Тетраэдрическая симметрия

редактировать

Группа трехмерной симметрии

Точечные группы в трех измерениях
Полиэдральная группа, [n, 3], (* n32)
. Инволюционная симметрия. Cs, (*). [ ] =	. Циклическая симметрия. Cnv, (* nn). [n] =	. Диэдральная симметрия. Dnh, (* n22). [n, 2] =
. Тетраэдрическая симметрия. Td, (* 332). [3,3] =	. Октаэдрическая симметрия. Oh, (* 432). [4,3] =	. Икосаэдрическая симметрия. Ih, (* 532). [5,3] =

Правильный тетраэдр, пример твердого тела с полным тетраэдром симметрия

Правильный тетраэдр имеет 12 вращательных (или сохраняющих ориентацию ) симметрий и порядок симметрии, равный 24, включая преобразования, объединяющие отражение и вращение.

Группа всех симметрий изоморфна группе S 4, симметрической группе перестановок четырех объектов, поскольку существует ровно одна такая симметрия для каждой перестановки вершин тетраэдра. Набор сохраняющих ориентацию симметрий образует группу, называемую альтернирующей подгруппой A4в S 4.

Содержание

1 Подробности
2 Киральная тетраэдрическая симметрия
- 2.1 Подгруппы киральной тетраэдрической симметрии
3 Ахиральная тетраэдрическая симметрия
- 3.1 Подгруппы ахиральной тетраэдрической симметрии
4 Пиритоэдрическая симметрия
- 4.1 Подгруппы пиритоэдрической симметрии
5 Твердые тела с хиральной тетраэдрической симметрией
6 Твердые тела с полной тетраэдрической симметрией
7 См. Также
8 Ссылки
9 Внешние ссылки

Подробности

Хиральная и полная (или ахиральная тетраэдрическая симметрия и пиритоэдрическая симметрия ) - это дискретные точечные симметрии (или, эквивалентно, симметрии на сфере ). Они входят в точечные кристаллографические группы в кубической кристаллической системе.

оси вращения
C3.	C3.	C2.
2	2	3

.. Видны в стереографической проекции края тетракис-гексаэдра Сформируйте 6 окружностей (или радиальных линий по центру) на плоскости. Каждая из этих 6 окружностей представляет собой зеркальную линию с тетраэдрической симметрией. Пересечение этих окружностей пересекается в точках вращения 2 и 3 порядка.

Ортогональные	Стереографические проекции
Ортогональные	4-кратные	3-кратные	2-кратные
Хиральная тетраэдрическая симметрия, T, (332), [ 3,3] = [1,4,3], =

Пиритоэдрическая симметрия, T h, (3 * 2), [4,3],

Ахиральная тетраэдрическая симметрия, T d, (* 332), [3,3] = [14,3], =

Хиральная тетраэдрическая симметрия

. Тетраэдрическая группа вращения T с фундаментальной областью ; для триакисного тетраэдра, см. ниже, последний представляет собой один полнолицевой

. A тетраэдр, который может быть размещен в 12 различных положениях одним поворотом. Они проиллюстрированы выше в формате графа цикла вместе с поворотом на 180 ° (синие стрелки) и вершиной 120 ° (красные стрелки) ,, которые переставляют тетраэдр через эти позиции.

. В тетракис-гексаэдре одна полная грань является фундаментальной областью; другие твердые тела с такой же симметрией можно получить, регулируя ориентацию граней, например сглаживание выбранных подмножеств граней для объединения каждого подмножества в одну грань, или замена каждой грани несколькими гранями, или криволинейная поверхность.

T, 332, [3,3] или 23, порядка 12 - хиральная или вращательная тетраэдрическая симметрия . Имеются три ортогональные оси 2-го порядка вращения, такие как хиральная двугранная симметрия D2или 222, с дополнительно четырьмя осями 3-го порядка, центрированными между тремя ортогональными направлениями. Эта группа изоморфна A 4, чередующейся группе на 4 элементах; фактически это группа четных перестановок четырех осей 3-го порядка: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), ( 234), (243), (12) (34), (13) (24), (14) (23).

