Равномерные мозаики в гиперболической плоскости

редактировать

Примеры однородных мозаик
Сферические	Евклидовы	Гиперболические
. {5,3}. 5.5.5.	. {6,3}. 6.6.6.	. {7,3}. 7.7.7.	. {∞, 3}. ∞.∞.∞.
Правильные мозаики сферы {p, q}, евклидовой плоскости и гиперболической плоскости с использованием правильной пятиугольной, шестиугольной, семиугольной и апейрогональной лица.
. t{5,3}. 10.10.3.	. t{6,3}. 12.12.3.	. t {7,3}. 14.14.3.	.. ∞.∞.3.
Усеченные мозаики имеют 2p.2p.q фигур вершин из регулярных {p, q}.
. r{5,3}. 3.5.3.5.	. r{6,3}. 3.6.3.6.	. r {7,3}. 3.7.3.7.	. r {∞, 3}. 3.∞.3.∞.
Квазирегулярные мозаики похожи на правильные мозаики, но чередуют два типа правильных многоугольников вокруг каждой вершины.
. rr{5,3}. 3.4.5.4.	. rr{6,3}. 3.4.6.4.	. rr {7,3}. 3.4.7.4.	. rr {∞, 3}. 3.4.∞.4.
Полуправильные мозаики имеют более одного типа правильных многоугольников.
. tr{5,3}. 4.6.10.	. tr{6,3}. 4.6.12.	. tr {7,3}. 4.6.14.	. tr {∞, 3}. 4.6.∞.
Омноусеченные мозаики имеют три или более четных правильных многоугольника.

Построение архимедовых тел и мозаик
Симметрия		Треугольная двугранная симметрия.		Тетраэдрическая.	Октаэдрическая.		Икосаэдрическая.		p6m-симметрия.		[3,7] симметрия.		[3, 8] симметрия.
Начальное тело. Операция	Символ. {p, q}.	Треугольный хозоэдр. {2,3}.	Треугольный двугранник. {3,2}.	Тетраэдр. {3,3}.	Куб. {4,3}.	Октаэдр. {3,4}.	Додекаэдр. {5,3}.	Икосаэдр. {3,5}.	Гексагональная мозаика. {6,3 }.	Треугольная мозаика. {3,6}.	Гептагональная мозаика. {7,3}.	Треугольная мозаика порядка 7. {3, 7}.	Восьмиугольная мозаика. {8,3}.	Треугольная мозаика порядка 8. {3,8}.
Усечение (t)	t {p, q}.	треугольная призма.	. (Половина "ребер" считается вырожденной гранями двуугольника. Другая половина - нормальные ребра.)	усеченный тетраэдр.	усеченный куб.	усеченный октаэдр.	усеченный додекаэдр.	усеченный икосаэдр.	усеченная шестиугольная мозаика.	усеченная треугольная мозаика.	усеченная семиугольная мозаика.	усеченная треугольная мозаика 7-го порядка.	усеченная восьмиугольная мозаика.	усеченная восьмиугольная мозаика>Усеченная треугольная мозаика порядка 8.
Исправление (r). Ambo (a)	r {p, q}.	. (Все «ребра» считаются вырожденными двуугольные грани.)		тетратетраэдр.	кубооктаэдр.		икосододекаэдр.		Тригексагональная мозаика.		Тригептагональная мозаика.		Триоктагональная мозаика.
Bitruncation (2t). Двойной кис (dk) 2752>	2t {p, q}.	усеченный треугольный диэдр. (Половина "ребер" считается вырожденными гранями двуугольника. Другая половина - нормальные ребра.)	треугольная призма.	усеченный тетраэдр.	усеченный октаэдр.	усеченный куб.	усеченный икосаэдр.	усеченный додекаэдр.	усеченный треугольник.	усеченная шестиугольная мозаика.	Усеченная треугольная мозаика порядка 7.	Усеченная семиугольная мозаика.	Усеченная треугольная мозаика восьмого порядка.	Усеченная восьмиугольная мозаика.
Биректификация (2r). Двойная (d)	2r {p, q}.	треугольный диэдр. {3,2}.	треугольный осоэдр. {2,3}.	тетраэдр.	октаэдр.	куб.	икосаэдр.	додекаэдр.	треугольная мозаика.	шестиугольная мозаика.	треугольная мозаика порядка 7.	шестиугольная мозаика.	треугольная мозаика порядка 8.	восьмиугольная мозаика.
Созвездие (rr). Расширение (e)	rr {p, q}.	треугольная призма. ("край" между пара четырехугольников считается вырожденной гранью двуугольника. Остальные ребра (те, между тригоном и четырехугольником) являются нормальными ребрами.)		ромбитратратетраэдр.	ромбокубооктаэдр.		ромбикосододекаэдр.		ромбитрихексагональная мозаика.		ромбитригептагональная мозаика.		суббокубооктаэдр.		прямоугольная мозаика Snub (s)	sr {p, q}.	треугольная антипризма. (Три желто-желтых «ребра», никакие два из которых не имеют общих вершин, считаются вырожденными двуугольник лица. Остальные ребра - нормальные.)	курносый тетратетраэдр.	курносый кубооктаэдр.	курносый икосододекаэдр.	курносый трехгексагональный мозаичный слой.	курносый трехгептагональный мозаичный слой.	курносый трехоктагональный мозаичный слой.
кантитусечение (усечение). скос (b)	tr {p, q}.	шестиугольная призма.		усеченный тетраэдр.	усеченный кубооктаэдр.		усеченный икосододекаэдр.		усеченный трехгексагональный мозаичный.		усеченный тригептагональная мозаика.		Усеченная триоктагональная мозаика.

В гиперболической геометрии, однородная гиперболическая мозаика (или регулярная, квазирегулярная или полурегулярная гиперболическая мозаика) является ребром заливка по краям гиперболической плоскости, которая имеет правильные многоугольники в качестве граней и является вершинно-транзитивной (транзитивной на ее вершины, изогональные, т.е. существует изометрия , отображающая любую вершину на любую другую). Отсюда следует, что все вершины конгруэнтны, а мозаика имеет высокую степень вращательной и трансляционной симметрии .

Равномерные мозаики можно идентифицировать по их конфигурации вершин ., последовательность чисел, представляющая количество сторон многоугольника вокруг каждой вершины. Например, 7.7.7 представляет собой семиугольную мозаику , которая имеет 3 семиугольника вокруг каждой вершины. Он также является правильным, так как все многоугольники имеют одинаковый размер, поэтому ему также может быть присвоен символ Шлефли {7,3}.

Равномерные мозаики могут быть регулярными (если они также транзитивны по граням и ребрам), квазирегулярными (если транзитивны по ребрам, но не по граням) или полурегулярными (если ни ребро, ни грань не транзитивны). Для прямоугольных треугольников (p q 2) есть две правильные мозаики, представленные символом Шлефли {p, q} и {q, p}.

Содержание

1 Конструкция Wythoff
2 Области прямоугольного треугольника
- 2.1 Регулярные гиперболические мозаики
- 2.2 (7 3 2)
- 2.3 (8 3 2)
- 2.4 (5 4 2)
- 2,5 (6 4 2)
- 2,6 (7 4 2)
- 2,7 (8 4 2)
- 2,8 (5 5 2)
- 2,9 (6 5 2)
- 2,10 (6 6 2)
- 2,11 (8 6 2)
- 2,12 (7 7 2)
- 2,13 (8 8 2)
3 Общие области треугольника
- 3,1 (4 3 3)
- 3,2 (4 4 3)
- 3,3 (4 4 4)
- 3,4 (5 3 3)
- 3,5 (5 4 3)
- 3,6 (5 4 4)
- 3,7 (6 3 3)
- 3,8 (6 4 3)
- 3,9 (6 4 4)
4 Сводка мозаик с конечными треугольными фундаментальными областями
5 Четырехугольные области
- 5,1 (3 2 2 2)
- 5.2 (3 2 3 2)
6 областей идеального треугольника
- 6.1 (∞ 3 2)
- 6.2 (∞ 4 2)
- 6.3 (∞ 5 2)
- 6.4 (∞ ∞ 2))
- 6,5 (∞ 3 3)
- 6,6 (∞ 4 3)
- 6,7 (∞ 4 4)
- 6,8 (∞ ∞ 3)
- 6,9 (∞ ∞ 4)
- 6,10 (∞ ∞ ∞)
7 Сводка мозаик с бесконечными треугольными фундаментальными областями
8 Ссылки
9 Внешние ссылки

Конструкция Wythoff

Пример Wythoff co инструкция с прямоугольными треугольниками (r = 2) и 7 образующими точками. Линии, ведущие к активным зеркалам, окрашены в красный, желтый и синий цвета, а 3 узла напротив них связаны символом Wythoff.

