Теорема Атьи - Зингера об индексе

редактировать

О размерах ядра и коядра дифференциального оператора на множестве

Теорема Атьи - Сингера об индексе
Поле	Дифференциальная геометрия
Первое доказательство	Майкл Атия и Исадор Сингер
Первое доказательство в	1963
Последствия	Черн– Теорема Гаусса - Бонне. Теорема Гротендика - Римана - Роха. Сигнатурная теорема Хирцебруха. Теорема Рохлина

В дифференциальной геометрии теорема Атьи - Зингера об индексе, доказано Майкломтьей и Исадором Сингером (1963), утверждает, что для эллиптического дифференциального оператора на компактном многообразии, аналитический индекс (связанное с размером пространства решений) равен топологическому индексу (определенному в терминах некоторых топологических данных). В него включены многие другие теоремы, такие как теорема Черна - Гаусса - Бонне и теорема Римана - Роха, как частные случаи, а также приложения к теоретической физике.

Содержание

1 История
2 Обозначение
3 Символ дифференциального оператора
4 Аналитический указатель
5 Топологический указатель
6 Расширения теоремы Атьи - Зингера об индексе
- 6.1 Теорема об индексе Телемана
- 6.2 Теорема Конна - Дональдсона - Салливана - Телемана об индексе
- 6.3 Другие расширения
7 Примеры
- 7.1 Эйлерова характеристика
- 7.2 Теорема Хирцебруха - Римана - Роха
- 7.3 Теорема Хирцебруха о сигнатуре
- 7.4 В род и теорема Рохлина
8 Методы доказательства
- 8.1 Псевдодифференциальные операторы
- 8.2 Кобордизм
- 8.3 К-теория
- 8.4 Уравнение теплопроводности
9 Ссылки
- 9.1 Теоретические ссылки
- 9.2 Ссылки по истории
10 Внешние ссылки
- 10.1 Ссылки по теории
- 10.2 Ссылки на интервью

Ис тория

Проблема индекса для эллиптических индикаторов была поставлена Исраэль Гельфанд (1960). Он заметил гомотопическую инвариантность индекса и попросил формулу для него с помощью топологических инвариантов. Некоторые из стимулирующих примеров включаются теорему Римана - Роха и ее обобщение, теорему Хирцебруха - Римана - Роха и теорему Хирцебруха о сигнатуре. Фридрих Хирцебрух и Арманд Борель доказали целостность Â рода спинового разнообразия, и предположил, что эту целостность можно было бы объяснить, если бы это был показатель оператора Дирака (который был заново открыт Атьей и Сингером в 1961 году).

Теорема Атьи-Сингера была анонсирована Атьей и Сингером (1963). Доказательство объявлено, приведенное в этом издании, хотя оно есть в книге (Palais 1965). Это также регистрируется в «Семинаре Картана-Шварца 1963/64» (Картан-Шварц 1965), который проводился в Париже одновременно с семинаром, проводимым Ричардом Пале в Принстоне. Университет. Последний в Париже был Атьей о многообразиях с краем. Их первое опубликованное доказательство (Atiyah Singer 1968a) заменило теорию кобордизма первое доказательство на K-теорию, они использовали это, чтобы дать доказательства обобщения в обобщении Атия и Сингер (1968a, 1968b, 1971a, 1971b).

