Решаемая группа

редактировать

В математике, более конкретно в области теории групп, a разрешимая группа или разрешимая группа - это группа, которая может быть построена из абелевых групп с использованием расширений. Эквивалентно разрешимая группа - это группа, у которой производный ряд заканчивается тривиальной подгруппой.

Содержание

  • 1 Мотивация
    • 1.1 Пример
  • 2 Определение
  • 3 Примеры
    • 3.1 Абелевы группы
    • 3.2 Нильпотентные группы
      • 3.2.1 Кватернионные группы
    • 3.3 Расширения групп
    • 3.4 Неабелева группа, которая не является нильпотентной
    • 3.5 Конечные группы нечетного порядка
    • 3.6 Не -пример
    • 3.7 Подгруппы GL 2
      • 3.7.1 Замечание
    • 3.8 Борелевские подгруппы
      • 3.8.1 Борелевская подгруппа в GL 3
      • 3.8.2 Борелевская подгруппа в произведении простых линейных алгебраических групп
    • 3.9 Z-группы
  • 4 значения OEIS
  • 5 Свойства
  • 6 Теорема Бернсайда
  • 7 Понятия, связанные с данным
    • 7.1 Сверхразрешимые группы
    • 7.2 Виртуально разрешимые группы
    • 7.3 Гипоабелевы
  • 8 См. также
  • 9 Примечания
  • 10 Источники
  • 11 Внешние ссылки

Мотивация

Исторически слово «разрешимый» возникло из теории Галуа и доказательства общей неразрешимости уравнения квинтики. В частности, полиномиальное уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда соответствующая группа Галуа разрешима (обратите внимание, что эта теорема верна только в характеристике 0). Это означает, что с многочленом f ∈ F [x] {\ displaystyle f \ in F [x]}{\ displaystyle f \ in F [x]} существует башня расширений поля

F = F 0 ⊂ F 1 ⊂ F 2 ⊂ ⋯ ⊂ F m = K {\ displaystyle F = F_ {0} \ subset F_ {1} \ subset F_ {2} \ subset \ cdots \ subset F_ {m} = K}{\ displaystyle F = F_ {0} \ subset F_ {1} \ subset F_ {2} \ subset \ cdots \ subset F_ {m } = K}

такой, что

  1. F я знак равно F я - 1 [α я] {\ displaystyle F_ {i} = F_ {i-1} [\ alpha _ {i}]}{\ displaystyle F_ {i} = F_ {i-1} [\ alpha _ {i}]} где α imi ∈ F i - 1 {\ displaystyle \ alpha _ {i} ^ {m_ {i}} \ in F_ {i-1}}{\ displaystyle \ alpha _ {i} ^ {m_ {i}} \ in F_ {i-1}} , поэтому α i {\ displaystyle \ alpha _ {i}}\ alpha _ {i} - решение уравнения xmi - a {\ displaystyle x ^ {m_ {i}} - a}{\ displaystyle x ^ {m_ {i}} - a} , где a ∈ F i - 1 {\ displaystyle a \ in F_ {i-1}}{\ displaystyle a \ in F_ {i-1} }
  2. F m {\ displaystyle F_ {m}}F_m содержит поле разделения для f (x) {\ displaystyle f (x)}f (x)

Пример

Например, наименьшее расширение поля Галуа для Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}\ mathbb {Q} , содержащее элемент

a = 2 + 3 5 {\ displaystyle a = {\ sqrt [{5}] {{\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}}}}}{\ displaystyle a = {\ sq rt [{5}] {{\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}}}}}

дает разрешимую группу. С ним связаны расширения полей

Q ⊂ Q (2, 3) ⊂ Q (2, 3) (e 2 π i / 5 2 + 3 5) {\ displaystyle \ mathbb {Q} \ subset \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}}) \ subset \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}}) \ left (e ^ {2 \ pi i / 5} {\ sqrt [{5}] {{\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}}}} \ right)}{\ displaystyle \ mathbb {Q} \ subset \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}}) \ subset \ mathbb { Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}}) \ left (e ^ {2 \ pi i / 5} {\ sqrt [{5}] {{\ sqrt {2}} + { \ sqrt {3}}}} \ right)}

дает разрешимую группу, содержащую Z / 5 {\ displaystyle \ mathbb {Z} / 5}{\ displaystyle \ mathbb {Z} / 5} (действует на e 2 π i / 5 {\ displaystyle e ^ {2 \ pi i / 5}}{\ displaystyle e ^ {2 \ pi i / 5}} ) и Z / 2 × Z / 2 {\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ times \ mathbb {Z} / 2}{\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ times \ mathbb {Z} / 2} (действует на 2 + 3 {\ displaystyle {\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}}}{\ displaystyle {\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}}} ).

Определение

Группа G называется разрешимой, если она имеет субнормальный ряд, у которого факторные группы (факторгруппы) все абелевы, то есть если есть подгруппы 1 = G 0< G1< ⋅⋅⋅ < Gk= G такие, что G j − 1 является нормальным в G j, а G j/Gj − 1 - абелева группа для j = 1, 2,…, k.

Или, что эквивалентно, если его производный ряд, нисходящий нормальный ряд

G ▹ G (1) ▹ G (2) ▹ ⋯, {\ displaystyle G \ triangleright G ^ { (1)} \ triangleright G ^ {(2)} \ triangleright \ cdots,}G \ triangleright G ^ {(1)} \ triangleright G ^ {(2)} \ triangleright \ cdots,

, где каждая подгруппа является коммутаторной подгруппой предыдущей, в конечном итоге достигает тривиальной подгруппы группы G. определения эквивалентны, поскольку для каждой группы H и любой нормальной подгруппы N группы H фактор H / N является абелевым тогда и только тогда, когда N включает коммутатор подгруппы H. Наименьшее n такое, что G = 1, называется производной длиной разрешимой группы G.

Для конечных групп эквивалентным определением является то, что разрешимая группа - это группа с составом серия, все факторы которой являются циклическими группами простого порядка. Это эквивалентно, потому что конечная группа имеет конечную композиционную длину, и каждая простая абелева группа циклическая простого порядка. Теорема Джордана – Гёльдера гарантирует, что если один композиционный ряд обладает этим свойством, то все композиционные ряды также будут обладать этим свойством. Для группы Галуа полинома эти циклические группы соответствуют корням (радикалам) n-й степени над некоторым полем. Эквивалентность не обязательно имеет место для бесконечных групп: например, поскольку каждая нетривиальная подгруппа группы Z из целых чисел при сложении изоморфна Z Сам не имеет композиционного ряда, но нормальный ряд {0, Z } с его единственной фактор-группой, изоморфной Z, доказывает, что он на самом деле разрешим.

Примеры

Абелевы группы

Основным примером разрешимых групп являются абелевы группы. Они тривиально разрешимы, поскольку субнормальный ряд задается только самой группой и тривиальной группой. Но неабелевы группы могут быть или не быть разрешимыми.

Нильпотентные группы

В более общем смысле, все нильпотентные группы разрешимы. В частности, разрешимы конечные p-группы, поскольку все конечные p-группы нильпотентны.

Группы кватернионов

В частности, группа кватернионов является разрешимой группой, заданной расширением группы

1 → Z / 4 → Q → Z / 2 → 1 {\ displaystyle 1 \ to \ mathbb {Z} / 4 \ to Q \ to \ mathbb {Z} / 2 \ to 1}{\ displaystyle 1 \ to \ mathbb {Z} / 4 \ to Q \ to \ mathbb {Z} / 2 \ to 1}

, где Z / 4 {\ displaystyle \ mathbb {Z} / 4 }{\ displaystyle \ mathbb {Z} / 4} - это подгруппа, сгенерированная i {\ displaystyle i}i.

Расширениями групп

Расширениями групп, образующими типичные примеры разрешимых групп. То есть, если G {\ displaystyle G}G и G ′ {\ displaystyle G '}G'являются разрешимыми группами, то любое расширение

1 → G → G ″ → G '→ 1 {\ displaystyle 1 \ to G \ to G' '\ to G' \ to 1}{\displaystyle 1\to G\to G''\to G'\to 1}

определяет разрешимую группу G ″ {\ displaystyle G ''}G''. Фактически, все разрешимые группы могут быть образованы из таких расширений групп.

Неабелева группа, которая не является нильпотентной

Небольшим примером разрешимой ненильпотентной группы является симметричная группа S3. Фактически, поскольку наименьшая простая неабелева группа - это A 5 (переменная группа степени 5), отсюда следует, что каждая группа с порядком меньше 60 разрешима.

Конечные группы нечетного порядка

Знаменитая теорема Фейта – Томпсона утверждает, что любая конечная группа нечетного порядка разрешима. В частности, это означает, что если конечная группа проста, то она либо простая циклическая, либо четного порядка.

Не пример

Группа S 5 не разрешима - она ​​имеет композиционный ряд {E, A 5, S 5 } (и теорема Джордана – Гёльдера утверждает, что любой другой композиционный ряд эквивалентен этому), давая фактор-группы, изоморфные A 5 и C 2 ; и A 5 не абелева. Обобщая этот аргумент, вместе с тем фактом, что A n является нормальной максимальной неабелевой простой подгруппой в S n для n>4, мы видим, что S n не разрешимо при n>4. Это ключевой шаг в доказательстве того, что для любого n>4 существуют многочлены степени n, не разрешимые в радикалах (теорема Абеля – Руффини ). Это свойство также используется в теории сложности при доказательстве теоремы Баррингтона.

Подгруппы в GL 2

Рассмотрим подгруппы

B = {[∗ ∗ 0 ∗]}, U = {[1 ∗ 0 1]} {\ displaystyle B = \ left \ {{\ begin {bmatrix} * * \\ 0 * \ end {bmatrix}} \ right \} {\ text {,}} U = \ left \ {{\ begin {bmatrix} 1 * \\ 0 1 \ end {bmatrix}} \ right \}}{\ displaystyle B = \ left \ {{\ begin {bmatrix} * * \\ 0 * \ end {bmatrix}} \ right \} {\ text {,}} U = \ left \ {{\ begin {bmatrix} 1 * \\ 0 1 \ end {bmatrix}} \ right \}} из GL 2 (F) {\ displaystyle GL_ {2} (\ mathbb {F})}{\ displaystyle GL_ {2} (\ mathbb {F})}

для некоторого поля F {\ displaystyle \ mathbb {F}}\ mathbb {F} . Тогда групповое частное B / U {\ displaystyle B / U}{\ displaystyle B / U} можно найти, взяв произвольные элементы из B, U {\ displaystyle B, U}{\ displaystyle B, U} , умножив их вместе и выяснив, какую структуру это дает. Итак,

[ab 0 c] ⋅ [1 d 0 1] = [aad + b 0 c] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a b \\ 0 c \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} } 1 d \\ 0 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} a ad + b \\ 0 c \ end {bmatrix}}}{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a b \\ 0 c \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} 1 d \\ 0 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} a ad + b \\ 0 c \ end {bmatrix}}}

Обратите внимание на определяющее условие на GL 2 {\ displaystyle GL_ {2 }}{\ displaystyle GL_ {2}} означает ac ≠ 0 {\ displaystyle ac \ neq 0}{\ displaystyle ac \ neq 0} , следовательно, F × × F × ⊂ B {\ displaystyle \ mathbb {F} ^ {\ times} \ times \ mathbb {F} ^ {\ times} \ subset B}{\ displaystyle \ mathbb {F} ^ {\ times} \ times \ mathbb {F} ^ {\ times} \ subset B} - это подгруппа (которые представляют собой матрицы, где b = 0 {\ displaystyle b = 0}{\ displaystyle b = 0} ). Для фиксированного a, b {\ displaystyle a, b}{\ displaystyle a, b} линейное уравнение ad + b = 0 {\ displaystyle ad + b = 0}{\ displaystyle ad + b = 0} подразумевает d = - b / a {\ displaystyle d = -b / a}{\ displaystyle d = -b / a} , который является произвольным элементом в F {\ displaystyle \ mathbb {F}}{\ displaystyle \ mathbb {F}} поскольку b ∈ F {\ displaystyle b \ in \ mathbb {F}}{\ displaystyle b \ in \ mathbb {F}} . Так как мы можем взять любую матрицу из B {\ displaystyle B}{\ displaystyle B} и умножить ее на матрицу

[1 d 0 1] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 d \\ 0 1 \ end {bmatrix}}}{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 d \\ 0 1 \ end {bmatrix}}}

с d = - b / a {\ displaystyle d = -b / a}{\ displaystyle d = -b / a} , мы можем получить диагональную матрицу в B {\ стиль отображения B}{\ displaystyle B} . Это показывает фактор-группу B / U ≅ F × × F × {\ displaystyle B / U \ cong \ mathbb {F} ^ {\ times} \ times \ mathbb {F} ^ {\ times}}{\ displaystyle B / U \ cong \ mathbb {F} ^ {\ times} \ times \ mathbb {F} ^ {\ times}} .

Замечание

Обратите внимание, что это описание дает разложение B {\ displaystyle B}{\ displaystyle B} как F ⋊ (F × × F ×) {\ displaystyle \ mathbb { F} \ rtimes (\ mathbb {F} ^ {\ times} \ times \ mathbb {F} ^ {\ times})}{\ displaystyle \ mathbb {F} \ rtimes (\ mathbb {F} ^ {\ times} \ times \ mathbb {F} ^ {\ times})} где (a, c) {\ displaystyle (a, c)}{\ displaystyle (a, c)} действует на b {\ displaystyle b}{\ displaystyle b} посредством (a, c) (b) = ab {\ displaystyle (a, c) (b) = ab}{\ displaystyle (a, c) (b) = ab} . Отсюда следует (a, c) (b + b ′) = (a, c) (b) + (a, c) (b ′) = ab + ab ′ {\ displaystyle (a, c) (b + b ') = (a, c) (b) + (a, c) (b') = ab + ab '}{\displaystyle (a,c)(b+b')=(a,c)(b)+(a,c)(b')=ab+ab'}. Кроме того, матрица вида

[ab 0 c] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a b \\ 0 c \ end {bmatrix}}}{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a b \\ 0 c \ end {bmatrix}}}

соответствует элементу (b) × ( a, c) {\ displaystyle (b) \ times (a, c)}{\ displaystyle (b) \ times (a, c)} в группе.

Подгруппы Бореля

Для линейной алгебраической группы G {\ displaystyle G}G ее подгруппа Бореля определяется как подгруппа, которая замкнута, связана и разрешима в G {\ displaystyle G}G , и это максимально возможная подгруппа с этими свойствами (обратите внимание, что вторые две являются топологическими свойствами). Например, в GL n {\ displaystyle GL_ {n}}GL_ {n} и SL n {\ displaystyle SL_ {n}}{ \ Displaystyle SL_ {п}} группа верхнетреугольных, или нижнетреугольные матрицы - две из подгрупп Бореля. В приведенном выше примере подгруппа B {\ displaystyle B}B в G L 2 {\ displaystyle GL_ {2}}{\ displaystyle GL_ {2}} является подгруппой Бореля.

подгруппа Бореля в GL 3

В GL 3 {\ displaystyle GL_ {3}}GL_ {3} есть подгруппы

B = {[∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ 0 0 *]}, U 1 = {[1 * * 0 1 * 0 0 1]} {\ displaystyle B = \ left \ {{\ begin {bmatrix} * * * \\ 0 * * \\ 0 0 * \ end {bmatrix}} \ right \}, {\ text {}} U_ {1} = \ left \ {{\ begin {bmatrix} 1 * * \\ 0 1 * \\ 0 0 1 \ end {bmatrix} } \ right \}}{\ displaystyle B = \ left \ {{\ begin {bmatrix} * * * \\ 0 * * \\ 0 0 * \ end {bmatrix}} \ right \ }, {\ text {}} U_ {1} = \ left \ {{\ begin {bmatrix} 1 * * \\ 0 1 * \\ 0 0 1 \ end {bmatrix}} \ right \}}

Обратите внимание B / U 1 ≅ F × × F × × F × {\ displaystyle B / U_ {1} \ cong \ mathbb {F} ^ {\ times} \ times \ mathbb {F} ^ {\ times} \ times \ mathbb {F} ^ {\ times}}{\ displaystyle B / U_ {1} \ cong \ mathbb {F} ^ {\ times} \ times \ mathbb {F} ^ {\ times} \ times \ mathbb {F} ^ {\ times}} , следовательно, группа Бореля имеет вид

U ⋊ (F × × F × × F ×) {\ displaystyle U \ rtimes (\ mathbb {F} ^ {\ times} \ times \ mathbb {F} ^ {\ times} \ times \ mathbb {F} ^ {\ times})}{\ displaystyle U \ rtimes (\ mathbb {F} ^ {\ times} \ times \ mathbb {F} ^ {\ times} \ times \ mathbb {F} ^ {\ times})}

подгруппа Бореля в произведение простых линейных алгебраических групп

В группе продуктов GL n × GL m {\ displaystyle GL_ {n} \ times GL_ {m}}{\ displaystyle GL_ {n} \ times GL_ {m}} может быть представлена ​​подгруппа Бореля по матрицам вида

[T 0 0 S] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} T 0 \\ 0 S \ end {bmatrix}}}{\ displaystyle {\ begini n {bmatrix} T 0 \\ 0 S \ end {bmatrix}}}

где T {\ displaystyle T}T- это n × n {\ displaystyle n \ times n}n \ times n верхняя треугольная матрица, а S {\ displaystyle S}S - a m × m {\ displaystyle m \ times m}m \ times m верхняя треугольная матрица.

Z-группы

Любая конечная группа, p-силовские подгруппы которой являются циклическими, является полупрямым произведением двух циклических групп, в частности разрешимой. Такие группы называются Z-группами.

значениями OEIS

Номера разрешимых групп с порядком n (начинаются с n = 0)

0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, 1, 5, 1, 5, 2, 2, 1, 15, 2, 2, 5, 4, 1, 4, 1, 51, 1, 2, 1, 14, 1,2, 14, 1, 6, 1, 4, 2, 2, 1, 52, 2, 5, 1, 5, 1, 15, 2, 13, 2, 2, 1, 12, 1, 2, 4, 267, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 50,... (последовательность A201733 в OEIS )

Порядки неразрешимых групп:

60, 120, 168, 180, 240, 300, 336, 360, 420, 480, 504, 540, 600, 660, 672, 720, 780, 840, 900, 960, 1008, 1020, 1080, 1092, 1140, 1176, 1200, 1260, 1320, 1344, 1380, 1440, 1500,... (последовательность A056866 в OEIS )

Свойства

Разрешимость замкнута при выполнении ряда операций.

  • Если G разрешима, а H является подгруппой G, то H разрешима.
  • Если G разрешима, и существует гомоморфизм из G на H, то H разрешима; эквивалентно (по теореме о первом изоморфизме ), если G разрешима, d N - нормальная подгруппа группы G, тогда G / N разрешима.
  • Предыдущие свойства могут быть расширены до следующего свойства «три по цене двух»: G разрешима тогда и только тогда, когда оба N и G / N разрешимы.
  • В частности, если G и H разрешимы, прямое произведение G × H разрешимо.

Разрешимость замкнута при расширении группы :

Оно также замкнуто относительно сплетения:

  • Если G и H разрешимы, а X является G- то сплетение групп G и H относительно X также является разрешимым.

Для любого положительного целого числа N разрешимые группы производной длины не более N образуют подмногообразие множества групп, так как они замкнуты относительно взятия гомоморфных образов, подалгебр и (прямых) произведений. Прямое произведение последовательности разрешимых групп с неограниченной производной длиной не разрешимо, поэтому класс всех разрешимых групп не является многообразием.

Теорема Бернсайда

Теорема Бернсайда утверждает, что если G является конечной группой порядка pq, где p и q являются простыми числами, а a и b - неотрицательные целые числа, тогда G разрешима.

Понятия, связанные с данным

Сверхразрешимые группы

В качестве усиления разрешимости группа G называется сверхразрешимой (или сверхразрешимой ) если он имеет инвариантный нормальный ряд, все факторы которого циклические. Поскольку нормальный ряд имеет конечную длину по определению, несчетные группы не являются сверхразрешимыми. На самом деле все сверхразрешимые группы конечно порождены, а абелева группа сверхразрешима тогда и только тогда, когда она конечно порождена. Знакопеременная группа A 4 является примером конечной разрешимой группы, которая не является сверхразрешимой.

Если ограничиться конечно порожденными группами, мы можем рассмотреть следующее расположение классов групп:

циклические < абелевы < нильпотентные < сверхразрешимые < полициклическая < разрешимая < конечно порожденная группа.

Практически разрешимые группы

Группа G называется виртуально разрешимой, если она имеет разрешимую подгруппу конечный индекс. Это похоже на практически абелеву. Ясно, что все разрешимые группы практически разрешимы, так как можно просто выбрать саму группу с индексом 1.

Гипоабелева

Разрешаемая группа - это группа, производная серия которой достигает тривиальной подгруппы в конечном этап. Для бесконечной группы конечный производный ряд может не стабилизироваться, но трансфинитный производный ряд всегда стабилизируется. Группа, трансфинитный производный ряд которой достигает тривиальной группы, называется гипоабелевой группой, и каждая разрешимая группа является гипоабелевой группой. Первый ординал α такой, что G = G, называется (трансфинитной) производной длиной группы G, и было показано, что каждый ординал является производной длиной некоторой группы (Мальцев 1949).

См. Также

Примечания

Ссылки

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-08 09:13:08
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте