Войти
В теории групп, подполе абстрактной алгебры, группа график циклов иллюстрирует различные циклы группы и особенно полезен при визуализации структуры небольших конечных групп.
Цикл - это устанавливает степеней данного элемента группы a, где a, n-я степень элемента a определяется как произведение a, умноженного на себя n раз. Говорят, что элемент a генерирует цикл. В конечной группе некоторая ненулевая степень a должна быть групповой идентичностью, e; самая низкая такая мощность - это порядок цикла, то есть количество отдельных элементов в нем. В графе циклов цикл представлен в виде многоугольника, вершины которого представляют элементы группы, а соединительные линии показывают, что все элементы в этом многоугольнике являются членами одного цикла.
Циклы могут перекрываться, или они могут не иметь общего элемента, кроме идентичности. График цикла отображает каждый интересующий цикл в виде многоугольника.
Если a генерирует цикл порядка 6 (или, короче, имеет порядок 6), то a = e. Тогда набор степеней a, {a, a, e} представляет собой цикл, но это действительно не новая информация. Точно так же a генерирует тот же цикл, что и сам a.
Итак, необходимо рассматривать только примитивные циклы, а именно те, которые не являются подмножествами другого цикла. Каждый из них генерируется некоторым примитивным элементом, a. Возьмите по одному баллу для каждого элемента исходной группы. Для каждого примитивного элемента соедините e с a, a с a,..., a с a и т.д., пока не будет достигнуто e. Результатом является график цикла.
Когда a = e, a имеет порядок 2 (это инволюция ) и соединяется с e двумя ребрами. За исключением случаев, когда намерение состоит в том, чтобы выделить два края цикла, он обычно рисуется как одна линия между двумя элементами.
 . Dih 4калейдоскоп с красным зеркалом и 4-кратными вращательными генераторами |  . График цикла для двугранной группы Dih 4. |
В качестве примера граф группового цикла, рассмотрим группу диэдра Dih 4. Таблица умножения для этой группы показана слева, а график циклов показан справа, где e указывает элемент идентичности.
| e | b | a | a | a | ab | ab | ab | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | b | a | a | a | ab | ab | ab |
| b | b | e | ab | ab | ab | a | a | a |
| a | a | ab | a | a | e | ab | ab | b |
| a | a | ab | a | e | a | ab | b | ab |
| a | a | ab | e | a | a | b | ab | ab |
| ab | ab | a | b | ab | ab | e | a | a |
| ab | ab | a | ab | b | ab | a | e | a |
| ab | ab | a | ab | ab | b | a | a | e |
Обратите внимание на цикл {e, a, a, a} в таблице умножения с = е. Инверсия a = a также является генератором этого цикла: (a) = a, (a) = a и (a) = e. Точно так же любой цикл в любой группе имеет как минимум два образующих, и его можно проходить в любом направлении. В более общем смысле, количество генераторов цикла с n элементами задается функцией φ Эйлера числа n, и любой из этих генераторов может быть записан как первый узел в цикле. (рядом с тождеством е); или чаще узлы остаются немаркированными. Два различных цикла не могут пересекаться в образующей.
Граф циклов группы кватернионов Q 8.Циклы, содержащие непростое число элементов, имеют циклические подгруппы, которые не показаны на графе. Для группы Dih 4 выше мы могли бы провести линию между a и e, поскольку (a) = e, но поскольку a является частью большего цикла, это не край графа циклов.
Может возникнуть двусмысленность, когда два цикла совместно используют неидентификационный элемент. Например, 8-элементная кватернионная группа имеет график цикла, показанный справа. Каждый из элементов в средней строке при умножении на себя дает -1 (где 1 - единичный элемент). В этом случае мы можем использовать разные цвета, чтобы отслеживать циклы, хотя соображения симметрии также будут работать.
Как отмечалось ранее, два края 2-элементного цикла обычно представлены как одна линия.
Инверсия элемента - это узел, симметричный ему в его цикле, относительно отражения, которое фиксирует идентичность.
Графы циклов были исследованы теоретиком чисел Дэниелом Шэнксом в начале 1950-х годов как инструмент для изучения мультипликативных групп классов остатков. Шанкс впервые опубликовал эту идею в первом издании своей книги «Решенные и нерешенные проблемы теории чисел» в 1962 году. В книге Шанкс исследует, какие группы имеют изоморфные графы циклов и когда граф циклов планарен. Во втором издании 1978 года Шанкс размышляет о своем исследовании групп классов и разработке метода гигантского шага :
Графики циклов оказались полезными при работе с конечными абелевыми группами; и я часто использовал их, чтобы обойти сложную структуру [77, с. 852], при получении желаемого мультипликативного отношения [78, с. 426], или в выделении некоторой желаемой подгруппы [79].
Графы циклов используются в качестве педагогического инструмента во вводном учебнике «Visual Group Theory» Натана Картера 2009 года.
Определенные типы групп дают типичные графы:
Циклические группы Zn, порядок n, представляют собой один цикл, изображенный просто как n-сторонний многоугольник с элементами в вершинах:
 |  |  |  |  |  |  |  |
| Z1 | Z2= Dih 1 | Z3 | Z4 | Z5 | Z6= Z 3×Z2 | Z7 | Z8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
 |  |  |  |  |  |  |  |
| Z9 | Z10= Z 5×Z2 | Z11 | Z12= Z 4×Z3 | Z13 | Z14= Z 7×Z2 | Z15= Z 5×Z3 | Z16 |
 |  |  |  |  |  |  |  |
| Z17 | Z18= Z 9×Z2 | Z19 | Z20= Z 5×Z4 | Z21= Z 7×Z3 | Z22= Z 11×Z2 | Z23 | Z24= Z 8×Z3 |
| |  |  |  |
| Z2 | Z2= Dih 2 | Z2= Dih 2 × Dih 1 | Z2= Dih 2 |
|---|
Когда n является простым числом, группы формы (Z n) будут имеют (n - 1) / (n - 1) n-элементных циклов, разделяющих единичный элемент:
| | | |  |
| Z2= Dih 2 | Z2= Dih 2 × Dih 1 | Z2= Dih 2 | Z3 |
|---|
Группы диэдра Dih n, порядок 2n состоит из n-элементного цикла и n 2-элементных циклов:
| | |  |  |  |  |  |  |  |  |
| Dih 1 = Z 2 | Dih 2 = Z 2 | Dih 3 | Dih 4 | Dih 5 | Dih 6 = Dih 3×Z2 | Dih 7 | Dih 8 | Dih 9 | Dih 10 = Dih 5×Z2 |
|---|
Дициклические группы, D ic n = Q 4n, порядок 4n:
 |  |  |  |  |
| Dic 2 = Q 8 | Dic 3 = Q 12 | Dic 4 = Q 16 | Dic 5 = Q 20 | Dic 6 = Q 24 |
|---|
Прочие прямые продукты :
 |  |  |  |  |
| Z4×Z2 | Z4×Z2 | Z6×Z2 | Z8×Z2 | Z4 |
|---|
Симметричные группы - Симметрическая группа S n содержит для любой группы порядка n подгруппу, изоморфную этой группе. Таким образом, граф циклов каждой группы порядка n будет найден в графе циклов S n.. См. Пример: Подгруппы S 4
S4× Z 2
A4× Z 2
Dih 4 × Z 2
S3× Z 2Полная октаэдрическая группа является взаимным произведением симметрической группы S 4 и циклическая группа Z 2.. Ее порядок равен 48, и в ней есть подгруппы каждого порядка, который делит 48.
В приведенных ниже примерах узлы, связанные друг с другом, размещаются рядом друг с другом,. так что это не самые простые возможные графы циклов для этих групп (как те, что справа).
 |  |  |  |
| S4× Z 2 (порядок 48) | A4× Z 2 (порядок 24) | Dih 4 × Z 2 (порядок 16) | S3× Z 2 = Dih 6 (порядок 12) |
|---|---|---|---|
 |  |  |  |
| S4(порядок 24) | A 4(порядок 12) | Dih 4 (порядок 8) | S3= Dih 3 (порядок 6) |
Как и все графики, цикл цикла может быть представлен по-разному, чтобы подчеркнуть различные свойства. Два представления графа циклов S 4 являются примером этого.
   График цикла S 4, показанный выше, выделяет три подгруппы Dih 4. |   Это другое представление подчеркивает симметрию, наблюдаемую в наборах инверсия справа. |
 | Викискладе есть материалы, связанные с графами групповых циклов. |
