Равномерный многогранник

Многогранник с правильными многоугольниками в качестве граней и вершинно-транзитивным Платоновое тело : Тетраэдр Однородный звездчатый многогранник : Плоский додекадодекаэдр

A однородный многогранник имеет правильных многоугольников как граней и имеет вершину - транзитивный (т.е. существует изометрия , отображающая любую вершину на любую другую). Отсюда следует, что все вершины конгруэнтны.

Равномерные могут быть правильными (если также грань и ребро транзитивны), квазирегулярными (если также реберно транзитивными). но не транзитивная грань) или полурегулярный (если ни ребро, ни грань не транзитивны). Грани и вершины не обязательно должны быть выпуклыми, поэтому многие однородные многогранники также являются другими многогранниками.

Есть два бесконечных класса однородных многогранников вместе с 75 другими многогранниками:

• Бесконечные классы:
  • призмы,
  • антипризмы.
• Выпуклые исключительные:
  • 5 Платоновы тела : правильные выпуклые многогранники,
  • 13 Архимедовы тела : 2 квазирегулярные и 11 полуправильных выпуклых многогранников.
• Звездные (невыпуклые) исключительные:
  • 4 многогранники Кеплера - Пуансо : правильные невыпуклые многогранники,
  • 53 однородные звездные многогранники : 5 квазирегулярных и 48 полуправильных.

Следовательно, 5 + 13 + 4 + 53 = 75.

Есть также много вырожденных однородных многогранников с парами ребер, которые совпадают, в том числе найденный Джоном Скиллингом, названный великим диснубом диргомбидодекаэдром (фигура Скиллинга).

Двойные многогранники к однородным многогранникам являются гранно-транзитивными (изоэдральными) и имеют правильные вершины, и обычно классифицируются со двойственными (однородными) многогранниками. Двойственный к правильному многограннику является правильным, а двойной к архимедовому телу - каталонским телом.

. Концепция однородного многогранника является частным случаем концепции однородного многогранника, которая также применяется к фигурам в многомерном (или низкоразмерном) пространстве.

• 1 Определение
• 2 История
  • 2.1 Правильные выпуклые многогранники
  • 2.2 Неправильные однородные выпуклые многогранники
  • 2.3 Правильные звездчатые многогранники
  • 2.4 Другие 53 неправильных звездных многогранника
• 3 Однородные звездчатые многогранники
• 4 Выпуклые формы по конструкции Витоффа
  • 4.1 Сводные таблицы
  • 4.2 (3 3 2) T d тетраэдрическая симметрия
  • 4.3 (4 3 2) O h октаэдрическая симметрия
  • 4,4 (5 3 2) I h икосаэдрическая симметрия
  • 4,5 (p 2 2) Призматическая [p, 2], I 2 (p) семейство (D ph двугранная симметрия)
    • 4.5.1 (2 2 2) Двугранная симметрия
    • 4.5.2 (3 2 2) D 3h двугранная симметрия
    • 4.5.3 (4 2 2) D 4h двугранная симметрия
    • 4.5.4 (5 2 2) D 5h двугранная симметрия
    • 4.5.5 (6 2 2) D 6h двугранная симметрия
• 5 Операторы построения Wythoff
• 6 См. Также
• 7 Примечания
• 8 Ссылки
• 9 Внешние ссылки

Первородный грех в теории многогранников восходит к Евклиду, а через Кеплера, Пуансо, Коши и другие продолжают огорчать всю работу по этой теме ( в том числе и автора настоящего). Это происходит из-за того, что традиционное использование термина «правильные многогранники» противоречило и остается вопреки синтаксису и логике: эти слова, кажется, подразумевают, что мы имеем дело между объектами, которые мы называем «многогранники», с теми особенными те, которые заслуживают называться «обычными». Но на каждом этапе - Евклид, Кеплер, Пуансо, Гесс, Брюкнер… - авторы не смогли определить, что такое «многогранники», среди которых находят «правильные».

(Бранко Грюнбаум 1994)

Кокстер, Лонге-Хиггинс и Миллер (1954) определяют однородные многогранники как вершинно-транзитивные многогранники с правильными гранями. Они определяют многогранник как конечный набор многоугольников, каждую сторону многоугольника

Есть многоугольник, который неявно подразумевают многоугольник в 3-мерном евклидовом пространстве; им разрешено быть невыпуклым и друг друга. Полученные так называемые вырожденные однородные многогранники, которые можно разбить как объединение многогранников, например, соединение пяти кубиков.. Грюнбаум (1994) довольно сложное определение многогранника, в то время как McMullen Schulte (2002) дал более простое и более общее определение многогранника: в их терминологии многогранник - это 2-мерный абстрактный многогранник с невырожденной 3-мерной реализацией. етворяющих различных условий, реализация - это функция от ее вершин до некоторого пространства, и реализация называется невырожденной, если любые две различные грани абстрактного многогранника имеют различные реализации. Вот некоторые из способов их вырождения:

• Скрытые лица. Некоторые многогранники имеют скрытые грани в том смысле, что их внутренние части не видны снаружи. Обычно они не считаются однородными многогранниками.
• Вырожденные соединения. Некоторые многогранники имеют несколько ребер, и их грани являются гранями или более многогранниками, хотя они не являются соединениями в предыдущем смысле, поскольку у многогранников общие ребра.
• Двойные покрытия. Существуют неориентируемые многогранники с двойными покрытиями, удовлетворяющие определению равномерного многогранника. У двойных крышек двойные грани, ребра и вершины. Обычно они не считаются однородными многогранниками.
• Двойные грани. Есть несколько многогранников с удвоенными гранями, образованной конструкцией Витхоффа. Большинство авторов не допускают сдвоения граней и удаляют их как часть конструкции.
• Двойные ребра. Фигура Скиллинга имеет двойные ребра (как в вырожденных однородных многогранниках), но ее грани нельзя записать как объединение двух однородных многогранников.

Правильные выпуклые многогранники

• Платоновы тела восходят к классическим грекам и изучались пифагорейцами, Платоном (ок. 424 - 348 до н.э.), Теэтетом (ок. 417 г. до н.э. - 369 г. до н.э.), Тимей Локровский (ок. 420– 380 до н.э.) и Евклид (около 300 г. до н.э.). этруски открыли правильный додекаэдр до 500 г. до н.э.

Неправильные однородные выпуклые многогранники

• кубооктаэдр был известен Платоном.
• Архимедом (287 До н.э. - 212 г. до н.э.) открыл все 13 архимедовых тел. Его оригинальная книга по этому вопросу была утеряна, но Папп Александрийский (ок. 290 - ок. 350 н. Э.) Упомянул, что Архимед перечислил 13 многогранников.
• Пьеро делла Франческа (1415 - 1492) заново открыл пять усеченных Платоновых тел: усеченный тетраэдр, усеченный октаэдр, усеченный куб, усеченный додекаэдр и усеченный икосаэдр, а также включенные иллюстрации и вычисления их метрических свойств в книге De quinque corporibus regularibus. Он также обсуждал кубооктаэдр в другой книге.
• Лука Пачоли использовал плагиат работы Франчески в Де дивина пропорционально в 1509 году, добавив ромбокубооктаэдр, назвав его икосигексаэдром из-за его 26 лиц, нарисованных Леонардо да Винчи.
• Иоганн Кеплер (1571–1630) первым опубликовал полный список архимедовых тел в 1619 году, а также идентифицировал бесконечные семейства однородных призм и антипризм.

Правильные звездные многогранники

• Кеплер (1619) открыл два из правильных многогранников Кеплера - Пуансо и Луи Пуансо (1809) открыл два других. Набор из четырех был доказан Огюстином Коши (1789–1857) и назван Артуром Кэли (1821–1895).

Другие 53 нерегулярных звездчатых многогранника

• Оф. 53, Эдмунд Гесс (1878) открыл два, Альберт оставшихся Бадуро (1881) открыл еще 36, а Питч (1881) независимо 18, из которых 3 ранее не были обнаружены. Вместе они дали 41 многогранник.
• Геометр H.S.M. Кокстер обнаружил оставшиеся двенадцать в сотрудничестве с Дж. К. П. Миллер (1930–1932), но не опубликовал. М.С. Лонге-Хиггинс и Х.С. Лонге-Хиггинс независимо обнаружил одиннадцать из них. Лесавр и Мерсье заново открыли пять из них в 1947 году.
• Кокстер, Лонге-Хиггинс и Миллер (1954) опубликовали список однородных многогранников.
• Сопов (1970) доказал свою гипотезу о том, что список был
• В 1974 г. Магнус Веннингер опубликовал свою книгу Модели многогранников, в все 75 непризматических однородных многогранников со всеми ранее неопубликованными именами, присвоенными им Норман Джонсон.
• Скиллинг (1975) независимо доказал полноту и показано, что если определение однородного многогранника, чтобы края могли совпадать, то есть только одна дополнительная возможность.
• В 1987 году, Эдмонд Бонан нарисовал все однородные многогранники и их двойники в 3D с помощью программы Turbo Pascal под названием Polyca : почти из них были показаны во время Конгресса Международного стереоскопического общества, который проходил в Конгресс-театре., Истборн, Соединенное Королевство..
• В 1993 году Цви'Эль произвел полную калейдоскопическую конструкцию однородных многогранников и двойников с помощью компьютерной программы под названием Kaleido и резюмировано в статье Унифицированное решение для однородных многогранников, считая цифры 1-80.
• Также в 1993 году R.Mäder портировал это решение Kaleido для Mathematica с немного другой системой индексации.
• В 2002 году Питер В. Мессер обнаружил минимальный набор выражений для определения основных универсальных и метрических величин любого многогранника (и его двойственный) с учетом его символов Wythoff.

