Исправление (геометрия)

редактировать

Выпрямленный куб - это кубооктаэдр - ребра уменьшены до вершин, а вершины расширены до новых граней

Двунаправленный куб - это октаэдр - грани уменьшаются до точек, а новые грани центрируются на исходных вершинах.

A выпрямленные кубические соты - ребра уменьшаются до вершин, а вершины расширяются до новых ячеек.

В Евклидова геометрия, исправление, также известное как критическое усечение или полное усечение - это процесс усечения многогранника отметив середины всех его ребер и отрезав вершины в этих точках. Результирующий многогранник будет ограничен фасетами вершины и выпрямленными фасетами исходного многогранника.

Оператор исправления иногда обозначается буквой r с символом Шлефли. Например, r {4,3} - это выпрямленный куб, также называемый кубооктаэдром и также представленный как ${4 3} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix } 4 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}$ ${\ begin {Bmatrix } 4 \\ 3 \ end {Bmatrix}}$ . И выпрямленный кубооктаэдр rr {4,3} - это ромбокубооктаэдр, который также представлен как $r {4 3} {\ displaystyle r {\ begin {Bmatrix} 4 \\ 3 \ end {Bmatrix }}}$ $r {\ begin {Bmatrix} 4 \ \ 3 \ end {Bmatrix}}$ .

В нотации многогранника Конвея в качестве этого оператора используется for ambo . В теории графов эта операция создает средний граф.

. Исправление любого правильного самодвойственного многогранника или мозаики приведет к другому правильному многограннику или мозаике с числом 4, например, тетраэдр {3,3} становится октаэдром {3,4}. В качестве особого случая квадратная мозаика {4,4} превратится в другую квадратную мозаику {4,4} при операции исправления.

Содержание

1 Пример исправления как окончательного усечения до кромки
2 Исправления с более высокой степенью
3 Пример двунаправления как конечного усечения до грани
4 В многоугольниках
5 В многогранники и плоские мозаики
- 5.1 В нерегулярных многогранниках
6 В 4-многогранниках и трехмерных сотовых мозаиках
7 Степени выпрямления
- 7.1 Обозначения и фасеты
  - 7.1.1 Правильные многоугольники
  - 7.1. 2 Правильные многогранники и мозаики
  - 7.1.3 Правильные равномерные 4-многогранники и соты
  - 7.1.4 Правильные 5-многогранники и 4-пространственные соты
8 См. Также
9 Ссылки
10 Внешние ссылки

Пример исправления как окончательного усечения до края

Исправление - это конечная точка процесса усечения. Например, на кубе эта последовательность показывает четыре шага континуума усечений между регулярной и исправленной формой:

Исправления более высокой степени

Выпрямление более высокой степени может выполняться на регулярных многогранниках более высокой размерности. Наивысшая степень выпрямления создает двойственный многогранник . Исправление обрезает края до точек. При двунаправлении обрезаются грани до точек. При триректификации ячейки усекаются до точек и т. Д.

Пример двунаправленной привязки как окончательного усечения до грани

Эта последовательность показывает двунаправленный куб как конечную последовательность от куба к двойному, где исходные грани обрезаны до единственной точки:

В многоугольнике

Двойник многоугольника соответствует его выпрямленной форме. Новые вершины размещаются в центре краев исходного многоугольника.

В многогранниках и плоских мозаиках

Каждое платоновое тело и его двойственное имеют один и тот же выпрямленный многогранник. (Это не относится к многогранникам в более высоких измерениях.)

Выпрямленный многогранник оказывается выраженным как пересечение исходного платонического тела с соответствующей масштабированной концентрической версией двойственного. По этой причине его название представляет собой комбинацию названий оригинала и двойника:

Выпрямленный тетраэдр, двойственным элементом которого является тетраэдр, является тетраэтраэдр, более известный как октаэдр..
Выпрямленный октаэдр, двойником которого является куб, является кубооктаэдр.
Выпрямленный икосаэдр, двойник которого - додекаэдр, является икосододекаэдром.
Выпрямленная квадратная мозаика представляет собой квадратная мозаика.
Выпрямленная треугольная мозаика или шестиугольная мозаика - это трехгексагональная мозаика.

Примеры

Семейство	Родитель	Исправление	Двойное
. [p, q]
[3,3]	. Тетраэдр	. Октаэдр	. Тетраэдр
[4,3]	. Куб	. Кубооктаэдр	. Октаэдр
[5,3]	. Додекаэдр	. Икосододекаэдр	. Икосаэдр
[6,3]	. Гексагональная мозаика	. Тригексагональная мозаика	. Треугольная мозаика
[7,3]	. семиугольная мозаика третьего порядка	. Тригептаг ональная мозаика	. Треугольная мозаика порядка 7
[4,4]	. Квадратная мозаика	. Квадратная мозаика	. Квадратная мозаика
[5,4]	. Пятиугольная мозаика порядка 4	. Тетрапентагональная мозаика	. Квадратная мозаика порядка 5

В нерегулярных многогранниках

Если многогранник не правильный, средние точки ребер, окружающие вершину, могут не быть компланарными. Однако в этом случае форма исправления все еще возможна: каждый многогранник имеет многогранный граф в качестве его 1-скелета, и из этого графа можно сформировать медиальный граф путем размещения вершины в средней точке каждого ребра исходного графа и соединения двух из этих новых вершин ребром, если они принадлежат последовательным ребрам на общей грани. Полученный медиальный граф остается многогранным, поэтому по теореме Стейница его можно представить как многогранник.

Обозначение многогранника Конвея, эквивалентное выпрямлению, - ambo, представленное как a . Применение дважды aa (исправление исправления) - это операция Конвея expand, e, которая совпадает с канелляцией Джонсона операция, t 0,2, сформированная из правильных многогранников и мозаик.

В 4-многогранниках и трехмерных сотовых мозаиках

Каждый Выпуклый регулярный 4-многогранник имеет выпрямленную форму как равномерный 4-многогранник.

Правильный 4-многогранник {p, q, r} имеет клетки {p, q}. Его выпрямление будет иметь два типа ячеек: выпрямленный многогранник {p, q}, оставшийся от исходных ячеек, и многогранник {q, r} в виде новых ячеек, образованных каждой усеченной вершиной.

Однако выпрямленный {p, q, r} не то же самое, что выпрямленный {r, q, p}. Дальнейшее усечение, называемое усечением битов, является симметричным между 4-многогранником и двойственным ему. См. Унифицированный 4-многогранник # Геометрические производные.

Примеры

Семейство	Родитель	Исправление	Биректификация. (Двойное исправление)	Trirectification. (Dual)
. [p, q, r]	. {p, q, r}	. r {p, q, r}	. 2r {p, q, r}	. 3r {p, q, r}
[3,3,3]	. 5-элементный	. 5-элементный выпрямленный	. 5-элементный выпрямленный	. 5-элементный
[4,3,3]	. tesseract	. исправленный tesseract	. исправленный 16-элементный. (24-элементный )	. 16-элементный
[3,4,3 ]	. 24-элементный	. 24-элементный выпрямленный	. 24-элементный выпрямленный	. 24-элементный
[5,3,3]	. 120-элементный	. 120-элементный выпрямитель	. ректифицированные 600-ячеечные	. 600-ячеечные
[4,3,4]	. кубические соты	. выпрямленные кубические соты	. выпрямленные кубические соты	. кубические соты
[5, 3,4]	. Додекаэдр четвертого порядка	. Выпрямленный додекаэдр четвертого порядка	. Выпрямленный порядок 5 кубический	. Порядок 5 кубический

Степени выпрямления

Первое исправление обрезает края до точек. Если многогранник правильный, эта форма повторяется обозначается расширенным символом Шлефли обозначением t1{p, q,...} или r {p, q,...}.

Второе исправление или биректификация обрезает грани до точек. Если обычный, он имеет обозначение t2{p, q,...} или 2 r {p, q,...}. Для многогранников двойная ориентация создает двойственный многогранник.

. Выпрямления более высокой степени могут быть построены для многогранников более высоких измерений. В общем, n-исправление обрезает n-грани до точек.

Если n-многогранник (n-1) -исправлен, его фасеты уменьшаются до точек, а многогранник становится его двойственным.

Обозначения и фасеты

Существуют разные эквивалентные обозначения для каждой степени исправления. В этих таблицах показаны имена по размерам и два типа фасетов для каждого.

Правильные многоугольники
Фасеты - это ребра, представленные как {2}.
имя. {p} диаграмма Кокстера t-нотация. символ Шлефли Вертикальный символ Шлефли
Имя Фасет- 1 Фасет-2
Родитель t0{p} {p} {2}
Исправленный t1{p} {p} {2}

имя. {p}	диаграмма Кокстера	t-нотация. символ Шлефли	Вертикальный символ Шлефли
Имя	Фасет- 1	Фасет-2
Родитель		t0{p}	{p}	{2}
Исправленный		t1{p}	{p}		{2}

Правильные многогранники и мозаики
Грани - правильные многоугольники.
имя. {p, q} диаграмма Кокстера t-нотация. символ Шлефли Вертикальный символ Шлефли
Имя Фасет-1 Фасет-2
Родительский = t0{p, q} {p, q} {p}
Исправленный = t1{p, q} r {p, q} = ${pq} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$ $\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}$ {p } {q}
Двунаправленный = t2{p, q} {q, p} {q}

имя. {p, q}	диаграмма Кокстера	t-нотация. символ Шлефли	Вертикальный символ Шлефли
Имя	Фасет-1	Фасет-2
Родительский	=	t0{p, q}	{p, q}	{p}
Исправленный	=	t1{p, q}	r {p, q} = ${pq} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$ $\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}$	{p }	{q}
Двунаправленный	=	t2{p, q}	{q, p}		{q}

Правильный равномерный 4-многогранник и соты
Грани - правильные или выпрямленные многогранники.
имя. {p, q, r} диаграмма Кокстера t-нотация. символ Шлефли Расширенный символ Шлефли
Имя Facet-1 Facet-2
Parent t0{p, q, r} {p, q, r} {p, q}
Исправлено t1{p, q, r} ${pq, r} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \ \ \\ q, r \ end {Bmatrix}}}$ $\ begin {Bmatrix} p \ \ \\ q, r \ end {Bmatrix}$ = r {p, q, r} ${pq} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$ ${\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}$ = r {p, q} {q, r}
Birectified. (Dual Rectified) t2{p, q, r} ${q, pr} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix) } q, p \\ r \ \ \ end {Bmatrix}}}$ $\ begin {Bmatrix} q, p \\ r \ \ \ end {Bmatrix}$ = r {r, q, p} {q, r} ${qr} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} q \\ r \ end {Bmatrix}}}$ $\ begin {Bmatrix} q \\ r \ end {Bmatrix}$ = r {q, r}
Trirectified. (Dual) t3{p, q, r } {r, q, p} {r, q}

имя. {p, q, r}	диаграмма Кокстера	t-нотация. символ Шлефли	Расширенный символ Шлефли
Имя	Facet-1	Facet-2
Parent		t0{p, q, r}	{p, q, r}	{p, q}
Исправлено		t1{p, q, r}	${pq, r} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \ \ \\ q, r \ end {Bmatrix}}}$ $\ begin {Bmatrix} p \ \ \\ q, r \ end {Bmatrix}$ = r {p, q, r}	${pq} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$ ${\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}$ = r {p, q}	{q, r}
Birectified. (Dual Rectified)		t2{p, q, r}	${q, pr} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix) } q, p \\ r \ \ \ end {Bmatrix}}}$ $\ begin {Bmatrix} q, p \\ r \ \ \ end {Bmatrix}$ = r {r, q, p}	{q, r}	${qr} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} q \\ r \ end {Bmatrix}}}$ $\ begin {Bmatrix} q \\ r \ end {Bmatrix}$ = r {q, r}
Trirectified. (Dual)		t3{p, q, r }	{r, q, p}		{r, q}

Правильный 5-многогранник и 4-пробел соты
Фасеты являются правильными или выпрямленными 4-многогранниками.
имя. {p, q, r, s} диаграмма Кокстера t-нотация. символ Шлефли Расширенный символ Шлефли
Имя Фасет-1 Фасет-2
Родитель t0{p, q, r, s} {p, q, r, s} {p, q, r}
Исправлено t1{p, q, r, s} ${pq, r, s} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \ \ \ \ \ \\ q, r, s \ end {Bmatrix}}}$ $\ begin {Bmatrix} p \ \ \ \ \ \\ q, r, s \ end {Bmatrix}$ = r {p, q, r, s} ${pq, r} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \ \ \\ q, r \ end {Bmatrix}}}$ $\ begin {Bmatrix} p \ \ \\ q, r \ end {Bmatrix}$ = r {p, q, r} {q, r, s}
Двунаправленный. ( Двунаправленный двойственный) t2{p, q, r, s} ${q, pr, s} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} q, p \\ r, s \ end {Bmatrix}}}$ $\ begin {Bmatrix} q, p \\ r, s \ end {Bmatrix}$ = 2r {p, q, r, s} ${q, pr} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} q, p \\ r \ \ \ end {Bmatrix}}}$ $\ begin {Bmatrix} q, p \\ r \ \ \ end {Bmatrix}$ = r {r, q, p} ${qr, s} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} q \ \ \\ r, s \ end {Bmatrix}}}$ $\ begin {Bmatrix} q \ \ \\ r, s \ end {Bmatrix}$ = r {q, r, s}
Trirectified. (Двойное выпрямление) t3{p, q, r, s} ${r, q, ps} {\ displaystyle {\ begin { Bmatrix} r, q, p \\ s \ \ \ \ \ \ end {Bmatrix}}}$ $\ begin {Bmatrix} r, q, p \\ s \ \ \ \ \ \ end {Bmatrix}$ = r {s, r, q, p} {r, q, п } ${r, qs} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} r, q \\ s \ \ \ end {Bmatrix}}}$ $\ begin {Bmatrix} r, q \\ s \ \ \ end {Bmatrix}$ = r {s, r, q}
Quadrirectified. (Dual) t4{p, q, r, s} {s, r, q, p} {s, r, q}
См. Также
Двойной многогранник
Квазирегулярный многогранник
Список правильных многогранников
Усечение (геометрия)
Обозначение многогранника Конвея
Ссылки
Коксетер, HSM Правильные многогранники, (3-е издание, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 (стр. 145–154 Глава 8: Усечение)
Норман Джонсон Единообразные многогранники, рукопись (1991)
N.W. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот, доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966
Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881 -220-5 (Глава 26)
Внешние ссылки
Ольшевский, Георгий. «Исправление». Глоссарий по гиперпространству. Архивировано из исходного 4 февраля 2007 года. Cite имеет пустой неизвестный параметр: `| 1 =`()
Операторы многогранника [
v
]
Seed Усечение Исправление Bitruncation Двойное Расширение Omnitruncation Чередование

t0{p, q}. {p, q} t01{p, q}. t {p, q} t1{p,q}. r {p, q} t12{p,q}. 2t { p, q} t2{p,q}. 2r {p, q} t02{p,q}. rr {p, q} t012 {p, q}. tr {p, q} ht0{p,q}. h {q, p} ht12{p, q}. s {q, p} ht012{p,q}. sr {p, q}

имя. {p, q, r, s}	диаграмма Кокстера	t-нотация. символ Шлефли	Расширенный символ Шлефли
имя. {p, q, r, s}	диаграмма Кокстера	t-нотация. символ Шлефли	Имя	Фасет-1	Фасет-2
Родитель		t0{p, q, r, s}	{p, q, r, s}	{p, q, r}
Исправлено		t1{p, q, r, s}	${pq, r, s} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \ \ \ \ \ \\ q, r, s \ end {Bmatrix}}}$ $\ begin {Bmatrix} p \ \ \ \ \ \\ q, r, s \ end {Bmatrix}$ = r {p, q, r, s}	${pq, r} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \ \ \\ q, r \ end {Bmatrix}}}$ $\ begin {Bmatrix} p \ \ \\ q, r \ end {Bmatrix}$ = r {p, q, r}	{q, r, s}
Двунаправленный. ( Двунаправленный двойственный)		t2{p, q, r, s}	${q, pr, s} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} q, p \\ r, s \ end {Bmatrix}}}$ $\ begin {Bmatrix} q, p \\ r, s \ end {Bmatrix}$ = 2r {p, q, r, s}	${q, pr} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} q, p \\ r \ \ \ end {Bmatrix}}}$ $\ begin {Bmatrix} q, p \\ r \ \ \ end {Bmatrix}$ = r {r, q, p}	${qr, s} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} q \ \ \\ r, s \ end {Bmatrix}}}$ $\ begin {Bmatrix} q \ \ \\ r, s \ end {Bmatrix}$ = r {q, r, s}
Trirectified. (Двойное выпрямление)		t3{p, q, r, s}	${r, q, ps} {\ displaystyle {\ begin { Bmatrix} r, q, p \\ s \ \ \ \ \ \ end {Bmatrix}}}$ $\ begin {Bmatrix} r, q, p \\ s \ \ \ \ \ \ end {Bmatrix}$ = r {s, r, q, p}	{r, q, п }	${r, qs} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} r, q \\ s \ \ \ end {Bmatrix}}}$ $\ begin {Bmatrix} r, q \\ s \ \ \ end {Bmatrix}$ = r {s, r, q}
Quadrirectified. (Dual)		t4{p, q, r, s}	{s, r, q, p}		{s, r, q}

Seed	Усечение	Исправление	Bitruncation	Двойное	Расширение	Omnitruncation	Чередование


t0{p, q}. {p, q}	t01{p, q}. t {p, q}	t1{p,q}. r {p, q}	t12{p,q}. 2t { p, q}	t2{p,q}. 2r {p, q}	t02{p,q}. rr {p, q}	t012 {p, q}. tr {p, q}	ht0{p,q}. h {q, p}	ht12{p, q}. s {q, p}	ht012{p,q}. sr {p, q}