В математике расширение HNN является важной конструкцией комбинаторной теории групп.
Представленный в статье Грэма Хигмана, Бернхарда Неймана и Ханной Нейман в статье 1949 года, он включает данную группу G в другую группу G ', таким образом, что две заданные изоморфные подгруппы группы G сопряжены (через данный изоморфизм) в G '.
Пусть G будет группой с представлением , и пусть будет изоморфизмом между двумя подгруппами G. Пусть t будет новый символ не в S, и определим
Группа называется расширением HNN группы G относительно α. Исходная группа G называется базовой группой для построения, а подгруппы H и K - ассоциированными подгруппами. Новый генератор t называется стабильной буквой.
Так как представление для содержит все генераторы и отношения из презентации для G существует естественный гомоморфизм, индуцированный идентификацией образующих, который переводит G в . Хигман, Нейман и Нейман доказали, что этот морфизм инъективен, то есть вложение G в . Следствием этого является то, что две изоморфные подгруппы данной группы всегда сопряжены в некоторой надгруппе ; желание показать это было изначальной мотивацией строительства.
Ключевым свойством HNN-расширений является теорема о нормальной форме, известная как лемма Бриттона. Пусть будет таким, как указано выше, и пусть w будет следующим продуктом в :
Тогда лемму Бриттона можно сформулировать следующим образом:
Лемма Бриттона. Если w = 1 в G ∗ α, то
В противоположных терминах лемма Бриттона принимает следующий вид :
Лемма Бриттона (альтернативная форма). Если w равно su ch, что
тогда в .
Большинство основных свойств HNN-расширений следуют из леммы Бриттона. Эти следствия включают следующие факты:
В терминах фундаментальной группы в алгебраической топологии расширение HNN конструкция, необходимая для понимания фундаментальной группы топологического пространства X, которое было «приклеено» к себе отображением f (см., например, Расслоение поверхности по окружности ). То есть HNN-расширения относятся к этому аспекту фундаментальной группы, как свободные произведения с объединением по отношению к теореме Зейферта-ван Кампена для склеивания пространств X и Y вдоль связное общее подпространство. Между этими двумя конструкциями можно описать практически любое геометрическое склеивание с точки зрения фундаментальной группы.
HNN-расширения играют ключевую роль в доказательстве Хигмэном теоремы вложения, которая утверждает, что каждая конечно порожденная рекурсивно представленная группа может быть гомоморфно вложена в конечно определенную группу . Большинство современных доказательств теоремы Новикова – Буна о существовании конечно представленной группы с алгоритмически неразрешимой проблемой слов также существенно используют HNN-расширения.
И HNN-расширения, и объединенные бесплатные продукты являются основными строительными блоками в теории Басса – Серра групп, действующих на деревьях.
Идея Расширение HNN было распространено на другие части абстрактной алгебры, включая теорию алгебры Ли.
Расширения HNN являются элементарными примерами фундаментальных групп графов групп и как таковые имеют центральное значение в теории Басса – Серра.