HNN extension

редактировать

В математике расширение HNN является важной конструкцией комбинаторной теории групп.

Представленный в статье Грэма Хигмана, Бернхарда Неймана и Ханной Нейман в статье 1949 года, он включает данную группу G в другую группу G ', таким образом, что две заданные изоморфные подгруппы группы G сопряжены (через данный изоморфизм) в G '.

Содержание

  • 1 Конструкция
  • 2 Ключевые свойства
    • 2.1 Лемма Бриттона
    • 2.2 Последствия леммы Бриттона
  • 3 Приложения
  • 4 Обобщения
  • 5 Ссылки

Строительство

Пусть G будет группой с представлением G = ⟨S ∣ R⟩ {\ displaystyle G = \ langle S \ mid R \ rangle}{\ displaystyle G = \ langle S \ mid R \ rangle} , и пусть α: H → K {\ displaystyle \ alpha \ двоеточие H \ to K}{\ displaystyle \ alpha \ двоеточие H \ to K} будет изоморфизмом между двумя подгруппами G. Пусть t будет новый символ не в S, и определим

G ∗ α = ⟨S, t ∣ R, tht - 1 = α (h), ∀ h ∈ H⟩. {\ displaystyle G * _ {\ alpha} = \ left \ langle S, t \ mid R, tht ^ {- 1} = \ alpha (h), \ forall h \ in H \ right \ rangle.}{\ displaystyle G * _ {\ alpha} = \ left \ langle S, t \ mid R, tht ^ {- 1} = \ alpha (h), \ forall h \ in H \ right \ rangle.}

Группа G ∗ α {\ displaystyle G * _ {\ alpha}}{\ displaystyle G * _ {\ alpha} } называется расширением HNN группы G относительно α. Исходная группа G называется базовой группой для построения, а подгруппы H и K - ассоциированными подгруппами. Новый генератор t называется стабильной буквой.

Ключевые свойства

Так как представление для G ∗ α {\ displaystyle G * _ {\ alpha}}{\ displaystyle G * _ {\ alpha} } содержит все генераторы и отношения из презентации для G существует естественный гомоморфизм, индуцированный идентификацией образующих, который переводит G в G ∗ α {\ displaystyle G * _ {\ alpha}}{\ displaystyle G * _ {\ alpha} } . Хигман, Нейман и Нейман доказали, что этот морфизм инъективен, то есть вложение G в G ∗ α {\ displaystyle G * _ {\ alpha}}{\ displaystyle G * _ {\ alpha} } . Следствием этого является то, что две изоморфные подгруппы данной группы всегда сопряжены в некоторой надгруппе ; желание показать это было изначальной мотивацией строительства.

Лемма Бриттона

Ключевым свойством HNN-расширений является теорема о нормальной форме, известная как лемма Бриттона. Пусть G ∗ α {\ displaystyle G * _ {\ alpha}}{\ displaystyle G * _ {\ alpha} } будет таким, как указано выше, и пусть w будет следующим продуктом в G ∗ α {\ displaystyle G * _ {\ alpha }}{\ displaystyle G * _ {\ alpha} } :

w = g 0 t ε 1 g 1 t ε 2 ⋯ gn - 1 t ε ngn, gi ∈ G, ε i = ± 1. {\ displaystyle w = g_ {0} t ^ {\ varepsilon _ {1}} g_ {1} t ^ {\ varepsilon _ {2}} \ cdots g_ {n-1} t ^ {\ varepsilon _ {n}} g_ {n}, \ qquad g_ {i} \ in G, \ varepsilon _ {i} = \ pm 1.}w = g_ {0} t ^ {{\ varepsilon _ {1}}} g_ {1} t ^ {{\ varepsilon _ {2}}} \ cdots g _ {{n-1}} t ^ {{\ varepsilon _ {n}}} g_ {n}, \ qquad g_ {i} \ in G, \ varepsilon _ {i} = \ pm 1.

Тогда лемму Бриттона можно сформулировать следующим образом:

Лемма Бриттона. Если w = 1 в G ∗ α, то

  • либо n = 0 {\ displaystyle n = 0}n = 0 , и g 0 = 1 в G
  • , либо n>0 {\ displaystyle n>0}n>0 и для некоторого i ∈ {1,..., n − 1} выполняется одно из следующего:
  1. εi= 1, ε i + 1 = −1, g i ∈ H,
  2. εi= −1, ε i + 1 = 1, g i ∈ K.

В противоположных терминах лемма Бриттона принимает следующий вид :

Лемма Бриттона (альтернативная форма). Если w равно su ch, что

  • либо n = 0 {\ displaystyle n = 0}n = 0 , и g 0 ≠ 1 ∈ G,
  • или n>0 {\ displaystyle n>0}n>0 и продукт w не содержит подстрок вида tht, где h ∈ H, и вида tkt, где k ∈ K,

тогда w ≠ 1 {\ displaystyle w \ neq 1}w \ ne 1 в G ∗ α {\ displaystyle G * _ {\ alpha}}{\ displaystyle G * _ {\ alpha} } .

Следствия леммы Бриттона

Большинство основных свойств HNN-расширений следуют из леммы Бриттона. Эти следствия включают следующие факты:

  • Естественный гомоморфизм от G к G ∗ α {\ displaystyle G * _ {\ alpha}}{\ displaystyle G * _ {\ alpha} } инъективен, так что мы можем представить себе G ∗ α {\ displaystyle G * _ {\ alpha}}{\ displaystyle G * _ {\ alpha} } как содержащий G как подгруппу.
  • каждый элемент конечного порядка в G ∗ α {\ displaystyle G * _ {\ alpha}}{\ displaystyle G * _ {\ alpha} } сопряжено с элементом G.
  • Каждая конечная подгруппа G ∗ α {\ displaystyle G * _ {\ alpha}}{\ displaystyle G * _ {\ alpha} } сопряжен с конечной подгруппой G.
  • Если H ≠ G {\ displaystyle H \ neq G}{\ displaystyle H \ neq G} и К ≠ G {\ displaystyle K \ neq G}{\ displaystyle K \ neq G} , тогда G ∗ α {\ displaystyle G * _ {\ alpha}}{\ displaystyle G * _ {\ alpha} } содержит изоморфную подгруппу в свободную группу ранга два.

Приложения

В терминах фундаментальной группы в алгебраической топологии расширение HNN конструкция, необходимая для понимания фундаментальной группы топологического пространства X, которое было «приклеено» к себе отображением f (см., например, Расслоение поверхности по окружности ). То есть HNN-расширения относятся к этому аспекту фундаментальной группы, как свободные произведения с объединением по отношению к теореме Зейферта-ван Кампена для склеивания пространств X и Y вдоль связное общее подпространство. Между этими двумя конструкциями можно описать практически любое геометрическое склеивание с точки зрения фундаментальной группы.

HNN-расширения играют ключевую роль в доказательстве Хигмэном теоремы вложения, которая утверждает, что каждая конечно порожденная рекурсивно представленная группа может быть гомоморфно вложена в конечно определенную группу . Большинство современных доказательств теоремы Новикова – Буна о существовании конечно представленной группы с алгоритмически неразрешимой проблемой слов также существенно используют HNN-расширения.

И HNN-расширения, и объединенные бесплатные продукты являются основными строительными блоками в теории Басса – Серра групп, действующих на деревьях.

Идея Расширение HNN было распространено на другие части абстрактной алгебры, включая теорию алгебры Ли.

Обобщения

Расширения HNN являются элементарными примерами фундаментальных групп графов групп и как таковые имеют центральное значение в теории Басса – Серра.

Ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-22 09:31:32
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте