Структура вращения

В дифференциальной геометрии, структура вращения на ориентируемом Риманово многообразие (M, g) позволяет определять ассоциированные спинорные расслоения, что дает начало понятию спинора в дифференциальной геометрии.

Спиновые структуры имеют широкое применение в математической физике, в частности, в квантовой теории поля, где они являются важным ингредиентом в определении любой теории с незаряженными фермионы. Они также представляют чисто математический интерес в дифференциальной геометрии, алгебраической топологии и теории K. Они составляют основу геометрии спина.

• 1 Обзор
• 2 Спиновые структуры на римановых многообразиях
  • 2.1 Определение
  • 2.2 Препятствие
• 3 Спиновые структуры на векторных расслоениях
  • 3.1 Препятствие
  • 3.2 Классификация
  • 3.3 Примеры
  • 3.4 Свойства
• 4 Спиновые структуры
  • 4.1 Препятствие
  • 4.2 Классификация
    • 4.2.1 Геометрическое изображение
    • 4.2.2 Детали
    • 4.2.3 Интегральные лифты классов Штифеля – Уитни
  • 4.3 Примеры
• 5 Применение к физике элементарных частиц
• 6 См. Также
• 7 Ссылки
• 8 Дополнительная литература
• 9 Внешние ссылки

В геометрии и в теории поля математики спрашивают, допускает ли данное ориентированное риманово многообразие (M, g) спиноры. Один из способов решения этой проблемы - потребовать, чтобы M имел спиновую структуру. Это не всегда возможно, так как потенциально существует топологическое препятствие для существования спиновых структур. Спиновые структуры будут существовать тогда и только тогда, когда второй класс Штифеля – Уитни w2(M) ∈ H (M, Z2) M обращается в нуль. Кроме того, если w 2 (M) = 0, то на множество классов изоморфизма спиновых структур на M действует свободно и транзитивно H (M, Z2). Поскольку многообразие M предполагается ориентированным, первый класс Штифеля – Уитни w 1 (M) ∈ H (M, Z2) многообразия M также обращается в нуль. (Классы Штифеля – Уитни w i (M) ∈ H (M, Z2) многообразия M определяются как классы Штифеля – Уитни его касательного расслоения TM.)

Расслоение спиноров π S : S → M над M является комплексным векторным расслоением, связанным с соответствующим главным расслоением πP: P→ M спиновых систем над M и спинового представления его структурной группы Spin (n) на пространстве спиноров Δ n. Пучок S называется спинорным расслоением для данной спиновой структуры на M.

Точное определение спиновой структуры на многообразии стало возможным только после того, как было введено понятие расслоения волокон ; Андре Хефлигер (1956) нашел топологическое препятствие к существованию спиновой структуры на ориентируемом римановом многообразии, а Макс Каруби (1968) распространил этот результат на неориентируемый псевдориманов. случай.

Определение

Спиновая структура на ориентируемом римановом многообразии (M, g) является эквивариантным поднятием ориентированного ортонормированного расслоения реперов F SO (M) → M относительно двойного накрытия ρ: Spin (n) → SO (n). Другими словами, пара (P,FP) является спиновой структурой на главном расслоении π: F SO (M) → M, когда

a) π P: P→ M является главным Spin (n) -расслоение над M,

b) F P: P→ F SO (M) - эквивариантная 2-кратная покрывающая карта такое, что

$\pi \; \circ \; FP\; =\; \pi \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \backslash \; circ\; F\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{P\}\}\; =\; \backslash \; pi\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{P\}\}\}$и F P(pq) = F P(p) ρ (q) для всех p∈ Pи q ∈ Spin (n).

Главное расслоение π P: P→ M также называется расслоением спиновых реперов над M.

Две спиновые структуры (P1, F P1) и (P2, F P2) на одном ориентированном римановом многообразии (M, g) называются "эквивалентными "если существует Spin (n) -эквивариантное отображение f: P1→ P2такое, что

$FP\; 2\; \circ \; f\; =\; FP\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{P\}\; \_\; \{2\}\}\; \backslash \; circ\; f\; =\; F\_\; \{\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; \_\; \{1\}\}\}$и f (p q) = f (p ) q для всех $p\; \in \; P\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{p\}\}\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathbf\; \{P\}\; \_\; \{1\}\}\}$и q ∈ Spin (n).

Конечно, в этом случае $FP\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{P\}\; \_\; \{1\}\}\}$и $FP\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{P\}\; \_\; \{2\}\}\}$- два эквивалентных двойных покрытия ориентированного ортонормированного фрейма SO (n) -расслоение F SO (M) → M данного риманова многообразия (M, g).

Это определение спиновой структуры на (M, g) как спиновой структуры на главном расслоении F SO (M) → M дано André Haefliger ( 1956).

Препятствие

Андре Хефлигер нашел необходимые и достаточные условия для существования спиновой структуры на ориентированном римановом многообразии (M, g). Препятствием к наличию спиновой структуры является определенный элемент [k] H (M, Z2). Для спиновой структуры класс [k] является вторым классом Штифеля – Уитни w2(M) ∈ H (M, Z2) группы M. Следовательно, спиновая структура существует тогда и только тогда, когда второй класс Штифеля –Класс Уитни w 2 (M) ∈ H (M, Z2) для M равен нулю.

Пусть M - паракомпакт топологическое многообразие, а E - ориентированное векторное расслоение на M размерности n, снабженный волокном с метрикой. Это означает, что в каждой точке M волокно E является внутренним пространством продукта . Спиновое расслоение E - это рецепт последовательного связывания спинорного представления с каждой точкой M. Существуют топологические препятствия для возможности сделать это, и, следовательно, данное расслоение E может не допускать никаких спинорных расслоений.. В этом случае говорят, что пучок E спиновый.

Это может быть сделано строго с помощью языка основных пакетов. Набор ориентированных ортонормированных фреймов векторного расслоения формирует фрейм-расслоение PSO(E), которое является главным расслоением под действием специальной ортогональной группы SO (п). Спиновая структура для P SO (E) представляет собой подъем P SO (E) до основного пучка P Spin (E) под действием спиновая группа Spin (n), что означает, что существует отображение расслоения φ: P Spin (E) → P SO (E) такое, что

$\varphi \; (pg)\; =\; \varphi \; (p)\; \rho \; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (pg)\; =\; \backslash \; phi\; (p)\; \backslash \; rho\; (g)\}$, для всех p ∈ P Spin (E) и g ∈ Spin (n),

где ρ: Spin (n) → SO (n) - отображение групп, представляющее спиновую группу как двойное покрытие SO (n).

В частном случае, когда E является касательным расслоением TM над базовым многообразием M, если спиновая структура существует, то говорят, что M является спиновым многообразием . Эквивалентно M является спиновым, если SO (n) главное расслоение ортонормированных баз касательных слоев M является Z2фактором основного спинового расслоения.

Если многообразие имеет клеточное разложение или триангуляцию, спиновая структура может эквивалентно рассматриваться как гомотопический класс тривиализации касательной bundle поверх 1- скелета, который простирается на 2-скелет. Если размерность меньше 3, сначала берется сумма Уитни с тривиальным линейным расслоением.

Препятствие

Спиновая структура на векторном расслоении E существует тогда и только тогда, когда второй класс Штифеля – Уитни w2E обращается в нуль. Это результат Армана Бореля и Фридриха Хирцебруха. Обратите внимание, мы предположили, что π E : E → M - это ориентируемое векторное расслоение.

Классификация

Когда спиновые структуры существуют, неэквивалентные спиновые структуры на многообразии имеют взаимно однозначное соответствие (не каноническое) с элементами H (M, Z2), которое по теореме об универсальных коэффициентах изоморфно H 1 (М, Z2). Точнее, пространство классов изоморфизма спиновых структур - это аффинное пространство над H (M, Z2).

Интуитивно понятно, что для каждого нетривиального цикла на M спиновая структура соответствует двоичному выбору того, переключает ли секция пучка SO (N) листы, когда один из них окружает цикл. Если w 2 обращается в нуль, то эти варианты могут быть расширены на два- каркас, затем (согласно теории препятствий ) они могут автоматически распространяться на все M. В физике элементарных частиц это соответствует выбору периодических или антипериодических граничных условий для фермионов, проходящих вокруг каждого цикла. Обратите внимание, что на сложном многообразии $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$второй класс Штифеля-Уитни может быть вычислен как первый класс Черна $mod\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; text\; \{mod\}\}\; 2\}$.

Примеры

1. A род g Риманова поверхность допускает 2 неэквивалентные спиновые структуры; см. тета-характеристика.
2. Если H (M, Z2) обращается в нуль, M является вращением. Например, S - это вращение для всех $n\; \ne \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; neq\; 2\}$. (Обратите внимание, что S также является вращением, но по другим причинам; см. Ниже.)
3. Комплексная проективная плоскость CPне является вращением.
4. В общем, все четномерные комплексные проективные пространства CPне спиновые.
5. Все нечетномерные комплексные проективные пространства CPспиновые.
6. Все компактные ориентируемые многообразия размерности 3 или меньше являются спиновыми.
7. Все многообразия Калаби – Яу спиновые.

Свойства

• Â род спинового многообразия является целым числом и является четным целым числом, если вдобавок размерность равна 4 mod 8.

  В общем, Â род является рациональным инвариантом, определенным для любого многообразия, но не в общем, целое число.

  Первоначально это было доказано Хирцебрухом и Борелем, и может быть доказано теоремой Атьи – Зингера об индексе, реализуя Â род как индекс оператора Дирака - оператор Дирака является квадратным корнем из оператора второго порядка и существует благодаря структура спина представляет собой «квадратный корень». Это был мотивирующий пример для теоремы об индексе.

Спиновая структура аналогична спиновой структуре на ориентированном римановом многообразии, но использует спин-группу, которая является вместо этого определяется точной последовательностью

$1\; \to \; Z\; 2\; \to \; Spin\; C\; \; (n)\; \to \; SO\; \; (n)\; \times \; U\; \; (1)\; \to \; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; to\; \backslash \; operatorname\; \{Spin\}\; ^\; \{\backslash \; mathbf\; \{C\}\}\; (n)\; \backslash \; to\; \backslash \; operatorname\; \{SO\}\; (n)\; \backslash \; times\; \backslash \; operatorname\; \{U\}\; (1)\; \backslash \; to\; 1.\}$

К Чтобы мотивировать это, предположим, что κ: Spin (n) → U (N) - комплексное спинорное представление. Центр U (N) состоит из диагональных элементов, вытекающих из включения i: U (1) → U (N), то есть скалярных кратных единицы. Таким образом, существует гомоморфизм

$\kappa \; \times \; i:\; S\; p\; i\; n\; (n)\; \times \; U\; (1)\; \to \; U\; (N).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \backslash \; times\; i\; \backslash \; двоеточие\; \{\backslash \; mathrm\; \{Spin\}\}\; (n)\; \backslash \; times\; \{\backslash \; mathrm\; \{U\}\}\; (1)\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathrm\; \{U\}\}\; (N).\}$

Это всегда будет иметь элемент (−1, −1) в ядре. Фактор по модулю этого элемента дает группу Spin (n). Это скрученный продукт

$S-контакт\; C\; (n)\; =\; S-контакт\; (n)\; \times \; Z\; 2\; U\; (1),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathrm\; \{Spin\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathbb\; \{C\}\}\; (n)\; =\; \{\backslash \; mathrm\; \{Spin\}\}\; (n)\; \backslash \; times\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{U\}\}\; (1)\; \backslash ,,\}$

где U (1) = SO (2) = S . Другими словами, группа Spin (n) является центральным расширением SO (n) посредством S.

С другой стороны, Spin (n) - это фактор-группа, полученная из Spin (n) × Spin ( 2) относительно нормального Z2, порожденного парой покрывающих преобразований для расслоений Spin (n) → SO (n) и Spin (2) → SO (2) соответственно. Это делает группу Spin одновременно расслоением над окружностью со слоем Spin (n) и расслоением над SO (n) со слоем окружность.

Фундаментальная группа π 1 (Spin (n)) изоморфен Z, если n ≠ 2, и Z⊕ Z, если n = 2.

Если многообразие имеет разбиение на ячейки или триангуляция, спиновая структура может быть эквивалентно рассмотрена как гомотопический класс сложной структуры по 2- скелету, который простирается по 3-скелету. Как и в случае спиновых структур, берется сумма Уитни с тривиальным линейным расслоением, если многообразие нечетномерно.

Еще одно определение состоит в том, что спиновая структура на многообразии N - это комплексное линейное расслоение L над N вместе со спиновой структурой на TN ⊕ L.

Препятствие

A спиновая структура существует, когда расслоение ориентируемо и второй класс Штифеля – Уитни расслоения E находится в образе отображения H (M, Z ) → H (M, Z/2Z) (иными словами, исчезает третий интегральный класс Штифеля – Уитни). В этом случае говорят, что E - спин. Интуитивно, подъем дает класс Черна квадрата U (1) части любого полученного спинового пучка. По теореме Хопфа и Хирцебруха замкнутые ориентируемые 4-многообразия всегда допускают спиновую структуру.

Классификация

Когда многообразие вообще несет спиновую структуру, набор спиновых структур образует аффинное пространство. Более того, набор спиновых структур имеет свободное транзитивное действие H (M, Z ). Таким образом, спиновые структуры соответствуют элементам H (M, Z ), хотя и не естественным образом.

Геометрический рисунок

Имеет следующую геометрическую интерпретацию, которая принадлежит Эдварду Виттену. Когда спиновая структура отлична от нуля, это расслоение квадратного корня имеет нецелочисленный класс Черна, что означает, что он не выполняет условие тройного перекрытия. В частности, произведение функций перехода на трехстороннем пересечении не всегда равно единице, как требуется для основного пучка. Вместо этого иногда -1.

Этот отказ происходит точно на тех же пересечениях, что и идентичный отказ в тройных произведениях функций перехода заблокированного спинового пучка. Следовательно, тройные произведения функций перехода полного спинового расслоения, которые являются произведениями тройного произведения спиновых и U (1) компонентных связок, равны либо 1 = 1, либо (−1) = 1, и поэтому спиновое расслоение удовлетворяет условию тройного перекрытия и, следовательно, является допустимым пучком.

Детали

Приведенная выше интуитивно понятная геометрическая картина может быть конкретизирована следующим образом. Рассмотрим короткую точную последовательность 0 → Z→ Z→ Z2→ 0, где вторая стрелка - это умножение на 2, а третья - уменьшение по модулю 2. Это индуцирует длинная точная последовательность на когомологиях, содержащая

$\cdots \; ⟶\; H\; 2\; (M;\; Z)\; ⟶\; 2\; H\; 2\; (M;\; Z)\; ⟶\; H\; 2\; (M;\; Z\; 2)\; ⟶\; \beta \; H\; 3\; (M\; ;\; Z)\; ⟶\dots ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; dots\; \backslash \; longrightarrow\; \{\backslash \; textrm\; \{H\}\}\; ^\; \{2\}\; (M;\; \backslash \; mathbf\; \{Z\})\; \{\backslash \; stackrel\; \{2\}\; \{\backslash \; longrightarrow\}\}\; \{\backslash \; textrm\; \{H\}\; \}\; ^\; \{2\}\; (M;\; \backslash \; mathbf\; \{Z\})\; \backslash \; longrightarrow\; \{\backslash \; textrm\; \{H\}\}\; ^\; \{2\}\; (M;\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; \_\; \{2\})\; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; beta\}\; \{\backslash \; longrightarrow\; \}\}\; \{\backslash \; textrm\; \{H\}\}\; ^\; \{3\}\; (M;\; \backslash \; mathbf\; \{Z\})\; \backslash \; longrightarrow\; \backslash \; dots,\}$

где вторая стрелка индуцируется умножением на 2, третья индуцируется ограничением по модулю 2, а четвертый - ассоциированный гомоморфизм Бокштейна β.

Препятствием к существованию спинового пучка является элемент w 2 из H (M, Z2). Это отражает тот факт, что всегда можно локально поднять пучок SO (n) до спинового пучка, но нужно выбрать подъем Z2для каждой функции перехода, что является выбором знака. Подъем не существует, когда произведение этих трех знаков на тройное перекрытие равно −1, что дает картину когомологий Чеха для w 2.

. Чтобы отменить это препятствие, нужно тензорировать это спиновое расслоение с помощью U (1) связка с таким же препятствием w 2. Обратите внимание, что это злоупотребление словом расслоение, поскольку ни спиновое расслоение, ни расслоение U (1) не удовлетворяют условию тройного перекрытия, и поэтому ни одно из них на самом деле не является расслоением.

Допустимый пакет U (1) классифицируется по его классу Черна, который является элементом H (M, Z ). Отождествите этот класс с первым элементом в указанной выше точной последовательности. Следующая стрелка удваивает этот класс Черна, и поэтому допустимые связки будут соответствовать четным элементам во втором H (M, Z ), а нечетные элементы будут соответствовать связкам, которые не соответствуют условию тройного перекрытия. Затем препятствие классифицируется по тому, что элемент во втором H (M, Z ) не попадает в изображение стрелки, которая, по точности, классифицируется по его изображению в H (M, Z2) под следующей стрелкой.

Чтобы отменить соответствующее препятствие в связке вращения, это изображение должно быть w 2. В частности, если w 2 отсутствует на изображении стрелки, то не существует никакого пучка U (1) с препятствием, равным w 2, и поэтому препятствие не может быть отменен. По точности, w 2 находится в изображении предыдущей стрелки, только если он находится в ядре следующей стрелки, который, как мы помним, является гомоморфизмом Бокштейна β. То есть условием устранения препятствия является

$W\; 3\; =\; \beta \; w\; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{3\}\; =\; \backslash \; beta\; w\_\; \{2\}\; =\; 0\}$

, где мы использовали тот факт, что третий интеграл класс Штифеля – Уитни W 3 - это Бокштейна второго класса Штифеля – Уитни w 2 (это можно принять как определение W 3).

Интегральные подъемы классов Штифеля – Уитни

Этот аргумент также демонстрирует, что второй класс Штифеля – Уитни определяет элементы не только когомологий Z2, но и целочисленных когомологий в одной более высокой степени. Фактически это верно для всех четных классов Штифеля – Уитни. Традиционно используется заглавная буква W для результирующих классов нечетной степени, которые называются интегральными классами Штифеля – Уитни и обозначаются своей степенью (которая всегда нечетная).

Примеры

1. Все ориентированные гладкие многообразия размерности 4 или меньше вращаются.
2. Все почти сложные многообразия являются спиновыми.
3. Все спиновые многообразия являются спиновыми.

В физике элементарных частиц теорема спин-статистики подразумевает, что волновая функция незаряженного фермиона представляет собой часть ассоциированного векторного расслоения со спиновым подъемом SO (N) расслоения E. Следовательно, выбор Спиновая структура является частью данных, необходимых для определения волновой функции, и часто необходимо суммировать эти варианты в статистической сумме . Во многих физических теориях E - это касательное расслоение, но для фермионов в мировых объемах D-бран в теории струн это нормальное расслоение.

В квантовой теории поля заряженные спиноры представляют собой части связанных спиновых пучков, и, в частности, никакие заряженные спиноры не могут существовать в пространстве, которое не является спином. Исключение возникает в некоторых теориях супергравитации, где дополнительные взаимодействия подразумевают, что другие поля могут аннулировать третий класс Штифеля – Уитни. Математическое описание спиноров в супергравитации и теории струн - особенно тонкая открытая проблема, к которой недавно обращались в справочных материалах. Оказывается, стандартное понятие спиновой структуры слишком ограничительно для приложений к супергравитации и теории струн, и что правильным понятием спинорной структуры для математической формулировки этих теорий является «липшицева структура».

• Набор ортонормированных кадров
• Spinor

1. ^ Haefliger, A. (1956). "Sur l'extension du groupe Structures d'un espace fibré". C. R. Acad. Sci. Париж. 243 : 558–560.
2. ^Дж. Милнор (1963). «Спиновые структуры на многообразиях». L'Enseignement Mathématique. 9 : 198–203.
3. ^Lichnerowicz, A. (1964). "Champs spinoriels et medicateurs en rélativité générale". Бык. Soc. Математика. Пт. 92 : 11–100. doi : 10.24033 / bsmf.1604.
4. ^Каруби, М. (1968). "Algèbres de Clifford et K-théorie". Энн. Sci. Éc. Норма. Супер. 1 (2): 161–270. doi : 10.24033 / asens.1163.
5. ^Alagia, H.R.; Санчес, CU (1985), «Спиновые структуры на псевдоримановых многообразиях» (PDF), Revista de la Unión Matemática Argentina, 32 : 64–78
6. ^Borel, A.; Хирцебрух, Ф. (1958). «Характеристические классы и однородные пространства I». Американский журнал математики. 80(2): 97–136. DOI : 10.2307 / 2372795. JSTOR 2372795.
7. ^«Спиновый коллектор и второй класс Штифеля-Уитни». Math.Stachexchange.
8. ^Лоусон, Х. Блейн; Мишельсон, Мари-Луиза (1989). Спиновая геометрия. Издательство Принстонского университета. п. 391. ISBN 978-0-691-08542-5.
9. ^Р. Гомпф (1997). «Спин-структуры и гомотопические эквивалентности». Геометрия и топология. 1: 41–50. arXiv : math / 9705218. Bibcode : 1997math...... 5218G. doi : 10.2140 / gt.1997.1.41. S2CID 6906852.
10. ^Фридрих, Томас (2000). Операторы Дирака в римановой геометрии. Американское математическое общество. п. 26. ISBN 978-0-8218-2055-1.
11. ^Gompf, Robert E.; Стипсич, Андраш И. (1999). 4-многообразия и исчисление Кирби. Американское математическое общество. С. 55 –58, 186–187. ISBN 0-8218-0994-6.
12. ^ Lazaroiu, C.; Шахбази, К.С. (2019). «Реальные пиноровые связки и реальные липшицевы структуры». Азиатский математический журнал. 23 (5): 749–836. arXiv : 1606.07894. doi : 10.4310 / AJM.2019.v23.n5.a3. S2CID 119598006..
13. ^Lazaroiu, C.; Шахбази, К.С. (2019). «О спиновой геометрии супергравитации и теории струн». Геометрические методы в физике XXXVI. Тенденции в математике. С. 229–235. arXiv : 1607.02103. DOI : 10.1007 / 978-3-030-01156-7_25. ISBN 978-3-030-01155-0. S2CID 104292702.
14. ^Фридрих, Томас; Траутман, Анджей (2000). «Спиновые пространства, липшицевы группы и спинорные расслоения».. 18 (3): 221–240. arXiv : math / 9901137. doi : 10.1023 / A: 1006713405277. S2CID 118698159.

• Лоусон, Х. Блейн; Мишельсон, Мария-Луиза (1989). Спиновая геометрия. Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-08542-5.
• Фридрих, Томас (2000). Операторы Дирака в римановой геометрии. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-2055-1.
• Каруби, Макс (2008). К-Теория. Springer. С. 212–214. ISBN 978-3-540-79889-7.
• Гроуб, Вернер; Петри, Герберт-Райнер (2006) [1978]. «О подъеме структурных групп». Дифференциальные геометрические методы в математической физике II. Конспект лекций по математике. 676 . Springer-Verlag. С. 217–246. doi : 10.1007 / BFb0063673. ISBN 9783540357216.
• Скорпан, Александру (2005). "4.5 Примечания Спиновые структуры, определение структурной группы; Эквивалентность определений". Дикий мир 4-многообразий. Американское математическое общество. С. 174–189. ISBN 9780821837498.

• Что-то о спиновых структурах от Sven-S. Porst - это краткое введение в ориентацию и структуры вращения для студентов-математиков.