Расширение группы

редактировать

Группа, для которой задана группа нормальная подгруппа

В математике, расширение группы является общим средством описания группы с точки зрения конкретного нормального подгруппа и факторгруппа. Если Q и N две группы, то G является расширением группы Q посредством N, если существует короткая точная последовательность

1 → N → ι G → π Q → 1. {\ displaystyle 1 \ to N \; {\ overset {\ iota} {\ to}} \; G \; {\ overset {\ pi} {\ to}} \; Q \ to 1.}

{\ displaystyle 1 \ to N \; {\ overset {\ iota} {\ to}} \; G \; {\ overset {\ pi} {\ to }} \; Q \ на 1.}

Если G расширение Q на N, тогда G - группа, $ι (N) {\ displaystyle \ iota (N)}$ ${\ displaystyle \ iota (N)}$ - нормальная подгруппа группы G, а факторгруппа $G / ι (N) {\ displaystyle G / \ iota (N)}$ ${\ displaystyle G / \ iota (N)}$ изоморфна группе Q. Расширения групп возникают в контекст проблемы расширения, где группы Q и N известны, а свойства G должны быть определены. Обратите внимание, что фраза «G является расширением N посредством Q» также используется некоторыми.

Поскольку любая конечная группа G обладает максимальной нормальной подгруппой N с простая фактор-группа G / N, все конечные группы могут быть построены как серии расширений с конечными простыми группами. Этот факт послужил мотивацией для завершения классификации конечных простых групп.

Расширение называется центральным расширением, если подгруппа N лежит в центре группы G.

Содержание

1 Общие расширения
- 1.1 Проблема расширения
- 1.2 Классификация расширений
  - 1.2.1 Предупреждение
  - 1.2.2 Простые расширения
  - 1.2.3 Классификация разделенных расширений
  - 1.2.4 Предупреждение
2 Центральное расширение
- 2.1 Обобщение на общие расширения
- 2.2 Группы Ли
3 См. Также
4 Ссылки

Расширения в целом

Одно расширение, прямой продукт, это сразу очевидно. Если требуется, чтобы G и Q были абелевыми группами, тогда множество классов изоморфизма расширений Q посредством данной (абелевой) группы N на самом деле является группой, которая изоморфна к

Ext Z 1 ⁡ (Q, N); {\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {\ mathbb {Z}} ^ {1} (Q, N);}

\ имя оператора {Ext} ^ 1 _ {\ mathbb Z} (Q, N);

ср. Функтор Ext. Известно несколько других общих классов расширений, но не существует теории, которая рассматривала бы все возможные расширения одновременно. Расширение группы обычно описывается как серьезная проблема; это называется проблемой расширения .

. Рассмотрим некоторые примеры, если G = K × H, то G является расширением как H, так и K. В более общем смысле, если G является полупрямым продуктом K и H, записываемые как $G = K ⋊ H {\ displaystyle G = K \ rtimes H}$ $G = K \ rtimes H$ , тогда G является расширением H на K, поэтому такие продукты, как сплетение предоставляет дополнительные примеры расширений.

Проблема расширения

Вопрос о том, какие группы G являются расширениями H посредством N, называется проблемой расширения и интенсивно изучается с конца девятнадцатого века. Что касается его мотивации, считайте, что композиционный ряд конечной группы является конечной последовательностью подгрупп {A i }, где каждое A i + 1 равно расширение A i некоторой простой группой. Классификация конечных простых групп дает нам полный список конечных простых групп; так что решение проблемы расширения дало бы нам достаточно информации для построения и классификации всех конечных групп в целом.

Классификация расширений

Решение проблемы расширения сводится к классификации всех расширений H по K; или, более практично, выражая все такие расширения в терминах математических объектов, которые легче понять и вычислить. В общем, это очень сложная проблема, и все наиболее полезные результаты классифицируют расширения, удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям.

Важно знать, когда два расширения эквивалентны или совпадают. Мы говорим, что расширения

1 → K → i G → π H → 1 {\ displaystyle 1 \ to K {\ stackrel {i} {{} \ to {}}} G {\ stackrel {\ pi} { {} \ to {}}} H \ to 1}

{\ displaystyle 1 \ to K {\ stackrel {i} {{} \ to {}}} G {\ stackrel {\ pi} {{} \ to { }}} H \ to 1}

1 → K → i ′ G ′ → π ′ H → 1 {\ displaystyle 1 \ to K {\ stackrel {i '} {{ } \ to {}}} G '{\ stackrel {\ pi'} {{} \ to {}}} H \ to 1}

1\to K{\stackrel {i'}{{}\to {}}}G'{\stackrel {\pi '}{{}\to {}}}H\to 1

являются эквивалентными (или конгруэнтными), если существует групповой изоморфизм $T: G → G '{\ displaystyle T: G \ to G'}$ $T: G\to G'$ , что делает диаграмму на рисунке 1 коммутативной. На самом деле достаточно иметь гомоморфизм группы; из-за предполагаемой коммутативности диаграммы отображение $T {\ displaystyle T}$ $T$ вынуждено быть изоморфизмом по лемме короткой пятерки.

Рисунок 1

Предупреждение

Может случиться так, что расширения $1 → K → G → H → 1 {\ displaystyle 1 \ to K \ to G \ to H \ to 1}$ ${\ displaystyle 1 \ to K \ to G \ to H \ to 1}$ и $1 → K → G ′ → H → 1 {\ displaystyle 1 \ to K \ to G ^ {\ prime} \ to H \ to 1}$ ${\ displaystyle 1 \ в K \ в G ^ {\ prime} \ в H \ в 1}$ неэквивалентны, но G и G 'изоморфны как группы. Например, есть $8 {\ displaystyle 8}$ $8$ неэквивалентных расширений четырехгруппы Клейна на $Z / 2 Z {\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}$ , но до группового изоморфизма есть только четыре группы порядка $8 {\ displaystyle 8}$ $8$ , содержащие нормальную подгруппу порядка $2 {\ displaystyle 2}$ $2$ с фактор-группой, изоморфной четырехгруппе Клейна.

Тривиальные расширения

A тривиальное расширение является расширением

1 → K → G → H → 1 {\ displaystyle 1 \ to K \ to G \ to H \ to 1}

{\ displaystyle 1 \ to K \ to G \ to H \ to 1}

, что эквивалентно расширению

1 → K → K × H → H → 1 {\ displaystyle 1 \ to K \ to K \ times H \ to H \ to 1}

{\ displaystyle 1 \ к K \ к K \ times H \ to H \ to 1}

, где левая и правая стрелки соответственно являются включением и проекцией каждого множителя $K × H {\ displaystyle K \ times H}$ $K \ times H$ .

Классификация разделенных расширений

A разделенных расширений - это расширение

1 → K → G → H → 1 {\ displaystyle 1 \ to K \ to G \ to H \ to 1}

{\ displaystyle 1 \ to K \ to G \ to H \ to 1}

с гомоморфизм $s: H → G {\ displaysty le s \ двоеточие H \ to G}$ ${\ displaystyle s \ двоеточие H \ to G}$ так, что переход от H к G по s, а затем обратно к H с помощью фактор-карты короткой точной последовательности индуцирует тождественное отображение на H то есть $π ∘ s = id H {\ displaystyle \ pi \ circ s = \ mathrm {id} _ {H}}$ $\ pi \ circ s = {\ mathrm {id}} _ {H}$ . В этой ситуации обычно говорят, что s разбивает указанную выше точную последовательность.

Разделенные расширения очень легко классифицировать, потому что расширение разделяется тогда и только тогда, когда группа G является полупрямым произведением групп K и H. Сами полупрямые произведения легко классифицировать, поскольку они находятся во взаимно однозначном соответствии с гомоморфизмами из $H → Aut ⁡ (K) { \ displaystyle H \ to \ operatorname {Aut} (K)}$ $H \ t o \ operatorname {Aut} (K)$ , где Aut (K) - это группа автоморфизмов K. Для полного обсуждения того, почему это верно, см. полупрямое произведение.

Предупреждение

В математике расширение структуры K обычно рассматривается как структура L, подструктура которой K. См., Например, расширение поля. Однако в теорию групп вошла противоположная терминология, отчасти из-за обозначения $Ext ⁡ (Q, N) {\ displaystyle \ operatorname {Ext} (Q, N)}$ $\ operatorname {Ext } (Q, N)$ , которое читается как легко как расширения Q посредством N, и основное внимание уделяется группе Q.

В статье Брауна и Портера (1996) по теории неабелевых расширений Шрайера (цитируется ниже) терминология, согласно которой расширение K дает большую структуру.

Центральное расширение

A центральное расширение группы G - это короткая точная последовательность групп

1 → A → E → G → 1 {\ displaystyle 1 \ в A \ в E \ в G \ в 1}

{\ displaystyle 1 \ to A \ to E \ to G \ to 1}

такое, что A находится в Z (E), центре группы E. Множество классов изоморфизма центральных расширений группы G посредством A (где G действует тривиально на A) находится во взаимно однозначном соответствии с группой когомологий H (G, A).

Примеры центральных расширений могут быть построены, взяв любую группу G и любую абелеву группу A и установив E равным A × G. Такой пример разделения соответствует элементу 0 в H (G, A) при указанном выше соответствии. Более серьезные примеры можно найти в теории проективных представлений в случаях, когда проективное представление не может быть поднято до обычного линейного представления.

В случае конечных совершенных групп существует универсальное совершенное центральное расширение.

Аналогично, центральное расширение алгебры Ли $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ является точной последовательностью

0 → a → e → g → 0 {\ displaystyle 0 \ rightarrow {\ mathfrak {a}} \ rightarrow {\ mathfrak {e}} \ rightarrow {\ mathfrak {g}} \ rightarrow 0}

0 \ rightarrow \ mathfrak {a} \ rightarrow \ mathfrak {e} \ rightarrow \ mathfrak {g} \ rightarrow 0

такие что $a {\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$ ${\ mathfrak {a}}$ находится в центре $e {\ displaystyle {\ mathfrak {e}}}$ $\ mathfrak {e}$ .

Есть общая теория центральных расширений в разновидностях Мальцева см. статью Джанелидзе и Келли, указанную ниже.

Обобщение на общие расширения

В статье о расширениях групп и $H 3 {\ displaystyle H ^ {3}}$ $H ^ 3$ , приведенной ниже, приводится аналогичная классификация всех расширение G с помощью A в терминах гомоморфизмов от $G → Out ⁡ (A) {\ displaystyle G \ до \ operatorname {Out} (A)}$ $G \ to \ operatorname {Out} (A)$ , утомительного, но явно проверяемого условия существования, включающего $H 3 (G, Z (A)) {\ displaystyle H ^ {3} (G, Z (A))}$ ${\ displaystyle H ^ {3} (G, Z (A))}$ и группа когомологий $H 2 (G, Z ( A)) {\ displaystyle H ^ {2} (G, Z (A))}$ ${\ displaystyle H ^ {2} (G, Z (A))}$ .

Группы Ли

В теории групп Ли центральные расширения возникают в связи с алгебраическая топология. Грубо говоря, центральные расширения групп Ли дискретными группами аналогичны накрывающим группам. Более точно, связное накрывающее пространство G связной группы Ли G естественным образом является центральным расширением группы G таким образом, что проекция

π: G ∗ → G {\ Displaystyle \ pi \ двоеточие G ^ {*} \ to G}

{\ displaystyle \ pi \ двоеточие G ^ {*} \ в G }

- гомоморфизм группы и сюръективный. (Структура группы на G зависит от выбора тождественного элемента, отображающего тождество в G.) Например, когда G является универсальным покрытием группы G, ядро π является фундаментальным группа группы G, которая, как известно, является абелевой (см. H-пространство ). Наоборот, для группы Ли G и дискретной центральной подгруппы Z фактор-группа G / Z является группой Ли, а G ее накрывающим пространством.

В более общем смысле, когда группы A, E и G, входящие в центральное расширение, являются группами Ли, а отображения между ними являются гомоморфизмами групп Ли, то если алгебра Ли группы G g, значение A равно a, а значение E равно e, тогда e является расширением центральной алгебры Ли g по a . В терминологии теоретической физики генераторы a называются центральными зарядами. Эти генераторы находятся в центре e ; Согласно теореме Нётер, генераторы групп симметрии соответствуют сохраняющимся величинам, называемым зарядами.

Основными примерами центральных расширений как покрывающих групп являются:

спиновые группы, которые дважды покрывают специальные ортогональные группы, которые (в четном измерении) дважды покрывают проективную ортогональную группу.
и метаплектические группы, которые дважды покрывают симплектические группы.

Случай SL2(R) включает фундаментальную группу, которая является бесконечной циклической. Здесь задействованное центральное расширение хорошо известно в теории модульных форм в случае форм веса 1/2. Соответствующим проективным представлением является представление Вейля, построенное на основе преобразования Фурье, в данном случае на вещественной прямой. Метаплектические группы также встречаются в квантовой механике.

См. Также

Ссылки

Mac Lane, Saunders (1975), Homology, Classics in Mathematics, Springer Verlag, ISBN 3-540-58662-8
RL Тейлор, Накрывающие группы несвязных топологических групп, Труды Американского математического общества, т. 5 (1954), 753–768.
Р. Браун, О. Мучук, Пересмотр покрывающих групп несвязных топологических групп, Математические труды Кембриджского философского общества, т. 115 (1994), 97–110.
Р. Браун и Т. Портер, О теории Шрайера неабелевых расширений: обобщения и вычисления, Труды Королевской ирландской академии, т. 96A (1996), 213–227.
G. Джанелидзе, Г. М. Келли, Центральные расширения в мальцевских многообразиях, Теория и приложения категорий, т. 7 (2000), 219–226.
P. Дж. Моранди, Group Extensions и H. Из его коллекции коротких математических заметок.