Выпуклый многоугольник
редактировать

Пример выпуклого многоугольника:
правильный пятиугольник.
A выпуклый многоугольник - это простой многоугольник (не самопересекающийся ), в котором ни один отрезок линии между двумя точками на границе никогда не выходит за пределы многоугольника. Эквивалентно, это простой многоугольник, внутреннее пространство которого является выпуклым множеством. В выпуклом многоугольнике все внутренние углы меньше или равны 180 градусам, тогда как в строго выпуклом многоугольнике все внутренние углы строго меньше 180 градусов.
Содержание
- 1 Свойства
- 2 Строгая выпуклость
- 3 См. Также
- 4 Ссылки
- 5 Внешние ссылки
Свойства
Следующие свойства простого многоугольника: все эквивалентно выпуклости:
- Каждый внутренний угол строго меньше 180 градусов.
- Каждая точка на каждом отрезке линии между двумя точками внутри или на границе многоугольник остается внутри или на границе.
- Многоугольник полностью содержится в замкнутой полуплоскости, определяемой каждым из его ребер.
- Для каждого ребра все внутренние точки находятся на на той же стороне линии, которую определяет край.
- Угол в каждой вершине содержит все остальные вершины на его ребрах и внутри.
- Многоугольник - это выпуклая оболочка его ребра.
Дополнительные свойства выпуклых многоугольников включают:
- Пересечение двух выпуклых многоугольников является выпуклым многоугольником.
- Выпуклый многоугольник может быть триангулирован в линейном время через триангуляцию вентилятора, состоит в добавлении диагоналей от одной вершины ко всем остальным вершинам.
- Теорема Хелли : Для каждого набора, по крайней мере, трех выпуклых многоугольников: если пересечение каждых трех из них непусто, то вся совокупность имеет непустое пересечение.
- Теорема Крейна – Мильмана : Выпуклый многоугольник - это выпуклая оболочка его вершин. Таким образом, он полностью определяется набором своих вершин, и для восстановления всей формы многоугольника нужны только углы многоугольника.
- Теорема о разделении гиперплоскостей : любые два выпуклых многоугольника, не имеющих общих точек, имеют разделитель линия. Если многоугольники замкнуты и хотя бы один из них компактный, то есть даже две параллельные разделительные линии (с промежутком между ними).
- Свойство вписанного треугольника : Из всех треугольников, содержащихся в выпуклом многоугольнике, есть существует треугольник с максимальной площадью, все вершины которого являются вершинами многоугольника.
- Свойство вписывающего треугольника : каждый выпуклый многоугольник с площадью A может быть вписан в треугольник с площадью не более 2A. Равенство выполняется (исключительно) для параллелограмма .
- Вписанных / вписывающих прямоугольников свойство: для каждого выпуклого тела C на плоскости мы можем вписать прямоугольник r в C, так что гомотетический копия R r описана вокруг C, и положительное отношение гомотетии не превышает 2 и
. - Средняя ширина выпуклого многоугольника равна его периметр делится на пи. Таким образом, его ширина равна диаметру круга с тем же периметром, что и у многоугольника.
Каждый многоугольник, вписанный в круг (такой, что все вершины многоугольника касаются круга), если не самопересекающийся, выпуклый. Однако не каждый выпуклый многоугольник можно вписать в круг.
Строгая выпуклость
Следующие свойства простого многоугольника эквивалентны строгой выпуклости:
- Каждый внутренний угол строго меньше 180 градусов.
- Каждый отрезок линии между двумя точками внутри или между двумя точками на границе, но не на одном и том же ребре, является строго внутренним по отношению к многоугольнику (за исключением его конечных точек, если они находятся на ребрах).
- Для каждого ребра, внутренние точки и граничные точки, не содержащиеся в ребре, находятся на той же стороне линии, которую определяет ребро.
- Угол в каждой вершине содержит все остальные вершины внутри (кроме данной вершины и две соседние вершины).
Каждый невырожденный треугольник строго выпуклый.
См. Также
Список литературы
- ^Определение и свойства выпуклых многоугольников с интерактивной анимацией.
- ^-, Christos. «Всегда ли область пересечения выпуклых многоугольников выпуклая?». Math Stack Exchange. CS1 maint: числовые имена: список авторов (ссылка )
- ^Weisstein, Eric W. «Triangle Circumscribing». Wolfram Math World.
- ^Lassak, M. (1993). "Аппроксимация выпуклых тел прямоугольниками". Geometriae Dedicata. 47 : 111. doi : 10.1007 / BF01263495.
- ^Джим Белк. " Какова средняя ширина выпуклого многоугольника? ". Math Stack Exchange.
Внешние ссылки
 | На Викискладе есть материалы, связанные с выпуклыми многоугольниками. |
- Вайсштейн, Эрик У. «Выпуклый многоугольник». MathWorld.
- http://www.rustycode.com/tutorials/convex.html
- Шорн, Питер; Фишер, Фредерик (1994), «I.2 Проверка выпуклости многоугольника», в Heckbert, Paul S. (ed.), Graphics Gems IV, Morgan Kaufmann (Academic Press), стр. 7–15, ISBN 9780123361554