Классы сопряженности T:

идентичность
4-кратное вращение на 120 ° по часовой стрелке (если смотреть из вершины): (234), (143), (412), (321)
4 × поворот на 120 ° против часовой стрелки (то же самое)
3 × поворот на 180 °

Повороты на 180 ° вместе с идентичностью, образуют нормальную подгруппу типа Dih 2 с факторгруппой типа Z 3. Три элемента последнего - это идентичность, «вращение по часовой стрелке» и «вращение против часовой стрелки», соответствующие перестановкам трех ортогональных осей 2-го порядка с сохранением ориентации.

A4- наименьшая группа, демонстрирующая, что обратное к теореме Лагранжа в общем случае неверно: для конечной группы G и делителя d числа | G | не обязательно существует подгруппа группы G с порядок d: группа G = A 4 не имеет подгруппы порядка 6. Хотя это свойство абстрактной группы в целом, это ясно из группы изометрий киральной тетраэдрической симметрии: из-за киральности подгруппа должна быть C 6 или D 3, но ни то, ни другое не применяется.

Подгруппы хиральной тетраэдрической симметрии

Хиральные тетраэдрические подгруппы симметрии

Schoe.	Coxeter		Orb.	HM	Генераторы	Структура	Заказ	Индекс
T	[3,3]	=	332	23	2	A4	12	1
D2	[2,2]	=	222	222	3	Дих 2	4	3
C3	[3]		33	3	1	Z3	3	4
C2	[2]		22	2	1	Z2	2	6
C1	[]		11	1	1	Z1	1	12

Ахиральная тетраэдрическая симметрия

Полная тетраэдрическая группа T d с фундаментальной областью

Td, * 332, [3,3] или 43m порядка 24 - ахиральная или полная тетраэдрическая симметрия, также известная как (2,3,3) треугольная группа. Эта группа имеет те же оси вращения, что и T, но с шестью зеркальными плоскостями, каждая из которых проходит через две оси 3-го порядка. Двукратные оси теперь являются осями S 4 (4). T d и O изоморфны как абстрактные группы: они оба соответствуют S 4, симметричной группе на 4 объектах. T d - это объединение T и набора, полученного объединением каждого элемента O \ T с инверсией. См. Также изометрии правильного тетраэдра.

. Классы сопряженности для T d :

идентичность
8-кратное вращение на 120 ° (C 3)
3 × поворот на 180 ° (C 2)
6 × отражение в плоскости через две оси вращения (C s)
6 × поворотное отражение на 90 ° (S 4)

Подгруппы ахиральной тетраэдрической симметрии

Ахиральные тетраэдрические подгруппы

Schoe.	Coxeter	Orb.	HM	Генераторы	Структура	Order	Index
Td	[3,3]	* 332	43м	3	S4	24	1
C3v	[3]	* 33	3m	2	Dih 3=S3	6	4
C2v	[2]	* 22	мм2	2	Dih 2	4	6
Cs	[]	*	2 или m	1	Z2= Dih 1	2	12
D2d	[2,4◦	2*2	42m	2	Dih 4	8	3
S4	[2,4 ]	2×	4	1	Z4	4	6
T	[3,3]	332	23	2	A4	12	2
D2	[2,2]	222	222	2	Dih 2	4	6
C3	[3]	33	3	1	Z3= A 3	3	8
C2	[2]	22	2	1	Z2	2	12
C1	[]	11	1	1	Z1	1	24

Пиритоэдрическая симметрия

Группа пиритоэдра T h с фундаментальной областью

Швы волейбольного мяча имеют пиритоэдрическую симметрию

Th, 3 * 2, [4,3] или m3, порядка 24 - пиритоэдрическую симметрию . Эта группа имеет одинаковое вращение n осей как T, с зеркальными плоскостями через два ортогональных направления. Оси 3-го порядка теперь являются осями S6 (3), и имеется центральная инверсионная симметрия. T h изоморфен T × Z 2 : каждый элемент T h является либо элементом T, либо элементом, объединенным с инверсией. Помимо этих двух нормальных подгрупп, существует также нормальная подгруппа D 2h (подгруппа кубоида ) типа Dih 2 × Z 2 = Z 2 × Z 2 × Z 2. Это прямое произведение нормальной подгруппы группы T (см. Выше) на Ci. Факторная группа такая же, как указано выше: типа Z 3. Три элемента последнего - это идентичность, «вращение по часовой стрелке» и «вращение против часовой стрелки», соответствующие перестановкам трех ортогональных осей 2-го порядка с сохранением ориентации.

Это симметрия куба с отрезком на каждой грани, разделяющим грань на два равных прямоугольника, так что отрезки смежных граней не пересекаются на краях. Симметрии соответствуют четным перестановкам диагоналей тела и совмещены с инверсией. Это также симметрия пиритоэдра, который очень похож на описанный куб, в котором каждый прямоугольник заменен пятиугольником с одной осью симметрии, 4 равными сторонами и 1 другой стороной (той, которая соответствует линии отрезок, разделяющий грань куба); т.е. грани куба на разделительной линии выпирают и сужаются там. Это подгруппа полной группы икосаэдрической симметрии (как группа изометрии, а не только как абстрактная группа) с 4 из 10 3-кратных осей.

Классы сопряженности T h включают в себя классы T, с двумя объединенными классами по 4, и каждый с инверсией:

идентичность
8-кратное вращение на 120 ° (C 3)
3 × поворот на 180 ° (C 2)
инверсия (S 2)
8 × вращательное отражение на 60 ° (S 6)
3 × отражение в плоскости) (C s)

Подгруппы пиритоэдрической симметрии

Пиритоэдрические подгруппы

Schoe.	Coxeter	Orb.	HM	Генераторы	Структура	Order	Index
Th	[3,4 ]	3 * 2	m3	2	A4×2	24	1
D2h	[2,2]	* 222	ммм	3	Dih 2 × Dih 1	8	3
C2v	[2]	* 22	мм2	2	Dih 2	4	6
Cs	[]	*	2 или м	1	Dih 1	2	12
C2h	[2,2]	2*	2 / м	2	Z2× Dih 1	4	6
S2	[2,2]	×	1	1	2 или Z 2	2	12
T	[3,3]	332	23	2	A4	12	2
D3	[2,3]	322	3	2	Dih 3	6	4
D2	[ 2,2]	222	222	3	Dih 4	4	6
C3	[3]	33	3	1	Z3	3	8
C2	[2]	22	2	1	Z2	2	12
C1	[]	11	1	1	Z1	1	24

Твердые тела с хиральной тетраэдрическая симметрия

Икосаэдр, окрашенный как курносый тетраэдр, имеет хиральную симметрию.

Твердые тела с полной тетраэдрической симметрией

Класс	Название	Лицо s	Ребра	Вершины
Платоново твердое тело	тетраэдр	4	6	4
Архимедово твердое тело	усеченный тетраэдр	8	18	12
Каталонское твердое тело	триакис-тетраэдр	12	18	8
Почти пропущенное твердое тело Джонсона	Усеченный триакис тетраэдр	16	42	28
Почти пропущенное твердое тело Джонсона	Четвертый додекаэдр	28	54	28
Однородный звездчатый многогранник	Тетрагемигексаэдр	7	12	6

См. Также

Ссылки

Peter R. Кромвель, Многогранники (1997), стр. 295
Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штрасс, ISBN 978-1-56881-220-5
Калейдоскопы: Избранные труды HSM Кокстер, под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони С. Томпсона, Асии Ивика Вайсс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471- 01003-6 [1]
NW Джонсон : Геометрии и преобразования, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии, 11.5 Сферические группы Кокстера

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик У. «Тетраэдрическая группа». MathWorld.