Группа спина

редактировать

Группа Ли в теоретической физике, предсказывающая свойства спина

В математике спиновая группа Spin (n) - это двойное покрытие специальной ортогональной группы SO (n) = SO (n, R ), например что существует короткая точная последовательность из групп Ли (когда n ≠ 2)

1 → Z 2 → Spin ⁡ (n) → SO ⁡ (n) → 1. {\ displaystyle 1 \ to \ mathrm {Z} _ {2} \ to \ operatorname {Spin} (n) \ to \ operatorname {SO} (n) \ to 1.}

1 \ to \ mathrm {Z} _2 \ to \ operatorname {Spin} (n) \ to \ operatorname {SO} (n) \ to 1.

Как группа Ли, Spin ( n) поэтому разделяет свою размерность, n (n - 1) / 2 и свою алгебру Ли со специальной ортогональной группой.

Для n>2 Spin (n) является односвязным и поэтому совпадает с универсальным покрытием из SO (n).

Не -Тривиальный элемент ядра обозначается -1, что не следует путать с ортогональным преобразованием отражения через начало координат, обычно обозначаемым -I.

Spin (n) может быть сконструирован как подгруппа обратимых элементов в алгебре Клиффорда Cl (n). В отдельной статье обсуждаются представления спина.

Содержание

1 Мотивация и физическая интерпретация
2 Конструкция
3 Двойное покрытие
4 Спинорное пространство
5 Сложный случай
6 Случайный изоморфизмы
7 Неопределенная подпись
8 Топологические соображения
9 Центр
10 Факторные группы
11 Башня Уайтхеда
12 Дискретные подгруппы
13 См. также
- 13.1 Связанные группы
14 Ссылки
15 Дополнительная литература

Мотивация и физическая интерпретация

Спиновая группа используется в физике для описания симметрии (электрически нейтральных, незаряженных) фермионов. Его комплексообразование, Spinc, используется для описания электрически заряженных фермионов, в первую очередь электрона. Строго говоря, спиновая группа описывает фермион в нульмерном пространстве; но, конечно, пространство не является нульмерным, и поэтому спиновая группа используется для определения спиновых структур на (псевдо) римановых многообразиях : спиновая группа - это структурная группа спинорного пучка . Аффинная связь на спинорной связке - это спиновая связь ; спиновая связь полезна, поскольку она может упростить и придать элегантность многим сложным вычислениям в общей теории относительности. Спиновое соединение, в свою очередь, позволяет записать уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени (эффективно в координатах тетрада ), что, в свою очередь, обеспечивает основу для квантовой гравитации, а также формализация излучения Хокинга (когда один из пары запутанных виртуальных фермионов падает за горизонт событий, а другой - нет). Короче говоря, спиновая группа является жизненно важным краеугольным камнем, центрально важным для понимания передовых концепций современной теоретической физики. В математике спиновая группа интересна сама по себе: не только по этим причинам, но и по многим другим.

Построение

Построение группы Spin часто начинается с построения алгебры Клиффорда над вещественным векторным пространством V с определенной квадратичной формой q. Алгебра Клиффорда - это фактор тензорной алгебры TV алгебры V по двустороннему идеалу. Тензорная алгебра (над вещественными числами) может быть записана как

TV = R ⊕ V ⊕ (V ⊗ V) ⊕ ⋯ {\ displaystyle \ mathrm {T} V = \ mathbb {R} \ oplus V \ oplus (V \ otimes V) \ oplus \ cdots}

{\ displaystyle \ mathrm {T} V = \ mathbb {R} \ oplus V \ oplus (V \ otimes V) \ oplus \ cdots}

Алгебра Клиффорда Cl (V) тогда является фактор-алгеброй

Cl ⁡ (V) = TV / (v ⊗ v + q (v)), { \ displaystyle \ operatorname {Cl} (V) = \ mathrm {T} V / \ left (v \ otimes v + q (v) \ right),}

{\ displaystyle \ operatorname {Cl} (V) = \ mathrm {T} V / \ left (v \ otimes v + q (v) \ right),}

