Чередующаяся группа

редактировать

В математике чередующаяся группа - это группа четных перестановок конечного множества. Чередующаяся группа на множестве из n элементов называется чередующейся группой степени n или чередующейся группой из n букв и обозначается A n или Alt. (п).

Содержание

  • 1 Основные свойства
  • 2 Классы сопряженности
  • 3 Связь с симметричной группой
  • 4 Генераторы и отношения
  • 5 Группа автоморфизмов
  • 6 Исключительные изоморфизмы
  • 7 Примеры S 4 и A 4
  • 8 Пример A 5 как подгруппа 3-пространственных вращений
  • 9 Подгруппы
  • 10 Гомология группы
    • 10,1 H 1 : Абелианизация
    • 10.2 H 2 : Множители Шура
  • 11 Примечания
  • 12 Ссылки
  • 13 Внешние ссылки

Основные свойства

Для n>1, группа A n является коммутаторной подгруппой симметрической группы Snс индексом 2 и, следовательно, имеет n! / 2 элемента. Это ядро ​​ сигнатуры гомоморфизм группы sgn: S n → {1, −1}, объясненное в разделе симметрическая группа.

Группа A n является абелевским тогда и только тогда, когда n ≤ 3 и simple тогда и только тогда, когда n = 3 или n ≥ 5. A 5 - наименьшая неабелева простая группа, имеющая порядок 60, и наименьшая не разрешимая группа.

Группа A 4 имеет четырехгруппа Клейна V как собственная нормальная подгруппа, а именно тождество и двойные транспозиции {(), (12) (34), (13) (24), ( 14) (23)}, то есть ядро ​​сюръекции A 4 на A 3 = C 3. У нас есть точная последовательность V → A 4 → A 3 = C 3. В теории Галуа это отображение, или, скорее, соответствующее отображение S 4 → S 3, соответствует связыванию резольвенты Лагранжа кубики с квартика, которая позволяет решать полином четвертой степени с помощью радикалов, как установлено Лодовико Феррари.

Классы сопряженности

Как в симметрической группе, любые два элемента A n, которые сопряжены элементом A n, должны иметь одинаковую форму цикла. Однако обратное не всегда верно. Если форма цикла состоит только из циклов нечетной длины без двух циклов одинаковой длины, где циклы длины один включены в тип цикла, то для этой формы цикла существует ровно два класса сопряженности (Скотт 1987, §11.1, стр.299).

Примеры:

  • Две перестановки (123) и (132) не являются сопряженными в A 3, хотя они имеют одинаковую форму цикла и следовательно, сопряжены в S 3.
  • Перестановка (123) (45678) не сопряжена со своим обратным (132) (48765) в A 8, хотя две перестановки имеют одинаковую форму цикла, поэтому они сопряжено в S 8.

Отношение с симметричной группой

См. Симметричная группа.

Генераторы и отношения

Anгенерируется 3-циклами, поскольку 3-цикла могут быть получены путем объединения пар транспозиций. Этот генераторный набор часто используется для доказательства того, что A n прост для n ≥ 5.

Группа автоморфизмов

n {\ displaystyle n}n Aut ⁡ (A n) {\ displaystyle \ operatorname {Aut} (\ mathrm {A} _ {n})}{\ displaystyle \ operatorname {Aut} (\ mathrm {A} _ {n})} Out ⁡ (A n) {\ displaystyle \ operatorname {Out} (\ mathrm {A} _ {n})}{\ displaystyle \ operatorname {Out} (\ mathrm {A} _ {n})}
n ≥ 4, n ≠ 6 {\ displaystyle n \ geq 4, n \ neq 6}n \ geq 4, n \ neq 6 S n {\ displaystyle \ mathrm {S} _ {n}}\ mathrm {S} _ {n} Z 2 {\ displaystyle \ mathrm {Z} _ {2}}{\ displaystyle \ mathrm {Z} _ {2}}
n = 1, 2 {\ displaystyle n = 1,2}n = 1,2 Z 1 {\ displaystyle \ mathrm {Z} _ {1}}{\ displaystyle \ mathrm {Z} _ {1}} Z 1 {\ displaystyle \ mathrm {Z} _ {1}}{\ displaystyle \ mathrm {Z} _ {1}}
n = 3 {\ displaystyle n = 3}n = 3 Z 2 {\ displaystyle \ mathrm {Z} _ {2}}{\ displaystyle \ mathrm {Z} _ {2}} Z 2 {\ displaystyle \ mathrm {Z} _ {2}}{\ displaystyle \ mathrm {Z} _ {2}}
n = 6 {\ displaystyle n = 6}n = 6 S 6 ⋊ Z 2 {\ displaystyle \ mathrm {S} _ {6} \ rtimes \ mathrm {Z} _ {2}}{\ displaystyle \ mathrm {S} _ {6} \ rtimes \ mathrm {Z} _ { 2}} V = Z 2 × Z 2 {\ displaystyle \ mathrm {V} = \ mathrm {Z} _ {2} \ times \ mathrm {Z} _ {2}}{\ displaystyle \ mathrm {V} = \ mathrm {Z} _ {2} \ times \ mathrm {Z} _ {2}}

Для n>3, за исключением n = 6, группа автоморфизмов группы A n является симметрической группой S n с группой внутренних автоморфизмов Anа также группа внешних автоморфизмов Z2; внешний автоморфизм происходит от сопряжения нечетной перестановкой.

Для n = 1 и 2 группа автоморфизмов тривиальна. Для n = 3 группа автоморфизмов Z 2 с тривиальной группой внутренних автоморфизмов и группой внешних автоморфизмов Z 2.

Группа внешних автоморфизмов A 6 - это четверка Клейна. -группа V = Z 2 × Z 2 и связана с внешним автоморфизмом S 6. Дополнительный внешний автоморфизм в A 6 меняет местами 3-цикла (например, (123)) с элементами формы 3 (например, (123) (456)).

Исключительные изоморфизмы

Есть некоторые исключительные изоморфизмы между некоторыми маленькими альтернированными группами и небольшими группами лиева типа, особенно проективными специальные линейные группы. Это:

Более очевидно, A 3 изоморфна циклической группе Z3, а A 0, A 1 и A 2 являются изоморфна тривиальной группе (которая также является SL 1 (q) = PSL 1 (q) для любого q).

Примеры S 4 и A 4
Таблица Кэли симметричной группы S4.. Нечетные перестановки окрашены:. Перестановки зеленым и 4-циклами оранжевым Таблица Кэли переменной группы A 4. Элементы: четные перестановки (идентичность, восемь 3-циклов и три двойных- транспозиции (двойные транспозиции жирным шрифтом)).. Подгруппы:. четыре группы Клейна . Циклическая группа Z3 Циклическая группа Z3 Циклическая группа Z3 Циклическая группа Z3
Циклические графики
GroupDiagramMiniC3.svg . A3= Z 3 (порядок 3)GroupDiagramMiniA4.svg . A4(порядок 12)GroupDiagramMiniA4xC2.png . A4× Z 2 (порядок 24)
GroupDiagramMiniD6.svg . S3= Dih 3 (порядок 6)Симметричная группа 4; цикл graph.svg . S4(порядок 24)Переменная группа 4; график цикла; подгруппа S4.svg . A4дюйм S 4 слева

Пример A 5 как подгруппа 3-пространственных вращений

A 5 ​​< S O 3 ( R) {\displaystyle A_{5}{\ displaystyle A_ {5} <SO_ {3} (\ mathbb {R})} шар - радиус π - главное однородное пространство SO (3) икосододекаэдр - радиус π - класс сопряженности 2-2-циклов икосаэдр - радиус 4π / 5 - половина раскола класс сопряженности 5-ти циклов додекаэдр - радиус 2π / 3 - класс сопряженности 3-х циклов икосаэдр - радиус 2π / 5 - секундная половина spli t 5-циклов Соединение пяти тетраэдров. 5 {\ displaystyle A_ {5}}A_ { 5} воздействует на додекаэдр, переставляя 5 вписанных тетраэдров. Даже перестановки этих тетраэдров являются в точности симметричными вращениями додекаэдра и характеризуют соответствие A 5 ​​< S O 3 ( R) {\displaystyle A_{5}{\ displaystyle A_ {5} <SO_ {3} (\ mathbb {R})} .

A 5 ​​{\ displaystyle A_ {5}}A_ { 5} - это группа изометрий додекаэдра в 3-м пространстве, поэтому существует представление A 5 ​​→ SO 3 (R) {\ displaystyle A_ {5} \ to SO_ {3} (\ mathbb {R})}{\ displaystyle A_ {5} \ to SO_ {3} (\ mathbb {R})}

На этом рисунке вершины многогранников представляют собой элементы группы, а центр сферы представляет собой единичный элемент. Каждая вершина представляет собой поворот вокруг оси, указывающей от центра к этой вершине, на угол, равный расстоянию от начала координат в радианах. Вершины одного многогранника принадлежат одному классу сопряженности. Поскольку уравнение класса сопряженности для A 5 ​​{\ displaystyle A_ {5}}A_ { 5} равно 1 + 12 + 12 + 15 + 20 = 60, мы получаем четыре различных (нетривиальных) многогранника.

Вершины каждого многогранника находятся в биективном соответствии с элементами его класса сопряженности, за исключением класса сопряженности (2,2) -циклов, который представлен икосододекаэдром на внешней поверхности, со своими противоположными вершинами, отождествленными друг с другом. Причина этой избыточности заключается в том, что соответствующие повороты составляют π {\ displaystyle \ pi}\ pi радиан, и поэтому могут быть представлены вектором длины π {\ displaystyle \ pi}\ pi в любом из двух направлений. Таким образом, класс (2,2) -циклов содержит 15 элементов, а икосододекаэдр имеет 30 вершин.

Два класса сопряженности двенадцати 5-циклов в A 5 ​​{\ displaystyle A_ {5}}A_ { 5} представлены двумя икосаэдрами с радиусами 2 π / 5 {\ displaystyle 2 \ pi / 5}2 \ pi / 5 и 4 π / 5 {\ displaystyle 4 \ pi / 5}4 \ pi / 5 соответственно. Нетривиальный внешний автоморфизм в Out (A 5) ≃ Z 2 {\ displaystyle {\ text {Out}} (A_ {5}) \ simeq Z_ {2}}{\ displaystyle {\ text {Out}} (A_ {5}) \ simeq Z_ {2}} меняет местами эти два класса и соответствующие икосаэдры.

Подгруппы

A4- это наименьшая группа, демонстрирующая, что обратное к теореме Лагранжа в общем случае неверно: для конечной группы G и делителя d числа | G | нет обязательно существует подгруппа группы G с порядком d: группа G = A 4 порядка 12 не имеет подгруппы порядка 6. Подгруппа из трех элементов (порожденная циклическим вращением трех объектов) с любой отдельный нетривиальный элемент порождает всю группу.

Для всех n>4, A n не имеет нетривиальных (то есть собственных) нормальных подгрупп. Таким образом, A n является простой группой для всех n>4. A 5 - наименьшая неразрешимая группа.

Гомология группы

Гомология группы чередующихся групп демонстрирует стабилизацию, как в теория стабильной гомотопии : для достаточно больших n она постоянна. Однако есть некоторые исключительные гомологии малой размерности. Обратите внимание, что гомология симметрической группы демонстрирует аналогичную стабилизацию, но без малоразмерных исключений (дополнительных элементов гомологии).

H1: абелианизация

Первая группа гомологий совпадает с абелианизацией, и (поскольку A n {\ displaystyle \ mathrm {A} _ {n }}{\ mathrm {A}} _ {n} равно идеально, за исключением упомянутых исключений) таким образом:

H 1 (A n, Z) = 0 {\ displaystyle H_ {1} (\ mathrm { A} _ {n}, \ mathrm {Z}) = 0}{\ displaystyle H_ {1} (\ mathrm {A} _ {n}, \ mathrm {Z}) = 0} для n = 0, 1, 2 {\ displaystyle n = 0,1,2}n = 0,1,2 ;
H 1 ( A 3, Z) = A 3 ab = A 3 = Z / 3 {\ Displaystyle H_ {1} (\ mathrm {A} _ {3}, \ mathrm {Z}) = \ mathrm {A} _ {3} ^ {\ текст {ab}} = \ mathrm {A} _ {3} = \ mathrm {Z} / 3}{\ displaystyle H_ {1} (\ mathrm {A} _ {3}, \ mathrm {Z}) = \ mathrm {A} _ {3} ^ {\ text {ab}} = \ mathrm {A} _ {3} = \ mathrm {Z} / 3} ;
H 1 (A 4, Z) = A 4 ​​ab = Z / 3 {\ displaystyle H_ {1} (\ mathrm {A} _ {4}, \ mathrm {Z}) = \ mathrm {A} _ {4} ^ {\ text {ab}} = \ mathrm {Z} / 3}{\ Displaystyle H_ {1} (\ mathrm {A} _ {4}, \ mathrm {Z}) = \ mathrm {A} _ {4} ^ {\ text {ab}} = \ mathrm {Z} / 3 } ;
ЧАС 1 (A n, Z) = 0 {\ displaystyle H_ {1} (\ mathrm {A} _ {n}, \ mathrm {Z}) = 0}{\ displaystyle H_ {1} (\ mathrm {A} _ {n}, \ mathrm {Z}) = 0} для n ≥ 5 {\ displaystyle n \ geq 5}n \ geq 5 .

Это легко увидеть, как показано ниже. A n {\ displaystyle \ mathrm {A} _ {n}}{\ mathrm {A}} _ {n} генерируется 3-циклами, поэтому единственными нетривиальными отображениями абелианизации являются A n → C 3, { \ displaystyle \ mathrm {A} _ {n} \ to \ mathrm {C} _ {3},}{\ mathrm {A}} _ {n} \ to {\ mathrm {C}} _ ​​{3}, , поскольку элементы порядка 3 должны отображаться в элементы порядка 3 - а для n ≥ 5 { \ displaystyle n \ geq 5}n \ geq 5 все 3-циклы сопряжены, поэтому они должны отображаться в один и тот же элемент в абелианизации, поскольку сопряжение тривиально в абелевых группах. Таким образом, 3-цикл, подобный (123), должен отображаться в тот же элемент, что и его обратный (321), но, таким образом, должен отображаться в тождество, так как тогда он должен иметь порядок деления 2 и 3, поэтому абелианизация тривиальна.

Для n < 3 {\displaystyle n<3}n <3 , A n {\ displaystyle \ mathrm {A} _ {n}}{\ mathrm {A}} _ {n} тривиально и, следовательно, имеет тривиальную абелианизацию. Для A 3 {\ displaystyle \ mathrm {A} _ {3}}{\ mathrm {A}} _ {3} и A 4 {\ displaystyle \ mathrm {A} _ {4}}{\ mathrm { A}} _ {4} можно вычислить абелианизацию напрямую, отметив, что 3-циклы образуют два класса сопряженности (а не все сопряжены) и существуют нетривиальные отображения A 3 ↠ C 3 {\ displaystyle \ mathrm {A} _ {3 } \ twoheadrightarrow \ mathrm {C} _ {3}}{\ mathrm {A}} _ {3} \ twoheadrightarrow {\ mathrm {C}} _ ​​{3} (на самом деле изоморфизм) и A 4 ↠ C 3. {\ displaystyle \ mathrm {A} _ {4} \ twoheadrightarrow \ mathrm {C} _ {3}.}{\ mathrm {A}} _ {4} \ twoheadrightarrow {\ mathrm {C}} _ {3}.

H2: множители Шура

множители Шура чередующихся групп A n (в случае, когда n равно по меньшей мере 5) - это циклические группы порядка 2, за исключением случая, когда n равно 6 или 7, и в этом случае также имеется тройное покрытие. В этих случаях множитель Шура (циклическая группа) имеет порядок 6. Впервые они были вычислены в (Schur 1911).

H 2 (A n, Z) = 0 {\ displaystyle H_ {2} (\ mathrm {A} _ {n}, \ mathrm {Z}) = 0}{\ displaystyle H_ {2} (\ mathrm {A} _ {n}, \ mathrm {Z}) = 0} для n = 1, 2, 3 {\ displaystyle n = 1,2,3}n = 1,2,3 ;
H 2 (A n, Z) = Z / 2 {\ displaystyle H_ {2} (\ mathrm {A} _ {n}, \ mathrm {Z}) = \ mathrm {Z} / 2}{\ displaystyle H_ {2} (\ mathrm {A} _ {n}, \ mathrm {Z}) = \ mathrm {Z} / 2} для n = 4, 5 {\ displaystyle n = 4,5}n = 4,5 ;
H 2 (A n, Z) = Z / 6 {\ displaystyle H_ {2} (\ mathrm {A} _ {n}, \ mathrm {Z}) = \ mathrm {Z} / 6}{\ displaystyle H_ {2} (\ mathrm {A} _ {n}, \ mathrm {Z}) = \ mathrm {Z} / 6} для n = 6, 7 {\ displaystyle n = 6,7}n = 6,7 ;
H 2 (A n, Z) = Z / 2 {\ displaystyle H_ {2} (\ mathrm {A} _ {n}, \ mathrm {Z}) = \ mathrm {Z} / 2}{\ displaystyle H_ {2} (\ mathrm {A} _ {n}, \ mathrm {Z}) = \ mathrm {Z} / 2} для n ≥ 8 {\ displaystyle n \ geq 8}n \ geq 8 .

Примечания

Ссылки

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-11 02:49:14
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте