Обозначение Шенфлиса

Шонфлис (или Schönflies ) нотация, названная в честь немецкого математика Артура Морица Шенфлиса, это нотация, которая в основном используется для указания групп точек в трех измерениях. Поскольку одной точечной группы вполне достаточно для описания симметрии молекулы, обозначения часто достаточно и обычно используются для спектроскопии. Однако в кристаллографии существует дополнительная трансляционная симметрия, и точечных групп недостаточно для описания полной симметрии кристаллов, поэтому полная пространственная группа обычно вместо этого. Именование полных пространственных групп обычно следует другому общепринятому соглашению, нотации Германа – Могена, также известной как международная нотация.

Хотя обозначение Schoenflies без верхних индексов является чисто обозначением группы точек, при желании могут быть добавлены верхние индексы для дальнейшего указания отдельных групп пробелов. Однако для пространственных групп связь с лежащими в основе элементами симметрии гораздо более ясна в обозначениях Германа – Могена, поэтому для пространственных групп обычно предпочтительнее последнее обозначение.

• 1 Элементы симметрии
• 2 Группы точек
• 3 Группы пространств
• 4 См. Также
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки

Элементы симметрии обозначаются i для центров инверсии, C для осей правильного вращения, σ для зеркальных плоскостей и S для неправильных оси вращения (оси вращения-отражения ). За C и S обычно следует нижний индекс (абстрактно обозначается n ), обозначающий возможный порядок вращения.

По соглашению ось собственного вращения наибольшего порядка определяется как главная ось. Все остальные элементы симметрии описываются по отношению к нему. Вертикальная зеркальная плоскость (содержащая главную ось) обозначена σv; горизонтальная зеркальная плоскость (перпендикулярная главной оси) обозначается σh.

В трех измерениях существует бесконечное количество групп точек, но все они могут быть классифицированы по нескольким семействам.

• Cn(для циклический ) имеет n-кратную ось вращения.

• Cnh- это C n с добавлением плоскости зеркала (отражения), перпендикулярной оси вращения ( горизонтальная плоскость).
• Cnv- это C n с добавлением n зеркальных плоскостей, содержащих ось вращения (вертикальные плоскости).

• Csобозначает группу только с зеркальной плоскостью (для Spiegel, немецкий язык для зеркала) и никаких других элементов симметрии.
• S2n(для Spiegel, немецкий для зеркало ) содержит только 2n-кратную ось вращения-отражения. Индекс должен быть четным, потому что, когда n нечетное, ось n-кратного вращения-отражения эквивалентна комбинации n-кратной оси вращения и перпендикулярной плоскости, следовательно, S n = C nh для нечетного числа.
• Cniимеет только ось ротоинверсии. Эти символы являются избыточными, потому что любую ось вращения можно выразить как ось вращения-отражения, следовательно, для нечетных n C ni = S 2n и C 2ni = S n = C nh, а для четного n C 2ni = S 2n. Обычно используется только C i (то есть C 1i), но в некоторых текстах вы можете увидеть такие символы, как C 3i, C 5i.
• Dn(для двугранный, или двусторонний) имеет n-кратную ось вращения плюс n двойных осей, перпендикулярных этой оси.

• Dnh, кроме того, имеет горизонтальную зеркальную плоскость и, как следствие, также n вертикальных зеркальных плоскостей каждая из которых содержит ось n-го порядка и одну из осей двойного порядка.
• Dndимеет, помимо элементов D n, n вертикальных зеркальных плоскостей, которые проходят между осями двойного порядка (диагональные плоскости).

• T (киральная тетраэдрическая группа) имеет оси вращения тетраэдра (три оси 2-го порядка и четыре оси 3-го порядка).

• Tdвключает в себя диагональные зеркальные плоскости (каждая диагональная плоскость содержит только одну двойную оси). ось и проходит между двумя другими осями второго порядка, как в D 2d). Это добавление диагональных плоскостей приводит к трем неправильным операциям вращения. S4.
• Thвключает три горизонтальные зеркальные плоскости. Каждая плоскость содержит две оси второго порядка и перпендикулярна третьей оси второго порядка, в результате чего центр инверсии i.

• O (хиральная октаэдрическая группа) имеет оси вращения октаэдра или куба (три оси 4-го порядка, четыре оси 3-го порядка и шесть диагональных осей 2-го порядка).

• Ohвключает горизонтальные зеркальные плоскости и, как следствие, вертикальные зеркальные плоскости. Он также содержит центр инверсии и неправильные операции вращения.

• I (хиральная икосаэдрическая группа) указывает, что группа имеет оси вращения икосаэдра или додекаэдра (шесть 5-кратных осей, 10 осей 3-го порядка и 15 осей 2-го порядка).

• Ihвключает горизонтальные зеркальные плоскости, а также содержит центр инверсии и неправильные операции вращения.

Все группы, которые не содержат нескольких осей более высокого порядка (порядок 3 или более) можно расположить в таблице, как показано ниже; символы, отмеченные красным, использовать нельзя.

В кристаллографии из-за теоремы о кристаллографических ограничениях n ограничено значениями 1, 2, 3, 4 или 6. Некристаллографические группы показаны серым фоном. D 4d и D 6d также запрещены, потому что они содержат неправильные вращения с n = 8 и 12 соответственно. 27 точечных групп в таблице плюс T, T d, T h, O и O h составляют 32 кристаллографические точечные группы.

Группы с n = ∞ называются предельными группами или группами Кюри. Есть еще две предельные группы, не перечисленные в таблице: K (для Кугеля, нем. Для шара, сферы), группа всех вращений в 3-мерном пространстве; и K h, группа всех вращений и отражений. В математике и теоретической физике они известны соответственно как специальная ортогональная группа и ортогональная группа в трехмерном пространстве с символами SO (3) и O (3).

Группы пробелов с заданной группой точек нумеруются 1, 2, 3,... (в том же порядке, что и их международный номер) и это число добавляется как надстрочный индекс к символу Шенфлиса для соответствующей группы точек. Например, группы с номерами от 3 до 5, точечная группа которых C 2, имеют символы Шенфлиса C. 2, C. 2, C. 2.

В то время как в случае точечных групп символ Шёнфлиса определяет элементы симметрии группы однозначно, дополнительный верхний индекс для пространственной группы не содержит никакой информации о трансляционной симметрии пространственной группы (центрирование решетки, трансляционные компоненты осей и плоскостей), поэтому необходимо обращаться к специальным таблицам, содержащим информацию о соответствии между Шёнфлисом и Обозначения Германа – Могена. Такая таблица приведена на странице Список пространственных групп.

• Кристаллографическая точечная группа
• Точечные группы в трех измерениях
• Список сферических групп симметрии

• Флурри, Р.Л., Группы симметрии: теория и химические приложения. Prentice-Hall, 1980. ISBN 978-0-13-880013-0 LCCN: 79-18729
• Коттон, Ф.А., Химические приложения теории групп, Джон Wiley Sons: New York, 1990. ISBN 0-471-51094-7
• Харрис, Д., Бертолуччи, М., Симметрия и спектроскопия. New York, Dover Publications, 1989.

• Symmetry @ Otterbein