояние между двумя точками на поверхности сферы, измеренных по поверхности сферы (в отличие от прямой линии, проходящей через внутреннюю часть сферы). Расстояние между двумя точками в евклидовом пространстве - это длина прямой линии между ними, но на сфере прямых линий нет. В пространствах с кривизной прямые линии заменяются на геодезические. Геодезические на сфере - это круги на сфере, центры которых совпадают с центром сферы, и называются большими кругами.

. Определение расстояния большого круга является частью более общей проблемы большой окружности. -круговая навигация, которая также вычисляет азимуты в конечных точках и промежуточных точках пути.

Через любые две точки на сфере, которые не находятся прямо напротив друг друга, проходит уникальный большой круг. Две точки разделяют большой круг на две дуги. Длина более короткой дуги - это расстояние по большому кругу между точками. Большой круг с таким расстоянием называется римановой окружностью в римановой геометрии.

. Между двумя точками, которые находятся прямо напротив друг друга, называемыми антиподальными точками, находятся бесконечно много больших окружностей, и все дуги большого круга между противоположными точками имеют длину, равную половине окружности окружности, или $π r {\ displaystyle \ pi r}$ $\ pi r$ , где r - радиус сферы.

Земля почти сферическая (см. Радиус Земли ), поэтому формулы расстояния по дуге большого круга дают расстояние между точками на поверхности Земли с точностью до 0,5%. (См. Длина дуги § Дуги больших кругов на Земле.)

Содержание

1 Формулы
- 1.1 Вычислительные формулы
- 1.2 Векторная версия
- 1.3 От длины хорды
2 Радиус сферической Земли
3 См. Также
4 Ссылки и примечания
5 Внешние ссылки

Формулы

Иллюстрация центрального угла Δσ между двумя точками P и Q. λ и φ - продольный и широтный углы P соответственно.

Пусть $λ 1, ϕ 1 {\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ phi _ {1}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ { 1}, \ phi _ {1}}$ и $λ 2, ϕ 2 {\ displaystyle \ lambda _ {2}, \ phi _ {2}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {2}, \ phi _ {2}}$ - географическая долгота и широта в радианах, равных двум. точки 1 и 2, а $Δ λ, Δ ϕ {\ displaystyle \ Delta \ lambda, \ Delta \ phi}$ ${\ displaystyle \ Delta \ lambda, \ Delta \ phi}$ - их абсолютные разности; тогда $Δ σ {\ displaystyle \ Delta \ sigma}$ $\ Delta \ sigma$ , центральный угол между ними, задается сферическим законом косинусов, если один из полюса используется как вспомогательная третья точка на сфере:

Δ σ = arccos ⁡ (sin ⁡ ϕ 1 sin ⁡ ϕ 2 + cos ⁡ ϕ 1 cos ⁡ ϕ 2 cos ⁡ (Δ λ)). {\ Displaystyle \ Delta \ sigma = \ arccos {\ bigl (} \ sin \ phi _ {1} \ sin \ phi _ {2} + \ cos \ phi _ {1} \ cos \ phi _ {2} \ cos (\ Delta \ lambda) {\ bigr)}.}

{\ displaystyle \ Delta \ sigma = \ arccos {\ bigl (} \ sin \ phi _ {1} \ sin \ phi _ {2} + \ cos \ phi _ {1} \ cos \ phi _ {2} \ cos (\ Delta \ lambda) {\ bigr)}.}

Проблема обычно выражается в терминах определения центрального угла $Δ σ {\ displaystyle \ Delta \ sigma}$ $\ Delta \ sigma$ . Учитывая этот угол в радианах, фактическая длина дуги d на сфере радиуса r может быть тривиально вычислена как

d = r Δ σ. {\ displaystyle d = r \, \ Delta \ sigma.}

d = r \, \ Delta \ sigma.

Вычислительные формулы

В компьютерных системах с низкой точностью с плавающей запятой формула сферического закона косинусов может иметь большие ошибки округления, если расстояние небольшое (если две точки находятся на расстоянии километра друг от друга на поверхности Земли, косинус центрального угла составляет около 0,99999999). Для современных 64-битных чисел с плавающей запятой формула сферического закона косинусов, приведенная выше, не имеет серьезных ошибок округления для расстояний, превышающих несколько метров на поверхности Земли. Формула гаверсинуса является численно лучше обусловленной для малых расстояний:

Δ σ = archav ⁡ (hav ⁡ (Δ ϕ) + cos ⁡ ϕ 1 cos ⁡ ϕ 2 hav ⁡ (Δ λ)) Δ σ = 2 arcsin sin 2 ⁡ (Δ ϕ 2) + cos ϕ 1 cos ⁡ ϕ 2 sin 2 ⁡ (Δ λ 2). {\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta \ sigma = \ operatorname {archav} \ left (\ operatorname {hav} \ left (\ Delta \ phi \ right) + \ cos \ phi _ {1} \ cos \ phi _ {2} \ operatorname {hav} \ left (\ Delta \ lambda \ right) \ right) \\\\\ Delta \ sigma = 2 \ arcsin {\ sqrt {\ sin ^ {2} \ left ({ \ frac {\ Delta \ phi} {2}} \ right) + \ cos {\ phi _ {1}} \ cos {\ phi _ {2}} \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ Дельта \ лямбда} {2}} \ right)}}. \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta \ sigma = \ operatorname {archav} \ left (\ operatorname {hav} \ left (\ Delta \ phi \ right) + \ cos \ phi _ {1} \ cos \ phi _ {2} \ operatorname {hav} \ left (\ Delta \ lambda \ right) \ right) \\\\\ Delta \ sigma = 2 \ arcsin {\ sqrt {\ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ Delta \ phi} {2}} \ right) + \ cos {\ phi _ {1}} \ cos {\ phi _ {2}} \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ Delta \ lambda} {2}} \ right)}}. \\\ конец {выровнен}}}

Исторически использование этой формулы упрощалось доступностью таблиц для функции haversine : hav (θ) = sin (θ / 2).

Хотя эта формула верна для большинства расстояний на сфере, она также страдает от ошибок округления для особого (и несколько необычного) случая точек противоположных точек (на противоположных концах сферы). Формула, которая является точной для всех расстояний, представляет собой следующий частный случай формулы Винсенти для эллипсоида с равной большой и малой осями:

Δ σ = arctan ⁡ (cos ⁡ ϕ 2 sin ⁡ (Δ λ)) 2 + (cos ⁡ ϕ 1 sin ⁡ ϕ 2 - sin ⁡ ϕ 1 cos ⁡ ϕ 2 cos ⁡ (Δ λ)) 2 sin ⁡ ϕ 1 sin ⁡ ϕ 2 + cos ⁡ ϕ 1 cos ⁡ ϕ 2 cos ⁡ (Δ λ). {\ displaystyle \ Delta \ sigma = \ arctan {\ frac {\ sqrt {\ left (\ cos \ phi _ {2} \ sin (\ Delta \ lambda) \ right) ^ {2} + \ left (\ cos \ phi _ {1} \ sin \ phi _ {2} - \ sin \ phi _ {1} \ cos \ phi _ {2} \ cos (\ Delta \ lambda) \ right) ^ {2}}} {\ sin \ phi _ {1} \ sin \ phi _ {2} + \ cos \ phi _ {1} \ cos \ phi _ {2} \ cos (\ Delta \ lambda)}}.}

{\ displaystyle \ Delta \ sigma = \ arctan {\ frac {\ sqrt {\ left (\ cos \ phi _ {2} \ sin (\ Delta \ lambda) \ right) ^ {2} + \ left (\ cos \ phi _ {1} \ sin \ phi _ {2} - \ sin \ phi _ {1} \ cos \ phi _ {2} \ cos (\ Delta \ lambda) \ right) ^ {2}}} {\ sin \ phi _ {1} \ sin \ phi _ {2} + \ cos \ phi _ {1} \ cos \ phi _ {2} \ cos (\ Delta \ lambda)}}.}

Векторная версия

Другое представление аналогичных формул, но с использованием нормальных векторов вместо широты и долготы для описания позиций, находится с помощью трехмерной векторной алгебры с использованием скалярное произведение, кросс-произведение или комбинация:

Δ σ = arccos ⁡ (n 1 ⋅ n 2) = arcsin ⁡ | n 1 × n 2 | = arctan ⁡ | n 1 × n 2 | n 1 ⋅ N 2 {\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta \ sigma = \ arccos \ left (\ mathbf {n} _ {1} \ cdot \ mathbf {n} _ {2} \ right) \\ = \ arcsin \ left | \ mathbf {n} _ {1} \ times \ mathbf {n} _ {2} \ right | \\ = \ arctan {\ frac {\ left | \ mathbf {n} _ { 1} \ times \ mathbf {n} _ {2} \ right |} {\ mathbf {n} _ {1} \ cdot \ mathbf {n} _ {2}}} \\\ конец {выровнено}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta \ sigma = \ arccos \ left (\ mathbf {n} _ {1} \ cdot \ mathbf { n} _ {2} \ right) \\ = \ arcsin \ left | \ mathbf {n} _ {1} \ times \ mathbf {n} _ {2} \ right | \\ = \ arctan {\ frac {\ l eft | \ mathbf {n} _ {1} \ times \ mathbf {n} _ {2} \ right |} {\ mathbf {n} _ {1} \ cdot \ mathbf {n} _ {2}}} \ \\ конец {выровнен}}}

где $n 1 {\ displaystyle \ mathbf {n} _ {1}}$ ${\ mathbf n} _ {1}$ и $n 2 {\ displaystyle \ mathbf {n} _ {2}}$ ${\ mathbf n} _ {2}$ - нормали к эллипсоиду в двух положениях 1 и 2. Подобно приведенным выше уравнениям, основанным на широте и долготе, выражение, основанное на arctan, является единственным, которое хорошо обусловлено для всех углов. Выражение на основе arctan требует величины перекрестного произведения на скалярное произведение.

По длине хорды

Линия, проходящая через трехмерное пространство между интересующими точками на сферической Земле, является хордой большого круга между точками. Центральный угол между двумя точками можно определить по длине хорды. Расстояние большого круга пропорционально центральному углу.

Длина хорды большого круга, $C h {\ displaystyle C_ {h} \, \!}$ $C_ {h } \, \!$ , может быть вычислена следующим образом для соответствующей единичной сферы с помощью Декартово вычитание :

Δ X = cos ⁡ ϕ 2 cos ⁡ λ 2 - cos ⁡ ϕ 1 cos ⁡ λ 1; Δ Y = cos ⁡ ϕ 2 sin ⁡ λ 2 - cos ⁡ ϕ 1 sin ⁡ λ 1; Δ Z = sin ⁡ ϕ 2 - sin ⁡ ϕ 1; С знак равно (Δ Икс) 2 + (Δ Y) 2 + (Δ Z) 2 {\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta {X} = \ cos \ phi _ {2} \ cos \ lambda _ {2 } - \ cos \ phi _ {1} \ cos \ lambda _ {1}; \\\ Delta {Y} = \ cos \ phi _ {2} \ sin \ lambda _ {2} - \ cos \ phi _ {1} \ sin \ lambda _ {1}; \\\ Delta {Z} = \ sin \ phi _ {2} - \ sin \ phi _ {1}; \\ C = {\ sqrt {(\ Delta {X}) ^ {2} + (\ Delta {Y}) ^ {2} + (\ Delta {Z}) ^ {2}}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta {X} = \ cos \ phi _ {2} \ cos \ lambda _ {2} - \ cos \ phi _ {1} \ cos \ lambda _ {1}; \\\ Delta {Y} = \ cos \ phi _ {2} \ sin \ lambda _ {2} - \ cos \ phi _ {1} \ sin \ lambda _ {1}; \\\ Del ta {Z} = \ sin \ phi _ {2} - \ sin \ phi _ {1}; \\ C = {\ sqrt {(\ Delta {X}) ^ {2} + (\ Delta {Y}) ^ {2} + (\ Delta {Z}) ^ {2}}} \ end {align}}}

Центральный угол:

Δ σ = 2 arcsin ⁡ C 2. {\ displaystyle \ Delta \ sigma = 2 \ arcsin {\ frac {C} {2}}.}

\ Delta \ sigma = 2 \ arcsin \ frac {C} {2}.

Радиус сферической Земли

Экваториальный (a), полярный (b) и средний радиус Земли, как определено в 1984 Мировая геодезическая система, редакция. (Не в масштабе.)

Форма Земли очень напоминает сплюснутую сферу (сфероид ) с экваториальным радиусом $a {\ displaystyle a}$ $a$ из 6378,137 км; расстояние $b {\ displaystyle b}$ $b$ от центра сфероида до каждого полюса составляет 6356,7523142 км. При вычислении длины короткой линии север-юг на экваторе круг, который наилучшим образом соответствует этой линии, имеет радиус $b 2 / a {\ displaystyle b ^ {2} / a}$ $b ^ {2} / a$ (что соответствует меридиану semi-latus rectum ), или 6335,439 км, в то время как сфероид на полюсах лучше всего аппроксимируется сферой радиуса $a 2 / b {\ displaystyle a ^ {2} / b}$ $a ^ {2} / b$ , или 6399,594 км, разница в 1%. Пока предполагается сферическая Земля, любая формула для расстояния на Земле гарантированно верна только в пределах 0,5% (хотя возможна более высокая точность, если формула предназначена только для применения к ограниченной области). Используя средний радиус Земли, $R 1 = 1 3 (2 a + b) ≈ 6371,009 км {\ displaystyle R_ {1} = {\ frac {1} {3}} (2a + б) \ приблизительно 6371.009 \, \ mathrm {km}}$ ${\ displaystyle R_ {1} = {\ frac {1} {3}} (2a + b) \ приблизительно 6371.009 \, \ mathrm {km}}$ (для эллипсоида WGS84 ) означает, что в пределе небольшого уплощения средняя квадратичная относительная погрешность в оценках расстояния сведено к минимуму.

См. также

Ссылки и примечания

Внешние ссылки

GreatCircle на MathWorld