Большой диромбикосододекаэдр, единственный многогранник, не относящийся к Витоффу. большой диромбикосидодекаэдр, скомпилированы конструкциями Витхоффа внутри треугольников Шварца.

Выпуклые однородные многогранники могут быть названы с помощью операций построения Витхофф над регулярной формой.

Более подробно выпуклые однородные многогранники ниже по их конструкции Уайтхоффа в каждой группе симметрии.

В конструкции Wythoff есть повторения, созданные формы более низкой симметрии. Куб - это правильный многогранник и квадратная призма. Октаэдр - правильный многогранник и треугольная антипризма. Октаэдр также является выпрямленным тетраэдром. Многие многогранники повторяются из разных источников построения и окрашиваются по-разному.

Конструкция Wythoff в равной степени применима к однородным многогранникам и однородным мозаикам на поверхности сферы, поэтому даны изображения обоих. Сферические мозаики, включающие набор осоэдров и диэдров, которые являются вырожденными многогранниками.

Эти группы симметрии сформированы из групп отражающих точек в трех измерениях, каждая из которых представлена ​​фундаментальным треугольником (pqr), где p>1, q>1, r>1 и 1 / p + 1 / q + 1 / r < 1.

• Тетраэдрическая симметрия (3 3 2) - порядок 24
• Октаэдрическая симметрия (4 3 2) - порядок 48
• Икосаэдрическая симметрия (5 3 2) - порядок 120
• Двугранная симметрия (n 2 2), для n = 3,4,5,... - порядок 4n

Остальные неотражающие построены с помощью операции чередования применяются к многогранникам с четным числом сторон.

Наряду с призмами и их двугранной симметрией, процесс построения сферической Wythoff отличается двумя регулярными классами, которые становятся вырожденными как многогранники: дигедры и hosohedra, у первого только две вершины, а у второго только две вершины. Усиление правильных хозоэдровщиков призмы.

Ниже выпуклые равномерные многогранники пронумерованы от 1 до 18 для непризматических форм, как они представлены в таблицах по форме симметрии.

Для бесконечного набора призматических форм они разделены на четыре семейства:

1. Хосоэдры H 2... (только как сферические мозаики)
2. Дигедры D 2... (только как сферические мозаики)
3. Призмы P 3... (усеченные хозоэдры)
4. Антипризмы A 3... (прочные призмы)

Сводные таблицы

Джонсон имя	Родитель	Усеченный	Исправленный	Битовое усечение. (двойное обрез.)	Двуректифицированное. (двойное)	Канеллированное	Омнитусеченное. (кантусеченное)	Snub
диаграмма Кокстера			.			.	.	.
Расширенная. символ Шлефли	$\{p,\; q\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; p,\; q\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}\}$	$t\; \{p,\; q\; \}\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; p,\; q\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}\}$	$\{pq\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; p\; \backslash \backslash \; q\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}\}$	$t\; \{q,\; p\}\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; q,\; p\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}\}$	$\{q,\; p\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; q,\; p\; \backslash \; конец\; \{\; Bmatrix\}\}\}$	$r\; \{pq\}\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \{\backslash \; begin\; \{Bm\; atrix\}\; p\; \backslash \backslash \; q\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}\}$	$t\; \{pq\}\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; p\; \backslash \backslash \; q\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}\}$	$s\; \{pq\}\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; p\; \backslash \backslash \; q\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}\}$
	{p, q}	т {p, q}	r {p, q}	2t {p, q}	2r {p, q}	rr {p, q}	tr {p, q}	sr {p, q}
	t0{p, q}	t0,1 {p, q}	t1{p, q}	t1,2 {p, q}	t2{p, q}	t0,2 {p, q}	t0,1, 2 {p, q}	ht0,1, 2 {p, q}
символ Wythoff. (pq 2)	q | p 2	2 q | p	2 | p q	2 p | q	p | q 2	p q | 2	p q 2 |	| pq 2
Вершина	p	q.2p.2p	(pq)	p.2q.2q	q	p.4.q.4	4.2p.2q	3.3.p.3.q
Тетраэдр. (3 3 2)	. 3.3.3	. 3.6.6	. 3.3. 3.3	. 3.6.6	. 3.3.3	. 3.4.3.4	. 4.6.6	. 3.3.3.3.3
Октаэдрический. (4 3 2)	. 4.4.4	. 3.8.8	. 3.4.3.4	. 4.6.6	. 3.3.3.3	. 3.4.4.4	. 4.6.8	. 3.3.3.3.4
Икосаэдрический. (5 3 2)	. 5.5.5	. 3.10.10	. 3.5.3.5	. 5.6.6	. 3.3.3.3.3	. 3.4. 5.4	. 4.6.10	. 3.3.3.3.5

И пример двугранной симметрии:

(Сфера не разрезана, разрезается только сфере мозаика.) (На кромке дуга большого круга, кратчайший путь, между двумя его Следовательно, двуугольник, вершины которого не выглядит как ребро.)

(p 2 2)	Родительский	Усеченный	Исправленный	Бит-усеченный. (тр. Двойной)	Двунаправленный. (двойной)	Сквозное	Усеченное. (cantitruncated)	Snub
диаграмма Кокстера
Расширенная. символ Шлефли	$\{p,\; 2\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; p,\; 2\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}\}$	$t\; \{p,\; 2\}\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; p,\; 2\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}\}$	$\{p\; 2\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; p\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}\}$	$t\; \{2,\; p\}\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; 2,\; p\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}\}$	$\{2,\; p\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; 2,\; p\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\; \}\}\}$	$р\; \{п\; 2\}\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; p\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash \; к\; онец\; \{Bmatrix\}\}\}$	$t\; \{p\; 2\}\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; p\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}\}$	$s\; \{p\; 2\}\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; p\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}\}$
	{p, 2}	t {p, 2}	r {p, 2}	2t {p, 2}	2r {p, 2}	rr {p, 2}	tr {p, 2}	sr {p, 2}
	t0{p, 2}	t0,1 {p, 2}	t1{p, 2}	t1,2 {p, 2}	t2{p, 2}	t0, 2 {p, 2}	t0,1, 2 {p, 2}	ht0,1,2 { p, 2}
символ Wythoff	2 | p 2	2 2 | p	2 | p 2	2 p | 2	p | 2 2	стр 2 | 2	стр 2 2 |	| п 2 2
Вершина	p	2.2п.2п	п.2.п.2	п.4.4	2	п.4.2.4	4.2p.4	3.3.3.p
Двугранный. (2 2 2)	. {2,2}	. 2.4.4	. 2.2. 2.2	. 4.4.2	. 2.2	. 2.4.2.4	. 4.4.4	. 3.3.3.2
Двугранный. (3 2 2)	. 3.3	. 2.6.6	. 2.3.2.3	. 4.4.3	. 2.2.2	. 2.4.3.4	. 4.4.6	. 3.3.3.3
Двугранный. (4 2 2)	. 4.4	2.8.8	. 2.4.2.4	. 4.4.4	. 2.2.2.2	. 2.4.4.4	. 4.4.8	. 3.3. 3.4
Двугранный. (5 2 2)	. 5.5	2.10.10	. 2.5.2.5	. 4.4.5	. 2.2.2.2.2	. 2.4.5.4	. 4.4.10	. 3.3.3.5
Двугранный. (6 2 2)	. 6,6	. 2.12.12	. 2.6.2.6	. 4.4. 6	. 2.2.2.2.2.2	. 2.4.6.4	. 4.4.12	. 3.3.3.6

(3 3 2) T d тетраэдрическая симметрия

Тетраэдрическая симметрия сферы порождает 5 однородных многогранников и 6-ю форму посредством операции курноса.

Тетраэдрическая симметрия представляет собой фундаментальный треугольник с одной вершиной с двумя зеркалами и двумя вершинами с тремя зеркалами, представленными символом (3 3 2). Он также может быть представлен группой Кокстера A2или [3,3], а также диаграммой Кокстера : .

На гранях тетракис-гексаэдра видны 24 треугольника., а в треугольниках с чередованием цвета на сфере:

#	Имя	График. A3	График. A2	Изображение	Мозаика	Вершина. фигура	Символы Coxeter. и Schläfli.	Количество лиц подсчитывается по позиции			Количество элементов
								Поз. 2. . [3]. (4)	Поз. 1. . [2]. (6)	Поз. 0. . [3]. (4)	Грани	Ребра	Вершины
1	Тетраэдр						. {3,3}	. { 3}			4	6	4
[1]	Двунаправленный тетраэдр. (то же, что и тетраэдр )						. t2{3,3} = {3,3}			. {3}	4	6	4
2	Ректифицированный тетраэдр. Тетратетраэдр. (то же самое, что октаэдр )						. t1{3,3} = r {3,3}	. {3}		. {3}	8	12	6
3	Усеченный тетраэдр						. t0,1 {3,3} = t {3,3}	. {6}		. {3}	8	18	12
[3]	Усеченный тетраэдр. (то же, что и усеченный тетраэдр )						. t1,2 {3,3} = t {3,3}	. {3}		. {6}	8	18	12
4	Кантеллированный тетраэдр. Ромбитратратраэдр. (то же, что и кубооктаэдр )						. t0, 2 {3,3} = rr {3,3}	. {3}	. {4}	. {3}	14	24	12
5	Усеченный тетраэдр. Усеченный тетраэтраэдр. (то же самое, что усеченный октаэдр )						. t0,1,2 {3,3} = tr {3,3}	. {6}	. {4}	. {6}	14	36	24
6	Плосконосый тетратетраэдр. (то же, что и icosahe dron )						. sr {3,3}	. {3}	. 2 {3}	. {3}	20	30	12

(4 3 2) O h октаэдрическая симметрия

октаэдрическая симметрия сферы порождает 7 однородных многогранников и еще 7 путем чередования. Шесть из этих форм повторяются из таблицы симметрии тетраэдра выше.

Октаэдрическая симметрия представляет собой фундаментальный треугольник (4 3 2) с учетом зеркал в каждой вершине. Он также может быть представлен группой Кокстера B2или [4,3], а также диаграммой Кокстера : .

На гранях додекаэдра дисдиакиса видны 48 треугольников., а в треугольниках с чередованием цвета на сфере:

#	Имя	График. B3	График. B2	Изображение	Мозаика	Вершина. фигура	Символы Coxeter. и Schläfli.	Количество лиц подсчитывается по позиции			Количество элементов
								Поз. 2. . [4]. (6)	Поз. 1. . [2]. (12)	Поз. 0. . [3]. (8)	Грани	Ребра	Вершины
7	Куб						. {4,3}	. { 4}			6	12	8
[2]	Октаэдр						. {3,4}			. {3}	8	12	6
[4]	Ректифицированный куб. Выпрямленный октаэдр. (Кубооктаэдр )						. {4,3}	. {4}		. {3}	14	24	12
8	Усеченный куб						. t0,1 {4,3} = t {4,3}	. {8}		. {3}	14	36	24
[5]	Усеченный октаэдр						. t0,1 {3,4} = t {3,4}	. {4}		. {6}	14	36	24
9	Кантеллированный куб. Кантеллированный октаэдр. Ромбокубооктаэдр						. t0,2 {4,3} = rr {4,3}	. {4}	. {4}	. {3}	26	48	24
10	Усеченный куб. Усеченный октаэдр. Усеченный кубооктаэдр						. t0,1,2 {4,3} = tr {4,3}	. {8}	. {4 }	. {6}	26	72	48
[6]	Плоский октаэдр. (то же, что и Икосаэдр )						. = . s {3,4} = sr {3,3}		. {3}	. {3}	2 0	30	12
[ 1]	Полукуб. (то же, что и Тетраэдр )						. = . h {4,3} = {3,3}	. /2{3}			4	6	4
[2]	Кантик куб. (то же, что и Усеченный тетраэдр )						. = . div class="ht"{4,3} = t {3,3}	. /2{6}		. /2{3}	8	18	12
[4]	(то же, что и Кубооктаэдр )						. = . rr {3,3}				14	24	12
[5]	(то же, что и Усеченный октаэдр )						. = . tr {3,3}				14	36	24
[9]	Кантичный курносый октаэдр. (то же, что и Ромбокубооктаэдр )						. s2{3,4} = rr {3,4 }				26	48	24
11	Плоский кубооктаэдр						. sr {4,3}	. {4}	. 2 {3}	. {3}	38	60	24

(5 3 2) I h икосаэдрическая симметрия

икосаэдрическая симметрия сфера порождает 7 однородных многогранников и еще 1 путем чередования. Только один повторяется из таблиц симметрии тетраэдра и октаэдра выше.

Симметрия икосаэдра представлена ​​фундаментальным треугольником (5 3 2) с учетом зеркал в каждой вершине. Он также может быть представлен группой Кокстера G2или [5,3], а также диаграммой Кокстера : .

На гранях триаконтаэдра дисдиакиса видны 120 треугольников., а в треугольниках с чередованием цвета на сфере:

>

#	Имя	График. (A2). [6]	График. (H3). [10]	Изображение	Мозаика	Вертекс. рисунок	Коксетер. и Шляфли. символы	Лица подсчитываются по позиции			Количество элементов
								Поз. 2. . [5]. (12)	Поз. 1. . [2]. (30)	Поз. 0. . [3]. (20)	Грани	Ребра	Вершины
12	Додекаэдр						. {5,3}	. {5}			12	30	20
[6]	Икосаэдр						. {3,5}			. {3}	20	30	12
13	Выпрямленный додекаэдр. Выпрямленный икосаэдр. Икосододекаэдр						. t1{5,3} = r {5,3}	. {5}		. {3}	32	60	30
14	Усеченный додекаэдр						. t0,1 {5,3} = t {5,3}	. {10}		. {3}	32	90	60
15	Усеченный икосаэдр						. t0,1 {3,5} = t {3,5}	. {5}		. {6}	32	90	. {5}	. {4}	. {3}	62	120	60
17	Всенаправленный додекаэдр. Усеченный икосаэдр. Усеченный икосаэдр						. t0,1,2 {5,3} = tr {5,3}	. {10}	. {4}	. {6}	62	180	120
18	Курносый икосодекаэдр						. ср {5, 3}	. {5}	. 2 { 3}	. {3}	92	150	60

(p 2 2) Призматический [p, 2], I 2 (p) семейство (D ph двугранная симметрия)

двугранная симметрия сферы порождает два бесконечных набора однородных многогранников, призм и антипризм, а также еще два бесконечных набора вырожденных многогранников, осоэдры и диэдры, сопряжение как мозаики на сфере.

Двугранная симметрия представляет фундаментальным треугольником (p 2 2) с учетом зеркал в каждой вершине. Она также может быть представлена ​​группой Кокстера I2(p) или [n, 2], а также призматической диаграммой Кокстера : .

Ниже приведены первые пять двугранных симметрий: D 2... D 6. Двугранная симметрия D p имеет порядок 4n, представляя грани бипирамиды , а в сфере - линия экватора по долготе и n равноотстоящих линий долготы.

(2 2 2) Двугранная симметрия

На гранях квадратной бипирамиды (октаэдр) и попеременно окрашенных треугольниках на сфере видны 8 фундаментальных треугольников:

#	Имя	Изображение	Мозаика	Vertex. figure	Coxeter. и Schläfli. символы	Подсчет лиц по позиции			Подсчет элементов
						Поз. 2. . [2]. (2)	Поз. 1. . [2]. (2)	Поз. 0. . [2]. (2)	Грани	Ребра	Вершины
D2. H2	Дигональный двугранник,. двуугольный осоэдр				. {2, 2}	. {2}			2	2	2
D4	Усеченный двуугольный диэдр. (то же самое, что квадратный диэдр )				. t {2,2} = {4,2}	. {4}			2	4	4
P4. [7]	Усеченный двугранный диэдр. (то же, что и куб )				. t0,1,2 {2,2} = tr {2,2}	. {4}	. {4}	. {4}	6	12	8
A2. [1]	ский двугранный диэдр. (то же, что и тетраэдр )				. sr {2,2}		. 2 {3}		4	6	4

(3 2 2) D 3h двугранная симметрия

На гранях гексагональной бипирамиды видны 12 фундаментальных треугольников и поперечно раскрашенные треугольники на сфере:

#	Имя	Изображение	Мозаика	Вертекс. фигура	Коксетер. и Шлефли. символы	Количество лиц по положению			Количество элементов
						Поз.2. . [3]. (2)	Поз. 1. . [2]. (3)	Положение 0. . [2]. (3)	Грани	Кромки	Вершины
D3	Тригональный диэдр				. {3,2}	. { 3}			2	3	3
H3	Тригональный осоэдр				. {2,3}			. {2}	3	3	2
D6	Усеченный тригональный диэдр. (то же, что и шестиугольный диэдр )				. t {3,2}	. {6}			2	6	6
P3	Усеченный трехгранник. (Треугольная призма )				. t {2,3}	. {3}	. {4}		5	9	6
P6	Тригонально-усеченный диэдр. (Гексагональная призма )				. t0,1,2 {2,3} = tr {2,3}	. {6}	. {4}	. {4}	8	18	12
A3. [2]	Плоский треугольный диэдр. (то же, что и Тугольная антипризма ). (то же, что и октаэдр )				. sr {2,3}	. {3}	. 2 {3}		8	12	6
P3	Кантичный курносый тригональный диэдр. (Треугольная призма )				. s2{ 2,3} = t {2,3}				5	9	6

(4 2 2) D 4h двугранная симметрия

На рисунке видны 16 фундаментальных треугольников. грани восьмиугольной бипирамиды и попеременно окрашенные треугольники на сфере:

#	Имя		Тайлинг	Вертекс. фигура	Коксетер. и Schläfli. символы	Подсчет лиц по позиции			Количество элементов
						Поз. 2. . [4]. (2)	Поз. 1. . [2]. (4)	Поз. 0. . [2]. (4)	Грани	Ребра	Вершины
D4	квадратный двугранник				. {4,2}	. {4}			2	4	4
H4	квадратный осоэдр				. {2,4}			. {2}	4	4	2
D8	Усеченный квадратный диэдр. (то же самое, что восьмиугольный диэдр )				. t {4,2 }	. {8}			2	8	8
P4. [7]	Усеченный квадратный осоэдр. (Куб )				. t {2,4}	. {4}	. {4 }		6	12	8
D8	Усеченный квадратный диэдр. (Восьмиугольная призма )				. t0,1,2 {2,4} = tr {2,4}	. {8}	. {4}	. {4}	10	24	16
A4	ский квадратный диэдр. (Квадратная Плохая антипризма )				. ср {2, 4}	. {4}	. 2 {3}		10	16	8
P4. [7]	Кантичный курносый квадратный диэдр. (Куб )				. s2{4,2} = t {2,4}				6	12	8
A2. [1]	Курносый квадратный осоэдр. (Дигональная антипризма ). (Тетраэдр )				. s {2, 4} = sr {2,2}				4	6	4

(5 2 2) D 5h двугранная симметрия

На гранях десятиугольника видны 20 фундаментов ментальных треугольников. бипирамида и попеременно раскрашенные треугольники на сфере e:

#	Имя	Изображение	Мозаика	Vertex. фигура	Коксетер. и Schläfli. символы	Подсчет лиц по положению			Подсчет элементов
						Поз. 2. . [5]. (2)	Поз. 1. . [2]. (5)	Поз. 0. . [2]. (5)	Грани	Ребра	Вершины
D5	Пятиугольный двугранник				. {5,2}	. {5}			2	5	5
H5	Пятиугольный осоэдр				. {2,5}			. {2}	5	5	2
D10	Усеченный пятиугольный диэдр. (то же самое, что десятиугольный диэдр )				. t {5,2 }	. {10}			2	10	10
P5	Усеченный пятиугольный хозоэдр. (то же, что и пятиугольная призма )				. t {2,5}	. {5}	. {4}		7	15	10
P10	Усеченный пятиугольный диэдр. (Десятиугольная призма )				. t0,1,2 {2,5 } = tr {2, 5}	. {10}	. {4}	. {4}	12	30	20
A5	Плоский пятиугольный двугранник. (Пятиугольная антипризма )				. sr {2,5}	. {5}	. 2 {3}		12	20	10
P5	Кантичный курносый пятиугольный двугранник. (Пятиугольная призма )				. s2{5,2} = t {2,5}				7	15	10

(6 2 2) D 6h двугранная симметрия

Есть 24 фундаментальных треугольника, видимых на гранях и поп еременно окрашенных треугольников на сфере.

#	Имя	Изображение	Тайлинг	Vertex. figure	Coxeter. и Schläfli.	Количество лиц по положению			Элемент количество
						Поз. 2. . [6]. (2)	Поз. 1. . [2]. (6)	Поз. 0. . [2]. (6)	Грани	Ребра	Вершины
D6	Гексагональный двугранник				. {6,2}	. {6}			2	6	6
H6	Шестиугольный осоэдр				. {2,6}			. {2}	6	6	2
D12	Усеченный шестиугольный диэдр. (то же самое, что додекагональный диэдр )				. t {6,2 }	. {12}			2	12	12
H6	Усеченный шестиугольный осоэдр. (то же, что и шестиугольная призма )				. t {2,6}	. {6}	. {4}		8	18	12
P12	Усеченный шестиугольный диэдр. (Додекагональная призма )				. t0,1,2 {2,6 } = tr {2, 6}	. {12}	. {4}	. {4}	14	36	24
A6	Плоский шестиугольный двугранник. (Гексагональная антипризма )				. sr {2,6}	. {6}	. 2 {3}		14	24	12
P3	Кантичный шестиугольный диэдр. (Треугольная призма )				= . div class="ht"{6,2} = t {2,3}				5	9	6
P6	Кантичный курносый шестиугольный диэдр. (Гексагональная призма )				. s2{6, 2} = t {2, 6}				8	18	12
A3. [2]	П лоский шестиугольный осоэдр. (то же самое, что Треугольная антипризма ). (то же, что и октаэдр )				. s {2, 6} = sr {2,3}				8	12	6

Операция	Символ	Кокстера. диаграмма	Описание
Родитель	{p, q}. t0{p, q}		Любой правильный многогранник или мозаика
Выпрямленный (r)	r {p, q}. t1{p, q}		Ребра полностью усечено на отдельные точки. Теперь у многогранника совмещены грани родительского и двойственного. Многогранники названы по количеству сторон двух правильных форм: {p, q} и {q, p}, как кубооктаэдр для r {4,3} между кубом и октаэдром.
Двунаправленный (2r). (также двойной )	2r {p, q}. t2{p, q}		Двунаправленный (двойной) - это дальнейшее усечение, чтобы исходные грани сводятся к точкам. Новые грани формируются под каждой родительской вершиной. Количество ребер не изменилось и они повернуты на 90 градусов. Двунаправленную ориентацию можно рассматривать как двойственную.
Усеченный (t)	t {p, q}. t 0,1 {p, q}		Каждая исходная вершина обрезается, и новая грань заполняет пробел. Усечение имеет степень свободы, который имеет одно решение, которое создает однородный усеченный многогранник. Исходные грани многогранника удвоены по сторонам и содержат грани двойственного..
Bitruncated (2t). (также усеченный двойственный)	2t {p, q}. t 1,2 {p, q}		Обрезка битов может рассматриваться как усечение двойственности. Усеченный битом куб - это усеченный октаэдр.
Cantellated (rr). (Также расширенный )	rr {p, q}		В дополнение к усечению вершин, каждое исходное ребро скошено с новым rec на их месте появляются треугольные грани. Единая песня находится на полпути между родительской и дуальной формой. Угловой многогранник называется ромб-r {p, q}, как ромбокубооктаэдр для rr {4,3}..
Cantitruncated (tr). (Также омниусеченный )	tr {p, q }. t 0,1,2 {p, q}		Операции усечения и раскоса применяются вместе, чтобы создать полностью усеченную форму, в которой грани родительского элемента удвоены по сторонам, а грани двойника удвоены. в сторонах и квадратах, где существовали исходные края.

Операции чередования

Операция	Символ	Кокстера. диаграмма	Описание
Выпрямленный выступ (sr)	sr {p, q}		Чередующийся cantitruncated. Все исходные грани имеют вдвое меньше сторон, а квадраты вырождаются в ребра. Так как полностью усеченные формы имеют 3 грани на вершину, формируются новые треугольники. Обычно эти чередующиеся формы огранки затем слегка деформируются, чтобы снова заканчиваться однородными многогранниками. Возможность последнего изменения зависит от степени свободы..
Snub (s)	s {p, 2q}		Альтернативное усечение
Cantic snub (s 2)	s2{p, 2q}
Альтернативное наклонение (hrr)	hrr {2p, 2q}		Возможно только в однородных мозаиках (бесконечное многоугольник edra), чередование . Например,
Half (h)	h {2p, q}		чередование из , то же самое, что
Cantic (h 2)	div class="ht"{2p, q}		То же, что и
Половинное выпрямление (hr)	hr {2p, 2q}		Возможно только в однородных мозаиках (бесконечные многогранники), чередование , то же, что и или . Например, = или
Квартал (q)	q {2p, 2q}		Возможно только в однородных мозаиках (бесконечных многогранниках), то же, что и . Например, = или

• Многогранник
  • Правильный многогранник
  • Quasiregular polyhedron
  • Semiregular polyhedron
• List of uniform polyhedra
  • List of uniform polyhedra by vertex figure
  • List of uniform polyhedra by Wythoff symbol
  • List of uniform polyhedra by Schwarz triangle
• List of Johnson solids
• List of Wenninger polyhedron models
• P olyhedron model
• Uniform tiling
• Uniform tilings in hyperbolic plane
• Pseudo-uniform polyhedron
• List of shapes

• Brückner, M. Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte.. Leipzig, Germany: Teubner, 1900. [2]
• Coxeter, Harold Scott MacDonald ; Longuet-Higgins, M. S. ; Miller, J. C. P. (1954). "Uniform polyhedra" (PDF). Philosophical Transactions of the Royal Society A. 246(916): 401–450. doi :10.1098/rsta.1954.0003. ISSN 0080-4614. JSTOR 91532. MR 0062446.CS1 maint: ref=harv (link )
• Grünbaum, B. (1994), "Polyhedra with Hollow Faces", in Tibor Bisztriczky; Peter McMullen; Rolf Schneider; et al. (eds.), Proceedings of the NATO Институт перспективных исследований многогранников: Аннотация, выпуклые и вычислительные, Springer, стр. 43–70, doi : 10.1007 / 978-94-011-0924-6_3, ISBN 978-94-010-4398-4
• Макмаллен, Питер ; Шульте, Эгон (2002), Абстрактные правильные многогранники, издательство Cambride University Press
• Skilling, J. (1975). «Комплект однородных многогранников». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки. 278 (1278): 111–135. doi : 10.1098 / rsta.1975.0022. ISSN 0080-4614. JSTOR 74475. MR 0365333. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Сопов, ИП (1970). "Доказательство полноты на список элементарных однородных многогранников ». Украинский геометрический сборник (8): 139–156. MR 0326550. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Веннингер, Магнус (1974). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-09859-5.

• Вайсштейн, Эрик У. " Однородный многогранник ". MathWorld.
• Единое решение для однородных многогранников
• Однородные многогранники
• Виртуальные многогранники однородные многогранники
• Галерея однородных многогранников
• Однородные многогранники - от Wolfram MathWorld Имеет наглядную диаграмму всех 75

v t фундаментальных выпуклых правильных и однородных многогранников в измерениях 2–10
An	Bn	I2(p) / Dn	E6 / E7 / E8 / F4 / G2	Hn
Треугольник	Квадрат	p-угольник	Шестиугольник	Пентагон
Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Ico sahedron
5-элементный	16-элементный • Tesseract	Demitesseract	24-элементный	120-элементный • 600-элементный
5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-полукуб
6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-полусуплекс	122 • 221
7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-полукуб	132 • 231 • 321
8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-полукуб	142 • 241 • 421
9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-полукуб
10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-демикуб
n-симплекс	n-ортоплекс • n- куб	n-демикуб	1k2 • 2k1 • k21	n-пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений