Войти
В геометрии многоугольники объединены в пары, называемые двойными, где вершины одного соответствуют ребрам другого.
Конструкция Дормана Люка, показывающая, что лицо ромба является двойным прямоугольнику вершинная фигура.Правильные многоугольники являются самодвойственными.
Двойным изогональным (вершинно-транзитивным) многоугольником является изотоксальный (реберно-транзитивный) многоугольник. Например, (изогональный) прямоугольник и (изотоксальный) ромб являются двойными.
В циклическом многоугольнике более длинные стороны соответствуют большим внешним углам в двойном (тангенциальном многоугольнике ), а более короткие стороны - меньшим углы. Кроме того, конгруэнтные стороны в исходном многоугольнике дают конгруэнтные углы в двойном, и наоборот. Например, двойник очень острого равнобедренного треугольника является тупым равнобедренным треугольником.
В конструкции Дормана Люка каждая грань двойного многогранника является двойным многоугольником соответствующей вершинной фигуры.
В качестве примера бокового углового двойственности многоугольников мы сравниваем свойства циклического и тангенциального четырехугольника.
| циклического четырехугольника | тангенциального четырехугольника |
|---|---|
| в окружности окружность | Вписанная окружность |
| Серединные перпендикуляры сторон параллельны в центре описанной окружности | Биссектрисы углов параллельны в центре окружности |
| Суммы двух пар противоположных углов равны | Суммы двух пар противоположных сторон равны |
. Эта двойственность, возможно, еще более очевидна при сравнении равнобедренной трапеции с воздушным змеем.
| Равнобедренной трапецией | Воздушный змей |
|---|---|
| Две пары равных смежных углов | Две пары равных смежных сторон |
| Одна пара равных противоположных сторон | Одна пара равных противоположных углов |
| Ось симметрия через одну пару противоположных сторон | Ось симметрии через одну пару противоположных углов |
| Описанная окружность | Описанная окружность |
Простейшим качественным построением двойного многоугольника является операция исправления, при которой края многоугольника усекаются до вершин в центре каждого исходного ребра. Между этими новыми вершинами образуются новые ребра.
Эта конструкция необратима. То есть многоугольник, созданный при его двойном применении, в целом не похож на исходный многоугольник.
Как и в случае двойных многогранников, можно взять круг (будь то вписанный круг, описанный круг или оба существуют, их средний круг ) и выполните в нем полярное возвратно-поступательное движение.
В соответствии с проективной двойственностью двойственная точка является линией, а линия - точкой - таким образом, двойственным к многоугольнику является многоугольник., причем ребра оригинала соответствуют вершинам двойственного и наоборот.
С точки зрения дуальной кривой, где каждой точке кривой сопоставляется точка, двойственная к ее касательной в этой точке, проективную дуальную кривую можно интерпретировать следующим образом:
Комбинаторно можно определить многоугольник как набор вершин, набор ребер и отношение инцидентности (вершины и ребра соприкасаются): две смежные вершины определяют ребро, а два смежных ребра определяют вершину. Тогда двойственный многоугольник получается простым переключением вершин и ребер.
Таким образом, для треугольника с вершинами {A, B, C} и ребрами {AB, BC, CA} двойственный треугольник имеет вершины {AB, BC, CA} и ребра {B, C, A }, где B соединяет AB и BC, и так далее.
Это не особенно плодотворный путь, так как комбинаторно существует одно семейство многоугольников (заданное количеством сторон); геометрическая двойственность многоугольников более разнообразна, как и комбинаторные двойные многогранники.