1965:Сергей П. Новиков (Новиков 1965) опубликовал свои результаты о топологической инвариантности рациональных классов Понтрягина на гладких разнообразиях.
Робион Кирби и Лоран С. Зибенманн (Kirby Siebenmann 1969) в сочетании со статьей Рене Тома (Thom 1956) доказал наличие рациональных классов Понтрягина на топологических разнообразиях. Рациональные классы Понтрягина важными составляющими теоремы об индексе для гладких и топологических разнообразий.
1969: Майкл Ф. Атия (1970) абстрактные эллиптические операторы на произвольных метрических пространствах. Абстрактные операторы стали главными электоральными лицами теории Каспарова и некоммутативной дифференциальной геометрии Конна.
1971: Исадор М. Сингер (1971) предлагает всеобъемлющую программу для будущего расширений индекс теории.
1972: Геннадий Г. Каспаров (1972) публикует свою работу по реализации K-гомологии абстрактными эллиптическими операторами.
1973: Атья, Рауль Ботт и Виджай Патоди (1973) дали новое доказательство теоремы об индексе, используя уравнение теплопроводности, описанное в Melrose (1993).
1977: Деннис Салливан (1979) устанавливает свою теорему о существовании и единственности липшицевых и квазиконформных структур на топологических разнообразия размерности, отличной от 4.
Эзра Гетцлер (1983), движимый идеями Эдварда Виттена (1982) и Луиса Альвареса -Гауме, краткое доказательство теоремы о локальном индексе для операторов, локально Операторы Дирака ; это охватывает многие из полезных случаев.
1983: Николае Телеман (1983) доказывает, что аналитические индексы операторов сигнатур со значениями в векторных расслоениях являются топологическими инвариантами.
1984: Телеман (1984) устанавливает теорему об индексе топологических разнообразий.
1986: Ален Конн (1986) публикует свою фундаментальную статью по некоммутативная геометрия.
1989: Саймон К. Дональдсон и Салливан (1989) изучают теорию Янга - Миллса на квазиконформных разнообразиях размерности 4. Они вводят сигнатуру оператор S, определенный на разных формах степени два.
1990: Конн и Анри Московичи (1990) доказывают формулу локального индекса в контексте некоммутативной геометрии.
1994: Конн, Салливан и Телеман (1994) доказали теорему об индексе для операторов сигнатур на квазиконформных многообразиях.

Обозначение

X является компактным гладким коллектор (без границы).
E и F - гладкие обслуживание расслоения над X.
D - эллиптический дифференциальный оператор из E в F. Таким образом, в локальных координатах он действует как дифференциальный оператор, гладкие сечения E для сглаживания участков F.

Символ дифференциального оператора

Если D - дифференциальный оператор в евклидовом пространстве порядка n от k размер $x 1,…, xk {\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {k}}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \ точки, x_ {k}}$ , то его символ функция 2k чис $x 1,…, xk, y 1,…, yk {\ displaystyle x_ { 1}, \ dots, x_ {k}, y_ {1}, \ dots, y_ {k}}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {k}, y_ {1}, \ dots, y_ {k }}$ , задаваемый отбрасыванием всех порядка меньше n и заменой $∂ / ∂ xi {\ displaystyle \ partial / \ partial x_ {i}}$ ${\ displaystyle \ partial / \ partial x_ {i}}$ по $yi {\ displaystyle y_ {i}}$ $y_ {i}$ . Таким образом, символ однороден по переменным y степени n. Символ четко определен, хотя $∂ / ∂ xi {\ displaystyle \ partial / \ partial x_ {i}}$ ${\ displaystyle \ partial / \ partial x_ {i}}$ не коммутируется с $xi {\ displaystyle x_ {i}}$ $x_ {i}$ потому что мы оставляем только члены высшего порядка. Оператор называется эллиптическим, если символ отличен от нуля, когда хотя бы один y отличен от нуля.

Пример: оператор Лапласа в k число имеет символ $y 1 2 + ⋯ + yk 2 {\ displaystyle y_ {1} ^ {2} + \ cdots + y_ {k} ^ {2}}$ ${\ displaystyle y_ {1} ^ {2 } + \ cdots + y_ {k} ^ {2}}$ , и поэтому является эллиптическим, поскольку он отличен от нуля, когда любой из $yi {\ displaystyle y_ {i}}$ $y_ {i}$ отличен от нуля. Волновой оператор имеет символ $- y 1 2 + ⋯ + yk 2 {\ displaystyle -y_ {1} ^ {2} + \ cdots + y_ {k} ^ {2}}$ ${\ displaystyle -y_ {1} ^ {2} + \ cdots + y_ {k} ^ {2}}$ , что не является эллиптическим, если $k ≥ 2 {\ displaystyle k \ geq 2}$ $к \ geq 2$ , так как символ исчезает для некоторых ненулевых значений ys.

Символ дифференциального порядка n на гладком разнообразии X является почти таким образом с использованием локальных карт и функция на кокасательном расслоении X, однородном уровне n на каждом котангенсе. (В общем, отличные операторы преобразуются довольно сложным образом при преобразовании координат (см. jet bundle ); однако высокие стандарты преобразуются как тензоры, поэтому мы получаем хорошо однородные функции на кокасательных пространств, которые являются В более общем смысле, символ дифференциального оператора между двумя расслоениями E и F представляет собой сечение обратного преобразования расслоения Hom (E, F) к кокасательному пространству X. Дифференциальный оператор имеет вид называется эллиптическим, если элемент Hom (E x, F x) обратим для всех ненулевых котангенсных векторов в любой точке x X.

Ключ свойства эллиптических операторов в том, что они почти обратимы; это связано с тем, что их символы почти обратимы. Точнее, эллиптический оператор D на компактном множестве имеет (неединственный) параметр (или псевдообратный ) D ′ такой, что DD ′ - 1 и D′D - 1 - оба компактные операторы. Важным следствием является то, что ядро D конечерно, потому что все собственные подпространства компактных операторов, кроме ядра, конечерны. (Псевдообратный эллиптический дифференциальный оператор почти не бывает дифференциальным оператором. Однако это эллиптический псевдодифференциальный оператор.)

Аналитический индекс

Как эллиптический индексный индекс

Фредгольма . Любой оператор Фредгольма имеет индекс, определяемый как разность между (конечной) размерностью ядра D (решения Df = 0) и (конечной) размерностью коядра оператора D (ограничение на правую часть неоднородного уравнения типа Df = g или, что эквивалентно, ядро сопряженного оператора). Другими словами,

Индекс (D) = dim Ker (D) - dim Coker (D) = dim Ker (D) - dim Ker (D *).

Иногда это называют аналитическим индексом из D.

Пример: Предположим, что многообразие - это окружность (обозначенная как R/Z), а D - оператор d / dx - λ для некоторой комплексной константы λ. (Это простейший пример эллиптического оператора.) Ядро представляет собой пространство, кратное exp (λx), если λ является целым кратным 2πi, и равно 0 в силе, ядро сопряженного оператора является пространством с λ заменен его комплексно -сопряженным. Таким образом, D имеет индекс 0. Этот пример показывает, что ядро и коядро эллиптических операторов могут скачкообразно перескакивать при изменении эллиптического оператора, поэтому нет формулы для их размера в терминах непрерывных топологических данных. Однако скачки ядра и коядра одинаковы, поэтому индекс, непрерывно изменяемый разницей их размеров, действительно непрерывно изменяется в терминах топологических данных с помощью теоремы об индексе.

Топологический индекс

топологический индекс эллиптического дифференциального оператора $D {\ displaystyle D}$ $D$ между гладкими векторными пучками $E {\ displaystyle E}$ $E$ и $F {\ displaystyle F}$ $F$ на $n {\ displaystyle n}$ $n$ -мерном компактном коллекторе $Икс { \ Displaystyle X}$ $X$ дается выражением

ch ⁡ (D) Td ⁡ (X) [X] = ∫ X ch ⁡ (D) Td ⁡ (X) {\ displaystyle \ operatorname {ch} ( D) \ operatorname {Td} (X) [X] = \ int _ {X} \ operatorname {ch} (D) \ operatorname {Td} (X)}

{\ displaystyle \ operatorname {ch} (D) \ operatorname {Td} (X) [X] = \ int _ {X} \ operatorname {ch} (D) \ operatorname {Td} (X)}

другими словами значение компонента высшей размерности смешанного класса когомологий $ch ⁡ (D) Td ⁡ (X) {\ displaystyle \ operatorname {ch} (D) \ operatorname {Td} (X)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ch} (D) \ имя оператора {Td} (X)}$ на фундаментальном классе гомологии разнообразия $X {\ displaystyle X}$ $X$ . Здесь

$Td ⁡ (X) {\ displaystyle \ operatorname {Td} (X)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Td} (X)}$ - это класс Тодда комплексифицированного касательного пучка $X {\ displaystyle X}$ $X$ .
ч ⁡ (D) {\ displaystyle \ operatorname {ch} (D)}равно φ - 1 (ch ⁡ (d (p ∗ E, p ∗ F, σ (D))))) {\ Displaystyle \ varphi ^ {- 1} (\ operatorname {ch} (d (p ^ {*} E, p ^ {*} F, \ sigma (D))))}, где
- $φ: ЧАС К (Икс; Q) → ЧАС N + К (В (X) / S (X); Q) {\ displaystyle \ varphi: H ^ {k} (X; \ mathbb { Q}) \ to H ^ {n + k} (B (X) / S (X); \ mathbb {Q})}$ ${\ displaystyle \ varphi: H ^ { k} (Икс; \ mathbb {Q}) \ к H ^ {n + k} (B (X) / S (X); \ mathbb {Q})}$ - это изоморфизм Тома для связки сфер $п: В (Х) / S (Икс) → Икс {\ Displaystyle р: В (Х) / S (Х) \ к Х}$ ${\ displaystyle p: B (X) / S (X) \ to X}$
- $ч: К (Х) ⊗ Q → H * (X; Q) {\ displaystyle \ operatorname {ch}: K (X) \ otimes \ mathbb {Q} \ to H ^ {*} (X; \ mathbb {Q})}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ch}: K (X) \ otimes \ mathbb {Q} \ к H ^ {*} (X; \ mathbb {Q})}$ - символ Черна
- $d (p ∗ E, p ∗ F, σ (D)) {\ displaystyle d (p ^ {*} E, p ^ {*} F, \ sigma (D))}$ ${\ displaystyle d (p ^ {*} E, p ^ {*} F, \ sigma (D))}$ - «элемент различия» в $K (B (X) / S (X)) {\ displaystyle K (B (X) / S (X))}$ ${\ displaystyle K (B (X) / S (X))}$ связано с двумя векторными пучками $p ∗ E {\ displaystyle p ^ {*} E}$ ${\ displaystyle p ^ {*} E}$ и $p ∗ F {\ displaystyle p ^ {* } F}$ ${\ displaystyle p ^ {*} F}$ на $B (X) {\ displaystyle B (X)}$ ${\ displaystyle B (X)}$ и изоморфизм $σ (D) {\ displaystyle \ sigma (D)}$ ${\ displaystyle \ sigma (D)}$ между ними в подпространстве $S (X) {\ displaystyle S (X)}$ $S (X)$ .
- $σ (D) {\ displaystyle \ sigma (D)}$ ${\ displaystyle \ sigma (D)}$ - символ $D {\ displaystyle D}$ $D$

Топологический индекс также можно определить, используя только K-теорию (и это альтернативное определение в определенном смысле совместимо с конструкцией характера Черна, приведенной выше). Если X - компактное подмногообразие многообразия Y, то существует прямое (или «кричащее») отображение из K (TX) в K (TY). Топологический индекс элемента K (TX) определяется как образ операции с Y в некотором евклидовом пространстве, для которого K (TY) может быть естественным образом отождествлен с целыми числами Z (как следствие Ботта-периодичности). Это отображение не зависит от вложения X в евклидово пространство. Теперь дифференциальный оператор, как указано выше, естественным образом определяет элемент K (TX), а изображение в Z под этим отображением "является" топологическим индексом.

Как обычно, D является эллиптическим дифференциальным оператором между векторными расслоениями E и F компактным множеством X.

Проблема основного индекса в следующем: вычислить (аналитический) индекс D, используя только символы s и топологические данные, полученные из разнообразия и расслоения. Теорема Атьи - Зингера об индексе решает эту проблему и утверждает:

Аналитический индекс D равен его топологическому индексу.

Несмотря на его грозное определение, топологический индекс обычно легко вычислить явно. Таким образом, это позволяет оценить аналитический индекс. (Как правило, теорема об индексе показывает, что обычно мы можем, по крайней мере, оценить их разность .) Многие важные инварианты разнообразия (например, сигнатура) может быть задан как индекс подходящих дифференциальных операторов, поэтому теорема об индексе позволяет нам оценивать эти инварианты в терминах топологических данных.

Хотя аналитический индекс обычно трудно оценить напрямую, по крайней мере, очевидно, что это целое число. Топологический индекс по определению не является рациональным числом. Таким образом, теорема Атьи - Зингера об индексе подразумевает некоторые свойства глубокой целостности, так как подразумевает, что топологический индекс является целым.

Индекс эллиптического дифференциального оператора, равенство нулю, если оператор самосопряженный. Он также обращается в нуль, если многообразие X имеет нечетную размерность, хотя существуют псевдодифференциальные эллиптические операторы, индекс которых не обращается в нуль в нечетных измеренийх.

Расширения теоремы Атьи - Зингера об индексе

Теорема Телемана об индексе

Согласно (Телеман 1983), (Телеман 1984):

Для любого абстрактного эллиптического оператора (Atiyah 1970) на замкнутом ориентированном топологическом разнообразии аналитический индекс равен топологическому индексу.

Доказательство этого результата проходит через аргументы., включая расширение теории Ходжа на комбинаторные и липшицевы многообразия (Teleman 1980), (Teleman 1983), расширение оператора сигнатуры Атьи - Зингера на липшицевы многообразия (Teleman 1983), K-гомологии Каспарова (Каспаров 1972) и топологический кобордизм (Kirby Siebenmann 1977).

Этот результат показывает, что теорема об индексе - это не просто дифференцируемое утверждение, а скорее топологическое утверждение.

Теорема Конна - Дональдсона - Салливана - Телемана об индексе

Согласно (Дональдсон и Салливан 1989), (Connes, Sullivan Teleman 1994) :

Для любого квазиконформного множества существует локальная конструкция характерных классов Хирцебруха - Тома.

Эта теория основана на сигнатурном операторе S, определенном на дифференциальных формах средней степени на четномерных квазиконформных разнообразиях (сравните (Дональдсон и Салливан 1989)).

Используя топологический кобордизм и K-гомологии, можно дать полную формулировку теоремы об индексе квазиконформных многообразий (см. Стр. 678 в (Connes, Sullivan Teleman 1994)). В работе (Connes, Sullivan Teleman 1994) «представлены локальные конструкции для характерных, основанные на родственниках измеримого риманова отображения в размерности два и теории Янга - Миллса в четырех измерениях».

Эти результаты представляют собой значительный прогресс в соответствии с программой Сингера «Перспективы в математике» (Singer 1971). В то же время они обеспечивают эффективное построение рациональных классов Понтрягина на топологических разнообразиях. В статье (Телеман 1985) и теорией индекса Понтрягина (Том 1956) и теорией индекс.

Важно отметить, что формула индекс является топологическим утверждением. Теории препятствий Милнора, Кервера, Кирби, Зибенмана, Салливана, Дональдсона показывают, что только меньшая часть топологических многообразий обладает дифференцируемыми структурами, и они не обязательно уникальны. Результат Салливана о липшицевых и квазиконформных структурах (Sullivan 1979) показывает, что любое топологическое многообразие в размерности, отличной от 4, обладает такой структурой, которая уникальна (с точностью до изотопии, близкой к единице).

Квазиконформные структуры (Connes, Sullivan Teleman 1994) и в более общем плане L-структуры, p>n (n + 1) / 2, введенные М. Хилсумом (Hilsum 1999), являются самыми слабыми аналитическими структурами на топологических многообразиях размерности n, для которых, как известно, выполняется теорема об индексе.

Другие расширения

Теорема Атьи – Зингера применяется к эллиптическим псевдодифференциальным операторам во многом таким же образом, как и к эллиптическим дифференциальным операторам. Фактически, по техническим причинам большинство ранних доказательств работало с псевдодифференциальными, а не с дифференциальными операторами: их дополнительная гибкость упростила некоторые этапы доказательств.
Вместо работы с эллиптическим оператором между двумя векторными пучками это иногда удобнее работать с эллиптическим комплексом

0 → E 0 → E 1 → E 2 →... → E m → 0 {\ displaystyle 0 \ rightarrow E_ {0} \ rightarrow E_ {1} \ rightarrow E_ {2} \ rightarrow... \ rightarrow E_ {m} \ rightarrow 0}

{\ displaystyle 0 \ rightarrow E_ {0} \ rightarrow E_ {1} \ rightarrow E_ {2} \ rightarrow... \ rightar строка E_ {m} \ rightarrow 0}

векторных пучков. Разница в том, что символы теперь образуют точную последовательность (за пределами нулевого участка). В случае, когда в комплексе есть только два ненулевых расслоения, это означает, что символ является изоморфизмом от нулевого сечения, поэтому эллиптический комплекс с двумя членами по существу совпадает с эллиптическим оператором между двумя векторными расслоениями. И наоборот, теорема об индексе для эллиптического комплекса легко сводится к случаю эллиптическогопредставления, операторы в гильбертовом пространстве и локальные формулы для характеристик классов», Топология, 33 (4): 663–681, doi : 10.1016 / 0040-9383 (94) 90003-5, Zbl 0840.57013

Дональдсон, СК ; Салливан, Д. (1989), «Квазиконформные 4-многообразия», Acta Mathematica, 163 : 181–252, doi : 10.1007 / BF02392736, Zbl 0704.57008

Гельфанд И.М. (1960), «Об эллиптических уравнениях», Успехи химии. Математика. Surv., 15 (3): 113–123, Bibcode : 1960RuMaS..15..113G, doi : 10.1070 / rm1960v015n03ABEH004094 перепечатано в томе 1 его собрания сочинений, стр. 65–75, ISBN 0-387-13619-3. На странице 120 Гельфанд предлагает индекс эллиптического оператора мог быть выражен в терминах топологических данных.

Getzler, E. (1983), «Псевдодифференциальные операторы на супермногообразиях и Атьи - Зингера. теорема об индексе ", Commun. Математика. Phys., 92 (2): 163–178, Bibcode : 1983CMaPh..92..163G, doi : 10.1007 / BF01210843, S2CID 55438589

Э. Гетцлер (1988), «Краткое доказательство местоположения теоремы об индексе Атьи - Зингера », Топология, 25 : 111–117, doi : 10.1016 / 0040-9383 (86) 90008-X

Гилки, Питер Б. (1994), Теория инвариантности, тепло Уравнение и теорема Атьи - Сингера, ISBN 978-0-8493-7874-4 Бесплатный онлайн-учебник, доказывающий теорему Атьи - Сингера с помощью уравнений теплопроводности

Хигсон, Найджел; Роу, Джон (2000), Аналитическая K-гомология, Oxford University Press, ISBN 9780191589201

Хилсум, М. (1999), « Structures riemaniennes L et K-homologie », Анналы Математика, 149 (3): 1007–1022, arXiv : math / 9905210, doi : 10.2307 / 121079, JSTOR 12 1079, S2CID 119708566

Каспаров, Г.Г. (1972), "Топ инвариантность эллиптических операторов, I: K-гомологии", Матем. Известия СССР, 9 (4): 751–792, Bibcode : 1975IzMat... 9..751K, doi : 10.1070 / IM1975v009n04ABEH001497

Кирби, Р. ; Зибенманн, L.C. (1969), «О триангуляции разнообразий и Hauptvermutung», Бюл. Амер. Математика. Soc., 75 (4): 742–749, doi : 10.1090 / S0002-9904-1969-12271-8

Кирби, Р. ; Зибенманн, LC (1977), Основополагающие эссе по топологическим разнообразиям, сглаживаниям и триангуляциям, Annals of Mathematics Studies in Mathematics, 88, Princeton: Princeton University Press и Tokio University Press

Мелроуз, Ричард Б. (1993), Теорема об индексе Атьи-Патоди-Зингера, Уэлсли, Массачусетс: Питерс, ISBN 978-1-56881-002-7 онлайн- учебник.

Новиков, СП (1965), «Топологическая инвариантность рациональных классов Понтряукгина» (PDF), Доклады Академии На СССР, 163 : 298 –300

Palais, Ричард С. (1965), Семинар по теореме об индексе Атьи - Сингера, Annals of Mathematics Studies, 57, Sl: Princeton Univ Press, ISBN 978-0-691-08031-4 Здесь описывается исходное доказательство теоремы (сами Атья и Сингер никогда не публиковали свое первоначальное доказательство., Но только его улучшенные версии.)

Шанахан П. (1978), Теорема Атьи - Сингера об индексе: введение, Конспект лекций по математике, 638, Springer, CiteSeerX 10.1.1.193.9222, doi : 10.1007 / BFb0068264, ISBN 978-0-387-08660-6

Зингер, И.М. (1971), «Будущие расширения модели индекс и эллиптических операторов», Перспективы математики, Annals of Mathematics Studies in Mathematics, 70, стр. 171–185

Салливан Д. (1979), «Гиперболическая геометрия и гомеоморфизмы», JC Candrell, «Геометрическая топология», Proc. Грузинская топология конф. Афины, штат Джорджия, 1977, Нью-Йорк: Academic Press, стр. 543–595, ISBN 978-0-12-158860-1, Zbl 0478.57007

Салливан, Д. ; Телеман, Н. (1983), «Аналитическое доказательство теоремы Новикова о рациональных классах Понтрягина», Publications Mathématiques, Париж, 58 : 291–293, doi : 10.1007 / BF02953773, S2CID 8348213, Zbl 0531.58045

Телеман, Н. (1980), "Комбинаторная теория Ходжа и оператор сигнатуры ", Inventiones Mathematicae, 61 (3): 227–249, Bibcode : 1980InMat..61..227T, doi : 10.1007 / BF01390066, S2CID 122247909

Телеман, Н. (1983), «Индекс операторов подписи на липшицевых разнообразиях», Publications Mathématiques, 58 : 251–290, doi : 10.1007 / BF02953772, S2CID 121497293, Zbl 0531.58044

Телеман, Н. (1984), «Теорема об индексе топологических разнообразий», Acta Mathematica, 153 : 117–152, doi : 10.1007 / BF02392376, Zbl 0547.58036

Телеман, Н. (1985), "Трансверсальность и теория индекса", Интегральные уравнения и теория операторов, 8 (5): 693–719, doi : 10.1007 / BF01201710, S2CID 121137053

Том Р. (1956), «Классы caractéristiques de Pontrjagin de Varétés triangulées», Symp. Int., Верхний, Алг. 514>Виттен, Эдвард (1982), «Суперсимметрия и теория Морса», J. Diff. Geom., 17 (4): 661–692, doi : 10.4310 / jdg / 1214437492, MR 0683171

Источники истории

Шинг-Тунг Яу, изд. (2009) [Впервые опубликовано в 2005 году], The Founders of Index Theory (2-е изд.), Сомервилль, Массачусетс: International Press of Boston, ISBN 978-1571461377 - Личные счета на Атия, Ботт, Хирцебрух и Зингер.

Внешние ссылки

Ссылки по теории

Маццео, Рейф. «Теорема об индексе Атьи - Зингера: что это такое и почему вам следует беспокоиться» (PDF). Архивировано из оригинала (PDF) 10 октября 2002 г. Презентация в формате PDF.
Войцеховский М.И.; Шубин, М.А. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
Вассерманн, Энтони. «Конспект лекций по теореме Атьи - Сингера об индексе». Архивировано из оригинала 29 марта 2017 года.

Ссылки на интервью

Рауссен, Мартин; Скау, Кристиан (2005), «Интервью с Майклом Атьей и Исадором Сингером» (PDF), Уведомления о AMS, стр. 223–231
Р. Р. Сили и другие (1999) Воспоминания о первых днях индекса и псевдодифференциальных операторов - Частичная стенограмма неформальной беседы после обеда во время симпозиума, проведенного в Роскилле, Дания, в сентябре 1998 года.