Степени свободы (механика)

Количество независимых параметров, определяющих конфигурацию или состояние механической системы.

In физика, степеней свободы (DOF ) механической системы - это количество независимых параметров, которые определяют его конфигурация или состояние. Это важно при анализе систем тел в машиностроении, строительной технике, аэрокосмической технике, робототехнике и других областях.

Положение отдельного железнодорожного вагона (паровоза), движущегося по рельсовому пути, имеет одну степень свободы, поскольку положение вагона определяется расстоянием по рельсовому пути. Поезд из жестких вагонов, соединенных шарнирами с двигателем, по-прежнему имеет только одну степень свободы, потому что положение вагонов за двигателем ограничивается формой пути.

Автомобиль с очень жесткой подвеской можно рассматривать как твердое тело, движущееся по плоскости (плоскому двухмерному пространству). Это тело имеет три независимые степени свободы, состоящие из двух составляющих поступательного движения и одного угла поворота. Занос или занос - хороший пример трех независимых степеней свободы автомобиля.

Положение и ориентация твердого тела в пространстве определяется тремя компонентами смещения и тремя компонентами поворота, что означает, что он имеет шесть степеней свободы.

Метод точное ограничение механический метод проектирования управляет степенями свободы, чтобы не ограничивать или чрезмерно ограничивать устройство.

Содержание

• 1 Движения и размеры
• 2 Шесть степеней свободы (6 степеней свободы)
• 3 Формула подвижности
  • 3.1 Плоское и сферическое движение
  • 3.2 Системы тел
• 4 Электротехника
• 5 См. Также
• 6 Ссылки

Движения и размеры

Положение n-мерного твердого тела определяется жестким преобразованием, [T] = [A, d], где d - n-мерное перемещение и A - матрица вращения n × n, которая имеет n поступательных степеней свободы и n (n - 1) / 2 вращательных степеней свободы. Число степеней свободы вращения определяется размерностью группы вращения SO (n).

Нежесткое или деформируемое тело можно рассматривать как совокупность множества мельчайших частиц (бесконечное число степеней свободы), это часто аппроксимируется конечной системой степеней свободы. Когда основной целью исследования является движение, связанное с большими смещениями (например, для анализа движения спутников), деформируемое тело можно аппроксимировать как твердое тело (или даже частицу), чтобы упростить анализ.

Степень свободы системы можно рассматривать как минимальное количество координат, необходимых для задания конфигурации. Применяя это определение, мы имеем:

1. Для отдельной частицы на плоскости две координаты определяют ее местоположение, поэтому она имеет две степени свободы;
2. Для отдельной частицы в пространстве требуются три координаты, поэтому у нее есть три степени свободы. свобода;
3. Две частицы в космосе имеют вместе шесть степеней свободы;
4. Если две частицы в космосе вынуждены поддерживать постоянное расстояние друг от друга, например, в случае двухатомной молекулы, то шесть координат должны удовлетворять единственному уравнению связи, определяемому формулой расстояния. Это уменьшает степень свободы системы до пяти, потому что формулу расстояния можно использовать для определения оставшейся координаты, когда указаны другие пять.

Шесть степеней свободы (6 степеней свободы)

Шесть степеней свободы свобода движения корабля Степени свободы положения для самолета Мнемоника для запоминания названий углов

Движение корабля в море имеет шесть степеней свободы твердого тела и описывается как:

Смещение и вращение:

1. Движение вверх и вниз (подъем / подъем);
2. Движение влево и вправо (раскачивание / раскачивание);
3. Движение вперед и назад (ходьба / колебание);
4. Поворачивается влево и вправо (рыскание );
5. Наклоняется вперед и назад (качка );
6. Поворачивается из стороны в сторону (качение ).

См. Также Эйлер) углы

Траектория самолета в полете имеет три степени свободы, а его положение вдоль траектории имеет три степени свободы, всего шесть степеней свободы.

Формула подвижности

М Формула устойчивости подсчитывает количество параметров, которые определяют конфигурацию набора твердых тел, которые ограничены соединениями, соединяющими эти тела.

Рассмотрим систему из n твердых тел, движущихся в пространстве, с 6n степенями свободы, измеренными относительно фиксированная рама. Чтобы подсчитать степени свободы этой системы, включите неподвижное тело в подсчет тел, чтобы подвижность не зависела от выбора тела, образующего неподвижный каркас. Тогда степень свободы неограниченной системы N = n + 1 равна

$M\; =\; 6\; n\; =\; 6\; (N\; -\; 1),\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; =\; 6n\; =\; 6\; (N-1),\; \backslash !\}$

потому что неподвижное тело имеет нулевые степени свободы относительно самого себя.

Соединения, соединяющие тела в этой системе, устраняют степени свободы и уменьшают подвижность. В частности, петли и ползунки накладывают пять ограничений и, следовательно, устраняют пять степеней свободы. Удобно определить количество ограничений c, которые налагает сустав, в терминах свободы сустава f, где c = 6 - f. В случае шарнира или ползуна, которые являются шарнирами с одной степенью свободы, f = 1 и, следовательно, c = 6 - 1 = 5.

В результате подвижность системы, сформированной из n движущихся звеньев и j соединений, каждое со свободой f i, i = 1,..., j, задается как

$M\; =\; 6\; n\; -\; \sum \; i\; =\; 1\; j\; (6\; -\; fi)\; =\; 6\; (\; N\; -\; 1\; -\; j)\; +\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; jfi\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; =\; 6n-\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{j\}\; \backslash \; (6-f\_\; \{i\})\; =\; 6\; (N-1-j)\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{j\}\; \backslash \; f\_\; \{i\}\}$

Напомним, что N включает фиксированную ссылку.

Есть два важных частных случая: (i) простая открытая цепочка и (ii) простая замкнутая цепь. Одна открытая цепь состоит из n подвижных звеньев, соединенных между собой n стыками, причем один конец соединен с заземляющим звеном. Таким образом, в этом случае N = j + 1 и подвижность цепи равна

$M\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; jfi\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{j\}\; \backslash \; f\_\; \{i\}\}$

Для простой замкнутой цепи n подвижных звеньев соединены встык с помощью n + 1 соединения, так что два конца соединены с заземляющим звеном, образуя петлю. В этом случае мы имеем N = j, а подвижность цепи равна

$M\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; jfi\; -\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{j\}\; \backslash \; f\_\; \{i\}\; -6\}$

Пример простой открытой цепи - серийный робот-манипулятор. Эти роботизированные системы состоят из ряда звеньев, соединенных шестью поворотными или призматическими соединениями с одной степенью свободы, поэтому система имеет шесть степеней свободы.

Примером простой замкнутой цепи является пространственная четырехзвенная связь RSSR. Сумма свободы этих сочленений равна восьми, поэтому подвижность рычажного механизма равна двум, где одна из степеней свободы - это вращение муфты вокруг линии, соединяющей два S-сочленения.

Плоское и сферическое движение

Обычной практикой является проектирование системы рычагов так, чтобы движение всех тел было ограничено лежать в параллельных плоскостях, чтобы сформировать так называемая планарная связь. Также возможно сконструировать систему сцепления так, чтобы все тела двигались по концентрическим сферам, образуя сферическую связь. В обоих случаях степени свободы звеньев в каждой системе теперь равны трем, а не шести, а ограничения, налагаемые суставами, теперь равны c = 3 - f.

В этом случае формула мобильности имеет вид

$M\; =\; 3\; (N\; -\; 1\; -\; j)\; +\; \sum \; i\; =\; 1\; jfi,\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; =\; 3\; (N-1-j)\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{j\}\; \backslash \; f\_\; \{i\},\}$

и особые случаи становятся

• плоской или сферической простой открытой цепочкой,

$M\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; jfi,\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{j\}\; \backslash \; f\_\; \{i\},\}$

• плоская или сферическая простая замкнутая цепь,

$M\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; jfi\; -\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{j\}\; \backslash \; f\_\; \{i\}\; -3.\}$

Примером плоской простой замкнутой цепи является плоская четырехзвенная связь, которая представляет собой четырехзвенную -барная петля с четырьмя шарнирами с одной степенью свободы и, следовательно, имеет подвижность M = 1.

Системы тел

шарнирно-сочлененный робот с шестью степенями свободы в кинематической цепи.

Система с несколькими телами будет иметь комбинированную степень свободы, которая является суммой степеней свободы тел, за вычетом внутренних ограничений, которые они могут иметь на относительное движение. Механизм или рычажный механизм, содержащий несколько связанных твердых тел, может иметь больше степеней свободы, чем одно твердое тело. Здесь термин степени свободы используется для описания количества параметров, необходимых для определения пространственной позы связи. Он также определяется в контексте пространства конфигурации, пространства задач и рабочего пространства робота.

Особым типом связи является открытая кинематическая цепь, где набор жестких звеньев соединяется в соединениях ; шарнир может иметь одну степень свободы (шарнир / скольжение) или две (цилиндрические). Такие цепочки обычно встречаются в робототехнике, биомеханике, а также в спутниках и других космических конструкциях. Считается, что человеческая рука имеет семь степеней свободы. Плечо обеспечивает тангаж, рыскание и крен, локоть - тангаж, запястье - тангаж, рыскание и крен. Чтобы переместить руку в любую точку пространства, потребуется всего 3 из этих движений, но у людей не будет возможности хватать предметы под разными углами или направлениями. Робот (или объект), у которого есть механизмы для управления всеми 6 физическими степенями свободы, называется голономным. Объект с меньшим количеством контролируемых степеней свободы, чем общее количество степеней свободы, называется неголономным, а объект с более контролируемыми степенями свободы, чем общая глубина резкости (например, человеческая рука), считается избыточным. Хотя имейте в виду, что в руке человека это не является лишним, потому что две степени свободы; запястье и плечо, представляющие одно и то же движение; катятся, снабжают друг друга, поскольку они не могут сделать все 360. Степень свободы подобна различным движениям, которые можно совершить.

В мобильной робототехнике робот, похожий на машину, может достигать любого положения и ориентации в двумерном пространстве, поэтому ему нужны 3 степени свободы, чтобы описать его позу, но в любой момент вы можете переместить его только вперед. движение и угол поворота. Таким образом, он имеет две контрольные степени свободы и три репрезентативной степени свободы; т.е. неголономный. Самолет с неподвижным крылом с 3–4 управляющими степенями свободы (движение вперед, крен, тангаж и, в некоторой степени, рыскание) в трехмерном пространстве также неголономен, поскольку он не может двигаться прямо вверх / вниз или лево право.

Обзор формул и методов для вычисления степеней свободы в механических системах был дан Пеннестри, Кавасес и Вита.

Электротехника

В электротехника степеней свободы часто используется для описания количества направлений, в которых фазированная антенная решетка антенна может формировать либо лучи, либо нули. Он равен на единицу меньше, чем количество элементов, содержащихся в массиве, поскольку один элемент используется в качестве эталона, к которому могут применяться конструктивные или деструктивные помехи с использованием каждого из оставшихся антенных элементов. Практика использования радара и практика связи, при этом управление лучом более распространено для приложений радаров, а нулевое управление более распространено для подавления помех в каналах связи.

См. Также

• Блокировка кардана
• Кинематика
• Кинематическая пара

Справочная информация