где $q (v) {\ displaystyle q (v)}$ ${\ displaystyle q (v)}$ - квадратичная форма, примененная к вектору $v ∈ V {\ displaystyle v \ in V}$ $v \ in V$ . Полученное пространство естественно оценивается и может быть записано как

Cl ⁡ (V) = Cl 0 ⊕ Cl 1 ⊕ Cl 2 ⊕ ⋯ {\ displaystyle \ operatorname {Cl} (V) = \ имя оператора {Cl} ^ {0} \ oplus \ имя оператора {Cl} ^ {1} \ oplus \ имя оператора {Cl} ^ {2} \ oplus \ cdots}

{\ displaystyle \ operatorname {Cl} (V) = \ operatorname {Cl} ^ {0} \ oplus \ operatorname {Cl} ^ {1} \ oplus \ operatorname {Cl} ^ {2} \ oplus \ cdots}

, где $Cl 0 = R {\ displaystyle \ имя оператора {Cl} ^ {0} = \ mathbf {R}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Cl } ^ {0} = \ mathbf {R}}$ и $Cl 1 = V {\ displaystyle \ имя оператора {Cl} ^ {1} = V}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Cl} ^ {1} = V }$ . алгебра вращения $spin {\ displaystyle {\ mathfrak {spin}}}$ ${ \ displaystyle {\ mathfrak {spin}}}$ определяется как

Cl 2 = spin (V) = spin (n), { \ displaystyle \ operatorname {Cl} ^ {2} = {\ mathfrak {spin}} (V) = {\ mathfrak {spin}} (n),}

{\ displaystyle \ operatorname {Cl} ^ {2} = {\ mathfrak {spin}} (V) = { \ mathfrak {spin}} (n),}

где последнее - сокращение от V, являющегося реальное векторное пространство реальной размерности n. Это алгебра Ли ; он имеет естественное действие на V, и таким образом можно показать, что он изоморфен алгебре Ли $so (n) {\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (n)}$ $\ mathfrak {so} (n)$ of специальная ортогональная группа .

Группа контактов $Pin ⁡ (V) {\ displaystyle \ operatorname {Pin} (V)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Pin} (V)}$ является подгруппой $Cl ⁡ (V) {\ displaystyle \ operatorname {Cl} (V)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Cl} (V)}$ группа Клиффорда всех элементов формы

v 1 v 2 ⋯ vk, {\ displaystyle v_ { 1} v_ {2} \ cdots v_ {k},}

{\ displaystyle v_ {1} v_ {2} \ cdots v_ {k},}

где каждый $vi ∈ V {\ displaystyle v_ {i} \ in V}$ ${\ displaystyle v_ {i} \ in V}$ имеет единичную длину: $q (vi) = 1. {\ displaystyle q (v_ {i}) = 1.}$ ${\ displaystyle q (v_ {i}) = 1.}$

Тогда спиновая группа определяется как

Spin ⁡ (V) = Pin ⁡ (V) ∩ Cl even, { \ displaystyle \ operatorname {Spin} (V) = \ operatorname {Pin} (V) \ cap \ operatorname {Cl} ^ {\ text {even}},}

{\ displaystyle \ operatorname {Spin} (V) = \ operatorname {Pin} (V) \ cap \ operatorname {Cl} ^ {\ text {even}},}

где $Cl even = Cl 0 ⊕ Cl 2 ⊕ Cl 4 ⊕ ⋯ {\ displaystyle \ operatorname {Cl} ^ {\ text {even}} = \ operatorname {Cl} ^ {0} \ oplus \ operatorname {Cl} ^ {2} \ oplus \ operatorname {Cl} ^ {4} \ oplus \ cdots}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Cl} ^ {\ text {even}} = \ operatorname {Cl} ^ {0} \ oplus \ operatorname {Cl} ^ {2} \ o плюс \ operatorname {Cl} ^ {4} \ oplus \ cdots}$ - подпространство, порожденное элементами, которые являются произведением четного числа векторов. То есть Spin (V) состоит из всех элементов Pin (V), указанных выше, с ограничением на то, чтобы k было четным числом. Ограничение на четное подпространство является ключом к образованию двухкомпонентных (вейлевских) спиноров, построенных ниже.

Если набор ${ei} {\ displaystyle \ {e_ {i} \}}$ $\ {e_ {i} \}$ является ортонормированным базисом (реального) векторного пространства V, то указанное выше частное наделяет пространство естественной структурой, препятствующей коммутации:

eiej = - ejei {\ displaystyle e_ {i} e_ {j} = - e_ {j} e_ {i}}

{\ displaystyle e_ {i} e_ {j} = - e_ {j} e_ {i}}

для

я ≠ j, {\ displaystyle i \ neq j,}

{\ displaystyle i \ neq j,}

, что следует с учетом $v ⊗ v {\ displaystyle v \ otimes v}$ ${\ displaystyle v \ otimes v}$ для $v = ei + ej { \ displaystyle v = e_ {i} + e_ {j}}$ ${\ displaystyle v = e_ {i} + e_ {j}}$ . Эта антикоммутация имеет важное значение для физики, поскольку она отражает дух принципа исключения Паули для фермионов. Точная формулировка здесь не рассматривается, но она включает создание спинорного пучка в пространстве-времени Минковского ; полученные спинорные поля могут рассматриваться как антикоммутирующие как побочный продукт конструкции алгебры Клиффорда. Это свойство антикоммутации также является ключом к формулировке суперсимметрии. Алгебра Клиффорда и спиновая группа обладают множеством интересных и любопытных свойств, некоторые из которых перечислены ниже.

Двойное покрытие

Двойное покрытие SO (n) с помощью Spin (n) может быть задано явно следующим образом. Пусть ${ei} {\ displaystyle \ {e_ {i} \}}$ $\ {e_ {i} \}$ будет ортонормированным базисом для V. Определите антиавтоморфизм $t: Cl ⁡ (V) → Cl ⁡ (V) {\ displaystyle t: \ operatorname {Cl} (V) \ to \ operatorname {Cl} (V)}$ ${\ displaystyle t: \ operatorname {Cl} (V) \ to \ имя оператора {Cl} (V)}$ по

(eiej ⋯ ek) t = ek ⋯ ejei {\ displaystyle \ left (e_ {i} e_ {j} \ cdots e_ {k} \ right) ^ {t} = e_ {k} \ cdots e_ {j} e_ {i}}

{\ displaystyle \ left (e_ {i} e_ {j} \ cdots e_ {k} \ right) ^ {t} = e_ {k} \ cdots e_ {j} e_ {i}}

Это может быть распространено на все элементы $a, b ∈ Cl ⁡ (V) {\ displaystyle a, b \ in \ operatorname {Cl} (V)}$ ${\ displaystyle a, b \ in \ operatorname {Cl} (V)}$ посредством гомоморфизма:

(ab) t = btat {\ displaystyle (ab) ^ {t} = b ^ {t} a ^ {t}}

{\ displaystyle (ab) ^ {t} = b ^ {t} a ^ {t}}

Обратите внимание, что Spin (V) может быть определен как все элементы $a ∈ Pin ⁡ (V) {\ displaystyle a \ in \ operatorname {Pin} (V)}$ ${\ displaystyle a \ in \ operatorname {Pin} (V)}$ , для которого

aat = 1 {\ displaystyle aa ^ {t} = 1}

{\ displaystyle aa ^ {t} = 1}

с В этой записи явное двойное покрытие - это гомоморфизм, задаваемый формулой

ρ (a) v = avat, {\ displaystyle \ rho (a) v = ava ^ {t},}

{\ displaystyle \ rho (a) v = ava ^ {t},}

где $v ∈ V {\ Displaystyle v \ in V}$ $v \ in V$ . Вышеупомянутое дает двойное покрытие как O (n) посредством Pin (n), так и SO (n) посредством Spin (n), потому что $a {\ displaystyle a}$ $a$ дает то же преобразование, что и $- а {\ displaystyle -a}$ $-a$ . Немного поработав, можно увидеть, что $ρ (a) {\ displaystyle \ rho (a)}$ ${\ displaystyle \ rho (a)}$ соответствует отражению от гиперплоскости; это следует из антикоммутирующего свойства алгебры Клиффорда.

Спинорное пространство

Стоит рассмотреть, как спинорное пространство и спиноры Вейля строятся, учитывая этот формализм. Для вещественного векторного пространства V размерности n = 2m и четного числа его комплексификация равна $V ⊗ C {\ displaystyle V \ otimes \ mathbf {C}}$ ${\ displaystyle V \ otimes \ mathbf {C}}$ . Его можно записать как прямую сумму подпространства $W {\ displaystyle W}$ $W$ спиноров и подпространства $W ¯ {\ displaystyle {\ overline {W}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {W}}}$ антиспиноров:

V ⊗ C = W ⊕ W ¯ {\ displaystyle V \ otimes \ mathbf {C} = W \ oplus {\ overline {W}}}

{\ displaystyle V \ otimes \ mathbf {C} = W \ oplus {\ overline {W}}}

Пространство $W {\ displaystyle W}$ $W$ охватывает спиноры $η k = (e 2 k - 1 - т.е. 2 k) / 2 {\ displaystyle \ eta _ {k} = \ left (e_ {2k-1} -ie_ {2k} \ right) / {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {k} = \ left (e_ {2k-1} -ie_ {2k} \ right) / {\ sqrt {2}}}$ для $1 ≤ k ≤ m {\ displaystyle 1 \ leq k \ leq m}$ ${\ displaystyle 1 \ leq k \ leq m}$ , а комплексно сопряженные спиноры охватывают $W ¯ {\ displaystyle {\ overline {W}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {W}}}$ . Несложно увидеть, что спиноры антикоммутируют и что произведение спинора и антиспинора является скаляром.

спинорное пространство определяется как внешняя алгебра $⋀ W {\ displaystyle \ textstyle {\ bigwedge} W}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ bigwedge} W}$ . (Комплексифицированная) алгебра Клиффорда естественным образом действует на этом пространстве; (комплексифицированная) спиновая группа соответствует сохраняющим длину эндоморфизмам. Существует естественная градуировка внешней алгебры: произведение нечетного числа копий $W {\ displaystyle W}$ $W$ соответствует физическому понятию фермионов; четное подпространство соответствует бозонам. Представления о действии спинорной группы на спинорном пространстве можно построить относительно просто.

Сложный случай

Группа Spin определяется точной последовательностью

1 → Z 2 → вращение C ⁡ (n) → SO ⁡ (n) × U ⁡ (1) → 1. {\ displaystyle 1 \ to \ mathrm {Z} _ {2} \ to \ operatorname {Spin} ^ {\ mathbf {C}} (n) \ to \ operatorname {SO} (n) \ times \ operatorname {U} (1) \ to 1.}

{\ displaystyle 1 \ to \ mathrm {Z} _ { 2} \ to \ operatorname {Spin} ^ {\ mathbf {C}} (n) \ to \ operatorname {SO} (n) \ times \ operatorname {U} (1) \ to 1.}

Это мультипликативная подгруппа комплексификации $Cl ⁡ (V) ⊗ C {\ displaystyle \ operatorname {Cl} (V) \ otimes \ mathbf {C}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Cl} (V) \ otimes \ mathbf { C}}$ алгебры Клиффорда, и, в частности, это сгенерированная подгруппа с помощью Spin (V) и единичной окружности в C . В качестве альтернативы, это частное

Spin C ⁡ (V) = (Spin ⁡ (V) × S 1) / ∼ {\ displaystyle \ operatorname {Spin} ^ {\ mathbf {C}} (V) = \ left (\ operatorname {Spin} (V) \ times S ^ {1} \ right) / \ sim}

{\ displaystyle \ operatorname {Spin} ^ {\ mathbf {C}} (V) = \ left (\ operatorname {Spin} (V) \ times S ^ {1} \ right) / \ sim}

, где эквивалентность $∼ {\ displaystyle \ sim}$ $\ sim$ определяет (a, u) с (−a, −u).

Это имеет важные приложения в теории 4-многообразий и теории Зайберга – Виттена. В физике группа Spin подходит для описания незаряженных фермионов, а группа Spin используется для описания электрически заряженных фермионов. В данном случае симметрия U (1) - это, в частности, калибровочная группа электромагнетизма.

Случайные изоморфизмы

В малых измерениях есть изоморфизмы среди классических групп Ли называется случайными изоморфизмами. Например, существуют изоморфизмы между низкоразмерными спиновыми группами и некоторыми классическими группами Ли из-за низкоразмерных изоморфизмов между корневыми системами (и соответствующими изоморфизмами диаграмм Дынкина ) различные семейства простых алгебр Ли. Запись R для действительных чисел, C для комплексных чисел, H для кватернионов и общее понимание того, что Cl (n) является сокращение для Cl (R ) и что Spin (n) является сокращением для Spin (R ) и так далее, тогда получается, что

Cl ( 1) = R действительные числа

Pin (1) = {+ i, −i, +1, −1}

Spin (1) = O (1) = {+1, −1} ортогональная группа размерности ноль.

Cl (2) = C комплексные числа

Spin (2) = U (1) = SO (2), который действует на z в R двойным чередованием фаз z ↦ uz. dim = 1

Cl (3) = H кватернионы

Spin (3) = Sp (1) = SU (2), соответствующий

B 1 ≅ A 1 {\ displaystyle B_ {1} \ cong A_ {1}}

{\ displaystyle B_ {1} \ cong A_ {1}}

. dim = 3

Cl (4) = H⊕ H

Spin (4) = SU (2) × SU (2), что соответствует

D 2 ≅ A 1 × A 1 {\ displaystyle D_ {2} \ cong A_ {1} \ times A_ {1}}

D_ {2} \ cong A_ {1} \ times A_ {1}

. dim = 6

Cl (5) = M (2, H ) матрицы два на два с кватернионными коэффициентами

Spin (5) = Sp (2), что соответствует

B 2 ≅ C 2 {\ displaystyle B_ {2} \ cong C_ {2}}

B_ {2} \ cong C_ {2}

. dim = 10

Cl (6) = M (4, C ) матрицы четыре на четыре с комплексными коэффициентами

Spin (6) = SU (4), что соответствует

D 3 ≅ A 3 {\ displaystyle D_ {3} \ cong A_ {3}}

D_ {3} \ cong A_ {3}

. dim = 15

Некоторые остатки этих изоморфизмов остались для n = 7, 8 (подробнее см. Spin (8) ). При более высоких n эти изоморфизмы полностью исчезают.

Неопределенная подпись

В неопределенная подпись спиновая группа Spin (p, q) построена с помощью алгебр Клиффорда аналогично стандартным спиновые группы. Это двойное покрытие SO 0 (p, q), связный компонент тождества неопределенной ортогональной группы SO (р, д). При p + q>2 Spin (p, q) связно; для (p, q) = (1, 1) есть две компоненты связности. Как и в случае с определенной сигнатурой, в низких размерностях есть несколько случайных изоморфизмов:

Spin (1, 1) = GL (1, R)

Spin (2, 1) = SL (2, R)

Spin (3, 1) = SL (2, C)

Spin (2, 2) = SL (2, R) × SL (2, R)

Spin (4, 1) = Sp (1, 1)

Spin (3, 2) = Sp (4, R)

Spin (5, 1) = SL (2, H)

Spin (4, 2) = SU (2, 2)

Spin (3, 3) = SL (4, R)

Spin (6, 2) = SU (2, 2, H)

Обратите внимание, что Spin (p, q) = Spin (q, p).

Топологические соображения

Связанные и односвязные группы Ли классифицируются по своей алгебре Ли. если G - связная группа Ли с простой алгеброй Ли, где G ′ - универсальное покрытие группы G, то существует включение

π 1 (G) ⊂ Z ⁡ (G ′), {\ displaystyle \ pi _ {1} (G) \ subset \ operatorname {Z} (G '),}

\pi_1 (G) \subset \operatorname{Z}(G'),

с Z (G') центром группы G '. Это включение и алгебра Ли $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ из G полностью определяет G (обратите внимание, что это не тот случай, когда $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ и π 1 (G) полностью определяют G; например, SL (2, R ) и PSL (2, R ) имеют одну и ту же алгебру Ли и одну и ту же фундаментальную группу Z, но не изоморфны).

Все определенные сигнатуры Spin (n) являются односвязными для n>2, поэтому они являются универсальными покрытиями SO (n).

В неопределенной подписи Spin (p, q) не обязательно связан, и, как правило, компонент идентичности , Spin 0 (p, q), не является просто подключается, поэтому это не универсальный чехол. Фундаментальную группу легче всего понять, рассматривая максимальную компактную подгруппу в SO (p, q), которая является SO (p) × SO (q), и отмечая, что она не является продуктом 2 -скрытие (следовательно, 4-кратное покрытие), Spin (p, q) - это «диагональное» 2-кратное покрытие - это 2-кратное частное от 4-кратного покрытия. Явно максимальная компактная связная подгруппа в Spin (p, q) равна

Spin (p) × Spin (q) / {(1, 1), (−1, −1)}.

Это позволяет нам для вычисления фундаментальных групп группы Spin (p, q), взяв p ≥ q:

π 1 (Spin (p, q)) = {Z 1 (p, q) = (1, 1) или (1, 0) Z 1 p>2, q = 0, 1 Z (p, q) = (2, 0) или (2, 1) Z × Z (p, q) = (2, 2) Z p>2, q = 2 Z 2 p, q>2 {\ displaystyle \ pi _ {1} ({\ t_dv {Spin}} (p, q)) = {\ begin {cases} \ mathrm {Z } _ {1} (p, q) = (1,1) {\ t_dv {or}} (1,0) \\\ mathrm {Z} _ {1} p>2, q = 0,1 \ \\ mathbf {Z} (p, q) = (2,0) {\ t_dv {или}} (2,1) \\\ mathbf {Z} \ times \ mathbf {Z} (p, q) = (2,2) \\\ mathbf {Z} p>2, q = 2 \\\ mathrm {Z} _ {2} p, q>2 \\\ end {case}}}

\pi _{1}({\t_dv{Spin}}(p,q))={\begin{cases}\mathrm {Z} _{1}(p,q)=(1,1){\t_dv{ or }}(1,0)\\\mathrm {Z} _{1}p>2, q = 0,1 \\\ mathbf {Z} (p, q) = (2,0) {\ t_dv {или}} (2,1) \\\ mathbf {Z} \ times \ mathbf {Z} (p, q) = (2,2) \\\ mathbf {Z} p>2, q = 2 \\\ mathrm {Z} _ {2} p, q>2 \\\ end { case}}

Таким образом, однажды п, q>2, фундаментальная группа - это Z 2, так как это 2-кратное частное произведения двух универсальных накрытий.

Карты фундаментальных групп задаются следующим образом. Для p, q>2 это означает, что отображение π 1 (Spin (p, q)) → π 1 (SO (p, q)) задается как 1 ∈ Z 2 идет в (1, 1) ∈ Z 2 × Z 2. Для p = 2, q>2 это отображение задается как 1 ∈ Z → (1,1) ∈ Z × Z 2. И, наконец, при p = q = 2, (1, 0) ∈ Z× Zотправляется на (1,1) ∈ Z× Z, а (0, 1) отправляется на (1, −1).

Центр

Центр спиновых групп для n ≥ 3 (комплексный и действительный) задается следующим образом:

Z ⁡ (Spin ⁡ (n, C)) = {Z 2 n = 2 k + 1 Z 4 n = 4 k + 2 Z 2 ⊕ Z 2 n = 4 k Z ⁡ (Spin ⁡ (p, q)) = {Z 2 p или q нечетное Z 4 n = 4 k + 2 и p, q даже Z 2 ⊕ Z 2 n = 4 k и p, q даже {\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Z} (\ operatorname {Spin} (n, \ mathbf { C})) = {\ begin {cases} \ mathrm {Z} _ {2} n = 2k + 1 \\\ mathrm {Z} _ {4} n = 4k + 2 \\\ mathrm {Z} _ {2} \ oplus \ mathrm {Z} _ {2} n = 4k \\\ end {cases}} \\\ operatorname {Z} (\ operatorname {Spin} (p, q)) = {\ begin { case} \ mathrm {Z} _ {2} p {\ text {или}} q {\ text {odd}} \\\ mathrm {Z} _ {4} n = 4k + 2, {\ text {и} } p, q {\ text {even}} \\\ mathrm {Z} _ {2} \ oplus \ mathrm {Z} _ {2} n = 4k, {\ text {and}} p, q {\ text {even}} \\\ end {case}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Z} (\ operatorname {Spin} (n, \ mathbf {C})) = {\ begin {cases} \ mathrm {Z} _ {2} n = 2k + 1 \\\ mathrm {Z} _ {4} n = 4k + 2 \\\ mathrm {Z } _ {2} \ oplus \ mathrm {Z} _ {2} n = 4k \\\ end {cases}} \\\ operatorname {Z} (\ operatorname {Spin} (p, q)) = {\ begin {case} \ mathrm {Z} _ {2} p {\ text {или}} q {\ text {odd}} \\\ mathrm {Z} _ {4} n = 4k + 2, {\ text { и}} p, q {\ text {even}} \\\ mathrm {Z} _ {2} \ oplus \ mathrm {Z} _ {2} n = 4k, {\ text {and}} p, q { \ текст {даже}} \\\ конец {случаи}} \ конец {выровненный}}}

Факторные группы

Факторные группы могут быть получены из спиновой группы путем частичного выделения по подгруппе центра с тогда спиновая группа будет покрывающей группой результирующего фактора, и обе группы имеют одну и ту же алгебру Ли.

Факторизация по всему центру дает минимальную такую группу, проективную специальную ортогональную группу, которая не имеет центра, а факторизация по {± 1} дает специальная ортогональная группа - если центр равен {± 1} (а именно в нечетной размерности), эти две фактор-группы согласуются. Если спиновая группа односвязна (как Spin (n) для n>2), то Spin является максимальной группой в последовательности, и одна имеет последовательность из трех групп,

Spin (n) → SO (n) → PSO (n),

разбиение по четности дает:

Spin (2n) → SO (2n) → PSO (2n),

Spin (2n + 1) → SO (2n + 1) = PSO (2n + 1),

, которые являются тремя компактными вещественными формами (или двумя, если SO = PSO) компактной алгебры Ли $, поэтому (п, р). {\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (n, \ mathbf {R}).}$ $\ mathfrak {so} (n, \ mathbf {R}).$

гомотопические группы обложки и частного связаны длинной точной последовательностью расслоение с дискретным слоем (слой является ядром) - таким образом, все гомотопические группы для k>1 равны, но π 0 и π 1 могут различаться.

Для n>2 Spin (n) является односвязным (π0= π 1 = Z 1 тривиально), поэтому SO (n) связна и имеет фундаментальную группу Z 2, в то время как PSO (n) связна и имеет фундаментальную группу, равную центру Spin (n).

В неопределенной сигнатуре покрытия и гомотопические группы более сложны - Spin (p, q) не является односвязным, и факторизация также влияет на компоненты связности. Анализ будет проще, если рассмотреть максимальный (связный) компакт SO (p) × SO (q) ⊂ SO (p, q) и компонентную группу Spin (p, q).

Башня Уайтхеда

Группа вращения появляется в башне Уайтхеда, закрепленной на ортогональной группе :

… → Fivebrane (n) → String (n) → Вращение (n) → SO (n) → O (n) {\ displaystyle \ ldots \ rightarrow {\ text {Fivebrane}} (n) \ rightarrow {\ text {String}} (n) \ rightarrow {\ text { Spin}} (n) \ rightarrow {\ text {SO}} (n) \ rightarrow {\ text {O}} (n)}

{\ displaystyle \ ldots \ rightarrow {\ text {Fivebrane}} (n) \ rightarrow {\ text {String}} (n) \ rightarrow {\ text {Spin}} (n) \ rightarrow {\ text {SO}} (n) \ rightarrow {\ текст {O}} (n)}

Башня получается последовательным удалением (уничтожением) гомотопических групп возрастающего порядка. Это выполняется путем построения коротких точных последовательностей, начиная с пространства Эйленберга – Маклейна для удаления гомотопической группы. Убивая гомотопическую группу π 3 в Spin (n), мы получаем бесконечномерную группу строк String (n).

Дискретные подгруппы

Дискретные подгруппы спиновой группы можно понять, связав их с дискретными подгруппами специальной ортогональной группы (вращательные точечные группы ).

Учитывая двойное покрытие Spin (n) → SO (n), по теореме о решетке существует связь Галуа между подгруппами Spin (n) и подгруппы SO (n) (группы точек вращения): образ подгруппы Spin (n) является группой точек вращения, а прообраз точечной группы является подгруппой Spin (n), а замыкание Оператор на подгруппах Spin (n) - это умножение на {± 1}. Их можно назвать «бинарными точечными группами»; наиболее известен трехмерный случай, известный как бинарные полиэдральные группы.

Конкретно, каждая бинарная точечная группа является либо прообразом точечной группы (отсюда обозначается 2G для точечной группы G), либо является индексом 2 подгруппа прообраза точечной группы, которая отображается (изоморфно) на точечную группу; в последнем случае полная бинарная группа абстрактно $C 2 × G {\ displaystyle \ mathrm {C} _ {2} \ times G}$ $\ mathrm {C} _2 \ times G$ (поскольку {± 1} является центральной). В качестве примера последних, учитывая циклическую группу нечетного порядка $Z 2 k + 1 {\ displaystyle \ mathrm {Z} _ {2k + 1}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Z} _ {2k + 1 }}$ в SO (n), ее прообраз - это циклическая группа двойного порядка, $C 4 k + 2 ≅ Z 2 k + 1 × Z 2, {\ displaystyle \ mathrm {C} _ {4k + 2} \ cong \ mathrm {Z} _ {2k + 1} \ times \ mathrm {Z} _ {2},}$ ${\ displaystyle \ mathrm {C} _ {4k + 2} \ cong \ mathrm {Z} _ {2k + 1} \ times \ mathrm {Z} _ {2},}$ и подгруппа Z 2k + 1 < Spin(n) maps isomorphically to Z2k + 1 < SO(n).

Особо следует отметить две серии:

высшие бинарные тетраэдрические группы, соответствующие 2-кратному покрытию симметрий n-симплекса; эта группа может также рассматриваться как двойное покрытие симметричной группы, 2⋅A n → A n, с чередующейся группой, являющейся (вращательной) группа симметрии n-симплекса.
высшие бинарные октаэдрические группы, соответствующие 2-кратным покрытиям гипероктаэдрической группы (симметрии гиперкуба , или эквивалент двойного ему, кросс-многогранник ).

Для групп точек с обратной ориентацией ситуация более сложная, поскольку имеется две группы контактов , поэтому есть две возможные бинарные группы, соответствующие данной точечной группе.

См. также

Связанные группы

Группа контактов Pin (n) - двукратное покрытие ортогональной группы, O (n)
Метаплектическая группа Mp (2n) - двукратное покрытие симплектической группы, Sp (2n)

Литература

Мех При чтении

Каруби, Макс (2008). К-Теория. Springer. С. 210–214. ISBN 978-3-540-79889-7.