Существует бесконечное количество однородных мозаик, основанных на треугольниках Шварца (pqr) где 1 / p + 1 / q + 1 / r < 1, where p, q, r are each orders of reflection symmetry at three points of the треугольник в фундаментальной области - группа симметрии представляет собой гиперболическую группу треугольников.

Каждое семейство симметрий содержит 7 однородных мозаик, определяемых Символ Витоффа или диаграмма Кокстера-Дынкина, 7, представляющая комбинации 3 активных зеркал. 8-й представляет операцию чередования, удаляя альтернативные вершины из высшей формы со всеми активными зеркалами.

Семейства с r = 2 содержат регулярные гиперболические мозаики, определяемые группой Кокстера, например [7,3], [8,3], [9, 3],... [5,4], [6,4],....

Гиперболические семейства с r = 3 или выше задаются (pqr) и включают (4 3 3), (5 3 3), (6 3 3)... (4 4 3), (5 4 3),... (4 4 4)....

Гиперболические треугольники (pqr) определяют компактные равномерные гиперболические мозаики. В пределе любое из p, q или r может быть заменено на ∞, которое определяет паракомпактный гиперболический треугольник и создает однородные мозаики с бесконечными гранями (называемыми апейрогонами ), которые сходятся к одной идеальной точке, или бесконечной вершиной фигура с бесконечно большим числом ребер, расходящихся из одной идеальной точки.

Больше семейств симметрии можно построить из фундаментальных областей, не являющихся треугольниками.

Выбранные семейства однородных мозаик показаны ниже (с использованием модели диска Пуанкаре для гиперболической плоскости). Три из них - (7 3 2), (5 4 2) и (4 3 3) - и никакие другие являются минимальными в том смысле, что если любое из их определяющих чисел заменить меньшим целым числом, результирующий шаблон будет либо Евклидова или сферическая, а не гиперболическая; и наоборот, любое из чисел может быть увеличено (даже до бесконечности) для создания других гиперболических паттернов.

Каждая единообразная мозаика порождает двойную однородную мозаику , многие из которых также приведены ниже.

Области прямоугольного треугольника

Существует бесконечно много (p q 2) групп треугольников семейств. В этой статье показано регулярное разбиение до p, q = 8 и равномерные разбиения в 12 семейств: (7 3 2), (8 3 2), (5 4 2), (6 4 2), (7 4 2), (8 4 2), (5 5 2), (6 5 2) (6 6 2), (7 7 2), (8 6 2) и (8 8 2).

Регулярные гиперболические мозаики

Викискладе есть носители, связанные с Регулярные гиперболические мозаики.

Простейшим набором гиперболических мозаик являются правильные мозаики {p, q}, которые существуют в матрице с правильными многогранниками и евклидовыми мозаиками. У правильного замощения {p, q} есть двойное замощение {q, p} поперек диагональной оси стола. Самодвойственные мозаики {2,2}, {3,3}, {4,4}, {5,5} и т. Д. Переходят вниз диагональ стола.

Регулярная гиперболическая мозаичная таблица [ v ]
Сферическая (несобственная / платоническая) / евклидова / гиперболическая (диск Пуанкаре: компактный / паракомпактный / некомпактный) мозаики с их символом Шлефли
p \ q	2	3	4	5	6	7	8	...	∞	...	iπ / λ
2	. {2,2}.	. {2,3}.	. {2,4}.	. {2,5}.	. {2,6}.	. {2,7}.	. {2,8}.		. {2, ∞}.		. {2, iπ / λ}.
3	.. {3,2}.	. (тетраэдр ). {3,3}.	. (октаэдр ). {3,4}.	. (икосаэдр ). {3,5}.	. (дельтилль ). {3, 6}.	.. {3,7}.	.. {3,8}.		.. {3, ∞}.		.. {3, iπ / λ}.
4	.. {4,2}.	. (куб ). {4,3}.	. (кадриль ). {4,4}.	.. {4,5}.	.. {4,6}.	.. {4,7 }.	.. {4,8}.		.. {4, ∞}.		. {4, iπ / λ}.
5	.. {5,2}.	. (додекаэдр ). {5,3 }.	.. {5,4}.	.. {5,5}.	.. {5,6}.	...	.. {5,8}.		.. {5, ∞}.		. {5, iπ / λ }.
6	.. {6,2}.	. (гексилль ). {6,3}.	.. {6,4}.	.. {6,5}.	.. {6,6}.	...	.. {6,8}.		.. {6, ∞}.		. {6, iπ / λ}.
7	{7,2}.	. {7,3}.	. {7,4}.	..	..	. {7,7}.	..		..		{7, iπ / λ}.
8	{8,2}.	. {8,3}.	. {8,4}.	..	. {8,6}.	..	. {8,8}.		..		{8, iπ / λ}.
...
∞	. {∞, 2}.	. {∞, 3}.	. {∞, 4}.	. {∞, 5}.	. {∞, 6}.	..	..		. {∞, ∞}.		. {∞, iπ / λ}.
...
iπ / λ	. {iπ / λ, 2 }.	. {iπ / λ, 3}.	. {iπ / λ, 4}.	. {iπ / λ, 5}.	. {iπ / λ, 6}.	{iπ / λ, 7 }.	{iπ / λ, 8}.		. {iπ / λ, ∞}.		{iπ / λ, iπ / λ}.

(7 3 2)

(7 3 2) группа треугольников, группа Кокстера [7,3], орбифолд (* 732) содержит эти однородные мозаики:

Равномерные семиугольные / треугольные мозаики [ v ]
Симметрия: [7,3], (* 732)							[7,3], (732)


{7,3}	t {7, 3}	r {7,3}	t {3,7}	{3,7}	rr {7,3}	tr {7,3}	sr {7,3}
Uniform duals


V7	V3.14.14	V3.7.3.7	V6.6.7	V3	V3.4.7.4	V4. 6.14	V3.3.3.3.7

(8 3 2)

Треугольник (8 3 2) группа, Кокстера [8,3], орбифолд (* 832) содержит следующие однородные мозаики:

равномерные восьмиугольные / треугольные мозаики [ v ]
Симметрия: [8,3], (* 832)							[8,3]. (832)	[1,8,3]. (* 443)		[8,3]. (3 * 4)
{8, 3}	t {8,3}	r {8,3}	t {3,8}	{3,8}	rr {8,3}. s2{ 3,8}	tr {8,3}	sr {8,3}	h {8,3}	div class="ht"{8,3}	s {3,8}

		.	.	.				. или	. или	.
		.	.	.						.
Uniform duals
V8	V3.16.16	V3.8.3.8	V6.6.8	V3	V3.4.8.4	V4. 6.16	V3.8	V(3.4)	V8.6.6	V3.4

(5 4 2)

(5 4 2) группа треугольников, группа Кокстера [5,4], орбифолд (* 542) содержит эти однородные мозаики:

Равномерные пятиугольные / квадратные мозаики [ v ]
Симметрия: [5,4], (* 542)							[5,4], (542)	[5,4], (5 * 2)	[5,4,1], (* 552)


{5,4}	t {5,4}	r {5,4}	2t {5,4} = t {4,5}	2r {5,4} = {4,5}	rr {5,4}	tr {5,4}	sr {5,4}	s {5,4}	h {4,5}
Однородные двойные


V5	V4.10.10	V4.5.4.5	V5.8.8	V4	V4.4.5.4	V4.8.10	V3.3.4.3.5	V3.3.5.3.5	V5

(6 4 2)

(6 4 2) группа треугольников, группа Кокстера [6,4], орбифолд (* 642) содержит эти равномерные мозаики. Поскольку все элементы четные, каждый однородный двойной мозаичный элемент представляет фундаментальную область отражательной симметрии: * 3333, * 662, * 3232, * 443, * 222222, * 3222 и * 642 соответственно. Кроме того, можно чередовать все 7 однородных плиток, и у них также есть двойники.

Равномерные тетрагексагональные мозаики [ v ]
Симметрия : [6,4], (* 642 ). (с [6,6] (* 662), [(4,3,3)] (* 443), [∞, 3, ∞] (* 3222) подсимметрия индекса 2). (И [(∞, 3, ∞, 3)] (* 3232) подсимметрия индекса 4)
. = . . = . =	. =	. = . = . . =	. . =	. . = . = . =	. . . =

{6, 4}	t {6,4}	r {6,4}	t {4,6}	{4,6}	rr {6,4}	tr {6,4}
Унифицированные двойные


V6	V4.12.12	V(4.6)	V6.8.8	V4	V4.4.4.6	V4.8.12
Чередования
[1,6,4]. (* 443)	[6,4]. (6 * 2)	[6,1, 4]. (* 3222)	[6,4]. (4 * 3)	[6,4,1]. (* 662)	[(6,4,2)]. (2 * 32)	[6,4]. (642)
. =	. =	. =	. =	. =	. =

h {6,4}	s {6,4}		s {4,6}	h {4,6}		sr {6,4}

(7 4 2)

(7 4 2) группа треугольников, группа Кокстера [7,4], орбифолд (* 742) содержит эти однородные мозаики:

Равномерные семиугольные / квадратные мозаики [ v ]
Симметрия: [7,4], (* 742)							[7,4], (742)	[7,4], (7 * 2)	[7,4,1], (* 772)


{7,4}	t {7,4}	r {7,4}	2t {7,4} = t {4,7}	2r {7,4 } = {4,7}	rr {7,4}	tr {7,4}	sr {7,4}	s {7,4}	h {4, 7}
Унифицированные двойные


V7	V4.14.14	V4.7.4.7	V7.8.8	V4	V4.4.7.4	V4.8.14	V3.3.4.3.7	V3.3.7.3.7	V7

(8 4 2)

(8 4 2) группа треугольников, группа Кокстера [8,4], орбифолд (* 842) содержит эти однородные мозаики. Поскольку все элементы четные, каждый однородный двойной мозаичный элемент представляет фундаментальную область отражательной симметрии: * 4444, * 882, * 4242, * 444, * 22222222, * 4222 и * 842 соответственно. Кроме того, можно чередовать все 7 однородных плиток, и у них также есть двойники.

Равномерные восьмиугольные / квадратные мозаики [ v ]
[8,4], (* 842). (с [8,8] (* 882), [(4,4,4)] (* 444), [∞, 4, ∞] (* 4222) подсимметрия индекса 2). (И [(∞, 4, ∞, 4)] (* 4242) подсимметрия индекса 4)
. = . . = . =	. =	. = . = . . =	. . =	. . = . =	. . . =

{8,4}	t {8,4}.	r {8,4}	2t {8,4} = t {4,8}	2r {8,4} = {4,8}	rr {8,4}	tr {8,4}
Унифицированные двойные


V8	V4.16.16	V (4.8)	V8.8.8	V4	V4.4.4.8	V4.8.16
Чередование
[1,8,4]. (* 444)	[8,4]. (8 * 2)	[8,1,4]. (* 4222)	[8,4]. (4 * 4)	[8,4,1]. (* 882)	[(8,4,2)]. (2 * 42)	[8,4]. (842)
. =	. =	. =	. =	. =	. =

ч {8,4}	с {8,4}	ч {8,4}	с {4,8}	ч {4,8}	чр {8,4 }	sr {8,4}
Двойное чередование


V(4.4)	V3.(3.8)	V (4.4.4)	V (3.4)	V8	V4.4	V3.3.4.3.8

(5 5 2)

The (5 5 2) треугольная группа, группа Кокстера [5,5], орбифолд (* 552) содержит эти однородные тилины gs:

Однородные пятипентагональные мозаики [ v ]
Симметрия: [5,5], (* 552)							[5,5], (552)
. =	. =	. =	. =	. =	. =	. =	. =

{5,5}	t {5,5}.	r {5,5}	2t {5,5} = t {5,5}	2r {5,5} = {5,5}	rr { 5,5}	tr {5,5}	sr {5,5}
Uniform duals


V5.5.5.5.5	V5.10.10	V5.5.5.5	V5.10.10	V5.5.5.5.5	V4.5.4.5	V4.10.10	V3.3.5.3.5

(6 5 2)

(6 5 2) треугольная группа, группа Кокстера [6,5], орбифолд (* 652) содержит следующие однородные мозаики:

Однородные шестиугольные / пятиугольные мозаики [ v ]
Симметрия: [6,5], (* 652)							[6,5], (652)	[6,5], (5 * 3)	[1,6,5], (* 553)


{6,5}	т {6,5}	г {6,5}	2t {6,5} = t {5,6}	2r {6,5} = {5,6}	rr {6,5}	tr { 6,5}	sr {6,5}	s {5,6}
Uniform duals


V6	V5.12.12	V5.6.5.6	V6.10.10	V5	V4.5.4.6	V4.10.12	V3.3.5.3.6	V3.3.3.5.3.5	V (3,5)

(6 6 2)

(6 6 2) треугольная группа, группа Кокстера [6,6], орбифолд (* 662) содержит эти однородные мозаики:

Однородные шестиугольные мозаики [ v ]
Симметрия: [6,6], (* 662)
= . =	= . =	= . =	= . =	= . =	= . =	=. =

{6,6}. = h {4,6 }	t{6,6}. = h 2 {4,6}	r{6,6}. {6,4}	t{6,6}. = h 2 {4,6}	{6,6}. = h {4,6}	rr{6,6}. r {6,4}	tr{6,6}. t {6,4}
Однородные двойные


V6	V6.12.12	V6.6.6.6	V6.12.12	V6	V4.6.4.6	V4.12.12
Чередование
[1,6,6]. (* 663)	[6,6]. (6 * 3)	[6,1,6]. (* 3232)	[6,6]. (6 * 3)	[6,6,1]. (* 663)	[(6,6,2)]. (2 * 33)	[6,6]. (662)
=		=		=


ч {6,6}	с {6,6}	ч {6, 6}	s {6,6}	h {6,6}	hrr {6,6}	sr {6,6}

(8 6 2)

Группа (8 6 2) треугольная группа, Коксет Группа [8,6], орбифолд (* 862) содержит эти однородные мозаики.

Равномерные восьмиугольные / шестиугольные мозаики [ v ]
Симметрия : [8,6], (* 862)


{8,6}	t {8,6}.	r {8,6}	2t {8,6} = t {6,8}	2r {8,6} = {6,8}	rr {8,6}	tr { 8,6}
Унифицированные двойные


V8	V6.16.16	V(6.8)	V8.12.12	V6	V4.6.4.8	V4. 12.16
Чередования
[1,8,6]. (* 466)	[8,6]. (8 * 3)	[8, 1,6]. (* 4232)	[8,6]. (6 * 4)	[8,6,1]. (* 883)	[(8,6,2)]. (2 * 43)	[8,6]. (862)


h {8,6}	с {8,6}	ч {8,6}	с {6,8}	ч {6,8}	hrr {8,6}	sr {8,6}
Двойное чередование


V(4.6)	V3.3.8.3.8.3	V (3.4.4.4)	V3.4.3.4.3.6	V(3.8)	V3.4	V3.3.6.3.8

(7 7 2)

Треугольная группа (7 7 2) , группа Кокстера [7,7], орбифолд (* 772) содержит следующие однородные мозаики:

Uniform heptahe птагональные мозаики [ v ]
Симметрия: [7,7], (* 772)							[7,7], (772)
= . =	= . =	= . =	= . =	= . =	= . =	=. =	=. =

{7,7}	t {7,7}.	r {7,7}	2t {7,7} = t {7,7}	2r {7,7} = {7,7}	rr {7,7}	tr {7,7}	sr {7,7}
Унифицированные двойные


V7	V7.14.14	V7.7.7.7	V7.14.14	V7	V4.7.4.7	V4.14.14	V3.3.7.3.7

(8 8 2)

Группа треугольников (8 8 2) , Группа Кокстера [8,8], орбифолд (* 882) содержит следующие однородные мозаики:

Однородные восьмиугольные мозаики [ v ]
Симметрия: [8, 8], (* 882)
= . =	= . =	= . =	= . =	= . =	= . =	= . =

{8,8}	t {8,8}.	r {8,8}	2t {8,8} = t {8,8}	2r {8,8} = {8,8}	rr {8,8}	tr {8,8}
Однородные двойные


V8	V8.16.16	V8.8.8.8	V8.16.16	V8	V4.8.4.8	V4.16.16
Чередования
[1,8,8]. (* 884)	[8,8]. (8 * 4)	[8,1,8]. (* 4242)	[8,8]. ( 8 * 4)	[8,8,1]. (* 884)	[(8,8,2)]. (2 * 44)	[8,8]. (882)
=		=		=	= . =	= . =

ч {8,8}	с {8,8}	час {8,8}	с {8,8}	час {8,8}	час {8,8}	ср {8, 8}
Двойное чередование


V(4.8)	V3.4.3.8.3.8	V (4.4)	V3.4.3.8.3.8	V (4.8)	V4	V3.3.8.3.8

Общие области треугольников

Существует бесконечно много общих групп треугольников семейств (pqr). В этой статье показаны однородные мозаики в 9 семействах: (4 3 3), (4 4 3), (4 4 4), (5 3 3), (5 4 3), (5 4 4), (6 3 3), (6 4 3) и (6 4 4).

(4 3 3)

Группа (4 3 3) треугольная группа, группа Кокстера [(4, 3,3)], орбифолд (* 433) содержит эти однородные мозаики. Без прямых углов в основном треугольнике конструкции Wythoff немного отличаются. Например, в семействе треугольников (4,3,3) курносая форма имеет шесть многоугольников вокруг вершины, а двойственная форма состоит из шестиугольников, а не пятиугольников. В общем случае фигура вершины пренебрежительного тайлинга в треугольнике (p, q, r) равна p. 3.q.3.r.3, в данном случае ниже 4.3.3.3.3.3.

Равномерные (4,3,3) мозаики [ v ]
Симметрия: [(4,3,3)], (* 433)							[(4,3,3)], (433)



ч {8,3}. t0(4,3,3)	r {3,8} / 2. t0,1 (4,3,3)	ч { 8,3}. t1(4,3,3)	div class="ht"{8,3}. t1,2 (4,3,3)	{3,8} / 2. t2(4,3,3)	div class="ht"{8,3}. t0,2 (4,3,3)	t {3,8} / 2. t0,1,2 (4,3,3)	с {3,8} / 2. с (4,3,3)
Однородные двойные

V(3.4)	V3. 8.3.8	V(3.4)	V3.6.4.6	V (3.3)	V3.6.4.6	V6.6.8	V3.3.3.3.3.4

(4 4 3)

Треугольная группа (4 4 3) , Coxeter группа [(4,4,3)], орбифолд (* 443) содержит эти однородные мозаики.

Равномерные (4,4,3) мозаики [ v ]
Симметрия: [(4,4,3)] (* 443)							[(4,4,3)]. (443)	[(4,4,3)]. (3 * 22)	[(4,1,4,3)]. (* 3232)



h {6,4}. t0(4,4,3)	div class="ht"{6,4}. t0,1 (4,4,3)	{4,6} / 2. t1(4,4,3)	div class="ht"{6,4}. t 1,2 (4,4,3)	ч {6,4}. t2(4,4,3)	r {6,4} / 2. t0,2 (4,4,3)	t {4,6} / 2. t0, 1,2 (4,4,3)	с {4,6} / 2. с (4,4,3)	. ч (4,3,4)	ч {4,6} / 2. h (4,3,4)	q {4,6}. h1(4,3,4)
Однородные двойные

V (3.4)	V3.8.4.8	V (4.4)	V3.8.4.8	V(3.4)	V4.6.4.6	V6.8.8	V3.3.3.4.3.4	V (4.4.3)	V6	V4.3.4.6.6

(4 4 4)

(4 4 4) треугольная группа, группа Кокстера [(4,4,4)], орбифолд (* 444) содержит эти равномерные мозаики.

Равномерные (4,4,4) мозаики [ v ]
Симметрия: [(4,4,4)], (* 444)							[(4,4,4)]. ( 444)	[(1,4,4,4)]. (* 4242)	[(4,4,4)]. (4 * 22)
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.

t0(4,4,4). h {8,4}	t0,1 (4,4,4). div class="ht"{8,4}	t1(4, 4,4). {4,8} / 2	t1,2 (4,4,4). div class="ht"{8,4}	t2(4,4,4). h {8,4}	t0,2(4,4,4). r {4,8} / 2	t0,1,2 (4,4,4). t{4,8}/2	s(4,4,4). s {4,8} / 2	h (4,4,4). h {4,8} / 2	hr (4,4,4). hr {4,8} / 2
Однородные двойные

V (4.4)	V4.8.4.8	V (4.4)	V4.8.4.8	V (4.4)	V4.8.4.8	V8. 8.8	V3.4.3.4.3.4	V8	V (4,4)

(5 3 3)

Треугольная группа , группа Кокстера [(5,3,3)], орбифолд (* 533) содержит эти однородные мозаики.

Однородные (5,3,3) мозаики [ v ]
Симметрия: [(5,3,3)], (* 533)							[(5,3,3)], (533)



. t0(5,3,3)	. t0,1 (5,3,3)	. t1(5,3,3)	. t1,2 (5,3, 3)	. t2(5,3,3)	. t0,2 (5,3,3)	. t0,1,2 (5,3,3)	. ht0, 1,2 (5,3,3)
Однородные двойники

V(3.5)	V3.10.3.10	V (3.5)	V3.6.5.6		V3.6.5.6	V6.6.10	V3.3.3.3.3.5

(5 4 3)

Треугольная группа , группа Кокстера [(5,4,3)], орбифолд (* 543) содержит эти однородные мозаики.

(5,4,3) однородные мозаики [ v ]
Симметрия: [(5,4,3)], (* 543)							[(5,4,3)], (543)


. (5,4,3)	. r (3,5,4)	. (4,3,5)	. r (5,4,3)	. (3,5, 4)	. r (4,3,5)	. t (5,4,3)
Однородные двойники

V(3.5)	V3.10.4.10	V(4.5)	V3.8.5.8	V(3.4)	V4.6.5.6	V6.8.10	V3.5.3.4.3.3

(5 4 4)

Треугольная группа , группа Кокстера [(5,4,4)], орбифолд (* 544) содержит эти однородные мозаики.

Однородные (5,4,4) мозаики [ v ]
Симметрия: [(5,4,4)]. (* 544)							[(5,4,4)]. (544)	[(5,4,4)]. (5 * 22)	[(5,4,1,4)]. (* 5222)



. h {10,4}	. r {4,10} / 2	. h {10,4}	. div class="ht"{10,4}	. {4,10} / 2	. div class="ht"{ 10,4}	. т {4,10} / 2	. с {4,10} / 2	. ч {4,10} / 2	ч (4,5,4). ч { 4,10} / 2
Унифицированные двойники

V(4.5)	V4.10.4.10	V(4.5)	V4.8.5.8	V (4.4)	V4.8.5.8	V8.8.10	V3.4.3.4.3.5	V10	V (4.4.5)

(6 3 3)

Треугольная группа , группа Кокстера [(6,3,3)], орбифолд (* 633) содержит эти однородные мозаики.

Однородные (6,3,3) мозаики [ v ]
Симметрия: [(6,3,3)], (* 633)							[(6,3,3)], (633)



. ч {12,3}	. r {3,12} / 2	. ч {12,3}	. div class="ht"{12,3}	. {3,12} / 2	. div class="ht"{12, 3}	. t {3,12} / 2	. s {3,12} / 2
Однородные двойники

V(3.6)	V3.12.3.12	V (3.6)	V3.6.6.6	. {12,3}	V3.6.6.6	V6.6.12	V3.3.3.3.3.6

(6 4 3)

Треугольная группа , группа Кокстера [(6,4,3)], орбифолд (* 643) содержит эти однородные мозаики.

(6,4,3) однородные мозаики [ v ]
Симметрия: [(6,4,3)]. (* 643)							[(6,4,3)]. (643)	[(6,1,4,3)]. (* 3332)	[(6,4,3)]. (3 * 32)
								=

								h {(6,4,3)}	hr {(6,4,3)}
Однородные двойники

V(3.6)	V3. 12.4.12	V(4.6)	V3.8.6.8	V(3.4)	V4.6.6.6	V6.8.12	V3.6.3.4.3.3	V(3.6.6)	V4. (3.4)

(6 4 4)

(6 4 4) треугольная группа, группа Кокстера [(6,4,4)], орбифолд (* 644) содержит эти однородные мозаики.

6-4-4 равномерные мозаики [ v ]
Симметрия : [(6,4,4)], (* 644)							(644)
.	.	.	.	.	.	.	.

. h {12,4}	. r {4,12} / 2	. h {12,4}	. div class="ht"{12,4}	. {4,12} / 2	. div class="ht"{12,4}	. t {4, 12} / 2	с (6,4,4). с {4,12} / 2
Однородные двойные

V(4.6)	V (4.12)	V(4.6)	V4.8.6.8	V4	V4.8.6.8	V8.8.12	V4.6.4.6.6.6

Сводка мозаик с конечными треугольными фундаментальными областями

Для таблицы всех однородных гиперболических мозаик с фундаментальными областями (pqr), где 2 ≤ p, q, r ≤ 8.

См. Шаблон: Таблица конечных треугольных гиперболических мозаик

Четырехугольные области

Четырехугольная область имеет 9 позиций образующих точек, которые определяют однородные мозаики. Фигуры вершин указаны для общей орбифолдной симметрии * pqrs с 2-угольными гранями, вырождающимися в ребра.

(3 2 2 2)

Пример равномерных мозаик симметрии * 3222

Четырехугольные фундаментальные области также существуют в гиперболических плоскости, с *3222 орбифолдом ([∞, 3, ∞] обозначение Кокстера) как наименьшее семейство. Есть 9 мест генерации для равномерного замощения в четырехугольных областях. Фигура вершины может быть извлечена из фундаментальной области как 3 случая (1) угол (2) середина края и (3) центр. Когда генерируемые точки являются углами, смежными с углами второго порядка, вырожденные грани {2} digon в этих углах существуют, но их можно игнорировать. Плоскостопный и чередующиеся равномерные мозаики также могут быть сгенерированы (не показаны), если фигура вершины содержит только четные грани.

Диаграммы Кокстера четырехугольных областей рассматриваются как вырожденный граф тетраэдр с 2 из 6 ребер, помеченных как бесконечность или пунктирными линиями. Логическое требование, чтобы по крайней мере одно из двух параллельных зеркал было активным, ограничивает единые случаи до 9, а другие кольцевые шаблоны недопустимы.

Равномерные мозаики в симметрии * 3222 [ v ]
6.	6.6.4.4.	(3.4.4).	4.3.4.3.3.3.
6.6.4.4.	6.4.4.4.	3.4.4.4. 4.
(3.4.4).	3.4.4.4.4.	4.

(3 2 3 2)

Подобные мозаики H2 в симметрии * 3232 [ v ]
диаграммах Кокстера.


Vertex. рисунок	6	(3.4.3.4)	3.4.6.6.4	6.4.6.4
Изображение
Двойное

Домены идеального треугольника

Их бесконечно много треугольная группа семейства, включающие бесконечные порядки. В этой статье показаны равномерные мозаики в 9 семействах: (∞ 3 2), (∞ 4 2), (∞ ∞ 2), (∞ 3 3), (∞ 4 3), (∞ 4 4), (∞ ∞ 3), (∞ ∞ 4) и (∞ ∞ ∞).

(∞ 3 2)

Идеальная (∞ 3 2) треугольная группа, группа Кокстера [∞, 3], орбифолд (* ∞32) содержит следующие однородные мозаики:

Паракомпактные однородные мозаики в семействе [∞, 3] [ v t ]
Симметрия: [∞, 3], (* ∞ 32)							[∞, 3]. (∞32)	[1, ∞, 3]. (* ∞33)		[∞, 3]. (3 * ∞)

		. =	. =	. =				=. или	=. или	. =

{∞, 3}	t {∞, 3}	r {∞, 3}	t {3, ∞}	{3, ∞}	rr {∞, 3}	tr {∞, 3}	sr {∞, 3}	h {∞, 3}	div class="ht"{∞, 3}	s {3, ∞}
Однородные двойники


V∞	V3.∞.∞	V(3.∞)	V6.6.∞	V3	V4.3.4.∞	V4.6.∞	V3.3.3.3.∞	V (3.∞)		V3.3.3.3.3. ∞

(∞ 4 2)

Идеальная (∞ 42) треугольная группа, группа Кокстера [∞, 4], орбифолд (* ∞42) содержит следующие однородные мозаики:

Паракомпактные однородные мозаики в семействе [∞, 4] [ v ]


{∞, 4}	t {∞, 4}	r {∞, 4}	2t {∞, 4} = t {4, ∞}	2r {∞, 4} = {4, ∞}	rr {∞, 4}	tr {∞, 4}
Двойной инжир ures


V∞	V4.∞.∞	V(4.∞)	V8.8.∞	V4	V4.∞	V4.8.∞
Чередование
[1, ∞, 4]. (* 44∞)	[∞, 4]. (∞ * 2)	[∞, 1, 4]. (* 2∞2∞)	[∞, 4]. (4 * ∞)	[∞, 4,1]. (* ∞∞2)	[(∞,4,2)]. (2*2∞)	[∞,4]. (∞42)
. =				. =
h {∞,4}	s{∞,4}	hr{∞,4}	s{4,∞}	h{4,∞}	hrr{∞,4}	s{∞,4}

Alternation duals


V(∞.4)	V3.(3.∞)	V(4.∞.4)	V3.∞.(3.4)	V∞	V∞.4	V3.3.4.3.∞

(∞ 5 2)

The ideal triangle group, Coxeter group [∞,5], orbifold (*∞52) contains these uniform tilings:

Paracompact uniform apeirogonal/pentagonal tilings [ v ]
Symmetry: [∞,5], (*∞52)							[∞,5]. (∞52)	[1, ∞,5]. (*∞55)		[∞,5]. (5*∞)


{∞,5}		r{∞,5}		2r{∞,5}={5,∞}				h{∞,5}	div class="ht"{∞,5}	s{5,∞}
Uniform duals


V∞	V5.∞.∞	V5.∞.5.∞	V∞.10.10	V5	V4.5.4.∞	V4.10.∞	V3.3.5.3.∞		V(∞.5)	V3.5.3.5.3.∞

(∞ ∞ 2)

The ideal (∞ ∞ 2) triangle group, Coxeter group [∞,∞], orbifold (*∞∞2) contains these uniform tilings:

Paracompact uniform tilings in [∞,∞] family [ v ]
. = . =	. = . =	. = . =	. = . =	. = . =	. =	. =

{∞,∞}	t{∞,∞}	r{∞,∞}	2t{∞,∞}=t{∞,∞}	2r{∞,∞}={∞,∞}	rr{∞,∞}	tr{∞,∞}
Dual tilings


V∞	V∞.∞.∞	V(∞.∞)	V∞.∞.∞	V∞	V4.∞.4.∞	V4.4.∞
Alternations
[1,∞,∞]. (*∞∞2)	[∞,∞]. (∞*∞)	[∞,1,∞]. (*∞∞∞∞)	[∞,∞]. (∞*∞)	[∞,∞,1]. (*∞∞2)	[(∞,∞,2)]. (2*∞∞)	[∞,∞]. (2∞∞)


h{∞,∞}	s{∞,∞}	hr{∞,∞}	s{∞,∞}	div class="ht"{∞,∞}	hrr{∞,∞}	sr{∞,∞}
Alternation duals


V(∞.∞)	V(3.∞)	V(∞.4)	V(3.∞)	V∞	V(4.∞.4)	V3.3.∞.3.∞

(∞ 3 3)

The ideal (∞ 3 3) triangle group, Coxeter group [(∞,3,3)], orbifold (*∞33) contains these uniform tilings.

Paracompact hyperbolic uniform tilings in [(∞,3,3)] family [ v ]
Symmetry: [(∞,3,3)], (*∞33)							[(∞,3,3)], (∞33)



(∞,∞,3)	t0,1(∞,3,3)	t1(∞,3,3)	t1,2(∞,3,3)	t2(∞,3,3)	t0,2(∞,3,3)	t0,1,2(∞,3,3)	s(∞,3,3)
Dual tilings



V(3.∞)	V3.∞.3.∞	V(3.∞)	V3.6.∞.6	V(3.3)	V3.6.∞.6	V6.6.∞	V3.3.3.3.3.∞

(∞ 4 3)

The ideal triangle group, Coxeter group [(∞,4,3)], orbifold (*∞43) contains these uniform tilings:

Paracompact hyperbolic uniform tilings in [(∞,4,3)] family [ v ]
Symmetry: [(∞,4,3)]. (*∞43)							[(∞,4,3)]. (∞43)	[(∞,4,3)]. (3*4∞)	[(∞,1,4,3)]. (*∞323)
									=

(∞,4,3)	t0,1(∞,4,3)	t1(∞,4,3)	t1,2(∞,4,3)	t2(∞,4,3)	t0,2(∞,4,3)	t0,1,2(∞,4,3)	s(∞,4,3)	ht0,2(∞,4,3)	ht1(∞,4,3)
Dual tilings

V(3.∞)	V3.∞.4.∞	V(4.∞)	V3.8.∞.8	V(3.4)	4.6.∞.6	V6.8.∞	V3.3.3.4.3.∞	V(4.3.4).∞	V(6.∞.6)

(∞ 4 4)

The ideal (∞ 4 4) triangle group, Coxeter group [(∞,4,4)], orbifold (*∞44) contains these uniform tilings.

Paracompact hyperbolic uniform tilings in [(4,4,∞)] family [ v ]
Symmetry: [(4,4,∞)], (*44∞)							(44∞)
.	.	.	.	.	.	.	.

(4,4,∞). h{∞,4}	t0,1(4,4,∞). r{4,∞}/2	t1(4,4,∞). h{4,∞}/2	t1,2(4,4,∞). div class="ht"{∞,4}	t2(4,4,∞). {4,∞}/2	t0,2(4,4,∞). div class="ht"{∞,4}	t0,1,2(4,4,∞). t{4,∞}/2	s(4,4,∞). s{4,∞}/2
Dual tilings

V(4.∞)	V4.∞.4.∞	V(4.∞)	V4.∞.4.∞	V4	V4.∞.4.∞	V8.8.∞	V3.4.3.4.3.∞

(∞ ∞ 3)

The ideal triangle group, Coxeter group [(∞,∞,3)], orbifold (*∞∞3) contains these uniform tilings.

Paracompact hyperbolic uniform tilings in [(∞,∞,3)] family [ v ]
Symmetry: [(∞,∞,3)], (*∞∞3)							[(∞,∞,3)]. (∞∞3)	[(∞,∞,3)]. (3*∞∞)	[(∞,1,∞,3)]. (*∞3∞3)
									=


(∞,∞,3). h{6,∞}	t0,1(∞,∞,3). div class="ht"{6,∞}	t1(∞,∞,3). {∞,6}/2	t1,2(∞,∞,3). div class="ht"{6,∞}	t2(∞,∞,3). h{6,∞}	t0,2(∞,∞,3). r{∞,6}/2	t0,1,2(∞,∞,3). t{∞,6}/2	s(∞,∞,3). s{∞,6}/2	hr0,2(∞,∞,3). hr{∞,6}/2	hr1(∞,∞,3). h {∞, 6} / 2
Двойные мозаики

V(3.∞)	V3.∞.∞.∞	V (∞.∞)	V3.∞.∞.∞	V(3.∞)	V(6.∞)	V6.∞.∞	V3.∞.3.∞.3.3	V(3.4.∞.4)	V (∞.6)

(∞ ∞ 4)

Идеал группа треугольников, группа Кокстера [(∞, ∞, 4)], орбифолд (* ∞∞4) содержит эти равномерные мозаики.

Паракомпактные гиперболические равномерные мозаики в семействе [(∞, ∞, 4)] [ v ]
Симметрия: [(∞, ∞, 4)], (* ∞∞4)



(∞, ∞, 4). h {8, ∞}	t0,1 (∞, ∞, 4). div class="ht"{8, ∞}	t1(∞, ∞, 4). {∞, 8}	t1,2 (∞, ∞, 4). div class="ht"{∞, 8}	t2(∞, ∞, 4). h {8, ∞}	t0,2 (∞, ∞, 4). r {∞, 8}	t0,1,2 (∞, ∞, 4). t {∞, 8}
Двойные мозаики

V(4.∞)	V∞.∞.∞.4	V∞	V∞.∞.∞.4	V (4.∞)	V∞.∞.∞.4	V∞.∞.8
Чередование
[(1, ∞, ∞, 4)]. (* 2∞∞∞)	[(∞, ∞, 4)]. (∞ * 2∞)	[(∞, 1, ∞, 4)]. (* 2∞∞∞)	[(∞, ∞, 4)]. (∞ * 2∞)	[(∞, ∞, 1,4)]. (* 2∞∞ ∞)	[(∞, ∞, 4)]. (2 * ∞∞)	[(∞, ∞, 4)]. (4∞∞)



Двойное чередование

V∞	V∞.4	V(∞.4)	V∞.4	V∞	V∞.4	V3.∞. 3.∞.3.4

(∞ ∞ ∞)

Идеальная (∞ ∞ ∞) треугольная группа, группа Кокстера [ (∞, ∞, ∞)], орбифолд (* ∞∞∞) содержит эти равномерные мозаики.

Паракомпактные равномерные мозаики в семействе [(∞, ∞, ∞)] [ v ]



(∞,∞,∞). h {∞, ∞}	r (∞, ∞, ∞). div class="ht"{∞, ∞}	(∞,∞,∞). h {∞, ∞}	r (∞, ∞, ∞). div class="ht"{∞, ∞}	(∞, ∞, ∞). h {∞, ∞}	r(∞,∞,∞). r {∞, ∞}	t (∞, ∞, ∞). t {∞, ∞}
Двойные мозаики

V∞	V∞.∞.∞.∞	V∞	V∞.∞.∞.∞	V∞	V∞. ∞.∞.∞	V∞.∞.∞
Чередование
[(1, ∞, ∞, ∞)]. (* ∞∞∞∞)	[∞, ∞, ∞)]. (∞ * ∞)	[∞, 1, ∞, ∞)]. (* ∞∞∞∞)	[ ∞, ∞, ∞)]. (∞ * ∞)	[(∞, ∞, ∞, 1)]. (* ∞∞∞∞)	[( ∞, ∞, ∞)]. (∞ * ∞)	[∞, ∞, ∞)]. (∞∞∞)


Чередование двойников

V (∞.∞)	V (∞.4)	V (∞.∞)	V (∞.4)	V (∞.∞)	V (∞.4)	V3.∞.3.∞.3.∞

Сводка мозаик с бесконечными треугольными фундаментальными областями

Для таблицы всего равномерные гиперболические мозаики с фундаментальными областями (pqr), где 2 ≤ p, q, r ≤ 8 и один или несколько при ∞.

Бесконечные треугольные гиперболические мозаики [ v ]
(pqr)	t0	h0	t01	h01	t1	h1	t12	h12	t2	div class="ht"	t02	h02	t012	s
. (∞ 3 2)	t0{∞, 3}. . ∞	h0{∞, 3}. (3.∞)	t01{∞, 3}. . ∞.3.∞		t1{∞, 3}. . (3.∞)		t12{∞, 3}. . 6.∞.6	h12{∞, 3}. 3.3.3.∞.3.3	t2{∞, 3}. . 3		t02{∞, 3}. . 3.4.∞.4		t012 {∞, 3}. . 4.6.∞	s {∞, 3}. 3.3.3.3.∞
. (∞ 4 2)	t0{∞, 4}. . ∞	h0{∞, 4}. (4.∞)	t01{ ∞, 4}. . ∞.4.∞	h01{∞, 4}. 3.∞.3.3.∞	t1{∞, 4}. . (4.∞)	h1{ ∞, 4}. (4.4.∞)	t12{∞, 4}. . 8.∞.8	h12{∞, 4}. 3.4.3.∞.3.4	t2{ ∞, 4}. . 4	div class="ht"{∞, 4}. ∞	t02{∞, 4}. . 4.4.∞.4	h02{∞, 4}. 4.4.4.∞.4	t012 {∞,4}. . 4.8.∞	s{∞,4}. 3.3.4.3.∞
. (∞ 5 2)	t0{∞, 5}. . ∞	h0{∞, 5}. (5.∞)	. . ∞.5.∞		t1{∞, 5}. . (5.∞)		. . 10.∞.10	h12{∞, 5}. 3.5.3.∞.3.5	t2{∞, 5}. . 5		. . 5.4.∞.4		. . 4.10.∞	. 3.3.5. 3.∞
. (∞ 6 2)	t0{∞, 6}. . ∞	h0{∞, 6}. (6.∞)	. . ∞.6.∞	h01{∞, 6 }. 3.∞.3.3.3.∞	. . (6.∞)	h1{∞, 6}. (4.3.4.∞)	. . 12.∞.12	h12{∞, 6}. 3.6.3.∞.3.6	t2{∞, 6}. . 6	div class="ht"{∞, 6}. (∞.3)	. . 6.4.∞.4	h02{∞, 6}. 4.3.4.4.∞.4	. . 4.12.∞	. 3.3.6.3.∞
. (∞ 7 2)	. . ∞	h0{∞, 7}. (7.∞)	. . ∞.7.∞		. . (7.∞)		. . 14.∞.14	h12{∞, 7}. 3.7.3.∞.3.7	. . 7		. . 7.4. ∞.4		. . 4.14.∞	. 3.3.7.3.∞
. (∞ 8 2)	. . ∞	h0{∞, 8}. (8.∞)	. . ∞.8.∞	h01{∞, 8}. 3.∞.3.4.3.∞	. . (8.∞)	h1{∞, 8}. (4.4.4.∞)	. . 16. ∞.16	h12{∞, 8}. 3.8.3.∞.3.8	. . 8	div class="ht"{∞, 8}. (∞.4)	. . 8.4.∞.4	h02{∞, 8}. 4.4.4.4.∞.4	. . 4.16.∞	. 3.3.8.3.∞
. (∞ ∞ 2)	t0{∞, ∞}. . ∞	h0{∞, ∞ }. (∞.∞)	. . ∞.∞.∞	h01{∞, ∞}. 3.∞.3.∞.3.∞	. . ∞	h1{∞, ∞}. (4.∞)	. . ∞.∞.∞	h12{∞, ∞}. 3.∞.3.∞.3.∞	t2{∞, ∞}. . ∞	div class="ht"{∞, ∞ }. (∞.∞)	. . (∞.4)	h02{∞, ∞}. (4.∞.4)	t012 {∞, ∞}. . 4.∞.∞	s {∞, ∞}. 3.3.∞.3.∞
. (∞ 3 3)	t0(∞, 3,3). . (∞.3)		t01(∞, 3,3). . (3.∞)		t1(∞, 3,3). . (3.∞)		t12(∞, 3,3). . 3.6.∞.6		t2(∞, 3,3). . 3		t02(∞, 3,3). . 3.6.∞.6		t012 (∞, 3,3). . 6.6.∞	s (∞, 3,3). 3.3.3.3.3.∞
. (∞ 4 3)	t0(∞, 4,3). . (∞.3)		t01(∞, 4,3). . 3.∞. 4.∞		t1(∞, 4,3). . (4.∞)	h1(∞, 4,3). (6.6.∞)	t12(∞, 4,3). . 3.8.∞.8		t2(∞, 4,3). . (4.3)		t02(∞, 4,3). . 4.6.∞.6	h02(∞, 4,3). 4.4.3.4.∞.4.3	t012 (∞, 4,3). . 6.8.∞	s (∞, 4,3). 3.3. 3.4.3.∞
. (∞ 5 3)	t0(∞, 5,3). . (∞.3)		t01(∞, 5,3). . 3.∞.5. ∞		t1(∞, 5,3). . (5.∞)		t12(∞, 5,3). . 3.10.∞.10		t2(∞, 5,3). . (5.3)		t02(∞, 5,3). . 5.6.∞.6		t012 (∞, 5,3). . 6.10.∞	s (∞, 5,3). 3.3.3.5.3.∞
. (∞ 6 3)	t0(∞, 6,3). . (∞.3)		t01(∞, 6,3). . 3.∞.6.∞		t1(∞, 6,3). . (6.∞)	h1(∞, 6,3). (6.3.6.∞)	t12(∞, 6,3). . 3.12.∞.12		t2(∞, 6,3). . (6.3)		t02(∞, 6,3). . 6.6.∞. 6	h02(∞, 6,3). 4.3.4.3.4.∞.4.3	t012 (∞, 6,3). . 6.12.∞	с (∞, 6,3). 3.3.3.6.3.∞
. (∞ 7 3)	t0(∞, 7,3). . (∞.3)		t01(∞, 7,3). . 3.∞.7.∞		t1(∞, 7,3). . (7.∞)		t12(∞, 7,3). . 3.14.∞.14		t2(∞, 7,3). . (7.3)		t02(∞, 7,3). . 7.6.∞.6		t012(∞,7,3). . 6.14.∞	s (∞, 7,3). 3.3.3.7.3.∞
. (∞ 8 3)	t0(∞, 8,3). . (∞.3)		t01(∞, 8,3). . 3.∞.8.∞		t1(∞, 8,3). . (8.∞)	h1(∞, 8,3). (6.4.6.∞)	t12(∞, 8,3). . 3,16.∞.16		t2(∞, 8,3). . (8.3)		t02(∞, 8,3). . 8.6.∞.6	h02(∞, 8,3). 4.4.4.3.4.∞.4.3	t012 (∞, 8,3). . 6.16.∞	s (∞, 8,3). 3.3.3.8.3.∞
. (∞ ∞ 3)	t0(∞, ∞, 3). . (∞.3)		t01(∞, ∞, 3). . 3.∞.∞.∞		t1(∞, ∞, 3). . ∞	h1(∞, ∞, 3). (6.∞)	t12(∞, ∞, 3). . 3.∞.∞.∞		t2(∞, ∞, 3). . (∞.3)		t02(∞, ∞, 3). . (∞.6)	h02(∞, ∞, 3). (4. ∞.4.3)	t012 (∞, ∞, 3). . 6.∞.∞	s (∞, ∞, 3). 3.3.3.∞.3.∞
. (∞ 4 4)	t0(∞, 4,4). . (∞.4)	h0(∞, 4,4). (8.∞.8)	t01(∞, 4,4). . (4.∞)	h01(∞, 4,4). (4.4.∞)	t1(∞, 4,4). . (4. ∞)	h1(∞, 4,4). (8.8.∞)	t12(∞, 4,4). . 4.8.∞.8	h12(∞, 4, 4). 4.4.4.4.∞.4.4	t2(∞, 4,4). . 4	div class="ht"(∞, 4,4). ∞	t02(∞, 4,4). . 4.8.∞.8	h02(∞,4,4). 4.4.4.4.∞.4.4	t012(∞,4,4). . 8.8.∞	s (∞, 4,4). 3.4.3.4.3.∞
. (∞ 5 4)	t0(∞, 5,4). . (∞.4)	h0(∞, 5,4). (10.∞.10)	t01(∞, 5,4). . 4.∞.5.∞		t1(∞, 5,4). . (5.∞)		t12(∞, 5,4). . 4.10.∞.10	h12(∞, 5,4). 4.4.5.4.∞.4.5	t2(∞, 5,4). . ( 5.4)		t02(∞, 5,4). . 5.8.∞.8		t012 (∞, 5,4). . 8.10.∞	s (∞, 5,4). 3.4.3.5.3.∞
. (∞ 6 4)	t0(∞, 6,4). . (∞.4)	h0(∞, 6,4). (12.∞.12)	t01(∞, 6,4). . 4.∞.6.∞	h01(∞, 6,4). 4.4.∞.4.3.4.∞	t1(∞, 6,4). . (6.∞)	h1(∞, 6,4). (8.3.8.∞)	t12(∞, 6,4). . 4.12.∞.12	h12(∞, 6,4). 4.4.6.4.∞.4.6	t2(∞, 6,4). . (6.4)	div class="ht"(∞, 6,4). (∞.3.∞)	t02(∞, 6,4). . 6.8.∞.8	h02(∞, 6,4). 4.3.4.4.4.∞.4.4	t012 (∞, 6,4). . 8.12.∞	s (∞, 6,4). 3.4.3.6.3.∞
. (∞ 7 4)	t0(∞, 7,4). . (∞.4)	h0(∞, 7,4). (14.∞.14)	t01(∞, 7,4). . 4.∞.7.∞		t1(∞, 7,4). . (7.∞)		t12(∞, 7,4). . 4.14.∞.14	h12(∞, 7,4). 4.4.7.4.∞.4.7	t2(∞, 7,4). . (7,4)		t02(∞, 7,4). . 7.8.∞.8		t012 (∞, 7,4). . 8.14.∞	s (∞, 7,4). 3.4.3.7.3.∞
. (∞ 8 4)	t0(∞, 8,4). . (∞.4)	h0(∞, 8,4). (16.∞.16)	t01(∞, 8,4). . 4.∞.8.∞	h01(∞, 8,4). 4.4.∞.4.4.4.∞	t1(∞, 8,4). . (8.∞)	h1(∞, 8,4). (8.4.8.∞)	t12(∞, 8,4). . 4.16.∞.16	h12(∞, 8,4). 4.4.8.4.∞.4.8	t2(∞, 8,4). . (8.4)	div class="ht"(∞, 8,4). (∞.4.∞)	t02(∞, 8,4). . 8.8.∞.8	h02(∞, 8,4). 4.4.4.4.4.∞.4.4	t012 (∞, 8,4). . 8.16.∞	s (∞, 8,4). 3.4.3.8.3.∞
. (∞ ∞ 4)	t0(∞, ∞, 4). . (∞.4)	h0(∞, ∞, 4). (∞.∞.∞)	t01(∞, ∞, 4). . 4.∞.∞.∞	h01(∞, ∞, 4). 4.4.∞.4.∞.4.∞	t1(∞, ∞, 4). . ∞	h1(∞, ∞, 4). (8.∞)	t12(∞, ∞, 4). . 4.∞.∞.∞	h12(∞, ∞, 4). 4.4.∞.4.∞.4.∞	t2(∞, ∞, 4). . (∞.4)	div class="ht"(∞, ∞, 4). (∞.∞.∞)	t02(∞, ∞, 4). . (∞.8)	h02(∞, ∞, 4). (4.∞.4.4)	t012 (∞, ∞, 4). . 8.∞.∞	s (∞, ∞, 4). 3.4.3.∞.3.∞
. (∞ 5 5)	t0(∞, 5,5). . (∞.5)		t01(∞, 5,5). . (5.∞)		t1(∞, 5, 5). . (5.∞)		t12(∞, 5,5). . 5.10.∞.10		t2(∞, 5,5). . 5		t02(∞, 5,5). . 5.10.∞.10		t012 (∞, 5,5). . 10.10.∞	s (∞, 5,5). 3.5.3.5.3. ∞
. (∞ 6 5)	t0(∞, 6,5). . (∞.5)		t01(∞, 6,5). . 5.∞.6.∞		t1(∞, 6,5). . (6.∞)	h1(∞, 6,5). (10.3.10.∞)	t12(∞, 6,5). . 5.12. ∞.12		t2(∞, 6,5). . (6.5)		t02(∞, 6,5). . 6.10.∞.10	h02(∞, 6,5). 4.3.4.5.4.∞.4.5	t012 (∞, 6,5). . 10.12.∞	s (∞, 6,5). 3.5.3.6. 3.∞
. (∞ 7 5)	t0(∞, 7,5). . (∞.5)		t01(∞, 7,5). . 5.∞.7.∞		t1(∞, 7,5). . (7.∞)		t12(∞, 7,5). . 5.14.∞.14		t2(∞, 7,5). . (7.5)		t02(∞, 7,5). . 7.10.∞.10		t012 (∞, 7,5). . 10.14.∞	s (∞, 7, 5). 3.5.3.7.3.∞
. (∞ 8 5)	t0(∞, 8,5). . (∞.5)		t01(∞, 8,5). . 5.∞.8.∞		t1(∞, 8,5). . (8.∞)	h1(∞, 8,5). (10.4.10.∞)	t12(∞, 8,5). . 5.16.∞.16		t2(∞, 8,5). . (8.5)		t02(∞, 8,5). . 8.10.∞.10	h02(∞, 8,5). 4.4.4.5.4.∞.4.5	t012 (∞, 8,5). . 10.16.∞	s (∞, 8,5). 3.5.3.8.3.∞
. ( ∞ ∞ 5)	t0(∞, ∞, 5). . (∞.5)		t01(∞, ∞, 5). . 5.∞.∞.∞		t1(∞, ∞, 5). . ∞	h1(∞, ∞, 5). (10.∞)	t12(∞, ∞, 5). . 5.∞.∞.∞		t2(∞, ∞, 5). . (∞.5)		t02(∞, ∞, 5). . (∞.10)	h02(∞, ∞, 5). (4.∞.4.5)	t012 (∞,∞,5). . 10.∞.∞	s (∞, ∞, 5). 3.5.3.∞.3.∞
. (∞ 6 6)	t0(∞, 6,6). . (∞.6)	h0(∞, 6,6). (12.∞.12.3)	t01(∞, 6,6). . (6.∞)	h01(∞, 6,6). (4.3.4.∞)	t1(∞, 6,6). . (6.∞)	h1( ∞, 6,6). (12.3.12.∞)	t12(∞, 6,6). . 6.12.∞.12	h12(∞, 6,6). 4.3.4.6.4.∞.4.6	t2(∞, 6,6). . 6	div class="ht"(∞, 6,6). (∞.3)	t02(∞, 6,6). . 6.12.∞.12	h02(∞, 6,6). 4.3.4.6.4.∞.4.6	t012 (∞, 6,6). . 12.12.∞	s (∞, 6,6). 3.6.3.6.3.∞
. (∞ 7 6)	t0(∞, 7,6). . (∞.6)	h0(∞, 7,6). (14.∞.14.3)	t01(∞, 7,6). . 6.∞.7.∞		t1(∞, 7,6). . (7. ∞)		t12(∞, 7,6). . 6.14.∞.14	h12(∞, 7,6). 4.3.4.7.4.∞.4.7	t2(∞, 7, 6). . (7,6)		t02(∞, 7,6). . 7.12.∞.12		t012 (∞, 7,6). . 12.14.∞	s (∞, 7,6). 3.6.3.7.3.∞
. (∞ 8 6)	t0(∞, 8,6). . (∞.6)	h0(∞, 8,6). (16.∞.16.3)	t01(∞, 8,6). . 6.∞.8.∞	h01(∞, 8,6). 4.3.4.∞.4.4.4.∞	t1(∞, 8,6). . (8.∞)	h1(∞, 8,6). (12.4.12.∞)	t12(∞, 8,6). . 6.16.∞.16	h12(∞, 8,6). 4.3.4.8.4.∞.4.8	t2(∞, 8,6). . (8.6)	div class="ht"(∞, 8,6). (∞.4.∞.3)	t02(∞, 8,6). . 8.12.∞.12	h02(∞, 8,6). 4.4.4.6.4.∞.4.6	t012 (∞, 8,6). . 12.16.∞	s (∞, 8,6). 3.6.3.8.3.∞
. (∞ ∞ 6)	t0(∞, ∞, 6). . (∞.6)	h0(∞, ∞, 6). (∞.∞.∞.3)	t01(∞, ∞, 6). . 6.∞.∞.∞	h01(∞, ∞, 6). 4.3.4.∞.4.∞.4.∞	t1(∞, ∞, 6). . ∞	h1(∞, ∞, 6). (12.∞)	t12(∞, ∞, 6). . 6.∞.∞.∞	h12(∞, ∞, 6). 4.3.4.∞.4.∞.4.∞	t2(∞, ∞, 6). . (∞.6)	div class="ht"(∞, ∞, 6). (∞.∞.∞.3)	t02(∞, ∞, 6). . (∞.12)	h02(∞, ∞, 6). (4.∞.4.6)	t012 (∞, ∞, 6). . 12.∞.∞	s (∞, ∞, 6). 3.6.3.∞.3.∞
. (∞ 7 7)	t0(∞, 7,7). . (∞.7)		t01(∞, 7,7). . (7.∞)		t1(∞, 7,7). . (7.∞)		t12(∞, 7,7). . 7.14.∞.14		t2(∞, 7,7). . 7		t02(∞, 7,7). . 7.14.∞.14		t012 (∞, 7,7). . 14.14.∞	s (∞, 7,7). 3.7.3.7.3.∞
. (∞ 8 7)	t0(∞, 8,7). . (∞.7)		t01(∞, 8,7). . 7.∞.8.∞		t1(∞, 8,7). . (8.∞)	h1(∞, 8, 7). (14.4.14.∞)	t12(∞, 8,7). . 7.16.∞.16		t2(∞, 8,7). . (8.7)		t02(∞, 8,7). . 8.14.∞.14	h02(∞, 8,7). 4.4.4.7.4.∞.4.7	t012 (∞, 8,7). . 14.16.∞	s (∞, 8,7). 3.7.3.8.3.∞
. (∞ ∞ 7)	t0(∞, ∞, 7). . (∞.7)		t01(∞, ∞, 7). . 7.∞.∞.∞		t1(∞, ∞, 7). . ∞	h1(∞, ∞, 7). (14.∞)	t12(∞, ∞, 7). . 7.∞.∞.∞		t2(∞, ∞, 7). . (∞.7)		t02(∞, ∞, 7). . (∞.14)	h02(∞, ∞, 7). (4.∞.4.7)	t012 (∞, ∞, 7). . 14. ∞.∞	s (∞, ∞, 7). 3.7.3.∞.3.∞
. (∞ 8 8)	t0(∞, 8,8). . (∞.8)	h0(∞, 8,8). (16.∞.16.4)	t01(∞, 8,8). . (8.∞)	h01(∞, 8, 8). (4.4.4.∞)	t1(∞, 8,8). . (8.∞)	h1(∞, 8,8). (16.4.16.∞)	t12(∞, 8,8). . 8.16.∞.16	h12(∞, 8,8). 4.4.4.8.4.∞.4.8	t2(∞, 8,8). . 8	div class="ht"(∞, 8,8). (∞.4)	t02(∞, 8,8). . 8.16.∞.16	h02(∞, 8,8). 4.4.4.8.4.∞.4.8	t012 (∞, 8,8). . 16.16.∞	s (∞, 8,8). 3.8.3.8.3.∞
. (∞ ∞ 8)	t0(∞, ∞, 8). . (∞.8)	h0(∞, ∞, 8). (∞.∞.∞.4)	t01(∞, ∞, 8). . 8.∞.∞.∞	h01(∞, ∞, 8). 4.4.4.∞.4.∞.4.∞	t1(∞, ∞, 8). . ∞	h1(∞, ∞, 8). (16.∞)	t12(∞, ∞, 8). . 8.∞.∞.∞	h12(∞, ∞, 8). 4.4.4.∞.4.∞.4.∞	t2(∞, ∞, 8). . (∞.8)	div class="ht"(∞, ∞, 8). (∞.∞.∞.4)	t02(∞, ∞, 8). . (∞.16)	h02(∞, ∞, 8). (4.∞.4.8)	t012 (∞, ∞, 8). . 16.∞.∞	s (∞, ∞, 8). 3.8.3.∞.3.∞
. (∞ ∞ ∞)	t0(∞, ∞, ∞). . ∞	h0(∞, ∞, ∞). (∞. ∞)	t01(∞, ∞, ∞). . (∞.∞)	h01(∞, ∞, ∞). (4.∞.4.∞)	t1(∞, ∞, ∞). . ∞	h1(∞, ∞, ∞). (∞.∞)	t12(∞, ∞, ∞). . (∞.∞)	h12(∞, ∞, ∞). (4.∞.4.∞)	t2(∞, ∞, ∞). . ∞	div class="ht"(∞, ∞, ∞). (∞.∞)	t02(∞, ∞, ∞). . (∞.∞)	h02(∞, ∞, ∞). (4.∞.4.∞)	t012 (∞, ∞, ∞). . ∞	s (∞, ∞, ∞). (3.∞)