Выпуклый многоугольник

редактировать
Пример выпуклого многоугольника: правильный пятиугольник.

A выпуклый многоугольник - это простой многоугольник (не самопересекающийся ), в котором ни один отрезок линии между двумя точками на границе никогда не выходит за пределы многоугольника. Эквивалентно, это простой многоугольник, внутреннее пространство которого является выпуклым множеством. В выпуклом многоугольнике все внутренние углы меньше или равны 180 градусам, тогда как в строго выпуклом многоугольнике все внутренние углы строго меньше 180 градусов.

Содержание

  • 1 Свойства
  • 2 Строгая выпуклость
  • 3 См. Также
  • 4 Ссылки
  • 5 Внешние ссылки

Свойства

Следующие свойства простого многоугольника: все эквивалентно выпуклости:

  • Каждый внутренний угол строго меньше 180 градусов.
  • Каждая точка на каждом отрезке линии между двумя точками внутри или на границе многоугольник остается внутри или на границе.
  • Многоугольник полностью содержится в замкнутой полуплоскости, определяемой каждым из его ребер.
  • Для каждого ребра все внутренние точки находятся на на той же стороне линии, которую определяет край.
  • Угол в каждой вершине содержит все остальные вершины на его ребрах и внутри.
  • Многоугольник - это выпуклая оболочка его ребра.

Дополнительные свойства выпуклых многоугольников включают:

  • Пересечение двух выпуклых многоугольников является выпуклым многоугольником.
  • Выпуклый многоугольник может быть триангулирован в линейном время через триангуляцию вентилятора, состоит в добавлении диагоналей от одной вершины ко всем остальным вершинам.
  • Теорема Хелли : Для каждого набора, по крайней мере, трех выпуклых многоугольников: если пересечение каждых трех из них непусто, то вся совокупность имеет непустое пересечение.
  • Теорема Крейна – Мильмана : Выпуклый многоугольник - это выпуклая оболочка его вершин. Таким образом, он полностью определяется набором своих вершин, и для восстановления всей формы многоугольника нужны только углы многоугольника.
  • Теорема о разделении гиперплоскостей : любые два выпуклых многоугольника, не имеющих общих точек, имеют разделитель линия. Если многоугольники замкнуты и хотя бы один из них компактный, то есть даже две параллельные разделительные линии (с промежутком между ними). ​​
  • Свойство вписанного треугольника : Из всех треугольников, содержащихся в выпуклом многоугольнике, есть существует треугольник с максимальной площадью, все вершины которого являются вершинами многоугольника.
  • Свойство вписывающего треугольника : каждый выпуклый многоугольник с площадью A может быть вписан в треугольник с площадью не более 2A. Равенство выполняется (исключительно) для параллелограмма .
  • Вписанных / вписывающих прямоугольников свойство: для каждого выпуклого тела C на плоскости мы можем вписать прямоугольник r в C, так что гомотетический копия R r описана вокруг C, и положительное отношение гомотетии не превышает 2 и 0,5 × Площадь (R) ≤ Площадь (C) ≤ 2 × Площадь (r) {\ displaystyle 0.5 {\ text {× Area} } (R) \ leq {\ text {Area}} (C) \ leq 2 {\ text {× Area}} (r)}0,5 {\ text {× Area}} (R) \ leq {\ text {Area}} (C) \ leq 2 {\ text {× Area}} (r) .
  • Средняя ширина выпуклого многоугольника равна его периметр делится на пи. Таким образом, его ширина равна диаметру круга с тем же периметром, что и у многоугольника.

Каждый многоугольник, вписанный в круг (такой, что все вершины многоугольника касаются круга), если не самопересекающийся, выпуклый. Однако не каждый выпуклый многоугольник можно вписать в круг.

Строгая выпуклость

Следующие свойства простого многоугольника эквивалентны строгой выпуклости:

  • Каждый внутренний угол строго меньше 180 градусов.
  • Каждый отрезок линии между двумя точками внутри или между двумя точками на границе, но не на одном и том же ребре, является строго внутренним по отношению к многоугольнику (за исключением его конечных точек, если они находятся на ребрах).
  • Для каждого ребра, внутренние точки и граничные точки, не содержащиеся в ребре, находятся на той же стороне линии, которую определяет ребро.
  • Угол в каждой вершине содержит все остальные вершины внутри (кроме данной вершины и две соседние вершины).

Каждый невырожденный треугольник строго выпуклый.

См. Также

Список литературы

  1. ^Определение и свойства выпуклых многоугольников с интерактивной анимацией.
  2. ^-, Christos. «Всегда ли область пересечения выпуклых многоугольников выпуклая?». Math Stack Exchange. CS1 maint: числовые имена: список авторов (ссылка )
  3. ^Weisstein, Eric W. «Triangle Circumscribing». Wolfram Math World.
  4. ^Lassak, M. (1993). "Аппроксимация выпуклых тел прямоугольниками". Geometriae Dedicata. 47 : 111. doi : 10.1007 / BF01263495.
  5. ^Джим Белк. " Какова средняя ширина выпуклого многоугольника? ". Math Stack Exchange.

Внешние ссылки

На Викискладе есть материалы, связанные с выпуклыми многоугольниками.
Последняя правка сделана 2021-05-15 11:21:57
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте