В математике чередующаяся группа - это группа четных перестановок конечного множества. Чередующаяся группа на множестве из n элементов называется чередующейся группой степени n или чередующейся группой из n букв и обозначается A n или Alt. (п).
Для n>1, группа A n является коммутаторной подгруппой симметрической группы Snс индексом 2 и, следовательно, имеет n! / 2 элемента. Это ядро сигнатуры гомоморфизм группы sgn: S n → {1, −1}, объясненное в разделе симметрическая группа.
Группа A n является абелевским тогда и только тогда, когда n ≤ 3 и simple тогда и только тогда, когда n = 3 или n ≥ 5. A 5 - наименьшая неабелева простая группа, имеющая порядок 60, и наименьшая не разрешимая группа.
Группа A 4 имеет четырехгруппа Клейна V как собственная нормальная подгруппа, а именно тождество и двойные транспозиции {(), (12) (34), (13) (24), ( 14) (23)}, то есть ядро сюръекции A 4 на A 3 = C 3. У нас есть точная последовательность V → A 4 → A 3 = C 3. В теории Галуа это отображение, или, скорее, соответствующее отображение S 4 → S 3, соответствует связыванию резольвенты Лагранжа кубики с квартика, которая позволяет решать полином четвертой степени с помощью радикалов, как установлено Лодовико Феррари.
Как в симметрической группе, любые два элемента A n, которые сопряжены элементом A n, должны иметь одинаковую форму цикла. Однако обратное не всегда верно. Если форма цикла состоит только из циклов нечетной длины без двух циклов одинаковой длины, где циклы длины один включены в тип цикла, то для этой формы цикла существует ровно два класса сопряженности (Скотт 1987, §11.1, стр.299).
Примеры:
Anгенерируется 3-циклами, поскольку 3-цикла могут быть получены путем объединения пар транспозиций. Этот генераторный набор часто используется для доказательства того, что A n прост для n ≥ 5.
Для n>3, за исключением n = 6, группа автоморфизмов группы A n является симметрической группой S n с группой внутренних автоморфизмов Anа также группа внешних автоморфизмов Z2; внешний автоморфизм происходит от сопряжения нечетной перестановкой.
Для n = 1 и 2 группа автоморфизмов тривиальна. Для n = 3 группа автоморфизмов Z 2 с тривиальной группой внутренних автоморфизмов и группой внешних автоморфизмов Z 2.
Группа внешних автоморфизмов A 6 - это четверка Клейна. -группа V = Z 2 × Z 2 и связана с внешним автоморфизмом S 6. Дополнительный внешний автоморфизм в A 6 меняет местами 3-цикла (например, (123)) с элементами формы 3 (например, (123) (456)).
Есть некоторые исключительные изоморфизмы между некоторыми маленькими альтернированными группами и небольшими группами лиева типа, особенно проективными специальные линейные группы. Это:
Более очевидно, A 3 изоморфна циклической группе Z3, а A 0, A 1 и A 2 являются изоморфна тривиальной группе (которая также является SL 1 (q) = PSL 1 (q) для любого q).
Таблица Кэли симметричной группы S4.. Нечетные перестановки окрашены:. Перестановки зеленым и 4-циклами оранжевым | Таблица Кэли переменной группы A 4. Элементы: четные перестановки (идентичность, восемь 3-циклов и три двойных- транспозиции (двойные транспозиции жирным шрифтом)).. Подгруппы:. . |
. A3= Z 3 (порядок 3) | . A4(порядок 12) | . A4× Z 2 (порядок 24) |
. S3= Dih 3 (порядок 6) | . S4(порядок 24) | . A4дюйм S 4 слева |